Integrais Curvilíneas

1 Ache a massa de um arame delgado que tem a forma da parábola y x³ 0 x 2 onde sua densidade é δxy x⁶y 2 Calcular o fluxo e a circulação do campo vetorial F xyi yj através da região triangular D de vértices O00 B02 e C22 3 Seja F 4y ln xx i 5zj 11 x² k uma força Encontre o trabalho de F ao longo da curva C representada vetorialmente por rt ti j t²k 1 t e 4 Encontre o comprimento da curva C x t²2 y 26t³3 z 3t 0 t 2 5 Use o teorema de Green para calcular a integral de linha D 3xy dx 2x² dy onde D é a região delimitada pelas curvas y 2x e y x² x com x 0 δxy x⁶y y x³ e 0 x 2 A massa m é dada por m j δxy ds 0² x⁶x³ dydx² dxdx² dx 0² x³ 3x²² 1 dx 0² x³ 9x4 1 dx Fazemos u 9x⁴ 1 dudx 36x³ logo dx du36x³ Daí temos que m 0² x³ 9x⁴ 1 dx 1¹⁴⁵ x³ u du36x³ 1¹⁴⁵ u1236 du u3236 32 1¹⁴⁵ 154 145321 Portanto a massa m é m 154 145145 1 F xyi yj e D a região triangular de vértices 00 02 e 22 a qual representado a seguir diagram with points and shaded triangular region Como é sabido a integral do fluxo de um campo vetorial bidimensional Fxy é dada por Φ F n ds F ndxdt² dydt² dxdt² dydt² dt F n dt em que n dxdt dydt Então fazendo a parametrização de cada curva C da região triangular D teremos que C1 y 2x logo r₁ t 2t com 0 t 2 C2 y 2 logo r₂ 0 2 com 0 t 2 C3 y 0 logo r₃ t 0 com 0 t 2 Portanto os vetores n para cada curva é n₁ ddt t ddt 2t 1 2 e n₃ ddt t 0 10 n₂ ddt 0 ddt 2 00 Então o fluxo de F é na região D o seguinte Φ 02 F n1 dt 02 F n2 dt 02 F n3 dt 02 x y y t 2 t dt 02 F σ dt 02 x y y 10 dt 02 2 t2 2 t t 2 t dt 02 00 t0 dt 02 x t y 0 02 2 t3 9 t2 dt 02 2 t3 4 t3 dt 2 244 43 23 23 93 23 8 1 43 8 73 563 Φ 563 que é o fluxo buscado 2 Agora de terminarmos a circulação de F que é dada por Γ c F dℓ c Fx dx Fy dy Sendo Fx e Fy as componentes de F isto é F Fx i Fy j x y i y j Fx x y e Fy y Com efeito é útil aqui usarmos o Teorema do Green que nos dá Γ c Fx dx Fy dy D Fyx Fxy dA D x y y x y dA D x dA D x dA Γ D x dA E a circulação Γ é dada por Γ D x dA Agora vamos descrever a região D que pode ser posta como 2x y 2 com 0 x 2 Daí ficamos com Γ D x dA 02 2x2 x dy dx 02 x 22x dx 02 2x 2x2 dx 2x22 2x33 02 4 163 16 123 43 Γ 43 e temos o desejado 3 O trabalho de uma força F ao longo de uma curva rt é dado por W ab Frt rt dt em que a e b são os pontos iniciais e finais da trajetória Então como rt t i j t2 k rt i 2 t k e a 1 e b e Ademais temos que rt t i j t2 k xt t yt 1 zt t2 Logo Frt é Frt 4 y ln xx i 5 z j 11 x2 k rt 4 1 lntt i 5 t2 j 11 t2 k Portanto o trabalho será calculado da seguinte forma W 1e 4 lnt t i 5 t2 j 1 1 t2 k i 2 t k dt 1e 4 lnt t 2 t 1 t2 dt 4 1e lntt dt 2 1e t 1 t2 dt temos então que resolver as duas integrais acima Com efeito temos que Para 1e lntt dt fazemos u lnt du 1t dt dt t du Logo segue que 1e lntt dt ln1lne ut t du 01 u du u2201 12 Para 1e t1t2 dt fazemos u1t2 du 2t dt dt du2t Logo segue que 1e t1t2 dt 2e21 tu du2t 12 2 1t2 u12 du 12 u12122 1t2 u122 1t2 1t2 2 Daí segue que o trabalho fica dado por W 4 1e lntt dt 2 1e tt21 dt 4 12 2 1t2 2 2 21t2 22 Portanto o trabalho é W 2 1 1t2 2 4 O comprimento de uma Curva é dado por L c1 ds t0t1 dxdt2 dydt2 dzdt2 dt Em que C é uma curva lisa suave por partes Então para a curva dada temos C x t2 y 263 t32 z 3t dxdt 2t dydt 6 t12 dzdt 3 Portanto como 0 t 2 segue que o comprimento de arco formado pela curva C é L 02 dxdt2 dydt2 dzdt2 dt 02 2t2 6 t122 32 dt 02 4t2 6 t 9 dt 02 t2 64 t 94 dt 02 4 t2 6 t 9 dt 02 4 t 342 274 dt Logo devemos avaliar L 02 4 t 342 274 dt Para tanto fazemos u t 34 que nos dá que du dt e logo obtemos I 4 t 342 274 dt 4 u2 274 du 12 16 u2 27 du Agora fazemos a mudança u 274 tgθ du 274 sec2θ dθ Logo obtemos I 12 16 u2 27 du 12 27 tg2θ 27 274 sec2θ dθ 12 274 27 tg2θ 1 sec2θ dθ 278 sec2θ sec2θ dθ 278 sec3θ dθ 278 sec2θ secθ dθ 278 tg2θ 1 secθ dθ 278 secθ secθ tg2θ dθ 278 secθ secθ sen2θcos2θ dθ 278 secθ dθ 278 sen2θcos3θ dθ Veja será mais fácil partirmos de sec³θdθ Com efeito teremos que I 278 sec³θdθ x 278sec²θsecθdθ 278secθsec²θdθ ddθsecθsec²θdθdθ 278tgθsecθ sec²θtg²θdθ 278tgθsecθ secθ1 sec²θdθ 278tgθsecθ secθdθ sec³θdθ xb Logo veja que de b e c b obtemos que sec³θdθ tgθsecθ secθdθ sec³θdθ Portanto sec³θdθ 12tgθsecθ 12secθdθ 12tgθsecθ 12lnsecθ tanθ Ademais das novas mudanças de variáveis segue que nós temos que u t 37 u 274 tgθ t 37 274 tgθ tgθ 16t 12 427 4t 327 Logo obtemos que tgθ 4t 327 É isso define o seguinte triângulo x² 4t 3² 27² x 4t 3² 27 16t² 24t 9 27 16t² 24t 49 24t² 6t 9 Daí temos então que I 278 θ₁ θ₂ sec³θdθ 27812 tgθsecθ 12 lnsecθ tanθ θ₁ θ₂ 2716 4t 327 24t² 6t 927 ln 24t² 6t 927 4t 327 ₀² 2716 1127237 ln 23727 1127 2716 3272327 ln 627 327 2716 2237 1827 ln 237 1127 279 Ou seja L 2716 2237 1827 ln 237 1127 279 2237 1816 2716 ln 237 119 E o resultado final é L 116 2237 18 27 ln 237 119 5 D 3xy dx 2x2 dy D é a região delimitada por y 2x e y x2 x com x 0 Logo y y 2x 6 3 D O ponto de interseção das curvas é obtido fazendo x2 x 2x x2 3x 0 xx 3 0 x 0 e x 3 O teorema de Green nos diz que CD P dx Q dy D Q x P y dA Logo por inspeção temos que P 3xy e Q 2x2 Daí segue que Q x 4x e P y 3x Assim segue que Q x P y 4x 3x x Agora vamos descobrir a área A em questão Com efeito D é a região dada por 0 x 3 com 2x y x2 x Logo segue que pelo teorema de Green temos que D 3xy dx 2x2 dy D x2x2 y3xy dy dx 03 2xx2 x 4x 3x dy dx 03 2xx2 x x dy dx 03 x 2x x2 x dx 03 x 2x x2 x dx 03 3x2 x3 dx 3x3 3 x4 403 27 814 108 814 274 Portanto D 3xy dx 2x2 dy 274