Revisão sobre Circuitos Elétricos II e Métodos de Solução

Circuitos Elétricos II Departamento de Engenharia Elétrica DEE Revisão Departamento de Engenharia Elétrica DEE Solução de Redes Método dos nós v1 2 v1v2 5 310 v2 1 v2v1 5 140 v15V v22V Revisão Departamento de Engenharia Elétrica DEE Solução de Redes Método das malhas 426i13i1i20 i16 A i24 A 3i2i14i2100 Revisão Departamento de Engenharia Elétrica DEE Solução de Redes Presença de indutor e capacitor 2ut20it4510 3 dit dt 0 EDO resolvida para um conjunto de condições iniciais 20it4510 3 dit dt 2ut Revisão Departamento de Engenharia Elétrica DEE Solução de Redes Presença de indutor e capacitor vct3ut 210 3 vct 110 3 ict0 ict110 9 d v ct dt 3ut 210 3 vct 210 3 vct 110 3 110 9 d vct dt 0 3 vct 210 3110 9 d vct dt 3ut 210 3 EDO resolvida para um conjunto de condições iniciais LAPLACE Departamento de Engenharia Elétrica DEE Capítulos 12 e 13 Revisão Departamento de Engenharia Elétrica DEE Solução de Redes no domínio do tempo Exemplo Determine tensão no capacitor est 10V para t0 0 para t0 Sejam as seguintes condições iniciais vc00 i00 Malhaest 3 2 it 1 2 dit dt vct0 it1 dvct dt dit dt d2vct dt 2 d2 vct dt 2 3 dvct dt 2 vct2 est EDO Equacionamento Revisão Departamento de Engenharia Elétrica DEE Solução de Redes no domínio do tempo Solução usando transformada de Laplace est 10V parat0 0 parat0 d 2 vct dt 2 3 dvct dt 2 vct2 est Circuito no tempo ℒ 10 s 3 2 I s s 2 Is 1 s I s Circuito em Laplace Is 20 s²3 s2 V cs1 s Is 20 ss ²3 s2 vct1020e st10e 2t ℒ 1 Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Uma função no tempo f t Fs 0 f te st dt f t0 para t0 Fs b0 s mb1s m1b2s m2bm1 sbm a0 s na1 s n1a2 s n2an1 san ℒ f t Na qual s é uma variável complexa sσ j ω Números Complexos Solução de equações do tipo Departamento de Engenharia Elétrica DEE x 24 x50 Usando fórmula de Baskhara x44 2415 21 x 44 2 x 441 2 x 441 2 x211 Definimos a unidade imaginária j1 j 21 x21 j Quantidade real Quantidade imaginária Números Complexos Estendem conceito da reta real A partir da unidade imaginária que satisfaz Plano complexo Vetor no plano Representação cartesiana ou polar Departamento de Engenharia Elétrica DEE Números Complexos Vetor no plano Representação cartesiana ou polar Usando identidade de Euller Departamento de Engenharia Elétrica DEE Observar quadrante quando do cálculo do ângulo Ou Números Complexos Conjugado Complexo Departamento de Engenharia Elétrica DEE São vetores então diferenciar produto de produto interno Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Uma função no tempo f t Fs 0 f te st dt f t0 para t0 Fs b0 s mb1s m1b2s m2bm1 sbm a0 s na1 s n1a2 s n2an1 san ℒ f t Na qual s é uma variável complexa sσ j ω Transformada de Laplace é uma função de uma variável complexa Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Fs é uma função de uma variável complexa caracterizada em termos dos seus polos e zeros Fsb0 s mb1s m1b2s m2bm1 sbm a0 s na1 s n1a2 s n2an1san sσ j ω Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE f t Fs 0 f te st dt Fs b0 s mb1s m1b2s m2bm1 sbm a0 s na1 s n1a2 s n2an1 san ℒ f t f t 1 2π j c j c j Fse st ds ℒ 1 f t Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Exemplos Função degrau f t 0 parat0 A parat0 Assumindo que Res0 Portanto Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Exemplos Função exponencial f t 0 parat0 Ae αt parat0 Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Exemplos Função exponencial Assumindo que Resα Portanto Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Exemplos Função seno f t 0 para t0 A sinωt para t0 Assumindo que Res0 Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Exemplos Função seno f t 0 para t0 A sinωt para t0 Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Exemplos Função coseno f t 0 parat0 A cosωt parat0 ℒ f t As s 2ω 2 Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE f t Fs Propriedades Multiplicação por exponencial e αt f tFsα Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE f t Fs Propriedades Multiplicação por exponencial e αt f tFsα Aplicação da propriedade Asinωt A ω s 2ω 2 Ae α tsinωt A ω sα 2ω 2 Portanto Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Teorema da derivação real df t dt sFsf 0 f t Fs Demonstração Apliquemos integração por partes na integral da definição de transformada de Laplace Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Teorema da derivação real df t dt sFsf 0 f t Fs Demonstração Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Teorema da derivação real Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Transformada inversa Fazse pelo uso de expansão em frações parciais e tabelas e transformadas f t 1 2π j c j c j Fse st ds Fsb0 s mb1s m1b2s m2bm1 sbm a0 s na1 s n1a2 s n2an1 san ℒ 1 f t Transformada de Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Expansão em frações parciais de uma função polinomial Fs b0 s mb1s m1b2s m2bm1 sbm a0 s na1 s n1a2 s n2an1 san Fs sz0sz1szm1 sp0s p1spn1 Fs A0 s p0 A1 s p1 A2 s p2 An1 s pn1 Aks pkFss pk Donde cada Ak chamado de resíduo o polo pk pode ser encontrado a partir de Cada termo da expansão em frações parciais pode ser facilmente observado a partir da tabela de transformadas Obs Existem casos particulares de resíduos por exemplo no caso de polos múltiplos Revisão Departamento de Engenharia Elétrica DEE Exemplo Determine tensão no capacitor est 10V para t0 0 para t0 Sejam as seguintes condições iniciais vc00 i00 Malhaest 3 2 it 1 2 dit dt vct0 it1 dvct dt dit dt d2vct dt 2 d2 vct dt 2 3 dvct dt 2 vct2 est EDO Equacionamento d2 vct dt 2 3 dvct dt 2 vct2 est vct1010e2t20et it20e2t20 et vRtRit30e2t30et vLtL dit dt 20e2t10et vct1010e2t20et it20e2t20 et vRtRit30e2t30et vLtL dit dt 20e2t10et Todas as tensões e correntes est 10V para t0 0 para t0 vct1010e 2t20 e t it20e 2t20e t vRtRit30 e 2t30e t vLtL dit dt 20e2t10 et Resposta Transitória C vct1010e2t20et it20e2t20 et vRtRit30e2t30et vLtL dit dt 20e2t10et vct1010e2t20et it20e2t20 et vRtRit30e2t30et vLtL dit dt 20e2t10et Resposta de Regime permanente vct1010e2t20et it20e2t20 et vRtRit30e2t30et vLtL dit dt 20e2t10et vct1010e2t20et it20e2t20 et vRtRit30e2t30et vLtL dit dt 20e2t10et Para excitações CC a resposta de Regime permanente CC ou seja tempo suficientemente grande O indutor é um curto e o capacitor é circuito aberto Regime permanente CC consiste de redes puramente resistivas pois o indutor é um curto e o capacitor é circuito aberto Exemplo Se excitação CC e queremos analisar apenas regime permanente então o circuito equivalente de regime permanente é Puramente resistivo Circuito Transformado para Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE LKT Somatório das tensões em um percurso fechado é zero v1tv2tvnt0 LKC Somatório das correntes em um nó é zero i1ti2t int0 Aplicando transformada de Laplace em ambos os lados das equações Lv1tv2tvntL0V 1sV 2sV ns0 Li1ti2tintL0I 1sI2sI ns0 Ou seja como transformada de Laplace é uma operação linear as LKT e LKC se mantêm em termos das transformadas de Laplace das tensões e das correntes Circuito Transformado para Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Relação dos sinais de tensão corrente no resistor transformado para Laplace vRtRiRt Lv RtLRiRtV RsR I Rs Definimos impedância como a relação entre os sinais de tensão e corrente transformados para Laplace Z RR Admitância é razão entre corrente e tensão transformados para Laplace Y R 1 R Circuito Transformado para Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Relação dos sinais de tensão corrente no capacitor transformado para Laplace iCtC dvCt dt LiCtLC dv Ct dt ICsC L dv Ct dt ICsC sV Csvc0I CssCV CsCvc0 V Cs 1 sC I Cs1 s vc0 Impedância do Capacitor Zc 1 sC Admitância do Capacitor Y CsC I CssC V CsCvc0 Ou Circuito Transformado para Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Relação dos sinais de tensão corrente no indutor transformado para Laplace vLtL diLt dt Lv LtLL diLt dt V LsL L diLt dt V LsLsI LsiL0V LssLI LsLiL0 V LssLI LsLiL0 Impedância do Capacitor Y L 1 sL Admitância do Capacitor Z LsL I Ls 1 sL V Ls iL0 s Ou Circuito Transformado para Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Relação dos sinais de tensão corrente no indutor transformado para Laplace vLtL diLt dt V LssLI LsLiL0 Y L 1 sL Z LsL iCtC dvCt dt V Cs 1 sC I Cs1 s vc0 Zc 1 sC Y CsC vRtRiRt V RsR I Rs Z RR Y R 1 R Circuito Transformado para Laplace Departamento de Engenharia Elétrica DEE Usando as admitâncias podemos escrever I Ls 1 sL V Ls iL0 s I CssC V CsCvc0 I Rs 1 R V Rs Departamento de Engenharia Elétrica DEE Circuito Transformado para Laplace Exemplo Qual o circuito equivalente transformado para Laplace da rede abaixo considerando que a corrente inicial no indutor é 4A e a tensão inicial no capacitor é 8V Departamento de Engenharia Elétrica DEE Circuito Transformado para Laplace Exemplo Qual o circuito equivalente transformado para Laplace da rede abaixo considerando que a corrente inicial no indutor é 4A e a tensão inicial no capacitor é 8V Quem é a corrente it Departamento de Engenharia Elétrica DEE Circuito Transformado para Laplace Exemplo Qual o circuito equivalente transformado para Laplace da rede abaixo considerando que a corrente inicial no indutor é 4A e a tensão inicial no capacitor é 8V Quem é a corrente it Exemplo Departamento de Engenharia Elétrica DEE Resolva para condições iniciais nulas Exemplo Departamento de Engenharia Elétrica DEE Excitação senoidal Departamento de Engenharia Elétrica DEE Com as seguintes condições iniciais Departamento de Engenharia Elétrica DEE Com as seguintes condições iniciais Excitação senoidal Excitação senoidal Departamento de Engenharia Elétrica DEE Solução Excitação senoidal Todas as tensões e correntes do circuito Excitação senoidal Resposta completa Excitação senoidal Regime permanente No regime permanente todas as variáveis do circuito são senoides com mesma frequência da excitação diferindo apenas as amplitudes e os descolamentos de fase Departamento de Engenharia Elétrica DEE Devido a importância de respostas a entradas senoidais estudaremos uma ferramenta para análise de circuitos no regime permanente senoidal Excitação senoidal Sistemas de Geração CA Máquinas Rotativas Departamento de Engenharia Elétrica DEE Excitação senoidal Sistemas de Geração CA Máquinas Rotativas Excitação senoidal Geração termelétrica Excitação senoidal Geração eólica Excitação senoidal Departamento de Engenharia Elétrica DEE Sistemas fotovoltaicos geram em CC mas podem ser conectados à rede AC Excitação senoidal Sistemas elétricos CA Sistema elétrico de potência Excitação senoidal Transmissão em corrente contínua no Brasil Sistemas HVDC no Brasil High Voltage Direct Current 1 Linhas de Itaipu 1 e 2 com 785 e 805 km de extensão respectivamente Operação parcial iniciada em 1984 e entrada em operação plena a partir de 1987 Duas linhas bipolares em 600 kV com potência total de 6300 MW que conectam a estação retificadora em Foz do Iguaçu no estado do Paraná com tensão CA de 500 kV em 50 Hz à estação inversora em Ibiúna no estado de São Paulo com tensão CA de 345 kV em 60Hz 2 Hidroelétricas de Santo Antônio 3150 MW e Jirau 3300 MW no Rio Madeira afluente do Rio Amazonas em Rondônia estão conectadas ao SIN Sistema Interligado Nacional através de uma linha bipolar em 600 kV em CC que se origina na estação retificadora de Porto Velho e termina após percorrer aproximadamente 2400 km na estação inversora de Araraquara no estado de São Paulo 3 Usina Hidrelétrica de Belo Monte com potência instalada de 11000 MW e localizada na cidade de Altamira no Pará são dois bipolos de 800 kV em corrente contínua destinados a transmissão de energia para o Sudeste com distâncias aproximadas de 2100 e 2500 km respectivamente e que de acordo com as informações disponíveis no ONS 2018c após a entrada em operação plena programada para o ano de 2019 deverá corresponder a 602 do SIN Departamento de Engenharia Elétrica DEE Processamento de Sinais Fourier e teorema da superposição análise de regime permanente resulta em análise no regime permanente senoidal para várias excitações Processamento de áudio por exemplo Excitação senoidal Em regime permanente Em regime permanente Sinais Senoidais Departamento de Engenharia Elétrica DEE xtXmcosωotϕo ytXmsinωotϕo Sinais Senoidais Departamento de Engenharia Elétrica DEE xtXmcosωotϕo ytXmsinωotϕo Podem ser escritos a partir da exponencial complexa ztXme jωotϕo ztXmcosωotϕo j Xmsinωotϕo ωo tϕoradianos ωoT 2π ωorad s T2π ωo Ângulo da exponencial Período Frequência angular f ωo 2πHertz Deslocamento angular inicial ϕorad Amplitude X m Unidade física da grandeza representada Departamento de Engenharia Elétrica DEE ytℑztX msinωotϕo ytℜztXmcosωotϕo ωo tϕoradianos ωorad s T2π ωo f ωo 2πHertz ϕorad X m Unidade física da grandeza representada ytℑztX msinωotϕo ytℜztXmcosωotϕo sinθcosθπ 2 cosθsinθ π 2 Observe que é possível escrever um sinal senoidal qualquer em termos da parte real ou da parte imaginária de uma exponencial complexa Sinais senoidais Representação Fasorial FASOR FASOR Muito útil na combinação linear de senoides de mesma frequência Combinação linear de senoides de mesma frequência Sejam Determine v1t10cos5 πt30 o v2t5cos5 πt π 3 v3t8sin5πt 7π 6 vt10cos5 πt30 o5cos5πt π 3 8sin5πt7 π 6 Sinais senoidais Sinais senoidais Departamento de Engenharia Elétrica DEE Combinação linear de senoides de mesma frequência Sejam v1t10cos5 πt30 o10cos30 ocos5πt10sin30 osin5πt v2t5cos5 πt π 3 5cos π 3 cos5π t5sin π 3 sin5πt v3t8sin5πt 7π 6 8cos7π 6 sin5πt8sin7 π 6 cos5πt v1t53cos5πt5sin5 πt v2t5 2 cos5πt53 2 sin5πt v3t4cos5π t43sin5πt Sinais senoidais Combinação linear de senoides de mesma frequência vtv1tv2tv3t vt535 24cos5πt553 2 43sin5πt v1t53cos5πt5sin5 πt v2t5 2 cos5πt53 2 sin5πt v3t4cos5π t43sin5πt vt716 cos5πt626 sin5πt vt951cos5πt41155 o Sinais senoidais Combinação linear de senoides de mesma frequência usando exponenciais complexas v1t10cos5 πt30 o v2t5cos5 πt π 3 v3t8sin5πt 7π 6 Sejam Determine vtv1tv2tv3t v1t10cos5 πt30 oℜ10e j5 πt30oℜ10e j30oe j 5πt v2t5cos5 πt π 3 ℜ5e j5πt π 3 ℜ5e j π 3 e j 5πt v3t8sin5πt 7π 6 8cos5πt 7π 6 π 2 8cos5πt 2π 3 ℜ8e j5πt 2 π 3 Sejam os cossenos em termos da projeção da exponencial complexa sobre eixo real v3tℜ8e j5 πt 2π 3 ℜ8e j 2π 3 e j 5πt Sinais senoidais Combinação linear de senoides de mesma frequência usando exponenciais complexas vtℜ10e j30 oe j 5πtℜ5e j π 3 e j 5πtℜ8e j 2 π 3 e j5 πt vtℜ10e j 30 o5e j π 3 8e j 2 π 3 e j 5πt vtℜ951e j 41155o e j5 πt vtv1tv2tv3t vtℜ716 j626e j5 πt vt951cos5πt41155 o v1t10cos5 πt30 oℜV 1e j 5πt v2t5cos5 πt π 3 ℜV 2 e j 5πt v3t8sin5πt 7π 6 8cos5πt 7π 6 π 2 8cos5πt 2π 3 ℜV 3 e j5 πt V 110e j 30o V 25e j π 3 V 38e j 2 π 3 vtv1tv2tv3tVV 1V 2V 310e j 30 o5e j π 3 8e j 2π 3 V951e j 41155o Combinação linear dos sinais senoidais se torna combinação linear dos fasores Fasor Departamento de Engenharia Elétrica DEE VV 1V 2V 310e j 30 o5e j π 3 8e j 2π 3 V951e j 41155o vtv1tv2tv3tℜV e j 5πt vt951cos5πt41155 o Representação de senoides por FASOR Projeção de vetor girante sobre eixo real Sinais senoidais xtX mcosωo tϕoℜX e j ωot XX me ϕo Ou projeção de vetor girante sobre eixo imaginário xtX msinωotϕoℑX e j ωot Combinação linear de senoides de mesma frequência usando fasores Departamento de Engenharia Elétrica DEE Sinais senoidais Combinação linear de senoides de mesma frequência usando fasores Departamento de Engenharia Elétrica DEE Soma de vetores complexos Sinais senoidais