Cálculo de Área e Integrais de Superfície em Várias Variáveis

e e e LSS CALCULO DE VARIAS VARIAVEIS 3 INTEGRAL DE SUPERFICIE 31 AREA DE UMA SUPERFICIE 1 Calcule a area de uma esfera de raio R resp 47R 2 Deduza a férmula para a area de um cilindro circular reto de raio Re altura H resp 27RH 3 Repita o exercicio precedente com um cone circular reto resp a7RVR H 4 Calclule a drea do paraboloide S x2 y z z 4 resp 17V 171 5 Calcule a dérea da porcaéo do plano 3x 2y z 7 no primeiro octante resp 491412 6 Em cada caso calcule a area da superficie S a S éa parte do plano x y2za a 0 interna ao cilindro x y a resp ra V3 b S corresponde a parte do paraboldide x y z a a 3 delimitada pelo cilindro vazado lay9 0y0 resp 54 87V 37 5V5 c S éa parte da esfera 2 y z 1 interna ao cilindro x y y resp 27 4 d S éa parte do cilindro 2 z a a 0 delimitada por y ax a resp 8aV2 e S éa parte do cone z x y z 0 interna ao cilindro 2 y 2axz resp 1a V2 f S éa parte do paraboldide x 22 2y abaixo do plano y 1 resp 20V3 3 g S 0 corte do hemisfério x y z 2 z 0 pelo cilindro x y 1 resp 27 2 2 7 Calcule a drea daquela porcao do cilindro S y z 16 que jaz acima da regido triangular D022 O0y22 resp 83 473 16 32 CALCULANDO INTEGRAL DE SUPERFICIE 1 Em cada caso calcule a integral de superficie f P ds S 2 CALCULO DE VARIAS VARIAEIS MARIVALDO P MATOS a fP2 SayR 12zK 1 resp 0 b fP27 Saty27 122 resp 15724 c fPay Say222 Oal1 0OyKl resp 93 82 115 d fP xzy S a porcao do cilindro x y situada no primeiro octante entre os planos z0z5yley4 resp 1365 5 e fPaxy S éa parte do plano 2x 3y z 6 no primeiro octante resp 514 f fPHaety42 Sia tyt2R resp 47R g fP 2 S éa parte do plano z 2 interna ao cilindro 7 4y1 resp 7V24 h fP2 S éa porcao do plano z y z 1 no primeiro octante resp 36 i fP2 S a fronteira da regiao delimitada pelo cilindro 2 y 1 e pelos planos z 0 ezxr2 resp 7 2 Calcule l v2 y2 dS sendo S a parte da esfera x y z 9 compreendida entre os S planos zlez2 resp 27 162 55 3 Repita o Exercicio 2 considerando S a parte do cilindro x y 4 compreendida entre os planos zOez243 resp 447 4 Se Ng é a normal exterior a superficie S calcule Fe NgdS para os seguintes dados S a Sa7y42R x 0 e Fyjtzk resp 47 R33 b S éa parte do cilindro x y R que jaz no primeiro octante entre os planos z 0 e za e Fsenzi xyjcoszk resp 1 cosaR aR33 5 Seja Q a7 y 4 2 a a bola do R de centro na origem e raio a Se S é a fronteira de Q orientada pela normal exterior Ng e F 27 i y j 2 k calcule as integrais a r Ns dS e b r ff divF dV resp JIJ0 S Q 33 FORMULAS DE GAUSS STOKES APLICACOES 1 Com auxilio da Férmula de Stokes calcule F dr sendo y o bordo da superficie S 7 COMPLEMENTOS EXERCICIOS 3 INTEGRAL DE DE SUPERFICIE 3 a Fyi 22j2k Séasuperficile rtytz1 xz yz0 resp 1 b F3yiazjtyzk S é0 paraboldide 2z 2 y 0 2 2 resp 2071 c F 2yizj3k Séaparte do paraboldide z 42xy interior ao cilindro x y 1 resp 27 d Fziajyk Séohemisfério z 12y resp 7 e Fa27ityjt2k Séocone 2 274y021 resp 0 2 Em cada caso use a Férmula de Stokes e calcule Pdx Qdy Rdz y a vee zdyadz yay27R cty2z0 resp V37R y b ut edes w 2dy 0 ydes yiartty2y yx resp 0 y c y 2 dx 2 x dy a y dz yy éa curva intersecdo da fronteira do cubo x 0aa0ya02zacom planoryz 3a2 resp 9a2 d eae 7 60 bordo da superficie S z y4 1a4y 4 resp 45274 y 3 Seja S a superficie dada sob a forma parametrizada por Sruv uitovj 1uk u0v0 utuvi Se y 0 bordo de S calcule vee x dy 5dz resp 56 Y 4 Calcule o fluxo do campo F através da superficie S na diregéo da normal exterior Ng Se possfvel use a Férmula da Divergéncia de Gauss para comprovar o resultado a Fcviyjzk S éa superficie do sdélido limitado pelo hemisfério z a x y e pelo plano z 0 resp 27a b F2i5j43k S éa parte do cone z 2 y internaa 2 y 1resp 37 c Faxiyj Séa parte do primeiro octante limitada pelos trés planos coordenados e pela esfera de equacdo 2 y 22 R resp 0 d F viyjzk S a fronteira do sdlido no primeiro octante limitado pelos planos c1 y2e3742y212 resp 511 4 CALCULO DE VARIAS VARIAEIS MARIVALDO P MATOS 5 Seja S a superficie descrita por ruv witvjt 2u vk wt 1 e considere o campo F yi a y k Calcule o fluxo de rotF através de S de duas maneiras primeiro por um calculo direto e depois usando a Férmula de Stokes resp 7 6 Seja S uma esfera que nao passa pela origem Se r ri yj 2k é 0 vetor posicaéo do ponto P xyz mostre que o fluxo do campo F Ilr 3 er através de S é igual a zero se S envolve a origem Qual o valor do fluxo caso a esfera S envolva a origem resp 471 7 Certa curva regular y no plano xz de equacgao z fx a x b gira em torno do eixo z descrevendo uma superficie S Deduza a Formula de Pappus AS 2mLh onde L é 0 comprimento da curva y e h é a distancia do centréide de ao eixo z Qual a drea do cone obtido por rotacao da reta y 34 2 0 a2 3 z 0 em torno do eixo x resp 397vV10 8 Admita a lAmina S homogénea o 1 e calcule o momento de inércia em torno do eixo indicado a S éa porcao do cilindro x y 2x que jaz entre as folhas do cone 2 y 2 eixo a b S é0 tetraedro de vértices A 100 B010 C001 e D000 eixo y c S éaesfera x y 2 R eixo z resp a 102445 b 2 V36 c 87R3 9 Em cada caso encontre o centrodide da lamina homogénea S a S 0 hemisfério z R x y b S éa parte da esfera x y 2 1 interna ao cone z x y c S éa porcao do hemisfério x y z2 4 y 0 externa ao cilindro x y 2 10 Seja S a parte do cilindro 7 y 2x 0 z 1 entre os planos c 2e x 1 Admitaa densidade constante oo e calcule a Amassade S e b O momento de inércia J de S resp a oom b 4o01 4 COMPLEMENTOS EXERCICIOS 3 INTEGRAL DE DE SUPERFICIE 5 11 Mostre que I a y zi yj NgdS 4I onde I representa o momento de inércia com S relacaéo ao eixo z do sdlido com densidade o 1 delimitado por S 12 Calcule o campo eletrostatico na origem devido a uma distribuicdo uniforme de carga sobre o 2rpVR2aR 7 242 pe OA cilindro y R02za resp B Raa k 13 Qual o potencial eletrostatico no ponto 00 z devido a uma distribuicao uniforme de carga sobre ee IrpRV R24 27R4z o hemisfério z R x y resp 2npRV Ri 2 Rt z 14 Considere uma distribuigaéo uniforme de carga elétrica sobre uma esfera S de raio a Mostre que o campo elétrico em um ponto do eixo z interior a S é zero Qual o campo elétrico nos pontos A00z z a Note que o fendmeno ocorre como se toda carga estivesse concentrada no 4napak centro da esfera que é o centro de massa resp 00 z z ASSIM TERMINA CALCULO 8 A distribuicgdo dizse uniforme quando a densidade de carga pp constante