Análise do Estado Plano de Deformações em Mecânica dos Sólidos II

UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA CURSO DE ENGENHARIA MECÂNICA Disciplina Mecânica dos Sólidos II Prof Koje Daniel Vasconcelos Mishina Estado Plano de Deformações Aplicações 1 Complete o quadro a seguir considerando o Estado Plano de Deformações 𝜀𝑥 𝜀𝑦 ɣ𝑥𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 ɣ𝑚𝑎𝑥 ɵ 1 200 μ 800 μ 1000 μ 2 750 μ 1300 μ 1600 μrad 3 1000 μrad 3000 μ 15 Solução 1 𝜀𝑥 200 𝜇 𝜀𝑦 800 𝜇 𝜀𝑝1 1000 𝜇 Pela invariância de Deformação temos 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 𝜀𝑝2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 200 800 1000 𝜀𝑝2 1600 μ 𝜀𝑝2 𝜀𝑝3 0 𝜀𝑝1 Caso 2 𝐿𝑜𝑔𝑜 ɣ𝑚𝑎𝑥 ɣ𝑝 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 ɣ𝑚𝑎𝑥 1000 1600 ɣ𝑚𝑎𝑥 2600 μrad 𝜀𝑝12 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 2 ɣ𝑝 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 ɣ𝑝 2 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 13002 5002ɣ𝑥𝑦 21200 ɣ𝑥𝑦 2400 μrad 𝑡𝑔2ɵ𝑝 ɣ𝑥𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 ɵ𝑝 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 1200 500 ɵ𝑝 337 2 𝜀𝑥 750 𝜇 𝜀𝑝1 1300 𝜇 ɣ𝑚𝑎𝑥 1600 μrad Analisando os casos possíveis sabendose que 𝜀𝑝1 é positivo podemos recair no caso 2 ou 3 𝜀𝑝2 𝜀𝑝1 𝜀𝑝3 𝐶𝑎𝑠𝑜 1 𝜀𝑝2 𝜀𝑝3 𝜀𝑝1 𝐶𝑎𝑠𝑜 2 𝜀𝑝3 𝜀𝑝2 𝜀𝑝1 𝐶𝑎𝑠𝑜 3 Por eliminação sabendo que ɣ𝑚𝑎𝑥 𝜀𝑚𝑎𝑥 𝜀𝑚𝑖𝑛 Concluimos que se trata do Caso 2 assim ɣ𝑚𝑎𝑥 1300 𝜀𝑝2 1600 1300 𝜀𝑝2 𝜀𝑝2 300 𝜇 Pela invariância de Deformação temos 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 𝜀𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 1300 300 750 𝜀𝑝2 250 μ ɣ𝑝 2 ɣ𝑚𝑎𝑥 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 ɣ𝑚𝑎𝑥 2 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 8002 2502ɣ𝑥𝑦 2760 ɣ𝑥𝑦 1520 μrad 𝑡𝑔2ɵ𝑝 ɣ𝑥𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 ɵ𝑝 1 2 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 760 250 ɵ𝑝 359 3 ɣ𝑥𝑦 1000 μrad 𝜀𝑝1 3000 𝜇 ɵ𝑝 15 𝑡𝑔2ɵ𝑝 ɣ𝑥𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 ɣ𝑥𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑥 𝜀𝑦 ɣ𝑥𝑦 𝑡𝑔2ɵ𝑝 𝜀𝑥 𝜀𝑦 1000 𝑡𝑔215 𝜀𝑥 𝜀𝑦 1732 𝐼 ɣ𝑝 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 2 ɣ𝑝 2 8662 5002 ɣ𝑝 2 1000 Partindo da Equação das Deformações principais temos 𝜀𝑝1 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 2 ɣ𝑝 2 𝜀𝑥𝜀𝑦 2 2 ɣ𝑥𝑦 2 2 𝜀𝑝1 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 ɣ𝑝 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 𝜀𝑝1 ɣ𝑝 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 3000 1000 𝜀𝑥 𝜀𝑦 22000 𝜀𝑥 𝜀𝑦 4000 𝐼𝐼 Pela invariância de Deformação temos 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 𝜀𝑝2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 4000 3000 𝜀𝑝2 1000 𝜇 Portanto se trata do Caso 2 𝜀𝑝3 𝜀𝑝2 𝜀𝑝1 𝐶𝑎𝑠𝑜 3 ɣ𝑚𝑎𝑥 𝜀𝑚𝑎𝑥 𝜀𝑚𝑖𝑛ɣ𝑚𝑎𝑥 𝜀𝑝1 𝜀𝑝3 ɣ𝑚𝑎𝑥 3000 0 ɣ𝑚𝑎𝑥 3000 𝜇rad 𝜀𝑥 𝜀𝑦 1732 𝐼 𝜀𝑥 𝜀𝑦 4000 𝐼𝐼 Somando as equações I e II temos 2𝜀𝑥 5732 𝜀𝑥 2866 𝜇 Substituindo na Eq II temos 𝜀𝑦 4000 2866 𝜀𝑦 1134 𝜇 Círculo de Mohr para o Estado Plano de Deformações Aplicações 1 Dada as deformações específicas e os ângulos para o ponto em um corpo sujeito ao Estado Plano de deformações Use o Círculo de Mohr para determinar os valores desconhecidos para cada problema Solução 1 𝜀𝑝1 600 𝜇 𝜀𝑝2 400 𝜇 𝜀𝑝3 0 𝜀𝑥 𝜀𝑦 ɣ𝑥𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 ɣ𝑝 ɣ𝑚𝑎𝑥 ɵ 1 600 μ 400 μ 1843 2 785 μ 945 μ 1685 3 708 μ 104 μ 341 𝐶 1000 𝑉 𝜀𝑥 ɣ𝑥𝑦 2 𝐻 𝜀𝑦 ɣ𝑥𝑦 2 𝜀𝑝2 𝜀𝑝3 𝜀𝑝1 𝐶𝑎𝑠𝑜 2 ɣ𝑚𝑎𝑥 ɣ𝑝 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2 600 400 1000 μ𝑟𝑎𝑑 𝜀𝑥 100 𝑅 𝑐𝑜𝑠2ɵ𝑝 𝜀𝑥 100 500 cos 21843 𝜀𝑥 500 μ 𝜀𝑦 𝑅 𝑐𝑜𝑠2ɵ𝑝 100 𝜀𝑦 500 𝑐𝑜𝑠21843 100 𝜀𝑦 300 μ Pela invariância de deformação temos 𝜀𝑥 𝜀𝑦 𝜀𝑝1 𝜀𝑝2𝜀𝑦 200 500 𝜀𝑦 300 μ 𝑡𝑔2ɵ𝑝 ɣ𝑥𝑦 2 𝜀𝑥 𝜀𝑦 2 ɣ𝑥𝑦 2 𝑡𝑔2ɵ𝑝 𝜀𝑥𝜀𝑦 2 ɣ𝑥𝑦 2 𝑡𝑔2 1843 500300 2 ɣ𝑥𝑦 600 𝜇rad