Álgebra Vetorial e Geometria Analítica - 10ª Edição

10ª edição Revisada e atualizada Este livro se encontra integralmente no site wwwgeometriaanaliticacombr com acesso gratuito FICHA CATALOGRÁFICA Catalogação na fonte Biblioteca Central UFPR Ilustrações Herica Yamamoto Projeto gráico Diagramação Sincronia Design Gráico Ltda Impressão e acabamento Gráica Infante Edição Livrarias Curitiba VENTURI Jacir J 1949 Álgebra Vetorial e Geometria Analítica Jacir J Venturi 10 ed Curitiba PR 242 p il Inclui Bibliograia ISBN 8585132485 1 Álgebra Vetorial 2 Geometria Analítica I Título ISBN 8585 132485 REF 072 CDD514124 CDD5125 Copyright by Jacir J Venturi 2015 Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si Jacir J Venturi ÍnDice CAPÍTULO 1 NOÇÕES PRELIMINARES 01 Elementos primitivos 20 02 Ponto e reta impróprios 20 CAPÍTULO 2 RELAÇÕES SEGMENTÁRIAS NO ESPAÇO UNIDIMENSIONAL 01 Reta orientada 25 02 Medida algébrica de um segmento 25 03 Razão simples de três pontos 26 04 Divisão áurea 27 05 Abscissas na reta 29 06 Distância entre dois pontos 29 07 Razão simples de três pontos 30 CAPÍTULO 3 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO BIDIMENSIONAL 01 Sistema cartesiano ortogonal 35 02 Sistema cartesiano oblíquo 36 03 Pares ordenados operaçõese igualdade 36 04 Distância entre dois pontos 37 05 Ponto que divide um segmento numa razão dada 39 06 Baricentro de um triângulo 39 07 Sistema polar 41 08 Passagem do sistema polar para o sistema cartesiano ortogonal 44 CAPÍTULO 4 SISTEMAS DE COORDENADAS NO ESPAÇO TRIDIMENSIONAL 01 Sistema cartesiano ortogonal 51 02 Distância entre dois pontos 52 03 Ponto que divide um segmento numa razão dada 53 04 Baricentro do triângulo 53 05 Sistema cilíndrico 57 06 Sistema esférico 60 ÍnDice CAPÍTULO 5 VETORES 01 Sinopse histórica 51 02 Grandezas escalares e vetoriais 64 03 Deinições etimologia e notações 64 04 Paralelismo de vetores 67 05 Multiplicação de um vetor por um escalar 68 06 Coplanaridade de vetores 70 07 Adição de vetores 70 08 Subtração de vetores 72 09 Combinação linear de vetores 77 10 Expressão cartesiana de um vetor 77 11 Condição de paralelismo de dois vetores 79 12 Condição de coplanaridade de vetores 84 13 Combinação linear de quatro vetores 87 14 Ângulo de dois vetores 89 15 Multiplicação interna ou escalar 90 16 Expressão Cartesiana do produto escalar 97 17 Multiplicação vetorial ou externa 104 18 Área de um paralelogramo e de um triângulo 111 19 Multiplicação Mista 115 20 Dupla mltiplicação vetorial 121 CAPÍTULO 6 VETORES APLCAÇÕES GEOMÉTRICAS CLÁSSICAS 01 Projeção de um vetor sobre o outro vetor128 02 Projeção de um ponto sobre um plano 132 03 Distância de ponto a plano 135 04 Distância de ponto a reta 137 05 Distância entre duas retas 139 06 Área de um triângulo 142 07 Área da projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano 144 08 Área da projeção não ortogonal de um triângulo sobre um plano 145 09 Cossenos diretores de um vetor 148 ÍnDice CAPÍTULO 7 O PLANO NO E3 01 Equação do plano 157 02 Pertinência de um ponto a plano 160 03 Interseção de um ponto a plano com os eixos cordenados 160 04 Equação de um plano com os eixos coordenados 160 05 Equação do plano que passa por um ponto e ortogonal a um vetor 164 06 Casos particulares da equação geral do plano 166 07 Paralelismo e ortogonalidade de dois planos 171 08 Equação do feixe de dois planos 176 09 Distância de um PO a um plano a 179 10 Equação dos planos bissetores 182 11 Ângulo de dois planos 183 CAPÍTULO 8 A RETA NO E3 01 Equações da reta 187 02 Posições relativas de duas retas 198 03 Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas 199 04 Condição de coplanaridade de duas retas 202 05 Interseção de reta e plano 205 06 Interseção de duas retas 206 07 Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano 210 08 Distância de um ponto a uma reta 216 09 Distância entre duas retas reversas 218 10 Ângulo de duas retas 220 11 Ângulo de uma reta com um plano 221 APÊNDICE RECR ANDO 224 O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica que fosse acessível ao aluno do 1 ano da Faculdade e para tanto sua linguagem teria que ser tão clara e didática quanto possível Por ve zes preferiuse a apresentação intuitiva aos refi namentos teóricos Contém 421 exercícios com seus subitens em ordem crescente de dificuldade Para uma boa assimilação do texto resolveremos diver sos exercícios em aula deixando os demais a cargo do aluno Proposi talmente não se inseriram no texto exercícios resolvidos afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria para uma maior valorização da aula enlevando a interação alunoprofessor O aluno deve ter em mente que à resolução dos exercícios deve preceder um bom conheci mento da teoria Um grande número de ilustrações facilita o entendimento do tex to e é imprescindível quando se almeja a formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional Há sinopses históricas indica ções de aplicabilidade prática e sugestões para a resolução de exercí cios no intuito de motivar o aluno naquilo que está estudando Os quatro primeiros capítulos integram o programa da Geome tria Analítica na UFPR e foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina reta plano cô nicas superfícies etc Os capítulos 5 e 6 tratam de vetores Há inúmeros caminhos para a resolução de problemas geométricos através da Álgebra porém o tra tamento vetorial é o mais indicado pela sua elegância e simplicidade além de ser assaz importante a outras disciplinas A um bom rendimento escolar em Geometria Analítica com enfoque vetorial atrelase um res peitável conhecimento dos capítulos 5 e 6 Há que se tomar público que face à nossa formação acadêmica e relacionamento profi ssional o presente trabalho recebeu preponderante infl uência do livro Geometria Analítica e Vetores do Professor Leo Bar sotti que recomendamos a todos os alunos que aspiram a um aprofun damento e a um maior rigor no assunto Ademais cumprimos o elementar dever de gratidão pelo despren dimento com que os professores Florinda Miyaòka Osny A Dacol Ana prefácio 9 prefácio Maria N de Oliveira Luci C Watanabe e Ivo J Riegler se dispuseram a ler o manuscrito e apresentar sugestões O mesmo preito de gratidão estendemos à plêiade de colegas e amigos do Depto de Matemática da UFPR que nos propiciaram uma convivência de crescimento na discipli na em mais de quatro lustros Críticas e sugestões hão de surgir E serão bemvindas Restanos o consolo de ter envidado esforços para empregar utilmente o nosso tempo A censura que nos for feita se faz oportuno Souza Pinto há de ser mitigada pelo censor se ele chegar a ter consciência de nossa boa vontade em acertar O Autor 10 Prezado Universitário Tinha 12 anos quando assisti à demonstração de um teorema de Geometria e senti uma espécie de vertigem Pa recia que estava descobrindo um mundo de infi nita harmo nia Não sabia então que acabava de descobrir o universo platônico com sua ordem perfeita com seus objetos eternos e incorruptíveis de uma beleza perfeita e alheia a todos os vícios que eu acreditava sofrer Assim apesar de minha vo cação ser a de escrever ou pintar fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantástica Neste excerto de entrevista de 1987 o renomado escritor argen tino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômios à Geo metria e por extensão à Matemática um mundo de infi nita harmonia Este é o sentimento que nós professores devemos transmitir aos alunos de boa vontade A didática de um lado cobra do professor a sensibilidade para perceber o nível da classe e a partir daí iniciar o seu trabalho que o pro fessor dispa a postura hermética e estanque do ensino à base de quadro negro giz e salivação que induza o seu discípulo a apreciar a Matemá tica como disciplina autônoma abstrata e concomitantemente utilitária em diversos setores De outro lado fazse mister que o aluno perceba o seu papel no processo assumindo uma postura dinâmica e participativa Não basta ao aluno sentarse em sala de aula e ouvir a explicação do pro fessor É impossível aprender a jogar tênis apenas assistindo de cama rote Assim também com a Matemática é necessário treino exercícios e efetiva participação pessoal A Matemática é uma disciplina que propicia o encetamento e a formação do raciocínio E para a maioria das atividades profi ssionais que exigem o nível universitário é o raciocínio a principal ferramenta de trabalho Mesmo profi ssionais que não a utilizam reconhecem que a Matemática enseja o apanágio da lógica da têmpera racional da mente e da coerência do pensamento Acreditamos que o estímulo ou o desestímulo pela Matemática ocorre a nível do Ensino Fundamental A esse nível tal como uma es apresentação 11 apresentação trutura geológica os conhecimentos matemáticos se sedimentam e se estratificam Disso resulta como maior legado o entendimento e a mo tivação pela disciplina no Ensino Médio Este embasamento represen ta a conditio sine qua non para um bom rendimento na Faculdade Isto posto a carência de tal embasamento leva a obstáculos que podem ser transpostos na interação alunoprofessor A nós professores importa a sensibilidade à percepção de tais dificuldades bem como a disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário É frustrante ob servar que em certos cursos em especial noturnos o índice de desis tência atinge 30 até ou logo após a primeira avaliação Se consciente da sofrível formação anterior cabe ao universitário novel a busca junto aos livros professores e colegas Atirar pedras no passado pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio não leva a nada O importante afirma JeanPaul Sartre não é o que fizeram de nós mas o que fazemos do que fizeram de nós Ao ingressar na Universidade o calouro sentese perplexo e de samparado Há no sistema educacional brasileiro uma dicotomia entre o Ensino Médio e a Faculdade Enfatizamse demonstrações teoremas e abstrações aqui e quase nada lá Cobrase autodidatismo e raciocínio na Faculdade de quem cursou salvo exceções um Ensino Médio pre ponderantemente à base de memorizações e expedientes similares Tal procedimento argumenta Valmir Chagas desenvolve uma estranha metodologia de perguntas e respostas tipificadas e gera maus hábitos de estudo É uma ledice enganosa transferir a metodologia de ensino dos cursinhos ao Ensino Médio Cabe à comunidade universitária a consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro Não é só fazse mister uma postura críti ca e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas Se tal situação não é apanágio do momento atual e sim tão antiga quanto o próprio Brasil a ressalva cabe ao conformismo apático e ao fatalismo de aceitar as coisas como estão e como sempre foram É papel precípuo da Universidade e lhe cabe a iniciativa promover econômica e socialmente a comunidade Esta geralmente não tem cons ciência de seus próprios problemas e muito menos de como resolvêlos O Autor 12 sinopse HistÓrica Foi extraordinário o incremento dado à Geometria Plana e Espacial pelos matemáticos helenísticos Pitágoras 560500 aC Euclides c 325c 265 aC Arquimedes 287212 aC Apolônio de Perga 262190 aC Com estes ecléticos sábios a Matemática deixa seu caráter meramente intuitivo e empírico egípcios e babilônios e se assume como disciplina racio nal dedutiva e lógica a partir da criação de dei nições axiomas postulados e teoremas Pitágoras fundou no sul da Itália na Ilha de Crotona a Escola Pitagórica a quem se concede a glória de ser a primeira universidade do mundo Foi uma entidade parcialmente secreta envolta em lendas com centenas de alunos Estudavam Matemática Astronomia Música e Religião Embora se suspeite da autenticidade histórica contase que Pitágoras te nha praticado uma hecatombe sacrifício de cem bois comemorando a de monstração do seu célebre teorema a2 b2 c2 Consta que uma grande celeuma instalouse entre os discípulos de Pitá goras a respeito da irracionalidade do 2 Utilizando a notação algébrica a equação x2 2 não admitia solução numérica para os pitagóricos pois estes só conheciam os números racionais Dada a conotação mística dos números comentase que quando o infeliz Hipasus de Metapontum propôs uma solu ção para o impasse os outros discípulos o expulsaram da escola e o afogaram no mar Euclides fundou a Escola de Matemática na renomada Biblioteca de Ale xandria Todos os grandes geômetras da Antiguidade como Euclides Arquime des Eratóstenes Apolônio Papus Diofanto Cláudio Ptolomeu Teon de Ale xandria Hipátia etc debruçaramse sobre os vetustos e novéis pergaminhos e papiros da grande biblioteca A sua destruição talvez tenha representado o maior crime contra o saber em toda a história da humanidade Em 48 aC envolvendose na disputa entre a voluptuosa Cleópatra e seu irmão o imperador Júlio César manda incendiar a esquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria O fogo se propaga até as dependências da Biblioteca queimando cerca de 500000 rolos Restaram aproximadamente 200000 rolos Em 640 dC o califa Omar mandou que fossem queimados todos os livros da Biblioteca sob o argumento que ou os livros contêm o que está no Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lêlos 13 sinopse HistÓrica A mais conspícua obra de Euclides Os Elementos c 300 aC constitui o mais notável compêndio de Matemática de todos os tempos com mais de mil edições desde o advento da imprensa a primeira versão impressa de Os Elementos apareceu em Veneza em 1482 Tem sido segundo George Simmons considerado como responsável por uma inluência sobre a mente humana maior que qualquer outro livro com exceção da Bíblia A Biblioteca da Alexandria estava muito próxima do que se entende hoje por Universidade E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B Boyer em a História da Matemática A Universidade de Alexandria evidentemen te não diferia muito de instituições modernas de cultura superior Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela sua capacidade de ensinar Pelos relatos que possuímos parece que Euclides deinitivamente pertencia à última categoria Nenhuma descoberta nova é atribuída a ele mas era conhecido pela sua habilidade ao expor Essa é a chave do sucesso de sua maior obra Os Elementos A genialidade de Arquimedes como físicomatemático só é comparável com Isaac Newton no século XVIII Pelas concretas ou supostas obras de Enge nharia foi um precursor de Leonardo da Vinci Sua produção é completamente original e muito vasta incluindo Geometria Plana e Sólida Astronomia Aritmé tica Mecânica e Hidrostática Nasceu na Sicília na cidade grega de Siracusa Quando jovem estudou em Alexandria o templo do saber da época com os discípulos de Euclides Suas invenções engenhosas suas máquinas de caráter utilitário e bélico o memorizaram através dos séculos por historiadores romanos gregos bizan tinos e árabes Arquimedes no entanto considerava seus engenhos mecânicos como fa tor episódico e que de certa forma tiravam a dignidade da ciência pura Sua mentalidade não era a de um engenheiro mas sim a de um matemático Alguns de seus feitos são clássicos e conhecidos mas merecem ser relem brados Por descrição de Vitrúvio conhecemos a história da coroa da rei Herão Este havia encomendado a um ourives uma coroa de ouro puro Uma vez pron ta o desconiado rei Herão solicitou a Arquimedes que analisasse a coroa e diri misse a dúvida era a coroa de ouro puro ou feita de uma amálgama com prata Quando tomava banho Arquimedes observou que à medida que seu corpo mergulhava na banheira a água transbordava Foi o insight para resolver o problema Conta a historiador Vitrúvio que Arquimedes eufórico teria saído pe las ruas completamente nu gritando Eureka eureka que signiica Achei achei 14 sinopse HistÓrica Refeito do vexame Arquimedes comprovou que houve fraude por parte do ouvires Destarte tomou dois recipientes cheios de água e num recipiente imergiu um bloco de ouro e noutro recipiente um bloco de prata Como am bos os blocos continham o mesmo peso que a coroa comprovou a fraude pois constatou que os blocos deslocavam quantidades diferentes de água Deste fato decorre o princípio de Arquimedes lei básica da Hidrostáti ca Todo corpo mergulhado num luido recebe um impulso de baixo para cima igual ao peso do volume do luido deslocado Paradoxalmente Arquimedes era muito negligente em termos de asseio pessoal Lêse em Plutarco que Arquimedes era por vezes levado à força para banharse ou passar óleo no corpo que costumava traçar iguras geométricas nas cinzas do fogo e diagramas no óleo de seu corpo estando em um estado de preocupação total e de possessão divina no sentido mais verdadeiro por seu amor e deleite pela ciência Na 2ª Guerra Púnica contra a poderosa razia do exército e marinha ro manos comandados pelo Cônsul Marcelo a sagacidade de Arquimedes criou aparatos devastadores Marcelo inligiu um cerco de 3 anos e em 212 aC a cidade de Siracusa rendeuse Adentrandose às muralhas de Siracusa as hostes romanas promoveram a pilhagem seguida de uma sangrenta matança Um soldado aproximouse de um encanecido senhor de 75 anos que indiferente à chacina desenhava diagramas na areia e absorto balbuciou Não toque nos meus círculos O sol dado enraivecido transpassouo com a espada Foram as derradeiras palavras de Arquimedes A maior grandeza se manifesta na Matemática Arquimedes em um círculo dado inscreveu e circunscreveu um polígono de 96 lados e obteve a fórmula para o cálculo da área do círculo e por muitos séculos o mais acertado valor para p 310 71 310 70 π Uma metodologia absolutamente precisa para se calcular o valor de p surgiu em 1671 como consequência da série de James Gregory π 4 1 1 3 1 5 1 7 Por essa série o francês De Lagny em 1719 calculou as 112 primeiras casas decimais de p e em 1873 o inglês W Shanks chegou manualmente a 707 casas contase que teria levado 5 anos para a execução dos cálculos 15 A letra p é a inicial da palavra grega perijereia que signii ca pe riferia circunferência Sabemos que p 31415926535 é um número irracional Arquimedes deu o tiro de largada de uma longa maratona e ao mesmo tempo o estudo do p propiciou notáveis avanços em diversos capítulos da Matemática A i ta de chegada para o cálculo de p por meio de polígonos ins critos e circunscritos em uma circunferência se deu em 1605 quando o matemático holandês Ludolph van Ceulen calculou o p com 35 casas decimais começou com um polígono de 15 lados e dobrou o número de lados 37 vezes OBSERVAÇÃO Arquimedes demonstrou que a área contida por um parábola Sp e uma reta transversal é 43 da área do triângulo S com a mesma base e cujo vértice é o ponto onde a tangente à parábola é paralela à base S S P 4 3 Em seus trabalhos de geometria sólida encontramos pela primeira vez as fórmulas corretas para as áreas da superfície esférica S 4pR2 da calota esfé rica 2pRh e para os volumes da esfera 4 3 πR3 e do fuso esférico 2 3 3 R α O ilustre siracusano tratou de forma exaustiva sobre o centro de gravidade de i guras sólidas e planas Obteve a área de uma elipse S pab e descreveu sólidos de revolução gerados por parábolas elipses e hipérboles em torno de seus eixos quádricas de revolução Descreveu a curva hoje conhecida como Espiral de Arquimedes em coor denadas polares têm equação r kθ e pela primeira vez determina a tangente a uma curva que não seja o círculo De forma inédita Arquimedes apresenta os primeiros conceitos de limites e cálculo diferencial Apolônio de Perga parece terse considerado um cordial rival de Arqui medes e muito pouco se sabe de sua vida Supõese ter sido educado em Alexandria e por algum tempo ter ensinado em sua Universidade Graças ao apoio de Lisímaco general de Alexandre transferiuse para Pérgamo donde sinopse HistÓrica 16 vem a palavra pergaminho onde havia uma Biblioteca e uma Universidade só inferiores às de Alexandria Apolônio e não Euclides mereceu dos antigos o epíteto de o Grande Geômetra e isto pode nos parecer inaceitável A verdade é que não se pode questionar o mérito de ambos Euclides tornouse sinônimo de Geometria por sua amplamente conhecida obra Os Elementos enquanto a maior parte das obras de Apolônio desapareceram O que sabemos dessas obras perdidas devemos a Pappus de Alexandria século IV dC que fez uma breve descrição de sua monumental produção matemática Inferese que os tratados de Apolônio continham uma Matemá tica bastante avançada e inclusive muito do que conhecemos hoje como Geo metria Analítica Para gáudio de todos porém o tratado As Cônicas sobre seções cônicas suplantou todas as obras existentes na Antiguidade O tratado As Cônicas é composto de oito livros sete dos quais sobreviveram É inegável a inluência de Apolônio sobre Isaac Newton Ptolomeu tabelas trigonométricas sistemas de latitude e longitude Kepler os planetas descre vem órbitas elípticas em torno do Sol com o Sol ocupando um de seus focos Galileu a trajetória de um projétil é uma parábola Sabemos que a Geometria Analítica faz uma simbiose da Geometria com a Álgebra Face ao exposto concluímos que os gregos promoveram um ex traordinário incremento à Geometria No entanto como não dispunham de uma notação algébrica adequada a Matemática grega teve o seu ocaso com Apolônio A Álgebra podemos airmar de forma concisa possui uma dupla paterni dade Diofanto e AlKhowarizmi Diofanto de Alexandria viveu no século III dC e sua principal obra foi Aritmética tratado que originalmente era composto de treze livros dos quais só os seis primeiros se preservaram O principal mérito da Aritmética é a utili zação de notações ou seja de uma linguagem mais sincopada mais simbólica para a Matemática Por seu turno AlKhowarizmi viveu por volta de 800 dC na cidade de Bagdá que emerge como uma nova Alexandria Sua principal obra AlJabr deixou marcas indeléveis em toda a Europa AlJabr recebeu a forma latinizada Algebrae Álgebra Em árabe AlJabr signiica numa tradução mais livre deslocação e parece referirse à transposição de termos subtraídos para o outro lado da equação Os símbolos 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 tiveram notável receptividade na Europa através da obra de AlKhowarizmi Daí serem denominados algarismos arábicos mas que a bem da verdade são de origem hindu Fulcrado nos geômetras gregos e no desenvolvimento da Álgebra em toda a Europa Pierre de Fermat concluiu em 1629 o manuscrito Ad locos planos et sinopse HistÓrica 17 solidos isagoge Introdução aos lugares planos e sólidos Para a maioria dos historiadores tal manuscrito representa o marco zero da Geometria Analítica É curioso observar que Fermat não era um matemático Estudou Direito em Toulouse na França e aí exerceu o cargo de advogado e conselheiro do parlamento Fermat tinha a Matemática como um hobby e mesmo assim foi considerado por Pascal o maior do seu tempo Dedicouse aos pensadores clássicos e à Matemática grega e segundo Carl B Boyer a obra As Cônicas de Apolônio foi uma das obras favoritas de Fermat Coube a Pierre de Fermat 16011665 a descoberta das equações da reta e da circunferência e as equações mais simples da elipse da parábola e da hi pérbole Aplicou a transformação equivalente à atual rotação de eixos para re duzir uma equação do 2º grau à sua forma mais simples É cristalina em Fermat a percepção de uma Geometria Analítica a três dimensões mas se o problema proposto envolve três incógnitas devese achar para satisfazer a equação não apenas um ponto ou uma curva mas toda uma superfície É oportuno observar que a usual denominação sistema cartesiano Car tesius é a forma latinizada de Descartes é anacrônica historicamente pois sua obra não contém eixos perpendiculares eixos oblíquos tampouco a equação de uma reta Por mérito o sistema cartesiano deveria denominarse sistema fermatiano No entanto Descartes que para sempre será lembrado como grande i lósofo superou Fermat pela utilização de uma notação algébrica mais prática Muito deve a Geometria Analítica tridimensional a Leonhard Euler 1707 1783 Euler nasceu na Basiléia Suíça e recebeu uma educação bastante eclética Extremamente profícuo insuperável em produção matemática Euler escrevia uma média de 800 páginas por ano Em plena atividade intelectual morreu aos 76 anos sendo que os últimos 17 anos passou em total cegueira consequência de catarata Mesmo assim continuou ditando aos seus ilhos eram 13 A partir de meados do século XIX desenvolveuse o conceito de Espaço de 4 5 n dimensões Em 1854 o jovem matemático alemão Bernhard Riemann desenvolveu a ideia de uma Geometria Quadridimensional Albert Einstein em 1915 mostrou que o nosso universo embora pareça E3 é na verdade E4 Ele dava o primeiro passo para se perceber a variedade espaçotemporal do universo Cada um dos pontos do universo é determinado por três coordenadas espaciais que especi icam sua posição e uma quarta temporal que determina o tempo Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento à Geometria Plana e Espacial mas não dispunham de uma notação algébrica ou simbologia adequadas sinopse HistÓrica 18 Até o século XVI toda a expressão matemática se fazia de uma forma excessivamente verbal ou retórica Por exemplo em 1591 Viète para representar a equação quadrática 5A2 9A 5 0 escrevia em bom latim 5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0 5 em A quadrado e 9 em A plano menos 5 é igual a zero Assevera o matemático alemão Herman Hankel 18391873 Na maior parte da ciências uma geração põe abaixo o que a outra construiu e o que uma estabeleceu a outra desfaz Somente na Matemática é que uma geração constrói um novo andar sobre a antiga estrutura Como na formação de uma estrutura geológica as descobertas matemáticas se sedimentam e se estra tiicam ao longo dos séculos Entretanto não se inira que a Matemática é uma ciência estática e sim em contínua evolução As formulações inicialmente tênues e difusas percorrem um espinhoso caminho até atingir a magnitude de seu desenvolvimento Apropriadamente já se deiniu a Matemática como a rainha e a serva de todas as ciências E o apanágio de sua majestade é o rigor a lógica a harmo nia e sua linguagem precisa universal e sincopada Após este epítome histórico adentremos entusiasticamente ao mundo maravilhoso da Geometria Um mundo de ininita harmonia nas palavras do poeta Que faz Deus pergunta o discípulo Deus eternamente geometriza responde sabiamente Platão Do Autor sinopse HistÓrica 19 CAPÍTULO 1 ELEMENTOS PRIMITIVOS A Geometria Euclidiana admite como elementos primitivos os pontos as retas e os planos Notação PONTOS letras latinas maiúsculas Ex A B C P Q RETAS letras latinas minúsculas Ex a b c r s t PLANOS letras gregas minúsculas Ex a β γ p 2 PONTO E RETA IMPRÓPRIOS Ponto impróprio Se duas retas r e s são paralelas entre si então elas têm a mesma di reção ou o mesmo ponto impróprio O ponto impróprio da reta s pode ser imaginado como o ponto no ini nito de s e é o mesmo para todas as retas que são paralelas a s será indicado por P Reta imprópria Se dois planos a e β são parale los então têm a mesma jacência ou a mesma reta imprópria A reta impró pria de a pode ser imaginada como a reta no ini nito desse plano e é a mesma para todos os planos parale los a a será indicada por r noçÕes preLiMinares 1 a β 20 álgebra vetorial e geometria analítica Chamase ponto próprio o ponto na sua acepção usual Assim duas retas concorrentes têm em comum um ponto próprio Analo gamente dois planos concorrentes se interceptam segundo uma reta própria Cada reta própria tem um único ponto impróprio Em cada plano existe uma única reta imprópria A reta imprópria é constituída exclusi vamente de pontos impróprios Duas retas impróprias têm em comum um único ponto impróprio Todos os pontos e retas impróprios do espa ço pertencem a um único plano impróprio OBSERVAÇÃO Histórias pitorescas sempre têm um pouco de fantasia principal mente quando se reportam a homens bemsucedidos Contase que na Universidade de Harvard havia um professor de Matemática extremamente rigoroso Na última avaliação do ano elaborou uma prova muito difícil e lan çou um desafi o a seus alunos se um de vocês tirar nota 10 nesta prova peço demissão da Universidade e serei seu assessor Era seu aluno um fedelho de 17 anos no entanto brilhante nessa disciplina considerada a rainha e serva de to das as ciências Obteve nota 95 Até hoje o nosso caro professor lamenta ter sido tão exigente Perdeu a oportunidade de se tornar um dos ho mens mais ricos do Pla neta Em tempo o aluno se chamava Bill Gates O professor arrependido freepickfreepickvectoropenstock 21 Jacir J Venturi História da Matemática O problema da quadratura do círculo Foi proposto inicialmente por Anaxágoras 499428 aC Aprisionado em Atenas por suas ideias muito avançadas para a época afi rmara que o Sol não era uma divindade mas uma grande pedra incandescente maior que o Pelopo neso península do sul da Grécia e que a Lua não tinha luz própria e a recebia do Sol Anaxágoras foi professor de Péricles 490429 aC que o libertou da prisão Ademais exerceu forte infl uência no primeiro dos três grandes fi lósofos Sócrates Platão Aristóteles Problema da Quadratura do Círculo dado um círculo construir um qua drado de mesma área Como os gregos desconheciam as operações algébricas e priorizavam a Geometria propunham solução apenas com régua sem escala e compasso No século XIX demonstrouse que nestas condições este problema é irresolúvel A solução é trivial se lançarmos mão dos recursos da Álgebra R R π l S S pR2 2 Admitamos por exemplo R 3 p32 2 3 π ou 531 ou seja se o problema da quadratura do círculo não apresenta solução ge ométrica nos moldes propostos pelos matemáticos helênicos a solução é tivial com os recursos advindos da Álgebra 22 álgebra vetorial e geometria analítica História da Matemática Problema da duplicação do cubo ou problema deliano Durante o cerco espartano da Guerra do Peloponeso conta uma lenda que em 429 aC uma peste dizimou um quarto da população de Atenas matando inclusive Péricles Dizse que uma plêiade de sábios fora enviada ao oráculo de Apolo em Delos para inquirir como a peste poderia ser eliminada O oráculo respondeu que o altar cúbico de Apolo deveria ser duplica do Os atenienses celeremente dobraram as medidas das arestas do cubo 2a a A peste em vez de se amainar recrudesceu Qual o erro Em vez de dobrar os atenienses octoplicaram o volume do altar Veja o exemplo considerando o Vcubo a3 para a 1 Vcubo 13 1 para a 2 Vcubo 23 8 A complexidade do problema devese ao fato de que os gregos procura vam uma solução geométrica E mais um complicador com régua sem escala e compasso Ainda no século IV aC o geômetra grego Menaecmus que juntamente com Platão foi professor de Alexandre o Grande resolveu o problema com o traçado de uma parábola e de uma hipérbole Hodiernamente tal solução é facilmente compreensível através da Geometria Analítica Menaecmus obteve geometricamente o ponto de interseção da parábola x2 2y com a hipérbole xy 1 A solução é x 3 2 Foi relativo o sucesso de Menaecmus entre os seus compatriotas não se valeu de régua sem escala e compasso apenas 23 Jacir J Venturi História da Matemática A solução deste problema é trivial com os recursos da Álgebra procurase a aresta a de um cubo cujo volume seja o dobro do volume de um cubo de a 1 Vcubo a3 cálculo de a a3 2 13 a 2 1 26 3 Conclusão um cubo de a 2 1 26 3 m tem o dobro do volume de um cubo cuja aresta seja 1 m Inferese que os dois problemas clássicos da Geometria quadratura do círculo e duplicação do cubo têm solução trivial por meio da Álgebra Em 1837 o francês Pierre L Wantzel demonstrou que o problema deliano não admite solução com uso de régua e compasso apenas Com somente 23 anos Wantzel engenheiro da prestigiosa Ecole Polytechni que pôs i m às discussões de quase dois milênios Em seu excelente Livro O Romance das Equações Algébricas ed Makron Books Gilberto G Garbi descreve que esta limitação de apenas dois instrumentos espe lhava o conceito de elegância com que os gregos tratavam das questões geométricas e também a ação tipicamente helênica que eles nutriam pelos desai os intelectuais independentemente de qualquer utilidade prática do autor OBSERVAÇÃO 24 CAPÍTULO 25 reLaçÕes seGMentárias no espaço UniDiMensionaL 2 O matemático e astrônomo alemão Möbius 17901868 foi quem ado tou a convenção de sinal às medidas de distâncias ângulos áreas e volumes 1 RETA ORIENTADA Uma reta é orientada se estabe lecermos nela um sentido de percurso como positivo o sentido contrário é negativo O sentido positivo é indicado por uma seta Uma reta orientada tam bém é chamada de eixo 2 MEDIDA ALGÉBRICA DE UM SEGMENTO Sejam dois pontos A e B pertencentes a uma reta orientada r A medida algébrica do segmento i nito e orientado AB é um número real positivo se sua orientação for concordante com o sentido positivo da reta e é um número real negativo em caso contrário O número real que é a medida algébrica do segmento AB é representado por AB Ao eixo se associa uma unidade de com primento u Exemplo AB 4u onde A é origem e B extremidade BA 4u onde B é origem e A extremidade Os segmentos orientados AB e BA têm respectivamente medidas algébri cas iguais a 4 e 4 Então AB BA 0 ou AB BA 26 Jacir J Venturi 3 RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS Definição Dados os pontos A B e P de uma reta r denominamos razão simples desses pontos nessa ordem ao quociente AP BP que é simbolizado por ABP Assim ABP AP BP Se ABP k diremos que P divide o segmento AB na razão k OBSERVAÇÃO Sinal A razão simples ABP será positiva se o ponto P for externo ao segmento i nito AB Se interno a razão será negativa Assim Exemplos 1 ABC AC BC 3 1 3 O ponto C divide o segmento AB na razão simples igual a 3 2 PQA PA QA 6 2 3 O ponto A divide o segmento PQ na razão simples igual a 3 27 álgebra vetorial e geometria analítica Casos particulares 1 Se P A a razão simples é nula P A B r ABP AP BP BP 0 0 2 Se P M ponto médio a razão simples é igual a 1 ABP AP BP AP AP 1 4 DIVISÃO ÁUREA Definição Um ponto P divide um segmento AB em média e extrema razão se AP2 AB PB Dizse também que AP é o segmento áureo de AB Não prescindindo do rigor matemático devese apresentar uma se gunda relação para o segmento áureo PB2 AB AP OBSERVAÇÃO Cálculo Dado o segmento AB a calcular o seu segmento áureo AP x 28 Jacir J Venturi AP2 AB PB x2 a a x ou x2 ax a2 0 Resolvendo a equação do 2º grau para a incógnita x x a a 5 2 Em problemas geométricos adotase a solução positiva x a a a 5 2 0 618 Epítome histórico Na história da humanidade o assunto em epígrafe sempre me receu a atenção de matemáticos artistas arquitetos etc pois for nece as medidas de um retângulo na proporção mais estética Para tanto basta preixar a base a e calcular a sua altura h 0618 a É o retângulo áureo Este é encon trado no frontispício do Paternon de Atenas 5º século aC na pirâmide de Quéops em pinturas de Leonardo da Vinci em grandes catedrais da Idade Média e hodiernamente em projetos do renomado arquiteto francês Le Corbusier Também a sábia natureza como se observa em plantas animais e em medidas do corpo humano Recebeu o epíteto de sectio divina secção divina e Johannes Kepler 15711630 não se conteve a geometria tem dois tesouros Um é o teorema de Pitágoras e o outro é a divisão áurea O historiador grego Heródoto relata que os sacerdotes egípcios lhe ha viam dito que as dimensões da pirâmides de Giseh haviam sido escolhidas de maneira que metade do comprimento da base e a altura da face triangular formassem a divisão áurea 29 álgebra vetorial e geometria analítica O pentagrama estrelado ao lado i gurado representou a insígnia dos pitagóricos o sím bolo da saúde para os gregos e aparece hoje frequentemente em bandeiras cartazes etc Observe que AB AC AD AC AE AD ED AE 0 618 divisão áurea 5 ABSCISSAS NA RETA O ponto O origem divide o eixo r em duas semirretas onde a semirre ta positiva é indicada pela seta É negativa a outra semirreta Ao eixo se i xa a priori uma unidade de comprimento Chamase abscissa x1 de um ponto P1 de uma reta orientada r à medida do segmento orientado e i nito OP1 da origem a esse ponto antecedida do sinal de ou conforme o ponto pertença à semirreta positiva ou nega tiva Há uma correspondência bijetiva entre os números reais e os pontos de uma reta Exemplo xA 3 xB 2 Abscissa em latim signii ca corte incisão Devese provavelmente ao fato de que a representação da abscissa na reta se faz através de um pequeno corte OBSERVAÇÃO 30 Jacir J Venturi 6 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Sejam os pontos P1 e P2 cujas abscissas são respectivamente x1 e x2 Então OP1 P1P2 OP2 P1P2 OP2 OP1 P1P2 x2 x1 Exemplo Dadas as abscissas xA 5 e xB 3 calcular AB e BA Resolução AB xB xA 3 5 8 BA xA xB 5 3 8 7 RAZÃO SIMPLES DE 3 PONTOS POR SUAS ABSCISSAS Sejam os pontos P1 P2 e P de uma reta orientada r com abscissas x1 x2 e x respectivamente Determinar a abscissa x do ponto P que divide o segmento P1P2 numa certa razão k Então k P1P2P k P P P P 1 2 k x x x x 1 2 31 álgebra vetorial e geometria analítica Isolando o x x x kx k 1 2 1 Caso particular se k 1 temse x x x 1 2 2 Onde x é a abscissa do ponto médio de P1P2 Exemplo Achar a abscissa do ponto P que divide o segmento AB na razão 2 Dados xA 3 e xB 7 Resolução x x kx k A B 1 3 2 7 1 2 11 Figura Portanto ABP 11 Que nenhum desconhecedor da Geometria entre aqui Inscrição no frontispício da Academia de Platão 01 O ponto P divide o segmento P1P2 numa certa razão k Calcular k conhecendo se respectivamente os pontos pelas suas abscissas x 3 x1 6 e x2 2 Resp k 3 5 32 Jacir J Venturi 02 Dados ABP 5 xP 2 xB 5 calcular xA Resp 17 03 Obter a abscissa do ponto P tal que PA PB PC PD Dados xA 2 xB 0 xC 3 xD 5 Resp 3 2 04 Considere O A B C pontos colineares onde O representa a origem Calcule a abscissa x do ponto C na igualdade AB 2CA OB 3BC 3 Dados xA 2 e xB 5 Resp 24 5 05 Achar a distância QP tais que ABP 1 2 e ABQ 1 2 sendo xA 2 e xB 8 Resp 8 06 Sendo xA 3 e xB 8 calcular as abscissas dos pontos P1 e P2 que dividem AB em 3 partes iguais Resp 14 3 19 3 e 07 Achar as abscissas dos pontos que dividem PQ em 4 partes iguais Dados xP 3 e xQ 6 Resp 3 4 3 2 15 4 Gigantes são os mestres nos ombros dos quais eu me elevei Isaac Newton 1642 1727 físico astrônomo e matemático inglês 33 álgebra vetorial e geometria analítica História da Matemática Fermat promove o maior desafio da Matemática Jurista e magistrado por profi ssão Pierre de Fermat 16011665 dedicava à Matemática apenas suas horas de lazer e mesmo assim foi considerado por Pascal o maior matemático de seu tempo Coube a Fermat a intodução de eixos perpendiculares a descoberta das equações da reta e da circunferência e as equações mais simples de elipses pa rábolas e hipérboles Por mérito as coordenadas cartesianas deviam denominar se coordenadas fermatianas Cartesius é a forma latinizada de Descartes René Foi mais fi lósofo que matemático e em sua obra Discours de la Méthode 3º apêndice La Géométrie pu blicada em 1637 se limitou a apresentar as ideias fundamentais sobre a resolução de problemas geométricos com utilização da Álgebra Porém é curioso observar que o sistema hoje denominado cartesiano não tem amparo histórico pois sua obra nada contém sobre eixos perpendiculares coordenadas de um ponto e nem mes mo a equação de uma reta No entanto Descartes mantém um lugar seguro na sucessão canônica dos altos sacerdotes do pensamento em virtude da têmpera racional de sua mente e sua sucessão na unidade do conhecimento Ele fez soar o gongo e a civilização ocidental tem vibrado desde então com o espírito car tesiano de ceticismo e de indagação que ele tornou de aceitação comum entre pessoas educadas George Simmons Segundo ainda este proeminente autor La Géométrie foi pouco lida então e menos lida hoje e bem merecidamente E não há como resistir à tentação de expor um tópico lendário da Matemá tica o Último Teorema de Fermat Em 1637 estudando um exemplar da Arit mética de Diofanto séc lll dC Fermat deparouse com o teorema A equação xn yn zn não admite solução para x y z inteiros e positivos quando o expoente n for inteiro positivo e maior que 2 No livro de Diofanto Fermat anotou encontrei uma demonstração verda deiramente admirável para este teorema mas a margem é muito pequena para desenvolvêla 34 Jacir J Venturi História da Matemática Naturalmente há quem duvide que ele tenha dito a verdade Porém além de íntegro moralmente idôneo hábil na teoria dos números lembramos que Fermat jamais cometeu um engano ou disparate matemático Gerações inteiras de matemáticos têm maldito a falta de espaço daquela margem Por mais de três séculos praticamente todos os grandes expoentes da Matemática entre eles Euler e Gauss debruçaramse sobre o assunto Com o advento dos computadores foram testados milhões de algarismos com diferen tes valores para x y z e n e a igualdade xn yn zn não se verifi cou Assim empiricamente comprovase que Fermat tenha razão Mas e a demonstração Que tal um projeto para as suas próximas férias e alcançar a imortalidade Além disso um renomado empresário e matemático alemão Paul Wolfskehl na noite que decidira suicidarse em sua biblioteca deparase com o Último Teorema de Fermat e muda de ideia Em seu testamento deixou em 1906 a quantia de 100000 marcos para quem o demonstrasse Em 1993 Andrew Wiles matemático da Universidade de Princeton EUA após 30 anos de fascínio interrupções e paciente obstinação apresentou a sua demonstração em 140 páginas A notícia ocupou espaço nos noticiários do mun do inteiro Bom demais para ser verdadeiro matemáticos encontram um erro Mais uma vítima do Enigma de Fermat Em 1996 Wiles reapresenta a demons tração e sobre a qual não há qualquer contestação Cumpre esclarecer que Wiles utilizou conceitos avançadíssimos com os quais Fermat nem poderia ter sonhado Assim chega o fi m uma história épica na busca do Santo Graal da Matemática Propiciando notáveis avanços em vários ramos da Matemática a saga de 359 anos de tentativas erros e acertos está admiravelmente descrita no livro O Último Teorema de Fermat do autor inglês Simon Singh com 300 páginas E o que pensa a comunidade dos matemáticos a respeito de Fermat A maioria admite que ele escreveu com convicção que a margem do livro era muito pequena porém sua demonstração possuía erros Jocoso é o novaiorquino anônimo que grafi tou numa estação de metrô xn yn zn Descobri uma demonstração admirável para este teorema porém o trem está chegando Que pena Do autor CAPÍTULO 35 sisteMas De coorDenaDas no espaço BiDiMensionaL 3 1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Um sistema de eixos ortogonais no plano é constituído de duas retas orien tadas x e y perpendiculares entre si e de mesma origem O A reta orientada x é de nominada eixo x ou eixo das abscissas a reta orientada y é denominada eixo y ou eixo das ordenadas os eixos x e y são os eixos coordenados e dividem o plano em quatro partes ou quadrantes Por um ponto qualquer do plano traçamse perpendiculares sobre cada um dos eixos determinando neles os pontos Px e Py de tal sorte que x OPx e y OPy Destarte podemos associar a cada ponto P do plano um par ordenado de números reais Assim o ponto P fi ca determinado por suas coordenadas cartesianas ou também chamadas coordenadas retangulares P x y onde x é abscissa de P e y a ordenada de P Reciprocamente dado um par de números reais localizase no plano um único ponto P Há portanto uma correspondência bijetiva entre os pontos do plano e os pares de números reais Particularidades a O 0 0 origem do sistema cartesiano b Px x o projeção ortogonal de P sobre o eixo das abscissas c Py 0 y projeção ortogonal de P sobre o eixo das ordenadas 36 Jacir J Venturi 2 SISTEMA CARTESIANO OBLÍQUO O sistema cartesiano será deno minado oblíquo se o ângulo entre os eixos x e y não for de 90º Proposital mente em respeito à simplicidade ol vidamos o estudo em eixos oblíquos Tais sistemas monotonizam a exposi ção e difi cultam sobremaneira a de dução e memorização de fórmulas 3 PARES ORDENADOS OPERAÇÕES E IGUALDADE Adição x1 y1 x2 y2 x1 x2 y1 y2 Exemplo 2 5 1 3 3 2 Multiplicação por um número real k k x1 y1 kx1 ky1 Exemplo 3 5 1 15 3 Igualdade de dois pares ordenados x1 y1 x2 y2 x1 x2 e y1 y2 Exemplo x 1 y 3 1 7 Donde x 1 1 x 2 y 3 7 y 4 37 álgebra vetorial e geometria analítica 4 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos P1 x1 y1 e P2 x2 y2 desejase calcular a distância d entre P1 e P2 Aplicando o teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo P1AP2 temse d2 x2 x12 y2 y12 ou d x x y y 2 1 2 2 1 2 O oposto do amor não é o ódio mas a indiferença Érico Veríssimo 19051975 romancista gaúcho 01 Sendo A 2 3 e B 1 5 calcular as coordenadas cartesianas de P em P A B 2 Resp P 0 7 02 O segmento AB tem comprimento de 4 unidades Conhecendose o ponto A 2 1 achar a abscissa de B cuja ordenada é 1 Resp 6 e 2 03 Calcular a soma dos comprimentos das medianas do triângulo equilátero de vértices A 3 3 B 3 3 e C 3 3 3 3 Resp 9 6 04 Dados os pontos A 2 y B 8 4 e C 5 3 determinar y para que ABC seja um triângulo retângulo com ângulo reto no vértice A Resp y 2 ou y 9 38 Jacir J Venturi 05 Encontre o ponto P x y equidistante dos pontos P1 0 5 P2 1 2 e P3 6 3 Resp P 3 1 06 Determinar o ponto P pertencente ao eixo das abscissas sabendo que é equi distante dos pontos A e B 1 3 2 2 Resp P 1 0 07 Dois vértices opostos de um quadrado são os pontos 1 2 e 5 6 Determine a área do quadrado Resp 26 08 Sejam M1 2 1 M2 1 2 e M3 1 3 os pontos médios dos lados de um triângulo Achar os vértices desse triângulo Resp 4 6 2 2 0 4 09 Conhecendose os pontos A a 0 e B 0 a achar as coordenadas do vér tice C sabendose que o triângulo ABC é equilátero Resp C a a a a 3 2 3 2 10 Um triângulo equilátero tem vértices A x y B 3 1 e C 1 1 Cal cular o vértice A Resp 1 3 2 3 1 3 2 3 ou 11 Calcular o centro da circunferência circunscrita ao triângulo de vértices A 5 6 B 1 2 e C 3 4 Resp 11 2 circuncentro 39 álgebra vetorial e geometria analítica 5 PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA Seja o segmento de extremidades P1 x1 y1 e P2 x2 y2 O ponto P x y divide o segmento P1P2 numa razão dada k Então k P P P P P P P 1 2 1 1 Introduzindo as coordenadas de P1 P2 e P k x x x x 1 2 e k y y y y 1 2 Isolandose x e y x x kx k 1 2 1 e y y ky k 1 2 1 Caso particular Se k 1 então o ponto P coincide com o ponto médio do segmento P1P2 Donde se inferem as fórmulas x x x M 1 2 2 e y y y M 1 2 2 6 BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Definição Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força para se levantar o sistema em equilíbrio Geometricamente num triângulo o baricentro é obtido pela intersecção das medianas 40 Jacir J Venturi Cálculo Dado o triângulo de vértices A xA yA B xB yB e C xC yC O baricentro G divide a mediana AM numa razão facilmente determinável AMG AG MG 2 1 2 Então AG MG 2 Introduzindo as abscissas x x x x x x x G A G M G A M 2 2 3 ou 1 Mas x x x M B C 2 2 Substituindose 2 em 1 temse x x x x G A B C 3 Analogamente para a ordenada do baricentro obtémse y y y y G A B C 3 Quando morreres só levarás contigo aquilo que tiveres dado Saadi 11841291 poeta persa 1 AM 3 2 AM 3 41 álgebra vetorial e geometria analítica 01 Determinar as coordenadas dos pontos P1 e P2 que dividem o segmento A 3 1 e B 0 8 em 3 partes iguais Resp P1 2 2 e P2 1 5 02 Até que ponto da reta o segmento de extremos A 1 1 e B 4 5 deve ser prolongado no sentido de A para B para que o comprimento quintuplique Resp P 16 29 03 O baricentro de um triângulo ABC é o ponto G 4 0 e M 2 3 o ponto médio de BC Achar as coordenadas do vértice A Resp A 8 6 04 Num triângulo ABC são dados os vértices A 4 10 e B 8 1 Deter minar o baricentro G e o vértice C sabendose situados respectivamente sobre os eixos y e x Resp G 0 3 e C 4 0 05 Calcular as coordenadas dos extremos A e B do segmento que é dividido em três partes iguais pelos pontos P1 1 3 e P2 1 5 Resp A 3 1 e B 3 7 7 SISTEMA POLAR No plano a importância do sistema polar só é suplantada pelo sistema cartesiano É utilizado entre outras disciplinas em Cálculo Diferencial e Integral na qual o sistema polar apresenta próceras vantagens Mais especifi camente na representação de certas curvas e em problemas relativos a lugares geométricos Na prática também é empregado na navegação aviação etc O sistema polar é caracteri zado no espaço bidimensional por uma reta orientada p e um ponto O pertencente a tal reta p eixo polar do sistema O polo do sistema 42 Jacir J Venturi O ponto P fi ca determinado no plano por suas coordenadas polares P r θ onde r OP r 0 é a distância polar ou raio vetor de P θ 0º θ 2p é o argumento anomalia ou ângulo polar de P Reciprocamente dado um par ordenado de números reais é possível lo calizar no plano um único ponto do qual aqueles números são as coordenadas polares Convenção O argumento θ será considerado positivo se sua orientação for a do senti do antihorário e negativo se no sentido horário O raio vetor r é positivo quando assinalado no lado terminal de θ e negativo quando no seu prolongamento Tenhase presente que o argumento θ admite múltiplas determi nações 2kp θ OBSERVAÇÃO Representação gráfica de pontos Na prática utilizase o papel quadriculado polar em que o raio das circun ferências concêntricas aumentam de 1 em 1 cm e os ângulos de 15º em 15º Compensase a ausência do papel quadriculado polar com régua milimetrada e transferidor Exemplos Representar os pontos em coordenadas polares A 5 30º B 4150º C 7 30º D 4 120º 43 álgebra vetorial e geometria analítica É lícito admitirse a dis tância polar afetada do sinal de menos Como r fθ haverá uma correspondente alteração para θ É fácil anuir na fi gura ao lado que os pon tos C e D por exemplo po dem se apresentar com ou tras coordenadas polares Assim C 7330º ou C 7150º D 4240º ou D 460º OBSERVAÇÃO 120º Gráfico de uma equação em coordenadas polares A representação gráfi ca de uma equação em coordenadas polares se ob tém arbitrandose valores para a variável independente θ e calculandose os correspondentes valores para r Exemplo Construir o gráfi co de r 1 cos θ TABELA DE VALORES θ 0 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 r 20 19 18 17 15 12 10 07 05 02 01 003 00 44 Jacir J Venturi A curva da página anterior denominada cardioide apresenta si metria em relação ao eixo polar p pois cos θ é igual a cos θ OBSERVAÇÃO 8 PASSAGEM DO SISTEMA POLAR PAR A O SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Por vezes é oportuno passar de um referencial cartesiano para um polar ou de um polar para o cartesiano Fazendo o eixo polar p coincidir com o eixo cartesiano x e O concomitan temente polo e origem dos dois sistemas Portanto P x y coordenadas cartesianas P r θ coordenadas polares Do triângulo retângulo OPxP ob têmse as relações 4 tg y θ x 3 y r sen θ 1 r2 x2 y2 2 x r cos θ Além dos dois sistemas mencionados há outros menos usuais quais sejam sistema bipolar sistema polodiretriz sistema de coordena das baricêntricas etc OBSERVAÇÃO É bom ter dinheiro e as coisas que o dinheiro pode comprar Mas é bom também verifi car de vez em quando se não estamos perdendo as coisas que o dinheiro não pode comprar George Horace Lorimer 18671937 jornalista americano 45 álgebra vetorial e geometria analítica 01 Passar do sistema cartesiano para o sistema polar a A 3 3 3 Resp 6 2 3 π b B 3 3 3 Resp 6 6 π c x2 y2 3x 0 Resp rr 3 cos θ 0 d x2 y22 3x2 y2 Resp r4 3r2 cos 2θ e x2 y2 xy 5 Resp ρ θ 2 1 1 2 2 5 sen f x y 2 0 Resp ρ θ θ 2 sen cos 01 Passar do sistema polar para o sistema cartesiano a P 2 6 π Resp 3 1 b Q 2 7 6 π Resp 3 1 46 Jacir J Venturi c r2 k2 sen 2θ Resp x2 y22 2k2xy d r2 cos2 2θ 2 Resp x2 y22 2x2 y2 01 Achar as coordenadas polares do ponto simétrico de A 2 3 π em relação ao eixo polar Resp 2 3 π 02 ldem para o ponto B de coordenadas cartesianas 4 3 Resp 5 4 arc cos 5 03 Representar r 2 e 0 θ p Resp semicircunferência de raio igual a 2 04 Transformar a equação r2 a2 cos 2θ do sistema polar para o sistema carte siano Resp x2 y22 a2x2 y2 Tal curva do 4º grau descoberta por Jacques Bernoulli é denominada Lemniscata do grego lemnisko que signifi ca ornato laço de fi ta OBSERVAÇÃO 47 álgebra vetorial e geometria analítica Série B 05 Passar do sistema polar para o sistema cartesiano a r kθ Resp x2 y2 k2 arc y tg x 2 espiral de Arquimedes b ρ θ k Resp x y k arc tg y x 2 2 2 2 espiral hiperbólica c loga r kθ Resp x y a k arc tg y x 2 2 2 espiral logarítmica Apenas a título de curiosidade representamos os respectivos grá fi cos a espiral de Arquimedes b espiral hiperbólica c espiral logarítmica A espiral logarítmica é aplicada em Mecânica dos Solos por ser a forma admitida para as linhas de deslizamento de um maciço terroso OBSERVAÇÃO 48 Jacir J Venturi 01 Deduzir a fórmula da distância entre os pontos P1 r1 θ1 e P2 r2 θ2 em coordenadas polares Resp d2 1 2 2 2 1 2 2 1 2 ρ ρ ρ ρ θ θ cos d2 x2 x12 y2 y1 2 Substitua x1 r1 cos θ1 x2 r2 cos θ2 y1 r1 sen θ1 y2 r2 sen θ2 SUGESTÃO 02 Construir o grái co de r 3 sen θ Resp O melhor presente que uma sociedade pode dar a si mesma é a boa educação de seus fi lhos Cícero 10643 aC estadista orador e escritor romano História da Matemática 49 álgebra vetorial e geometria analítica Biblioteca de Alexandria A destruição da Biblioteca de Alexandria no Egito às margens do Mar Mediterrâneo talvez tenha representado o maior crime contra o saber em toda a história da humanidade Em 48 aC envolvendose na disputa entre a voluptuosa Cleópatra e seu irmão o imperador Júlio César manda incendiar a esquadra egípcia ancorada no porto de Alexandria O fogo se propaga até as dependências da Biblioteca queimando cerca de 500 mil rolos Restaram aproximadamente 200 mil Depois que o imperador Teodósio baixou decreto proibindo as religiões pagãs e o Bispo Teófi lo Patriarca da cidade de 385 a 412 dC determinou a queima de todas as seções que contrariavam a doutrina cristã Em 640 dC o califa Omar ordenou que fossem destruídos pelo fogo todos os livros da Biblioteca sob o argumento de que ou os livros contêm o que está no Alcorão e são desnecessários ou contêm o oposto e não devemos lêlos Todos os grandes geômetras da Antiguidade se debruçaram sobre os seus vetustos pergaminhos e papiros Euclides 325265 aC fundou a Escola de Matemática na renomada Biblioteca Fazia parte de seu acervo a mais conspícua obra de Euclides Os Elemen tos que constitui um dos mais notáveis compêndios de Matemática de todos os tempos com mais de mil edições desde o advento da imprensa a primeira versão impressa apareceu em Veneza em 1482 Segundo George Simmons a obra tem sido considerada responsável por uma infl uência sobre a mente huma na maior que qualquer outro livro com exceção da Bíblia A já citada Biblioteca estava muito próxima do que se entende hoje por Uni versidade E se faz apropriado o depoimento do insigne Carl B Boyer em A História da Matemática A Universidade de Alexandria evidentemente não diferia muito de instituições modernas de cultura superior Parte dos professores provavelmente se notabilizou na pesquisa outros eram melhores como administradores e outros ainda eram conhecidos pela capacidade de ensinar Pelos relatos que possuímos parece que Euclides defi nitivamente pertencia à última categoria Nenhuma nova descoberta lhe é atribuída mas era conhecido por sua habilidade de expor Essa é a chave do sucesso de sua maior obra Os Elementos Pela Trigonometria um outro diretor da Biblioteca Eratóstones 276194 aC comprovou a esfericidade da Terra e mediu com precisão e enge nhosidade o perímetro de sua circunferência 50 Jacir J Venturi História da Matemática Num dos rolos de papiro encontrou a informação de que na cidade de Siena hoje Assuã ao sul de Alexandria ao meiodia do solstício de verão o dia mais longo do ano 21 de junho no Hemisfério Norte colunas verticais não projetavam qualquer sombra ou seja o Sol se situava a prumo Entretanto o nosso conspícuo geômetra observou que no mesmo dia de solstício as colunas verticais da cidade de Alexandria projetavam uma sombra perfeitamente men surável Aguardou o dia 21 de junho do ano seguinte e determinou que se insta lasse uma grande estaca em Alexandria e que se escavasse um poço profundo em Siena Ao meiodia enquanto o Sol iluminava as profundezas do poço de Siena fazia ângulo de 90º com a superfície da Terra em Alexandria Eratóstenes me diu o ângulo θ 7º12 ou seja 150 dos 360º de uma circunferência Portanto o comprimento do meridiano terrestre deveria ser 50 vezes a distância entre Alexandria e Siena Por tais cálculos conjecturou que o perímetro da Terra seria de 46250 km Hoje sabemos que é de 40076 km Aproximação notável considerandose a época da medição Precedeu a experiência um feito digno de nota Alexandria e Siena situ avamse a grande porém desconhecida distância Para medila Eratóstenes determinou que uma equipe de instrutores com seus camelos e escravos a pé seguissem em linha reta percorrendo desertos aclives declives e tendo que inclusive atravessar o rio Nilo Distância mensurada 5000 estádios ou cerca de 925 km Ademais as cidades de Alexandria e Siena não estão sobre o mesmo meridiano como supunha Eratóstenes havendo uma diferença de quase 3º Do autor CAPÍTULO 51 sisteMas De coorDenaDas no espaço triDiMensionaL 4 1 SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL Em Geometria Analítica plana as equações contêm duas variáveis Na es pacial três variáveis Nesta exigirseá maior esforço de visualização das fi guras O conjunto de pontos do espaço tridimensional será indicado por E3 Sejam x y e z três retas orientadas mutuamente perpendiculares entre si e concorrentes no ponto O Destarte o triedro Ox Oy Oz é trirretângulo Principais elementos ponto O origem do sistema cartesiano retas orientadas eixos cartesianos planos xy xz yz planos cartesianos Pelo ponto P traçamse três planos paralelos aos planos coordenados e juntamente com estes individualizase um paralelepípedo retângulo cujas faces interceptam os eixos x em Px y em Py e z em PZ 52 Jacir J Venturi Podemos associar a cada ponto P do espaço uma tripla de números reais Assim o ponto P fi ca determinado por suas coordenadas cartesianas ortogonais P x y z onde x OPx abscissa y OPy ordenada z OPz cota O sistema cartesiano em estudo estabelece uma correspondência bijetora entre cada ponto do espaço e a terna de números reais Os planos coordenados dividem o espaço em oito regiões denominadas oitantes ou octantes Particularidades a O 0 0 0 origem do sistema cartesiano b P1 x y 0 P2 x 0 z P3 0 y z representam as projeções orto gonais do ponto P sobre os planos coordenados xy xz e yz c Px x 0 0 Py 0 y 0 Pz 0 0 z representam as projeções orto gonais do ponto P sobre os eixos coordenados x y e z d Não sendo os eixos mutuamente perpendiculares temos um sistema de coordenadas oblíquas São válidas as operações de soma e multiplicação por escalar com as triplas x1 y1 z1 e x2 y2 z2 bem como a condição de igualdade de 2 triplas item 3 do capítulo 3 Um verdadeiro repto à Matemática hodierna foi e está sendo o estudo de espaços a quatro ou mais dimensões Einstein em sua Teoria da Relatividade apoiase em um espaço de quatro dimensões E toda a nossa estrutura men tal fulcrada numa geometria euclidiana de duas ou três dimensões sofre uma vigorosa transformação Por exemplo num espaço de quatro dimensões não representável geometricamente a intersecção de dois planos pode ser um úni co ponto Ou ainda é factível a retirada de um objeto ou um ponto do interior de um paralelepípedo sem atravessar as suas paredes 2 DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS Dados dois pontos P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 a distância d entre os pontos P1 e P2 é dada pela fórmula d x x y y z z 2 1 2 2 1 2 2 1 2 53 álgebra vetorial e geometria analítica Para a demonstração considere d a diagonal de um paralelepípedo de vértices opostos P1 e P2 Ou mais facilmente veremos no capítulo 5 multiplica ção escalar de 2 vetores 3 PONTO QUE DIVIDE UM SEGMENTO NUMA RAZÃO DADA A demonstração é análoga ao espaço bidimensional A determinação das coordenadas do ponto P x y z que divide o segmento P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 numa certa razão k se faz pelas fórmulas x x kx k 1 2 1 y y ky k 1 2 1 z z kz k 1 2 1 Para k 1 têmse as coordenadas do ponto médio de P1P2 4 BARICENTRO DO TRIÂNGULO Também aqui a dedução é análoga ao plano Consideremos o triângulo de vértices A xA yA zA B xB yB zB e C xC yC zC O baricentro G é obtido pelas fórmulas x x x x G A B C 3 y y y y G A B C 3 z z z z G A B C 3 54 Jacir J Venturi Existe um paralelismo fi el entre o progresso social e a atividade matemática os países socialmente atrasados são aqueles em que a atividade matemática é nula ou quase nula Jacques Chapellon 16391698 pensador francês 01 Calcular a soma das arestas do tetraedro regular de vértices A B C e D 3 0 1 3 0 1 0 2 2 2 0 0 4 Resp 12 3 02 Provar que os pontos A 2 0 1 B 3 1 5 C 4 2 9 são colineares Bastar verifi car que dAC dAB dBC SUGESTÃO 03 Achar o ponto do eixo das ordenadas equidistante dos pontos A 1 1 3 e B 2 2 1 Resp 0 1 3 0 04 Verii car se os pontos A 2 1 2 B 1 2 1 e C 1 0 1 são vértices de algum triângulo retângulo Resp ABC é triângulo retângulo com ângulo reto em B Calcule AB2 BC2 AC2 e observe que AC2 AB2 BC2 Pitágoras SUGESTÃO 55 álgebra vetorial e geometria analítica 05 Na igura achar as coordenadas dos pontos A B C e P Resp A 2 4 0 B 2 0 3 C 0 4 3 P 2 4 3 06 Provar que o triângulo A 1 2 0 B 4 0 1 e C 2 1 2 é equilátero 07 Achar as coordenadas do ponto P que divide o segmento AB na razão 2 Dados A 2 5 1 e B 3 0 2 Resp P 4 5 3 08 No sistema cartesiano ortogonal determinar as distâncias do ponto P 1 4 2 aos eixos coordenados x y e z Resp 2 5 5 17 09 Achar os pontos do plano xz cuja distância ao ponto A 1 1 0 é 2 e ao ponto B 2 0 1 é 3 Barsotti Resp P 2 2 0 2 2 1 e P 2 2 0 2 2 1 10 Num triângulo ABC são conhecidos os vértices B 2 1 3 e C 0 5 4 e também o baricentro G 1 2 3 Calcular o vértice A Resp A 1 0 2 11 Os pontos A B M são colineares e M é o ponto médio de AB Sabendose que A 1 3 5 e M 0 1 2 achar as coordenadas cartesianas do ponto B Resp B 1 1 1 56 Jacir J Venturi 12 Calcular os vértices de um triângulo onde são dados o baricentro G 2 2 3 e os pontos médios de dois lados M1 1 2 4 e M2 2 3 3 Resp 2 0 3 0 4 5 4 2 1 13 Achar o volume da pirâmide de base OABC e P o vértice superior Dados O 0 0 0 A 2 0 0 B 2 2 0 C 0 2 0 e P 1 1 9 Resp 12 uv A base é um quadrado cujo lado é 2 A altura h é a cota do ponto P ou seja h 9 V S OABC h 1 3 SUGESTÃO 14 Até que ponto se deve prolongar o segmento de reta de extremidades A 1 1 2 e B 4 5 6 para que se triplique o seu comprimento no sentido de A para B Resp 10 17 14 15 O ponto P pertence ao eixo z e equidista dos pontos A 2 3 0 e B 0 1 2 Encontrar P Resp P 0 0 2 16 Dados dois vértices A 9 5 12 e B 6 1 19 de um paralelogramo ABCD e P 41 7 o ponto de intersecção de suas diagonais determinar os vértices C e D Resp C 1 3 2 e D 2 3 5 As diagonais de um paralelogramo se bissecam em seu ponto médio As diagonais de um paralelogramo se bissecam em seu ponto médio SUGESTÃO 57 álgebra vetorial e geometria analítica 5 SISTEMA CILÍNDRICO No espaço tridimensional o sistema cartesiano reina quase soberanamen te Em alguns tópicos da engenharia e em cursos de licenciatura dois outros sistemas também são usuais o sistema cilíndrico e o sistema esférico a Considere em um plano a um sistema polar cujo polo é O e cujo eixo polar é p além disso considere um eixo z de origem O e or togonal ao plano a Dado um ponto qualquer P do espaço E3 faz se a seguinte construção ilustrada na fi gura abaixo P é projetado ortogonalmente sobre o plano a e sobre o eixo z P e Pz são as respectivas projeções Assim fi cam determinados três números r θ e z que são suas coordena das cilíndricas P r θ z onde r OP r 0 é a distância polar ou raio vetor de P θ 0º θ 2p é o argumento anomalia ou ângulo polar de P z OPz é a cota de P Reciprocamente dado um terno ordenado de números reais podese lo calizar um ponto no espaço do qual os números dados são as coordenadas cilíndricas portanto há uma correspondência bijetora entre o conjunto dos pontos do espaço e o conjunto de ternos ordenados de números reais que são as coordenadas cilíndricas 58 Jacir J Venturi A denominação cilíndrica provém de na fi gura se admitir um cilindro de base circular cujo raio é a constante r no plano a e cuja geratriz é PP que gira em torno de z OBSERVAÇÃO b Passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano ortogonal Considerase os dois sistemas de modo que o eixo polar coincida com o eixo das abscissas o polo coincida com a origem e o eixo z seja comum para os dois sistemas y y x O α θ ρ Py Px P P z Pz x p Então P x y z em coordenadas cartesianas P r θ z em coordenadas cilíndricas Observese que z é coordenada homônima para os dois sistemas O triângulo retângulo OPxP do plano a estabelece as fórmulas 1 r2 x2 y2 2 x r cos θ 3 y r sen θ 4 tg y θ x 59 álgebra vetorial e geometria analítica Como pode a Matemática sendo produto do pensamento humano independente da experiência se adaptar tão admira velmente aos objetos da realidade Albert Einstein 18791955 físico alemão Naturalizouse cidadão norteamericano em 1940 01 Passar do sistema cartesiano para o sistema cilíndrico a A 1 2 1 2 2 Resp A 2 2 3 4 2 π b B 0 1 3 Resp B 1 2 3 π c x2 y22 z2 x2 y2 Resp r4 z2 r2 cos 2θ 02 Efetuar a passagem do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano a A 6 2 3 2 π Resp A 3 3 3 2 b B 1330 p Resp B 3 2 1 2 π c r2 sen 2θ 2z2 Resp xy z2 60 Jacir J Venturi 6 SISTEMA ESFÉRICO a Seja O polo um ponto do espaço E3 pelo qual passa uma reta orien tada z eixo polar O plano a é passante por z P um ponto do espaço tridimensional O semiplano β de bordo z contém P Dado o ponto P fi cam determinados os três números r θ e ø que são suas coordenadas esfé ricas P r θ ø Οnde r OP a distância polar ou raio vetor de P θ a colatitude de P é a medida do ângulo que o eixo z forma com OP ø a longitude ou azimute de P é a medida do ângulo que o plano a forma com o semiplano β Reciprocamente dado um terno ordenado de números reais é possível localizar no espaço um único ponto do qual os números do terno são as coor denadas esféricas Para que a um ponto corresponda um único terno de coordenadas esféri cas costumase fazer as seguintes restrições r 0 0 θ p 0 ø 2p Na fi gura ao lado temse uma aplicação no tável do sistema esférico as coordenadas geográ fi cas de um ponto P O ângulo ø é a longitude de P e θ a sua colatitude Recordese da Geografi a que colatitude é o complemento da latitude esta representada na fi gura pelo ângulo a A denominação esférica provém do fato de se imaginar uma super fície esférica que contém P de centro em O e cujo raio é a constante r OBSERVAÇÃO b Passagem do sistema esférico para o sistema cartesiano orto gonal Fazse coincidir o plano a com o plano xz O ponto P tem projeções sobre os eixos cartesianos ortogonais em Px Py e Pz 61 álgebra vetorial e geometria analítica O ponto P é a projeção de P sobre o plano cartesiano xy Em relação aos dois siste mas temse P x y z coordena das cartesianas de P P r θ ø coordena das esféricas de P Por construção observese que PzP OP Do triângulo retângulo OPzP obtémse PzP r sen θ e z r cos θ O triângulo retângulo OPxP fornece x OP cos ø mas OP PzP r sen θ x r sen θ cos ø y OP sen ø ou y r sen θ sen ø tg ø y x 62 Jacir J Venturi Cálculo de r Dos dois triângulos retângulos em destaque OP2 x2 y2 PzP2 e r2 PzP2 z2 ou r2 x2 y2 z2 Grandes obras não nascem apenas de grandes ideias 01 Passar do sistema cartesiano para o sistema esférico a A 2 2 0 Resp A 2 2 90 315 b B 5 2 5 2 5 2 2 Resp B 5 135 45 c 5x2 5y2 8z Resp 5r sen2 θ cos 2 ø 8 cos θ 01 Transformar o sistema esférico em sistema cartesiano ortogonal a A 12 3 6 π π Resp A 9 3 3 6 b B 5 2 3 2 π π Resp B 0 5 0 c ø 45 Resp y x Multiplique ambos os membros pela tangente SUGESTÃO 63 álgebra vetorial e geometria analítica d θ 30 Resp 3x2 y2 z2 Multiplique ambos os membros pelo cosseno SUGESTÃO e r2 3r cos θ 0 Resp x2 y2 z2 3z 0 01 Dadas as coordenadas esféricas de P 2 2 45 30 obtêlas em coorde nadas cilíndricas Resp P 2 30 2 Sist esférico sist cart sist cilíndrico SUGESTÃO 02 Do sistema cilíndrico passar para o sistema esférico A 6 3 4 2 π Resp A 2 10 10 10 3 4 arc cos π Dois ratos passeavam despreocupadamente O primeiro rato vangloriavase do seu doutorado em planejamento nos EUA Fazendo tocaia um gato saltou e pôs a pata em cima do segundo rato Este aterrorizado suplicou ao rato planejador O que você faz aí parado Ajudeme Estou planejando Planejando o quê Socorro Já sei vire um pit bull Mas como Bem eu planejo você tem que executar O rato planejador CAPÍTULO 64 5 Vetores 1 SINOPSE HISTÓRICA A história da Matemática raramente apresenta eventos bombásticos As formulações inicialmente tênues e difusas percorrem um espinhoso trajeto até atingir a magnitude de seu desenvolvimento O conceito de vetor surgiu na Mecânica com o engenheiro fl amengo Si mon Stevin o Arquimedes holandês Em 1586 apresentou em sua Estática e Hidrostática o problema da composição de forças e enunciou uma regra empírica para se achar a soma de duas forças aplicadas num mesmo ponto Tal regra a conhecemos hoje como regra do paralelogramo Os vetores aparecem considerados como linhas dirigidas na obra Ensaio sobre a Representação da Direção publicada em 1797 por Gaspar Wessel matemático dinamarquês A sistematização da teoria vetorial ocorreu no século XIX com os traba lhos do irlandês William Hamilton notavelmente precoce aos 5 anos lia grego latim e hebraico do alemão Hermann Grassmann e do físico norteamericano Josiah Gibbs 2 GRANDEZAS ESCALARES E VETORIAIS Certas grandezas i cam determinadas apenas por um número real acom panhado pela unidade correspondente Por exemplo 5 kg de massa 10 m2 de área 12 cm de largura Tais grandezas são chamadas de escalares Outras grandezas necessitam além do número real também de uma direção e de um sentido Exemplii cando a velocidade a aceleração o momento o peso o campo magnético etc São as grandezas vetoriais 3 DEFINIÇÕES ETIMOLOGIA E NOTAÇÕES Vetor DEF 1 Vetor é uma tripla constituída de uma direção um sentido e um número não negativo DEF 2 Vetor é o conjunto de todos os segmentos orientados de mesma direção de mesmo sentido e de mesmo comprimento 65 álgebra vetorial e geometria analítica Imagem geométrica ou representante de um vetor Na igura ao lado temse um con junto de segmentos orientados de um único vetor O segmento orientado é um conjunto de pontos ao passo que vetor é um conjunto de segmentos orientados Cada segmento orientado é a rigor a imagem geométrica ou o representante de um vetor A igura apresenta quatro segmen tos orientados ou então quatro imagens geométricas de um mesmo vetor Como abuso de linguagem empregase a palavra vetor em vez de ima gem geométrica do vetor De acordo com a locução latina abusus non tollit usum o abuso não tolhe o uso também nós vamos escrever ou verbalizar a palavra vetor como imagem geométrica do vetor Etimologia da palavra vetor Provém do verbo latino vehere transportar levar Vetor é o particípio passado de vehere signiicando transportado leva do Apesar de primitiva e até bizarra a palavra vetor é pertinente o ponto A é transportado até B Notações de vetor I Uma letra latina minúscula encimada por uma seta Exemplos a b c u v w II Uma letra latina minúscula sobrelinhada Exemplos a b c u v w notação em desuso III Dois pontos que são a origem e a extremidade de um representante do vetor Exemplo A soma do ponto A com o vetor v é o ponto B 66 Jacir J Venturi A v B ou v B A onde A é a origem e B é a extremidade do vetor Esta notação é assaz vantajosa pelas aplicações das operações algébricas e é devida ao matemático alemão H Grassmann 18091877 Também bastante usual a notação v AB IV Uma terna ordenada de números reais v x1 y1 z1 Exemplo v 1 5 4 Na i gura v P O Como abuso de notação temse ainda v P O P Usualmente quando já estiver i xado o sistema de coordenadas o representante do vetor é aquele cuja origem coincida com a origem do sistema OBSERVAÇÃO Módulo v É o número não negativo que indica o comprimento do vetor Exemplo v Então v 4 Vetor nulo 0 É o vetor de direção e sentido arbitrários e módulo igual a zero O vetor nulo tem coordenadas 0 0 0 e sua representação grái ca é a origem do sis tema de coordenadas v v 67 álgebra vetorial e geometria analítica Vetor unitário É o vetor de módulo igual a 1 Exemplo v Então v 1 Versor O versor de um vetor v não nulo é o vetor unitário que tem a mesma direção e o mesmo sentido de v vers v v v Exemplos 1 v v então vers v v 3 2 w w então vers w w 4 O vetor unitário coincide com o seu próprio versor Vetor oposto Dado um vetor AB o seu oposto é o vetor BA e se indica por AB O vetor oposto de um vetor v é representado por v Exemplo v v 4 PARALELISMO DE VETORES Definição Dois vetores u e v de mesma direção são ditos paralelos lpso facto suas imagens geométricas podem ser representadas sobre uma mesma reta 68 Jacir J Venturi Exemplo u v Os vetores u e v são paralelos e podem ser representados colinearmente v u Face o exposto até aqui podemos associar ao conceito de vetor a ideia de translação Tal ideia como é sabido não se transfere para retas paralelas uma vez que estas possuem posições i xas e determinadas Exemplo v u Os vetores u e v são paralelos ou colineares No entanto as retas r e s são paralelas e jamais colineares OBSERVAÇÃO Vetores equiversos e contraversos Dois vetores paralelos são equiversos se de mesmo sentido Se de senti dos contrários são contraversos Exemplo v u v u u e v são equiversos u e v são contraversos 5 MULTIPLICAÇÃO DE UM VETOR POR UM ESCALAR Definição Seja k um escalar e v um vetor O produto do vetor v pelo número real k é representado por kv Então se 69 álgebra vetorial e geometria analítica I k 0 Os vetores v e kv são equiversos Exemplos u 1 u 2 3u II k 0 Os vetores v e kv são contraversos Exemplo u 2u Casos particulares 0 v 0 kv 0 k 0 ou v 0 1 v v onde v é o oposto de v Propriedades Nas expressões abaixo m e n são escalares quaisquer e v e w são vetores arbitrários I Propriedade associativa em relação aos escalares mnv nmv mn v II Propriedade distributiva em relação à adição de escalares m n v mv nv III Propriedade distributiva em relação à adição de vetores mv w mv mw IV Se v x1 y1 z1 então mv mx1 y1 z1 mx1 my1 mz1 70 Jacir J Venturi 6 COPLANARIDADE DE VETORES Os vetores u v e w são coplanares se tiverem imagens geométricas para lelas ao mesmo plano Cumpre enfatizar dois vetores são sempre coplanares enquanto que três vetores podem ou não ser coplanares Exemplos u w v u w v u e v e w são coplanares u e v e w não são coplanares Convenção O vetor nulo é paralelo a qualquer vetor é coplanar a qualquer conjunto de vetores coplanares 7 ADIÇÃO DE VETORES Definição Dados dois vetores u e v para se obter a soma u v ixamos um ponto qualquer A do plano u e v e consideramos os pontos B A u e C B v conforme a igura nessas condições u v C A Denotando por diferença de pontos u v B A C B C A Donde AC é o vetor resultante obtido da adição de u com v Geometricamente a soma de n vetores sendo n um número inteiro positivo qualquer é feita considerando imagens geométricas dos vetores de modo que a extremidade de cada vetor coincida com a origem do vetor seguinte o vetor soma é o vetor que fecha a poligonal v u u v 71 álgebra vetorial e geometria analítica Exemplos Dados u v e w obter graicamente a soma Dados a u w b v w b u v w Graicamente o vetor soma é o segmento orientado que fecha a po ligonal tendo por origem a origem do primeiro vetor e por extremidade a extremidade do último vetor Sob a forma de triplas Dados os vetores u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 então u v x1 x2 y1 y2 z1 z2 Propriedades I Comutativa u v v u Demonstração Considere as imagens geométricas dos vetores u e v representados na igura 1º membro u v B A C B C A 2º membro v u D A C D C A donde u v v u cqd 72 Jacir J Venturi Consequência Regra do paralelogramo A diagonal do paralelogramo construído so bre as imagens geométricas de u e v representa a soma u v Sabese que o paralelogramo apresenta duas diagonais distintas Para a regra do paralelogramo construído sobre as imagens geomé tricas de u e v de mesma origem A adotase a diagonal que contém o ponto A A regra do paralelogramo é muito usual na composição de forças em Mecânica OBSERVAÇÃO II Associativa u v w u v w Demonstração Sejam u v e w vetores dados 1º membro u v B A C B C A u v w C A D C D A 2º membro v w C B D C D B u v w B A D B D A Então u v w u v w qed III Elemento neutro u 0 u IV Elemento oposto Dado um vetor u existe um único vetor indicado por u tal que u u 0 O vetor u é o vetor oposto de u V Lei do cacelamento u v u w v w 8 SUBTRAÇÃO DE VETORES Definição Dados os vetores u e v dei nimos a diferença u v por u v u v 73 álgebra vetorial e geometria analítica Denotando por diferença de pontos 1º caso u v B A C A B C 2º caso v u C A B A C B Graicamente a diferença de dois vetores u e v é obtida fazendose com que u e v tenham a mesma origem A diferença de vetores não é comutativa u v v u Exemplos 1 Dados os vetores u v e w obter graicamente Dados a u w b u w e 1 2 2 v u d v w c v w 74 Jacir J Venturi 2 Num paralelogramo construído sobre dois vetores u e v as diagonais são as imagens geométricas do vetor soma u v e do vetor diferença u v Quem quer fazer alguma coisa encontra um meio Quem não quer fazer nada encontra uma desculpa Aforisma árabe 01 Determinar a origem A do segmento que representa o vetor u 2 3 1 sen do sua extremidade o ponto B 0 4 2 Resp A 2 1 3 02 Na i gura abaixo o vetor s a b c d é igual a Resp s o 03 Representados os vetores u e v na i gura achar grai camente o vetor x tal que u v x 0 75 álgebra vetorial e geometria analítica Resp onde x u v 04 Nos cubos abaixo representar a soma dos vetores indicados com linha cheia a b Resp a G A b E A 05 No tetraedro e no paralelepípedo retângulo achar a soma dos vetores represen tados por suas imagens geométricas a b Resp a D A b E O 06 No hexágono regular obter a B A E F F A b D A E A E B Resp a D A b D B 76 Jacir J Venturi 01 Dados u 1 2 0 v 2 1 1 e w 0 2 3 achar a 2u v 4w b 3 u v 22v w Resp a 0 11 13 b 1 9 7 01 Conhecidos A 1 3 0 B 5 5 2 e v 1 3 2 calcular a A v b 2A 3B v Resp a 2 6 2 b 14 12 4 09 Sendo A 2 0 1 B 0 3 2 C 1 2 0 determinar D x y z tal que BD AB CB Resp D 3 7 7 10 Calcular o vetor oposto de AB sendo A 1 3 2 e B 0 2 3 Resp BA 1 5 1 11 Conhecendose u 1 2 0 v 0 1 3 e w 1 3 1 calcular os escalares m n e p em mu nv pw 0 0 14 Resp m 1 n 5 p 1 12 Os vetores u v e w formam um triângulo conforme a igura Sendo u 1 2 0 e v 3 0 3 então w é igual a Resp 2 2 3 13 Determinar o vetor x tal que 5x u 2v sendo u 1 4 15 e v 3 2 5 Resp x 1 0 5 v w u 77 álgebra vetorial e geometria analítica 14 Calcular P tal que AP 2 3 AB Dados A 1 1 0 e B 3 5 0 Resp P 5 3 3 0 15 Sabendose que u e v são perpendiculares tais que u 5 e v 12 cal cular u v e u v Resp 13 e 13 9 COMBINAÇÃO LINEAR DE VETORES Considere os vetores u1 u2 u3 un e os escalares k1 k2 k3 kn Dizse que v é combinação linear de u1 u2 u3 un quando escritos sob a forma de v k u k u k u k u n n 1 1 2 2 3 3 10 EXPRESSÃO CARTESIANA DE UM VETOR a Seja x y e z um sistema cartesiano ortogonal Convencionouse repre sentar por i j e k nesta ordem os versores dos eixos cartesianos orto gonais x y e z Então i 1 0 0 j 0 1 0 k 0 0 1 E pela dei nição de versor que possui módulo unitário temse i j k 1 78 Jacir J Venturi Os versores i j e k constituem uma base ortonormal de E3 por ser formada de vetores unitários e mutuamente ortogonais OBSERVAÇÃO b Considerese um ponto P x y z do espaço tridimensional e i j e k os versores dos eixos cartesianos or togonais x y e z O vetor v P O tem origem em O e extremidade em P e pode ser expresso como combina ção linear de i j e k Do paralelepí pedo representado na i gura ao lado obtémse P O Px O Py O Pz O como Px O x i Py O y j Pz O z k temse P O v x i y j zk denominada expressão cartesiana do vetor P O onde x y e z são as co ordenadas e x i y j zk as componentes do citado vetor O vetor v representa a diagonal do paralelepípedo reto cujas arestas são os vetores coordenadas x i y j e zk Em particular o vetor P O pode ter imagem geométrica num dos planos cartesianos Por exemplo se P O estiver no plano xy a 3ª coordenada é nula P O x i y j OBSERVAÇÃO Exemplos Do paralelepípedo retângulo obtémse A O 2 i C O 4 j G O 3k B O 2 i 4 j D O 2 i 3k F O 4 j 3k E O 2 i 4 j 3k 79 álgebra vetorial e geometria analítica 11 CONDIÇÃO DE PARALELISMO DE DOIS VETORES Teorema Dois vetores não nulos u e v são paralelos se e somente se existir um escalar k tal que v ku Podemos ai rmar que v é expresso linearmente em função de u Demonstração 1 Sendo u e v paralelos os seus versores só podem diferir quanto ao sentido vers v vers u ou v v u u v v u u ou Como v u é um número real chamemolo de k Donde v ku cqd 2 Reciprocamente se v ku então v é paralelo a u pela dei nição de produto de vetor por escalar Vetores representados por pontos A igualdade persiste se os vetores forem representados por pontos Seja u B A e v C D então C D kB A Exemplos Enfatizando o paralelismo dos vetores representados por suas imagens geométricas podemos ai rmar que 80 Jacir J Venturi B A P Q P Q B A M N P Q B A M N 2 1 2 3 2 3 Vetores representados por triplas Sejam u x1 y1 z1 e v x2 y2 z2 Pelo teorema u é paralelo a v se e somente se existir um número real k tal que v ku ou ainda x2 y2 z2 kx1 y1 z1 Explicitando o k obtémse a condição de paralelismo dos vetores u e v x x y y z z k 2 1 2 1 2 1 Convenção A nulidade de um dos denominadores implica na nulidade do correspon dente numerador Exemplo São paralelos os vetores u 3 2 0 e v 6 4 0 Na i gura ao lado u A O e v B O Observe que v 2u e que em particular os vetores u e v têm imagens geométricas no plano xy 81 álgebra vetorial e geometria analítica Sempre se ouvirão vozes em discordância expressando oposição sem alternativa discutindo o errado e nunca o certo encontrando escuridão em toda a parte e procurando exercer infl uência sem aceitar responsabilidades John F Kennedy 19171963 presidente dos EUA 01 Determinar x sabendose paralelos os vetores a u 1 3 10 e v 2 x 20 b v 0 2 x e w 0 3 6 c u 2i 3 j k e v xi 9 j 3k Resp a x 6 b x 4 c x 6 01 Sendo A B C D vértices consecutivos de um paralelogramo calcular as coor denadas do vértice D Dados A 1 3 B 5 11 e C 6 15 Resp D 2 7 02 Seja ABDC um paralelogramo de vértices consecutivos na ordem escrita Achar o vértice A sabendose que B 0 1 3 C 2 3 5 e D 1 0 2 Resp A 3 2 0 03 Provar que os pontos A 3 1 5 B 2 0 1 e C 4 2 9 são colineares SUGESTÃO Por exemplo os vetores C A e B A devem ser paralelos 82 Jacir J Venturi 04 Calcular x e y sabendo que os pontos A 1 1 3 B x y 5 e C 5 13 11 são colineares Resp x 2 e y 4 05 Na i gura abaixo obter a expressão cartesiana do vetor P O Resp P O 2i 4j k 06 Seja o paralelepípedo representado na i gura Conhecendose os vértices B 1 2 3 D 2 4 3 E 5 4 1 e F 5 5 3 pedemse os vértices A e G Resp A 1 1 1 G 6 8 5 Série B Uns nasceram para o martelo outros para a bigorna François M Voltaire 16941778 escritor francês A Geometria Plana apresenta alguns próceros teoremas Demonstreos veto rialmente 83 álgebra vetorial e geometria analítica 07 O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo é paralelo ao terceiro lado e igual à sua metade M A C N B C 2 2 e Faça M N A C B C A B 2 2 1 2 SUGESTÃO 08 As diagonais de um paralelogramo se bissecam P A C B D 2 2 donde A C B D ou A B D C SUGESTÃO 09 Os pontos médios dos lados de um quadrilátero qualquer são vértices de um paralelogramo P A B B C P C D A D 1 2 3 4 2 2 2 2 P P subtraindose membro a membro P P A C P P A C 1 2 4 3 1 2 1 2 SUGESTÃO 84 Jacir J Venturi 10 O segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual à sua semissoma 11 O segmento que une os pontos médios das diagonais de um trapézio é para lelo às bases e tem comprimento igual à semidiferença dos comprimentos das bases M A C 2 N B D 2 Faça M N SUGESTÃO 12 Demonstrar vetorialmente que o baricentro G de um triângulo ABC é G A B C 3 Na i gura G C 2M G Porém M A B 2 SUGESTÃO 12 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE VETORES Teorema O vetor v é coplanar aos vetores u1 e u2 não nulos e não paralelos entre si se e somente se v k1u1 k2u2 85 álgebra vetorial e geometria analítica Ou seja se e somente se v for combinação linear de u1 e u2 sendo k1 e k2 escalares Demonstração Sejam v u1 u2 vetores co planares B A a imagem geo métrica do vetor v Pela origem A conduzimos uma paralela ao vetor u1 e pela extremidade B uma paralela a u2 C é o ponto de intersecção de tais paralelas Então C A k1u1 B C k2u2 Da igura B A C A B C Substituindo v k1u1 k2u2 qed Reciprocamente é passível de demonstração se v k1u1 k2u2 então os vetores v u1 e u2 são coplanares Coplanaridade de vetores representados por triplas Três vetores v1 x1 y1 z1 v2 x2 y2 z2 e v3 x3 y3 z3 são coplanares se um deles for combinação linear dos outros dois lpso facto o seu determi nante deve ser nulo x y z x y z x y z 1 1 1 2 2 2 3 3 3 0 Exemplo Os vetores u 2 3 5 v 3 0 1 e w 7 6 9 são coplanares 86 Jacir J Venturi Segue sempre quem te dá pouco e não quem muito te promete Provérbio chinês 01 Calcular a sabendose coplanares os vetores u 1 3 0 v 2 1 4 e w 3 4 a u a i 3 j v a j k e w i j k Resp a 4 b 1 13 2 02 Provar que os pontos A 4 5 1 B 4 4 4 C 0 1 1 e D 3 9 4 são coplanares O determinante das coordenadas dos vetores B A C A e D A é nulo SUGESTÃO 03 Dados u 2 i v i j k e w 2 i 6 j 6k exprimir w como combina ção linear de u e v Resp w 4u 6v w k1u k2v então 2 6 6 k1 2 0 0 k2 1 1 1 SUGESTÃO 04 Sendo u1 0 2 1 u2 0 1 3 e v 0 3 0 exprimir v como combinação linear de u1 e u2 Resp v u u 3 7 3 1 2 87 álgebra vetorial e geometria analítica 05 Exprimir w 2 6 2 como combinação linear de u 2 0 0 e v 1 1 1 Resp impossível OBS De fato os vetores u v e w não são coplanares 06 Considere a i gura e expresse P B como combinação linear de A B e C B Resp P B C B A B 2 3 1 3 P A 2C P onde P A P B A B e C P C B P B SUGESTÃO 07 Sendo P o ponto médio do lado BC do triângulo ABC conforme a i gura ex primir P A como combinação linear de B A e C A Resp P A B A C A 1 2 1 2 13 COMBINAÇÃO LINEAR DE 4 VETORES Teorema Sejam três vetores do espaço tridimensional u1 u2 e u3 não nulos e não coplanares então qualquer vetor v pode ser expresso como combinação linear de u1 u2 e u3 v k1u1 k2u2 k3u3 88 Jacir J Venturi Demonstração Fixemos no E3 um ponto A e trace mos o plano a paralelamente a u1 e u2 e passante por A A imagem geométrica do vetor v é B A Por B conduzimos uma paralela ao vetor u3 interceptando a no ponto C Do triângulo ABC B A C A B C 1 Como C A é coplanar a u1 e a u2 C A k1u1 k2u2 2 Como B C é paralelo a u3 B C k3u3 3 Substituindo 2 e 3 em 1 v k1u1 k2u2 k3u3 cqd Que o jovem de hoje se transforme em locomotiva e não em vagões em águias e não em ovelhas 01 No paralelepípedo expressar F A como combinação linear de C D D A e E B Resp F A C D D A E B 89 álgebra vetorial e geometria analítica 02 Sendo P o vértice de uma pirâmide cuja base é o paralelogramo ABCD expri mir D P como combinação linear de A P B P e C P Resp D P A P C P B P Faça a i gura onde D A C B ou D P A P C P B P SUGESTÃO 03 No tetraedro OABC P é o ponto médio de BC Exprimir P A como combi nação linear de A O B O e C O Resp P A B O C O A O 1 2 1 2 14 ÂNGULO DE DOIS VETORES O ângulo 0º θ 180º de dois vetores u e v é o ângulo formado entre suas direções levandose em consideração os sentidos de u e v Exemplos u e v são ortogonais u e v são equiversos 0 θ 90 90 θ 180 θ 90 θ 0 90 Jacir J Venturi u e v são contraversos θ 180 0 θ 90 15 MULTIPLICAÇÃO INTERNA OU ESCALAR Símbolo u v A notação acima é devida ao físico norteamericano J W Gibbs 1839 1903 Representase também u x v notação em desuso OBSERVAÇÃO Definição O produto interno ou escalar de dois vetores u e v é o número escalar tal que u v u v cosθ Onde 0º θ 180º é a medida do ângulo formado entre os vetores u e v A operação de multiplicação escalar foi criada por Grassmann OBSERVAÇÃO Sinal do produto interno u v 0 indica que cos θ 0 o que ocorre quando θ é ângulo agudo Se u v 0 então θ é ângulo obtuso u v 0 u v 0 91 álgebra vetorial e geometria analítica Nulidade do produto escalar u v 0 se I um dos vetores for nulo II os dois vetores forem ortogonais pois cos 90º 0 Módulo de um vetor O módulo de um vetor u pode ser calculado através do produto interno pois u u u u cos 0º Donde u 2 u u u u u Ângulo de dois vetores O cálculo do ângulo entre dois vetores se faz de forma trivial isolandose o cos θ na fórmula do produto escalar cos θ u v u v Interpretação geométrica do produto escalar Na i gura AB é a medida algébrica da projeção do vetor v sobre a dire ção do vetor u Em símbolos AB projuv Do triângulo retângulo ABB AB AB cos θ v cos 0 92 Jacir J Venturi Seja u o versor do vetor u A última igualdade não se altera se a multi plicarmos por u AB u v cos θ A igualdade persiste com u u u projuv u v u ou u v u projuv Se o ângulo entre u e v for agudo a medida algébrica da projeção será positiva Se obtuso negativa Exemplo Dados u 3 e v 2 e uv 60 achar a medida da projeção do vetor v sobre u Resolução u v u v cos 60 3 2 1 2 3 projuv u v u 3 3 1 Propriedades do produto escalar I Comutativa u v v u II Associativa em relação à multiplicação por um escalar k k u v ku v u kv III Distributiva em relação à adição de vetores u v w u v u w 93 álgebra vetorial e geometria analítica Demonstração Na igura v B A e w C B e por consequência v w C A Os pontos A B e C são as projeções ortogonais de A B e C sobre uma reta paralela ao vetor u Pelo teorema de Carnot A C AB BC ou projuAC projuAB projuBC ou ainda projuv w projuv projuw Multiplicando os dois membros por u temse u proju v w u projuv u projuw igualdade que pela interpretação geométrica do produto interno pode ser escrita u v w u v u w qed Exemplo Sendo u 4 v 5 e uv 120 calcular 1 u v Resolução u v 2 u v u v u u u v v u v v u 2 v 2 2 u v cos θ 42 52 24 5 cos 120 21 Resp u v 21 2 vers u v Resolução vers u v u v u v u v 21 94 Jacir J Venturi Sem liberdade o ser humano não se educa Sem autoridade não se educa para a liberdade Jean Piaget 1896 1980 educador e epistemologista suíço 01 Calcular u v e o versor de u v sabendose que u 4 v 6 e uv 60 Resp 2 7 2 7 e u v 02 Sendo u 2 v 3 w 4 uv 90 e vw 30 calcular OBS u v e w são coplanares a u v Resp 13 b vers u v Resp u v 13 c u v v u Resp 5 d u v w Resp 21 12 3 e o vetor w como combinação linear de u e v Resp w u v 2 3 3 w k1u k2v 1 multiplique escalarmente por u 2 multiplique escalarmente por v SUGESTÃO 95 álgebra vetorial e geometria analítica 01 Determinar o ângulo uv sabendose que u v w 0 u 2 v 3 e w 4 Resp uv arc cos 1 4 u v w ou u v u v w w SUGESTÃO 02 Provar a lei dos cossenos c2 a2 b2 2ab cos θ c a b c c a b a b c 2 a 2 b 2 2a b c 2 a 2 b 2 2 a b cos θ SUGESTÃO 03 Seja um paralelogramo construído sobre u e v Determinar o ângulo θ entre as diagonais do paralelogramo Dados u 3 v 1 e uv π 6 Resp θ arc cos 2 7 7 As diagonais são u v e u v Então seu produto interno é u v u v u v u v cos θ SUGESTÃO 04 Calcular o ângulo entre os vetores a 2b c e a b 2c sabendose que a b c 1 e que a b e c são mutuamente ortogonais Resp 3 π 96 Jacir J Venturi 05 Sendo u v e w mutuamente ortogonais demonstrar que a u v 2 u 2 v 2 b u v w 2 u 2 v 2 w 2 06 Na i gura calcular o ângulo θ entre os vetores b e c sendo a 2 e b 2 2 Resp 5 6 π Como c a b faça o produto escalar entre b e a b SUGESTÃO 07 Na i gura estão representadas as imagens geométricas dos vetores u v e w Sendo u v 2 e w 4 escrever w como combinação linear de u e v Resp w 2u v 08 Sabendose que os vetores u v e w formam dois a dois ângulos de 60 e tais que u 4 v 2 e w 1 Achar o módulo do vetor s u v w Resp s 35 Desenvolva o produto interno s s u v w u v w SUGESTÃO 97 álgebra vetorial e geometria analítica 16 EXPRESSÃO CARTESIANA DO PRODUTO ESCALAR De extraordinária importância é a expressão cartesiana de u v Num sis tema cartesiano ortogonal são conhecidos os vetores u e v por suas expressões cartesianas u x i y j z k v x i y j z k 1 1 1 2 2 2 Dedução u v x i y j z k x i y j z k x x i i x y j 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 j x z i k x y i j y y j j y z j k x z i k y z 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 j k z z k k No entanto i i j j k k i 2 j 2 k 2 1 i j i k j k 0 Donde u v x1x2 y1y2 z1z2 que é a expressão cartesiana do produto escalar Desta também se infere a condição de ortogonalidade de u e v u v x1x2 y1y2 z1z2 0 e também o módulo de um vetor u 2 u u x2 1 y2 1 z2 1 Geometricamente o módulo é a medida da diagonal de um paralelepí pedo reto 98 Jacir J Venturi Exemplo Dados u 3 i j e v 2 i 2 j 2k obter 1 u v u v 32 12 02 8 2 u u 2 32 12 02 10 u 10 3 v v 2 22 22 22 12 v 2 3 4 O ângulo θ entre os vetores u e v u v u v cos θ substituindo os valores acima obtidos 8 10 2 3 cos θ ou cos θ 4 30 ou θ θ arc cos ou seja 4 30 43 O mundo é um vasto templo dedicado à discórdia François M Voltaire 16941778 escritor francês 01 Calcular os módulos e o produto escalar dos vetores u i j v i j k 3 4 7 e Resp u 5 v 3 u v 1 99 álgebra vetorial e geometria analítica 02 lndicar quais vetores são unitários u v w 1 1 1 2 2 0 2 2 0 0 1 Resp v e w são unitários 03 Determinar m sabendose ortogonais os vetores u i mj k v i j k 3 2 e Resp m 2 04 Sendo u i j k v i j 2 e achar a a medida do ângulo entre os vetores u e v Resp 150 b a medida da projeção do vetor v sobre o vetor u Resp 6 2 u c 01 Sabendose que u v e w são coplanares e u j k v j k w j 2 3 3 e exprimir w como combinação linear de u e v Resp w u v 9 7 3 7 02 Achar o ângulo θ entre os vetores u 10 5 0 e v 1 2 3 Resp θ π 2 03 Provar que ABC é triângulo retângulo sendo A 3 2 8 B 0 0 2 e C 3 5 10 100 Jacir J Venturi 04 Demonstrar vetorialmente a fórmula da distância entre os pontos P x1 y1 z1 e P x2 y2 z2 Resp d x x y y z z 2 1 2 2 1 2 2 1 2 P P x x i y y j z z k 1 2 2 1 2 1 2 1 então d P P 2 1 SUGESTÃO 05 Dados u i k v i j 2 2 e calcular o vers 2u v Resp 2 3 1 3 2 3 i j k 06 Os vetores u ai j v i j k e 2 2 formam um ângulo de 45 Achar os valores de a Resp 1 e 7 07 Os vetores u e v são paralelos Calcular o vetor v conhecendose u 2i j k e u v 3 Resp v i j k 1 2 1 2 08 São ortogonais os vetores u 2 4 1 e v 1 0 2 Resp Sim 09 Dado o triângulo retângulo ABC com ângulo reto em B determinar a medida da projeção do cateto AB sobre a hipotenusa AC Dados A 0 0 2 B 3 2 8 e C 3 5 10 Resp 7 2 2 101 álgebra vetorial e geometria analítica 10 Seja o triângulo de vértices A 0 0 0 B 1 2 1 e C 1 1 2 Pedese o ângulo interno ao vértice A Resp 120º 11 Achar os vetores v x y z tais que 1 v 6 2 v é ortogonal a u 3 3 0 3 v é ortogonal a w 0 2 1 Resp 1 1 2 12 Pedese o vetor u x y z sabendose que 1 u é paralelo a v 1 1 2 2 u w 15 onde w 2 1 3 Resp 3 3 6 13 Sendo u 2a a 2a determinar a para que u seja um versor Resp a 1 3 14 Determinar a para que seja de 45 o ângulo entre os vetores u 1 a 0 e j Resp a 1 15 Calcular o valor de m para que o vetor u v seja ortogonal ao vetor w u onde u 2 1 m v m 2 5 2 e w 2m 8 m Resp 6 e 3 102 Jacir J Venturi 16 Os pontos A 2 1 2 B 1 2 z e C 1 0 1 são vértices de um triân gulo retângulo com ângulo reto em B Calcular z Resp 1 ou 2 O produto interno dos catetos deve ser nulo Por exemplo B A C B 0 SUGESTÃO Série B O amor não garante uma boa convivência De uma psicoterapeuta na Rádio CBN 17 Provar que as diagonais de um losango são ortogonais entre si Se as diagonais são ortogonais C A B D 0 Mas C A B A C B e B D A D B A Substituindo B A C B A D B A 0 Aplicando a propriedade distributiva B A 2 A D 2 0 donde B A A D SUGESTÃO 103 álgebra vetorial e geometria analítica 18 Demonstrar que num triângulo retângulo qualquer cateto é média geométrica entre sua projeção sobre a hipotenusa e a hipotenusa inteira Na i gura a b c Multiplicando escalarmente por b a b b b b c a b cos θ b 2 b c cos 90 Porém b cos θ m Então a m b 2 b2 am SUGESTÃO 19 Demonstrar que num triângulo retângulo a altura relativa à hipotenusa é média geométrica entre as projeções dos catetos sobre a hipotenusa Na i gura b m h c n h Multiplicando escalarmente membro a membro r r r r r r r r r r r r r r b m h n h m n m n h h h c h 0 0 0 Logo h2 mn SUGESTÃO 104 Jacir J Venturi 17 MULTIPLICAÇÃO VETORIAL OU EXTERNA Símbolo u x v Triedro positivo Os vetores u v w nesta ordem formam um triedro positivo se um ob servador postado em w e de frente para u e v tem à sua direita o vetor u e à sua esquerda o vetor v Ao repto de convencionar o triedro positivo a Física utiliza a regra da mão esquerda dispõese o dedo médio na direção e sentido de u o indica dor na direção e sentido de v o polegar indicará a direção e o sentido de w Definição O produto vetorial ou externo de dois vetores u e v não paralelos entre si é um terceiro vetor com as seguintes características quanto 1 à direção o vetor u x v é perpendicular aos vetores u e v 2 ao sentido os vetores u v e u x v nesta ordem formam um triedro positivo 3 ao módulo u x v u v sen θ onde θ é a medida do ângulo entre u e v x 105 álgebra vetorial e geometria analítica 1 Como operação autônoma a multiplicação vetorial foi criada por J Gibbs 2 Merecem cuidados u v u v cos θ verdadeiro u x v u v sen θ falso OBSERVAÇÃO Nulidade do produto externo u x v 0 se I um dos vetores for nulo II os dois vetores forem paralelos pois o sen θ 0 quando θ 0º ou θ 180º Enfatizemos que para u 0 e v 0 a o produto interno é nulo para u e v ortogonais b o produto externo é nulo para u e v paralelos Face o exposto não é factível o cancelamento do fa tor comum a u w u v e a u x w u x v OBSERVAÇÃO Propriedades I Anticomutativa u x v v x u A justii cativa é apresentada pela i gura onde u x v v x u II Associativa ku x v ku x v u x kv 106 Jacir J Venturi III Distributiva em relação à adição de vetores u x v w u x v u x w A demonstração i ca postergada Está condicionada à apresentação das propriedades do produto misto OBSERVAÇÃO Multiplicação externa dos versores i j e k Em particular os versores i j e k nesta ordem representam um triedro positivo Na prática utilize a circunferência para efetuar o produto externo de dois desses versores cujo resulta do é o versor faltante de sinal positivo se no sentido antihorário Negativo se no sentido horário Exemplos i j k i k j k j i k i j x x x x Casos particulares i x i j x j k x k 0 i j k i j k 107 álgebra vetorial e geometria analítica Expressão cartesiana do produto vetorial Todo o capítulo de vetores apresenta uma importância assaz grande para a sua vida acadêmica e quiçá proi ssional Em especial o assunto em pauta Dados u x i y j z k v x i y j z k 1 1 1 2 2 2 e calcular u x v na base ortogonal i j k r r r r r r r r r r r u v x i y j z k x i y j z k x x i i x x x 1 1 1 2 2 2 1 2 0 x y i j x z k x y j i y y j k j k 1 2 1 2 2 1 1 2 r r r r r r r r r r x i x x x x x x r r r r r r r r r r r j y z j k x z k i y z k j z z i j i 0 1 2 2 1 2 1 1 22 0 r r k r k x Fatorando em relação aos versores i j e k u x v y1z2 y2z1 i x2z1 x1z2 j x1y2 x2y1k Tal expressão pode ser escrita numa forma mais mnemônica através do determinante u x v i j k x2 x1 z1 z2 y2 y1 108 Jacir J Venturi Exemplo Sendo u i j k v i j k 2 2 e calcular 1 u x v Resolução u x v i j k 1 2 1 1 1 1 i j k 5 3 2 o vetor unitário ortogonal ao vetor u e a v Resolução n vers u x v u x v u x v Onde u x v 1 5 3 35 2 2 2 Então n i j k i j k 5 3 35 1 35 5 35 3 35 Se o mundo é ruim talvez não seja pela quantidade de maus mas pela mediocridade dos bons 109 álgebra vetorial e geometria analítica 01 Efetuar a i x k x i x j b i x k x k x j x j x j Resp a j e b 0 01 Conhecidos u 2i 3 j k e v i j 2k pedese a u x v Resp 7i 3j 5k b v x u Resp 7i 3j 5k c u x v Resp 83 d v x u Resp 83 01 Determinar o vetor unitário n ortogonal aos vetores u 2 3 1 e v 1 1 2 Resp n 7 5 3 1 3 1 5 3 02 Achar o vetor w x y z tal que w 1 0 2 3 e w x 1 0 1 2 3 2 Resp w 3 2 0 03 Calcular o u conhecendose u x v 4 2 v 2 e uv 45 Resp 4 04 O vetor w tem módulo 7 forma um ângulo agudo com o eixo das abscissas e é ortogonal aos vetores u i 2 j e v i 4 j 3k Pedese w Resp w 6i 3j 2k 111 álgebra vetorial e geometria analítica 02 Na i gura abaixo obter u v u w v w v x w Resp v w 03 Num hexágono regular a medida de cada lado vale 2 Calcular A B x C B Resp 2 3 04 Seja a um plano determinado pelos vetores u 2 1 0 e v 0 1 1 De terminar o conjunto de vetores ortogonais a a Resp k 1 2 2 18 ÁREA DE UM PARALELOGRAMO E DE UM TRIÂNGULO Tratarseá da interpretação geométrica do produto externo de dois vetores Área de um paralelogramo Seja um paralelogramo construí do sobre u B A e v D A e h a sua altura Da Geometria Plana SABCD ABh Mas AB u h v sen θ Substituindo SABCD u v sen θ ou SABCD u x v 112 Jacir J Venturi Ou seja geometricamente o módulo do produto externo de u e v coincide com a área do paralelogramo construído sobre u e v Por diferença de pontos SABCD B A x D A Área de um triângulo Face o exposto depreendese facilmente que a área do triângulo ABC é obtida por S u x v ABC 1 2 Por diferença de pontos S B A x C A ABC 1 2 Área de polígono Conhecidos os vértices de um polígono podemos decompôlo em triân gulos Exemplii cando seja um pentágono de vértices Pi xi yi zi com i 1 2 3 4 5 S S S S P P P P P P P P P 1 2 3 1 3 4 1 4 5 113 álgebra vetorial e geometria analítica Não se mede a ei ciência de um administrador se problemas existem mas avaliando se esses problemas ainda são os mesmos John Foster Dulles 18881959 secretário de Estado norteamericano 01 Sendo u 4 v 3 e uv 150 calcular a a área do triângulo construído sobre u e v b a área do paralelogramo construído sobre u v e 2u 3v Resp a 3 ua b 30 ua 01 Pedese a área o paralelogramo construído sobre u 2v e u v sendo u 4 v 3 e uv 120 Resp 18 3 u a 02 Provar que a área do paralelogramo construído sobre a b e a b é o dobro da área do paralelogramo construído sobre a e b Área do paralelogramo sobre a b e a b S a b x a b Aplicando a propriedade distributiva S 2 b x a cdq SUGESTÃO 03 Calcular a área do triângulo construído sobre u 2i j k e v i j k Resp 2 2 ua 04 A área de um paralelogramo construído sobre u 1 1 a e v 1 1 0 é igual a 22 Pedese o valor de a Resp a 3 114 Jacir J Venturi 05 Determinar a área do paralelogramo construído sobre u e v cujas diagonais são u v 0 3 5 e u v 2 1 1 Resp 35 ua Resolva o sistema u v u v 0 3 5 2 1 1 obtendo u e v SUGESTÃO 06 No triângulo de vértices A 0 0 2 B 3 2 8 e C 3 5 10 calcular a a medida dos lados a b c Resp 7 7 2 7 b a medida dos ângulos A B C Resp 45 90 45 c a área do triângulo Resp 49 2 u a 01 Os pontos 3 1 1 1 2 3 2 1 0 são os pontos médios dos lados do tri ângulo ABC Qual a área do triângulo ABC Resp 2 66 ua 02 Calcular a altura relativa ao vértice B do triângulo de vértices A 2 4 0 B 0 2 4 e C 6 0 2 Resp hB 10 2 3 S AC h ABC B 2 SUGESTÃO 115 álgebra vetorial e geometria analítica 03 Demonstrar a lei dos senos 2SABC a x b a x c b x c ou a b sen C a c sen B b c sen A a b c sen c sen b sen a sen a sen b sen c C B A ou A B C cqd SUGESTÃO 04 Achar a área do quadrilátero A 1 4 0 B 5 1 0 C 0 1 0 e D 4 2 0 Resp 24 ua 19 MULTIPLICAÇÃO MISTA Definição Dados os vetores u v e w o produto misto desses três vetores é o escalar representado por u x v w Quanto à ordem das operações realizase inicialmente o produto externo e em seguida o produto interno Nulidade do produto misto u x v w 0 se I pelo menos um dos vetores for nulo II u for paralelo a v pois u x v 0 III os três vetores forem coplanares 116 Jacir J Venturi Interpretação geométrica do produto misto Os três vetores não copla nares u v e w representam ares tas de um paralelepípedo Sabese da Geometria Espa cial que o volume do paralelepí pedo Vp é o produto da área da base pela altura Vp SABCDh Mas SABCD u x v h w cos θ do triângulo retângulo AEE Substituindo Vp u x v w cos θ Como θ é o ângulo formado entre o vetor u x v e o vetor w temse acima a fórmula do produto interno entre os vetores u x v e w Vp u x v w Geometricamente o produto misto u x v w representa o volume de um paralelepípedo de arestas u v e w Convenção de sinal O volume do paralelepípedo pode estar afetado pelo sinal positivo ou negativo conforme o ângulo θ seja agudo ou obtuso respectivamente Justii cativa I Se 0 θ 90 cos θ Vp II Se 90 θ 180 cos θ Vp 117 álgebra vetorial e geometria analítica Em particular se a θ 0 Vp b θ 180 Vp c θ 90 Vp 0 OBSERVAÇÃO Vp Vp Volume do tetraedro O volume do tetraedro Vt equivale a 1 6 do volume de um paralelepípedo Vp construído sobre os mesmos vetores u v e w V V t p 1 6 Então V u x v w t 1 6 Por diferença de pontos V B A x C A D A t 1 6 118 Jacir J Venturi Propriedades do produto misto I Cíclica a permuta circular ou cíclica dos fatores não altera o produto misto Por outro lado o produto misto troca de sinal quando se per muta não ciclicamente seus fatores Exemplos u x v w v x w u w x u v x u w x w v v u I Permuta dos símbolos não se altera o produto misto quando se permuta os símbolos da multiplicação interna e externa Exemplo u x v w u v x w Expressão cartesiana do produto misto Consideremos os vetores por suas expressões cartesianas u x i y j z k v x i y j z k w x i y j z k 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Procuramos a expressão cartesiana de u x v w 1º passo u v x i y j z k x x i y j z k y z y x 1 1 1 2 2 2 1 2 2z i x z x z j x y x y k 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2º passo Multiplicamos escalarmente esta última expressão pelo vetor w u v w x y z y z y x z x z z x y x y x 3 1 2 2 1 3 2 1 1 2 3 1 2 2 1 A memorização de tal expressão apresenta uma certa diiculdade Por isso fazse mister sob o aspecto mnemônico que se empregue um determi nante dada a coincidência de resultados 119 álgebra vetorial e geometria analítica u x v w x2 x3 x1 z1 z1 z3 y2 y3 y1 expressão cartesiana do produto misto A corrupção não é uma invenção brasileira mas a impunidade é uma coisa muito nossa Jô Soares n 1938 na Folha de S Paulo 01 Dados os vetores u i j k v i j k w i k 3 2 6 3 5 8 e cal cular a a área do paralelogramo construído sobre u e v b o volume do paralelepípedo construído sobre u v e w c a altura em valor absoluto do paralelepípedo d o volume do tetraedro construído sobre u v e w Resp a b c d 49 7 1 7 7 6 01 Calcular o volume do tetraedro de arestas u i j k 3 2 6 v i j 2 e w i j k 3 4 Resp 19 3 02 Determinar x para que o ponto A pertença ao plano BCD Dados A 4 5 x B 4 4 4 C 0 1 1 D 3 9 4 Resp x 1 Faça V B A x C A D A t 1 6 0 SUGESTÃO 120 Jacir J Venturi 03 Os vetores i j k i j k i j k 2 3 2 3 4 e são coplanares Resp Sim 04 Calcular o volume do paralelepípedo construído sobre i j k Resp 1 uv 05 Na i gura abaixo estão representados os vetores v1 v2 e v3 Achar o produto misto v1 v2 v1 2v2 x v3 2v1 Resp 6 06 Calcular o ângulo da diagonal do cubo com a diagonal de uma face de mesma origem Resp cos θ 6 3 ou θ 35 Sejam A O i j e P O i j k os vetores que dão as direções das diago nais Faça o produto interno SUGESTÃO 121 álgebra vetorial e geometria analítica 07 Determinar o ângulo agudo formado por duas diagonais de um cubo Resp cos θ 1 3 ou θ 70 Série B 08 Demonstrar a propriedade distributiva do produto externo u x v w u x v u x w 20 DUPLA MULTIPLICAÇÃO VETORIAL Definição Dados os vetores u v e w chamase duplo produto vetorial ou duplo pro duto externo ao vetor u x v x w ou ao vetor u x v x w Esses dois vetores na maioria esmagadora das vezes são distintos não se verii cando a propriedade associativa É imprescindível portanto o uso dos parênteses Relembrando u v resulta um escalar u x v w resulta um escalar u x v resulta um vetor u x v x w resulta um vetor OBSERVAÇÃO Representação do duplo produto externo Sem muita dii culdade pode mos visualizar o vetor u x v x w Na i gura representase u e v co planarmente a a w não pertence ao plano a u x v é um vetor orto gonal a a efetuandose o produto externo entre u x v e w temse um vetor ortogonal a eles e em de corrência coplanar a a lpso facto os vetores u v e u x v x w são coplanares Donde se infere que o vetor u x v x w pode ser expresso como combinação linear de u e v Assim u x v x w k1u k2v w v u u x v u x v x w 122 Jacir J Venturi Sobre todas as coisas há três pontos de vista o teu o meu e o correto Provérbio chinês 01 Sejam os vetores u i j k v i j w i j k 3 2 6 2 3 4 e achar a u v Resp 8 b u x v Resp 181 c u x v w Resp 38 d u x v x w Resp 51 25 6 i j k e u x v x w Resp 62 3 32 i j k 01 Dados os vetores u 2 0 0 v 1 1 1 e w 3 2 1 calcular a u x v x w Resp 2 19 b u wv v wu Resp 2i 6j 6k c o vetor u x v x w como combinação linear de u e v Resp u x v x w 4u 6v 123 álgebra vetorial e geometria analítica Quanto ao item c faça u x v x w k1u k2v SUGESTÃO 01 Considerando os vetores u 1 2 3 v 1 1 2 a 2 4 3 e b 2 1 0 calcular a u x v a x b Resp 9 b u x v x a x b Resp 48 3 21 Série B 01 Demonstrar os teoremas a u x v x w u wv v wu b u x v x w u wv u vw Posicionandose os vetores u v e w conforme a i gura u x i v x i y j w x i y j z k 1 2 2 3 3 3 SUGESTÃO História da Matemática 124 Jacir J Venturi Símbolos e notações matemáticas Apropriadamente já se defi niu a Matemática como a rainha e a serva de todas as ciências E os apanágios de sua majestade são o rigor a lógica a harmonia e sua linguagem precisa universal e sincopada Sabemos que os gregos antigos promoveram um grande desenvolvimento à Geometria Plana e Espacial mas não dispunham de uma notação algébrica ou de simbologia adequadas Até o século XVI toda a expressão matemática se fazia de uma forma excessivamente verbal ou retórica Por exemplo em 1591 Viète para repre sentar a equação quadrática 5A2 9A 5 0 escrevia em bom latim 5 in A quad et 9 in A planu minus 5 aequatur 0 5 em A quadrado e 9 em A plano menos 5 é igual a zero Além da prolixidade de comunicação entre os matemáticos havia outras difi culdades pois utilizavamse notações diferentes para indicar as mesmas coi sas O maior responsável por uma notação matemática mais consistente e uti lizada até hoje foi Leonhard Euler 17071783 Recordemos as principais fx para indicar função de x somatória provém da letra grega sigma que corresponde ao nosso S i unidade imagi nária igual a 1 e base do logaritmo neperiano e igual a 27182 log x para indicar o logaritmo decimal de x as letras minúsculas a b c para indi carem os lados de um triângulo e as letras maiúsculas A B C para os ângulos opostos A letra p 31415 que havia sido utilizada por William Jones em 1706 teve o uso consagrado por Euler Este nasceu em Basileia Suíça e recebeu educação bastante eclética Ma temática Medicina Teologia Física Astronomia e Línguas Ocidentais e Orien tais Foi aluno de Jean Bernoulli e amigo de seus fi lhos Nicolaus e Daniel 125 álgebra vetorial e geometria analítica História da Matemática Extremamente profícuo insuperável em produção matemática Euler escre via uma média de 800 páginas por ano e publicou mais de 500 livros e artigos Em plena atividade intelectual morreu aos 76 anos sendo que os últimos 17 anos passou em total cegueira consequência de catarata Mesmo assim conti nuou ditando aos seus filhos eram 13 Euler se ocupou com praticamente todos os ramos então conhecidos da Matemática a ponto de merecer do francês François Arago o seguinte comentá rio Euler calculava sem qualquer esforço aparente como os homens respiram e as águias se sustentam no ar Em 1748 publica sua principal obra com o título latino Introductio in Analysis ininitorum Introdução à Análise Infinita considerada um dos marcos mais importantes da Análise como disciplina sistematizada Destarte Euler recebeu a alcunha de Análise Encarnada A implementação dos símbolos mais adequados foi acontecendo natural mente ao longo das décadas ou dos séculos sob a égide da praticidade e do pragmatismo É evidente porém que pouco se pode afirmar com precisão nesta evolução Alguns exemplos SÍMBOLO DE O primeiro a empregar o símbolo de para a adição em expressões arit méticas e algébricas foi o holandês V Hoecke em 1514 Há historiadores porém que creditam tal mérito a Stifel 14861567 Uma explicação razoável é que até então a adição de dois números por exemplo 3 2 era representada por 3 et 2 Com o passar dos anos a conjunção latina et que significa e foi sincopada para t donde se originou o sinal de SÍMBOLO DE Pode ter sido fruto da evolução abaixo exposta conforme se observa nos escritos dos matemáticos italianos da Renascença 1 5 minus 2 3 minus em latin signiica menos 2 5 m 2 3 m é a abreviatura de minus 3 5 2 3 sincopouse o m da notação m 126 Jacir J Venturi História da Matemática SÍMBOLOS DA MULTIPLICAÇÃO O símbolo de x em a x b para indicar a multiplicação foi proposto pelo in glês William Oughthed 15741660 É provável que seja originário de uma alte ração do símbolo de O ponto em a b foi introduzido por Leibniz 16461716 SÍMBOLOS DA DIVISÃO Fibonacci séc XII emprega a notação a b ou ab já conhecidas dos ára bes A notação a b é devida a Leibniz em 1648 Já o inglês J H Rahn 1622 1676 emprega a notação a b SÍMBOLO p É a inicial da palavra grega perijereia que significa circunferência Sa bemos que p 31415926535 é um número irracional e é a razão entre o comprimento da circunferência pelo seu diâmetro O aparecimento do símbolo p só aconteceu em 1706 e devese a Willian Jones um amigo de Newton No entanto a consagração do uso do p devese ao matemático suíço Leonhard Euler 17071783 Em 1873 como muito se discutia sobre a irracionalidade do p o inglês W Shanks calculouo com 707 casas decimais Os cálculos eram laboriosos e feitos manualmente e Shanks levou cerca de 5 anos para efetuálos SÍMBOLO DE RAIZ Apareceu pela primeira vez na obra Die Coss 1525 do matemático ale mão C Rudolff Este sugeria o símbolo por sua semelhança com a primeira letra da palavra latina radix raiz SÍMBOLO DE IGUALDADE Tudo indica que o sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde 1557 pois nada é moare equalle a paire de paralleles nada é mais igual que um par de retas paralelas 127 álgebra vetorial e geometria analítica História da Matemática SÍMBOLOS DE OU O inglês Thomas Harriot 15601621 foi o introdutor dos símbolos de ou para indicar maior ou menor respectivamente No entanto os símbolos ou surgiram mais tarde em 1734 com o francês Pierre Bouguer ALGARISMOS INDOARÁBICOS A palavra algarismo oriundase provavelmente do nome de um dos maio res algebristas árabes AlKhowarismi Este escreveu o livro que recebeu o título latino De numero hindorum sobre os números dos hindus Esta obra apresenta a morfologia de números muito próxima dos símbo los 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Tais símbolos haviam sido criados pelos hindus mas dado ao grande sucesso da obra em toda a Espanha ficaram conhecidos como algarismos arábicos O monge e matemático francês Gerbert dAurillac tomou conhecimento dos algarismos indoarábicos em Barcelona no ano de 980 No ano de 999 Gerbert foi eleito Papa com nome de Silvestre II e promoveu a divulgação de tais algarismos O zero aparece pela primeira vez num manuscrito muçulmano do ano de 873 Pecando por entusiasmo e exagero um matemático afirmou o zero é a maior invenção da Matemática Ou seria o maior algoz do aluno ALGARISMOS ROMANOS Estes por sua vez tiveram influência dos etruscos Pelos manuscritos da época concluise que os algarismos romanos se consolidaram pelo ano 30 dC O símbolo I que representa o nº 1 é uma das formas mais primitivas de se representar algo e tem origem incerta Já o X que representa o nº 10 decorre da palavra latina decussatio que significa cruzamento em forma de X O número 100 identificado pela letra C em algarismo romano provém da inicial latina centum cem O algarismo romano M decorre da palavra latina mille que significa 1000 Do autor CAPÍTULO 128 6 Vetores apLicaçÕes GeoMÉtricas cLássicas 1 PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UM OUTRO VETOR Um assunto útil à Física f representa uma força aplicada a um bloco Nosso escopo é de compor f sobre outro vetor ou sobre os eixos cartesianos x e y Determinar o vetor v1 projeção do vetor v sobre o vetor u 0 Dedução Sendo v1 paralelo a u v1 ku 1 Mas v v1 v2 2 Substituindo 1 em 2 v ku v2 Multiplicando escalarmente por u u v ku u u v2 ou u v k u k u v u 2 2 0 3 Substituindo 3 em 1 v u v u u 1 2 Ou simbolicamente vetor projuv u v u u 2 Fórmula que fornece o vetor projeção de v na direção de u ou sobre u 129 álgebra vetorial e geometria analítica 1 Obtido v1 na necessidade de calcularse v2 v1 v2 v v2 v v1 onde v2 representa a projeção do vetor v na direção ortogonal a u 2 Reiteramos o exposto na interpretação geométrica do produto interno que a medida algébrica do vetor projeção de v sobre u é obtida por u v u OBSERVAÇÃO Exemplo Dados os vetores u i j e v 2 i j 2k calcular 1 O vetor projeção de v sobre u Fórmula v u v u u 1 2 u v 12 11 02 3 u 2 12 12 02 2 Substituindo na fórmula v1 3 2 1 1 0 Resp v1 3 2 3 2 0 130 Jacir J Venturi 2 v2 o vetor projeção de v sobre a direção ortogonal a u v2 v v1 vetor projuv 2 1 2 3 2 3 3 0 Resp v2 1 2 1 2 2 3 a medida algébrica da projuv projuv u v u 3 2 3 2 2 Ninguém terá direito de ser medíocre no séc XXI Na mesa de jogo deste século a qualidade não será mais um diferencial competitivo mas o cacife mínimo para pedir as cartas Luiz Almeida Marins Filho PhD e consultor numa palestra em Florianópolis 01 Sendo u 5 2 5 e v 2 1 2 calcular o vetor projuv Resp 4 2 4 02 Dados u 5 2 5 e v 2 1 2 determinar o vetor projvu Resp 5 3 2 3 5 3 03 O valor da medida algébrica da projeção de v 5 4 3 sobre u 0 3 0 é Resp 4 131 álgebra vetorial e geometria analítica 04 Achar o vetor projeção de v 4i 5 j 3k sobre um vetor perpendicular a u 2i j 2k Resp 22 9 38 9 41 9 i j k ou o seu oposto 05 O vetor projeção de u 0 1 5 sobre o vetor v 3 5 1 é Resp 0 0 0 u e v são ortogonais OBSERVAÇÃO 06 Seja o triângulo retângulo em A de vértices A 3 2 8 B 0 0 2 e C 3 5 10 Calcular a BH b m c n Resp a b c 3 2 5 2 4 7 2 2 7 2 2 01 Calcular os vetores projeção de v 3i 2 j 3k sobre os eixos cartesianos x y e z Resp 3i 2j 3k 132 Jacir J Venturi 02 Na i gura abaixo temse o triângulo retângulo de vértices ABC Considere H o pé da altura do triângulo relativa ao vértice A e calcule o vetor H A Dados A 1 2 1 B 1 0 1 e C 2 1 2 Resp H A i j k 14 19 30 19 24 19 2 PROJEÇÃO DE UM PONTO SOBRE UM PLANO Projeção oblíqua Seja a um plano indi vidualizado pelo ponto A e por um vetor unitário n a ele ortogonal Queremos as coordenadas de P que é a projeção do ponto P sobre o plano a segundo a direção do vetor v dado Dedução O vetor P A é ortogonal a n O vetor P P é paralelo a v Donde P A n 0 1 e P P kv P P kv 2 Substituindo 2 em 1 P kv A n 0 ou P A n kv n 0 133 álgebra vetorial e geometria analítica lsolando k k A P n n v 3 Substituindo 3 em 2 P P A P n n v v Projeção ortogonal Para este caso basta substituir na fórmula acima o vetor v pelo vetor n Lembrando que n n 1 obtémse N P A P n n onde N é denominado pé da nor mal do ponto P sobre o plano a Cálculo de n Se o plano a for determinado por três pontos A B e C o vetor n unitário e normal ao plano é obtido por n B A x C A B A x C A 134 Jacir J Venturi É impossível evitar que os pássaros da dor da angústia e do desespero voem sobre nossas cabeças Mas podemos evitar que façam ninhos em nossos cabelos Provérbio chinês 01 Achar as coordenadas da projeção do ponto P sobre o plano determinado por A B e C segundo a direção do vetor v Dados A 2 1 0 B 0 2 1 C 0 0 2 P 0 1 0 e v i k Resp P 10 7 1 10 7 02 Calcular as coordenadas da projeção ortogonal de P 0 1 0 sobre o plano determinado pelos pontos A 2 1 0 B 0 2 1 e C 0 0 2 Resp N 30 29 9 29 40 29 03 Seja a um plano determinado pelos pontos A 0 0 3 B 1 1 3 e C 2 1 3 A distância entre os pontos P 1 0 1 e Q x 0 2 com x 0 é 2 Con sidere Q a projeção ortogonal do ponto Q sobre o plano a e P a projeção do ponto P sobre a segundo a direção do vetor v 2i j k Calcular a distância d entre os pon tos P e Q Resp 13 135 álgebra vetorial e geometria analítica 04 Considere os pontos A 1 0 1 B 1 1 2 C 0 2 1 D 1 2 0 e E 3 0 0 Calcular a intersecção da reta DE orientada no sentido de D para E com o plano ABC Resp P 2 5 0 3 DISTÂNCIA DE PONTO A PLANO Considere a um plano que contém o ponto A e ortogonal ao vetor unitário n Queremos a dis tância do ponto P ao plano a Dedução Do triângulo retângulo PNA dP a A P cos θ O segundo membro da igualdade acima não se altera se o multiplicarmos por n dP a A P n cos θ que exprime o produto escalar entre os vetores A P e n Donde se infere a fórmula dP a A P n A dP a é convencionada positiva se o segmento orientado PN tiver o sentido de n negativa se PN tiver o sentido contrário a n OBSERVAÇÃO Pé da normal N Tratase da fórmula da projeção ortogonal de um ponto sobre um plano deduzida no item anterior Então N P A P n n ou N P dP a n 136 Jacir J Venturi Se o plano a for individualizado por três pontos A B e C é mais cômo do calcular a distância do ponto P ao plano a como a altura do paralelepípe do cujas arestas são B A C A e P A d P a h altura do paralelepípedo volume do paralelepípedo área da base d P B A x C A P A B A x C A α Todos os que meditaram a arte de governar os homens se convenceram de que o destino de um país depende da educação dos jovens Aristóteles 384322 aC fi lósofo grego 01 Conhecidos os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 C 1 3 3 e D 2 1 5 achar a a altura do tetraedro ABCD relativa ao vértice A Resp h 5 5 b o pé da normal baixada de A sobre o plano BCD Resp N 2 5 1 9 5 137 álgebra vetorial e geometria analítica 01 Dados os pontos A 2 4 0 B 0 2 4 C 6 0 2 calcular a a altura do tetraedro OABC relativa a O origem Resp h 13 2 5 b o pé da normal baixada de O sobre o plano ABC Resp N 39 25 13 5 52 25 01 Achar a distância do ponto P ao plano determinado pelos pontos A B e C Dados P 5 4 8 A 2 3 1 B 4 1 2 e C 6 3 7 Resp 11 Não concordo com uma só palavra do que dizeis mas defenderei até a morte o direito de dizêla François M Voltaire 19641778 escritor francês 4 DISTÂNCIA DE PONTO A RETA Consideremos um ponto A e uma reta r esta individualizada por um ponto P e por um vetor unitário n que tem a sua direção Buscamos a distância do ponto A à reta r Do triângulo retângulo ANP dA r A P sen θ que não se altera se multiplicarmos o 2º membro por n dA r A P n sen θ que expressa o módulo do produto externo entre os vetores A P e n Com efeito dA r A P x n 138 Jacir J Venturi Cálculo do pé da normal N N é o pé da normal do ponto A sobre a reta r Com as devidas precauções quanto ao posicionamento dos pontos e do vetor n podese empregar a fór mula do parágrafo anterior N P A P n n Se a reta r for determinada por dois pontos B e C a distância do ponto A à reta BC pode ser obtida d A r hA altura do triângulo 2 área do triângulo comprimento da base d A r A B x C B C B O princípio mais profundamente enraizado na natureza humana é a ânsia de ser apreciado Willian James 18421910 fi lósofo norteamericano 01 01 Dados os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 C 1 3 4 determinar a a altura do triângulo ABC relativa a A Resp h 3 5 5 b o pé da normal baixada de A sobre a reta BC Resp N 1 3 5 14 5 139 álgebra vetorial e geometria analítica 01 Os pontos A 2 4 0 B 0 2 4 e C 6 0 2 são vértices de um triângulo Pedese a a área do triângulo Resp 10 2 b a altura relativa ao vértice B Resp 10 2 3 c o pé da normal baixada de B sobre a reta AC Resp N 26 9 28 9 4 9 01 Calcular a distância do ponto P 1 2 0 à reta determinada pelos pontos A 0 1 2 e B 3 0 1 Resp 5 22 11 5 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS A reta r1 é passante por P1 e paralela ao vetor r 1 A reta r2 contém o ponto P2 e tem a direção do vetor r 2 Nosso escopo é obter a fórmula da distância entre as retas reversas r1 e r2 Dedução 140 Jacir J Venturi Seja a um plano auxiliar que contém a reta r2 e é paralelo à reta r1 Des tarte a distância dr1 r2 entre as retas r1 e r2 é a distância de um ponto de r1 ao plano a Na i gura dr1 r2 P1 a Empregando para o 2º membro a fórmula da distância de ponto a plano dr1 r2 P1 P2 n Onde n vers r 1 x r 2 Por isso dr1 r2 P2 P1 vers r 1 x r 2 ou d r r P P r r r r 1 2 2 1 1 2 1 2 x x cujo resultado deve ser adotado em módulo Fazse mister registrar que no quociente acima temse para numerador o volume de um paralelepípedo de arestas P2 P1 r 1 e r 2 para denominador a área de sua base Cálculo dos pés da normal comum N1 N2 O vetor N1 P1 é paralelo ao vetor r 1 e N2 P2 é paralelo ao vetor r 2 lmpondo a condição de paralelismo N P k r N P k r 1 1 1 1 1 1 1 1 e N P k r N P k r 2 2 2 2 2 2 2 2 Subtraindo membro a membro 1 de 2 temse N N P P k r k r 2 1 2 1 2 2 1 1 3 141 álgebra vetorial e geometria analítica Roteiro para o cálculo de k1 e k2 1 Multiplicase escalarmente 3 por r 1 2 Multiplicase escalarmente 3 por r 2 3 Resolvese o sistema de duas equações do 1º grau em k1 e k2 4 Substituise k1 em 1 obtendose N1 O k2 é substituído em 2 para se obter N2 Tendose N1 e N2 é útil enfatizar que N1 N2 d r1 r2 OBSERVAÇÃO Os maiores inimigos do homem estão dentro do próprio homem são as mágoas os ressentimentos De um cacique indígena 01 As retas r1 e r2 são determinadas por r P r i k 1 1 1 0 1 1 e r P r i j k 2 2 2 1 1 2 2 achar a a distância entre as retas r1 e r2 Resp 2 3 3 b os pés da normal comum Resp N1 2 0 1 1 2 3 5 3 1 3 N 142 Jacir J Venturi 01 Dadas as retas r1 e r2 sendo r P r i k 1 1 1 0 2 1 2 e r P r j k 2 2 2 2 1 2 0 calcular a a distância entre as retas r1 e r2 Resp 7 3 b as coordenadas dos pés da normal comum Resp N N 1 2 4 9 1 26 9 2 5 9 19 9 c as coordenadas do pé N da normal baixada de P1 sobre o plano por r2 pa ralelo a r1 Barsotti Resp N1 14 9 5 9 11 9 6 ÁREA DE UM TRIÂNGULO A critério do professor os itens 6 7 e 8 são dispensáveis OBSERVAÇÃO Preliminares 143 álgebra vetorial e geometria analítica Depreendese da i gura que o volume do prisma de base ABC equivale à metade do volume do paralelepípedo Vp de base ABDC V V prisma p 1 2 Numericamente a área do triângulo ABC coincide com o volume do pris ma de base ABC desde que o admitamos de altura unitária Portanto S V h ABC p 1 2 1 para Área de um triângulo num plano orientado Consideremos um plano a determinado pelos pontos A B C e orientado pelo vetor n unitário e a ele ortogonal Face o exposto decorre que S B A x C A n ABC 1 2 Convenção de sinal A área do triângulo será positiva se os vértices ABC estiverem no sentido antihorário e negativa se os vértices ABC estiverem no sentido horário Assim para um observador postado ao longo de n temse 144 Jacir J Venturi 7 ÁREA DA PROJEÇÃO ORTOGONAL DE UM TRIÂNGULO SOBRE UM PLANO Pedese a área da projeção ortogonal de um triângulo ABC sobre um plano a orientado pelo vetor n ortogonal ao plano Então S B A x C A n A B C 1 2 1 Na i gura o vetor B A representa o vetor soma dos vetores B B B A e A A Assim B A B B B A A A Analogamente para o vetor C A C A C C C A A A Então B A x C A B B B A A A x C C C A A A Aplicando ao 2º membro a propriedade distributiva do produto veto rial observase a nulidade de 8 termos resultando simplesmente o termo B A x C A o qual é substituído em 1 S B A x C A n A B C 1 2 145 álgebra vetorial e geometria analítica que representa a fórmula da área da projeção ortogonal de um triângulo sobre um plano orientado pelo vetor unitário n 8 ÁREA DA PROJEÇÃO NÃO ORTOGONAL DE UM TRIÂNGULO SOBRE UM PLANO Seja a um plano orientado pelo vetor n unitário e a ele ortogonal Procu rase a área da projeção do triângulo ABC sobre o plano a segundo a direção do vetor v representada na igura por ABC Tracemos um plano auxiliar β que seja normal ao vetor v Conforme se infere da igura ABC é a área da projeção ortogonal do triângulo ABC bem como do triângulo ABC sobre β Matematicamente a área da proj proj β β ABC ABC 146 Jacir J Venturi Porém do parágrafo anterior a área de ABC ABC proj ABC B A x C A v v proj A B C β β 1 2 1 2 B A x C A v v donde 1 2 1 2 B A x C A v v B A x C A v v 1 Vimos no produto externo que 1 2 u x v SABC e por consequência 1 2 u x v S ABC n sendo n um vetor unitário Por analogia temse a igual dade S n B A x C A A B C 1 2 2 Substituindo 2 em 1 S n v v B A x C A v v A B C 1 2 lsolando SABC e em ambos os membros cancelando v S B A x C A v n v A B C 2 fórmula que fornece a área da projeção de um triângulo ABC segundo a dire ção do vetor v 147 álgebra vetorial e geometria analítica A tragédia começa quando os dois acham que têm razão Shakespeare 15641616 dramaturgo e poeta inglês 01 Conhecendose os pontos A 0 1 2 B 1 1 3 e C 1 3 4 calcular a a área da projeção ortogonal do triângulo ABC sobre o plano orientado por u i j Resp 3 2 4 b a área da projeção de ABC sobre o mesmo plano porém segundo a direção do vetor v 2i k Resp 2 2 01 Sejam os pontos A 3 0 0 B 2 2 1 e C 1 1 1 determinar a a medida do lado a Resp 6 uc b a medida do ângulo A Resp 60º c a área do triângulo ABC Resp 3 3 2 ua d a altura relativa ao vértice A do triângulo ABC Resp 3 2 2 uc e o pé da normal baixada de A sobre a reta BC Resp N 3 2 3 2 0 148 Jacir J Venturi f a altura relativa a O origem do tetraedro OABC Resp 3 uc g o pé da normal baixada de O origem sobre o plano ABC Resp N 1 1 1 h o volume do tetraedro OABC Resp 3 2 uv i a área da projeção ortogonal de ABC sobre o plano orientado por r 2i 2 j k e a ele ortogonal Resp 3 2 ua j a área da projeção do triângulo ABC sobre o mesmo plano mas segundo a direção de v 3i 2 j k Resp 18 11 ua 9 COSSENOS DIRETORES DE UM VETOR Parâmetros diretores São as projeções do vetor v sobre os eixos cartesianos Na i gura equivale aos seg mentos de medidas algébricas OA x OB y OC z 149 álgebra vetorial e geometria analítica Ângulos diretores São as menores medidas dos ângulos a β e γ que o vetor v forma com os eixos cartesianos x y e z respectivamente Frizese que 0 a β γ p Cossenos diretores Os cossenos dos ângulos diretores são denominados cossenos diretores quais sejam cos a cos β cos γ O vetor v tem a expressão cartesiana v x i yj zk e módulo v x y z 2 2 2 Obtémse a i gura que OA x v cos a do triângulo retângulo OAP OB y v cos β do triângulo retângulo OBP OC z v cos γ do triângulo retângulo OCP Das igualdades acima cos cos cos x v y v z v α β γ x x y z y x y z 2 2 2 2 2 2 z x y z 2 2 2 Relembramos que quando se expressa v x i y j zk os coei cientes x y e z são as medidas algébricas das projeções do vetor v sobre os eixos car tesianos 150 Jacir J Venturi Teoremas I A soma dos quadrados dos cossenos diretores de qualquer vetor é igual à unidade Dedução Seja v x i yj zk um vetor dos cossenos diretores temos cos cos cos 2 2 2 α β γ x x y z y x y z 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x y z x x y z y x y z z x y z 1 Então cos2 a cos2 β cos2 γ 1 II Os cossenos diretores de v são as coordenadas do versor de v Dedução vers v v v x i yj zk v x v i y v j z v k cos i cos j cos k α β γ vers v cos i cos j cos k α β γ 151 álgebra vetorial e geometria analítica Decorre desta última expressão que sempre que um vetor tem nulo um coe i ciente tal vetor é ortogonal ao eixo homônimo da coor denada faltante pois se cos ø 0 resulta que ø 90º Exemplii cando vide ilus tração o vetor v i 2 j é per pendicular ao eixo z OBSERVAÇÃO III Se v1 e v2 são dois vetores cujos cossenos diretores são respectiva mente cos a1 cos β1 cos γ1 e cos a2 cos β2 cos γ2 então o ângulo θ entre v1 e v2 é dado por cos θ cos a1 cos a2 cos β1 cos β2 cos γ1 cos γ2 Demonstração Sejam os versores vers v cos i cos j cos k e vers v 1 1 1 1 α β γ 2 2 2 2 cos i cos j cos k α β γ Do produto escalar obtémse cos v v v cos θ θ v v v v v ou vers 1 2 1 2 1 1 2 2 vv vers v ou 1 2 cos θ cos a1 i cos β1 j cos γ1k cos a2 i cos β2 j cos γ2k donde cos θ cos a1 cos a2 cos β1 cos β2 cos γ1 cos γ2 152 Jacir J Venturi Há homens que lutam por um dia e são bons há outros que lutam por um ano e são melhores há aqueles que lutam por muitos anos e são muito bons porém há homens que lutam por toda a vida esses são imprescindíveis Bertold Brecht 18981956 escritor e teatrólogo alemão 01 01 Sendo v i k calcular a os parâmetros diretores de v Resp 1 0 1 b os cossenos diretores de v Resp 2 2 0 2 2 c os ângulos diretores de v Resp a 45º β 90º γ 135º 01 Num vetor v são conhecidos cos e α β 2 3 2 3 cos determinar a cos γ γ é ângulo agudo Resp 1 3 b vers v Resp vers v i j k 2 3 2 3 1 3 153 álgebra vetorial e geometria analítica 01 Os ângulos diretores de um vetor são 120 β e 60 Achar β Resp 45 e 135 02 Dados os pontos A 4 3 1 e B 6 1 0 calcular cos a cos β cos γ do vetor v B A Resp 1 3 03 Determinar o vetor u do espaço tridimensional sabendo que u 2 e que forma ângulos de 90 e 150º respectivamente com os eixos x e y Resp u ou u 0 3 1 0 3 1 04 a1 60 β1 120 e γ1 60 são os ângulos diretores do vetor v1 Do vetor v2 são a2 45 β2 90 γ2 135 Calcular o ângulo θ entre v1 e v2 Resp θ 90º v 1 v 2 05 Pedemse os cossenos diretores do vetor u AB CD 2DA sendo A 2 1 0 B 0 3 1 C 1 3 2 e D 1 0 4 Resp 5 93 2 93 8 93 06 Seja o vetor v com v 4 e seus ângulos diretores a 45 β 60 e γ 120 Calcular as projeções do vetor v sobre os eixos cartesianos Resp 2 2 2 2 Não há pessoas más Há pessoas que não foram sufi cientemente amadas João XXIII papa de 19581963 154 Jacir J Venturi Série B 07 No plano cartesiano demostrar cos a β cos a cos β sen a sen β vers v1 cos a i cos 90º a j cos a i sen a j vers v2 cos β i cos 90º β j cos β i sen β j Efetuando a multiplicação interna vers v1 vers v2 cos a i sen a j cos β i sen β j cos a β cos a cos β sen a sen β qed SUGESTÃO SÓ UMA VEZ Nosso i lho terá 3 anos e estará doido para sentar em nosso colo SÓ UMA VEZ Ele terá 5 anos e quererá brincar conosco SÓ UMA VEZ Ele terá 10 anos e desejará estar conosco em nosso trabalho SÓ UMA VEZ Ele será adolescente e verá em nós um amigo com quem conversar SÓ UMA VEZ Ele estará na universidade e quererá trocar idéias conosco SE NÓS Perdermos essas oportunidades nós perderemos o nosso i lho e ele não terá pai História da Matemática 155 álgebra vetorial e geometria analítica A lição dos gansos canadenses Uma maravilhosa lição de vida pode ser obtida dos gansos selvagens canadenses que migram do Hemisfério Norte para o Sul Como arautos de mudanças quando partem é prenúncio de frio Ao retornarem é chegado o verão Guiados pelo sol e pelo campo magnético da Terra cumprem a rota mais curta e só estabelecem grandes curvas para evitar desertos e oceanos Neste longo voo a formação do bando é a de um triângulo ou a rigor de um majestoso V cujo vértice está voltado para a frente Nesta formação geométrica cada pássaro da frente cria um vácuo para o de trás rendendo ao grupo quase o dobro do aproveitamento com o mesmo esforço Da mesma forma quando um conjunto de pessoas compartilha do mes mo objetivo e de forma organizada é mais leve a tarefa de cada um e os resul tados são extraordinários Ao ganso da frente cabe a tarefa de dar direção ao bando E quando cansa alterna a posição de ponta com outro pássaro É o líder Em seu peito batem as rajadas do vento forte os pingos da chuva castigam seus olhos Mas é ele o líder que tem as asas fortalecidas que melhor vis lumbra o horizonte que melhor contempla as belezas do sol nascente e do sol poente Os problemas são como as rajadas de vento que nos fortalecem para enfrentarmos a vida com mais determinação E Deus nunca nos dá tudo Mas também não nos priva de tudo E por maior que sejam as dii cul dades Ele não permite embates maiores que a nossa capacidade de vencêlos Os líderes sacrii cam muitas vezes a si próprios por uma causa relevante cujo maior prêmio não é o triunfo mas a imensa satis fação do dever cumprido E se fracassarmos resta o conforto de que mais valem as lágri mas de não ter vencido do que a vergonha de não ter lutado 156 Jacir J Venturi História da Matemática Quando um dos gansos é ferido ou ica doente incontinenti dois deles saem da formação e lhe dão companhia e proteção É a manifestação da soli dariedade em se postar ao lado das pessoas em seus momentos difíceis Quem não tem amor e amizade em seu coração sofre da pior doença cardíaca Na formação angular os gansos que vêm atrás grasnam freneticamente para motivar os da frente Na convivência em grupo não só é importante a nossa efetiva participação mas também as palavras encorajadoras Pessoas mo tivadas são mais felizes e produtivas A ação organizada unida ao entusiasmo produz uma força insuperável Terás uma rota segura por conta dos bons ensinamentos que te foram transmitidos pelos pais professores e bons amigos São eles que revestiram e revestirão a tua existência com carinho dedicação e muitas vezes sacriicam os próprios sonhos em favor dos teus São eles que abrem as portas do teu futuro iluminando o teu caminho com a luz mais brilhante que puderam encontrar o estudo os bons exemplos e as lições de vida São eles que muitas vezes renun ciam a tudo por ti menos a ti Educar tem raiz numa palavra latina belíssima ducere que signiica con duzir marchar à frente ou mostrar o caminho A esses grandes educadores pais professores e bons amigos a nossa eterna gratidão A história dos gansos canadenses é reiteradamente verbalizada em cursos de motivação Texto do autor CAPÍTULO 157 7 pLano no e3 1 EQUAÇÃO GERAL DO PLANO o plano é determinado por um ponto e por dois vetores Dados P x y z v i m j n k v i m j n k o o o o r l r r r r l r r r 1 1 1 1 2 2 2 2 O plano a contém o ponto Po e é paralelo aos vetores v1 e v2 v1 não paralelo a v2 O ponto P x y z pertencerá ao plano a se e somente se os vetores P Po v1 e v2 forem coplanares y z m x x y z o o o 1 1 m n n l 1 2 2 2 0 158 Jacir J Venturi O plano é individualizado por dois pontos e por um vetor Dados P x y z P x y z v i mj nk 1 1 1 1 2 2 2 2 r l r r r O plano a é passante por P1 e P2 e é paralelo ao vetor v Um ponto ge nérico P x y z pertence ao plano a se e somente se os vetores P P1 P2 P1 e v forem coplanares y z y x x y z x x y 1 1 1 2 1 2 1 z 2 1 0 z m n II O plano é definido por três pontos não colineares Dados P x y z P x y z P x y z 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 159 álgebra vetorial e geometria analítica O plano a é determinado pelos pontos P1 P2 e P3 Um ponto genérico P x y z pertence ao plano a se e somente se os vetores P P1 P2 P1 e P3 P1 forem coplanares y z y x x y z x x y 1 1 1 2 1 2 1 z y z 2 1 3 1 3 1 3 1 0 z x x y z III A resolução de cada determinante representado por I II ou III conduz a uma equação linear a três variáveis ax by cz d 0 cognominada equação geral do plano Não basta destruir o que sobra é necessário construir o que falta Anônimo 01 Equação geral do plano que contém o ponto A 3 0 1 e é paralelo aos vetores u 1 2 0 e v 0 3 1 Resp 2x y 3z 9 0 02 Achar a equação do plano que passa pelos pontos P 1 2 3 e Q 1 2 0 e tem a direção do vetor v 2i 3k Resp y 2 0 03 Obter a equação do plano que contém os pontos A 3 0 1 B 2 1 1 e C 3 2 2 Resp x y 2z 1 0 160 Jacir J Venturi 2 PERTINÊNCIA DE PONTO A PLANO Dado um plano a de equação ax by cz d 0 e um ponto Po xo yo zo a condição para Po pertencer a a é axo byo czo d 0 ou seja a tripla xo yo zo deve satisfazer à equação de a Exemplo O ponto A 3 1 2 pertence ao plano a 2x y 3z 1 0 3 INTERSEÇÃO DE UM PLANO COM OS EIXOS COORDENADOS Seja a ax by cz d 0 Interseção com o eixo x O plano a intercepta o eixo das abscissas no ponto A x 0 0 Para se determinar o ponto A basta fazer y z 0 na equação do plano Interseção com o eixo y O plano a intercepta o eixo das or denadas no ponto B 0 y 0 Na equa ção do plano fazemos x z 0 Interseção com o eixo z O plano a intercepta o eixo das cotas no ponto C 0 0 z para obter mos suas coordenadas basta fazer x y 0 na equação do plano 161 álgebra vetorial e geometria analítica Exemplo Determinar os pontos de interseção do plano a 4x 3y z 12 0 com os eixos coordenados a Interseção com o eixo x Fazendo nulos y e z na equação de a 4x 12 0 x 3 A 3 0 0 b Interseção com o eixo y Fazendo x z 0 3y 12 0 y 4 B 0 4 0 c Interseção com o eixo z Fazendo x y 0 z 12 0 z 12 C 0 0 12 d Plotagem do plano no sistema cartesiano 162 Jacir J Venturi 4 EQUAÇÃO SEGMENTÁRIA DO PLANO O plano a ax by cz d 0 com a b c d 0 corta os eixos carte sianos em três pontos distintos P Q e R que determinam os três segmentos OP OQ e OR lndicaremos por p q e r respectivamente as medidas desses segmentos 1 P p ap d p d a Q q bq d q d b R 0 0 0 0 0 0 0 α α 0 0 r cr d r d c α Voltemos à equação de a ax by cz d dividindo por d ax d by d cz d ou x d a y d b z d c 1 1 2 Substituindo 1 em 2 x p y q z r 1 denominada equação segmentária do plano por interceptar os eixos x y e z em seg mentos p q e r 163 álgebra vetorial e geometria analítica Exemplo Obter a equação segmentária do plano 4x 3y 2z 12 0 Solução Plano dado 4x 3y 2z 12 4 12 3 12 2 12 1 x y z ou x y z 3 4 6 1 Quem aos 20 anos não é de esquerda não tem coração quem continua sendo aos 40 não tem cabeça Autoria incerta 01 Obter a equação segmentária do plano a 2x 3y 4z 24 0 Resp x y z 12 8 6 1 02 Obter os pontos de interseção do plano x 2y 4z 5 0 com os eixos coor denados Resp A 5 0 0 0 5 2 0 0 0 5 4 B C 164 Jacir J Venturi 03 Determinar a equação do plano que passa pelo ponto A 1 2 1 e que corta os eixos coordenados em segmentos iguais Resp x y z 2 0 04 Equação geral do plano que intercepta os eixos y e z em segmentos de compri mento 2 e 2 e passa pelo ponto A 1 3 3 Resp 2x y z 2 0 05 Determinar o volume do tetraedro limitado pelo plano 3x 2y 2z 6 0 e pelos planos coordenados Resp 3uv 5 EQUAÇÃO DO PLANO QUE PASSA POR UM PONTO E ORTOGONAL A UM VETOR Queremos a equação do plano a que passa pelo ponto Po xo yo zo e seja ortogonal ao vetor n a i b j ck Observe que aqui n é o vetor normal a um plano e não necessariamente unitário Dedução Seja P x y z um ponto genérico de a Então P Po x xo i y yo j z zo k e n a i b j ck Os vetores P Po e n são ortogonais logo seu produto interno deve ser nulo 165 álgebra vetorial e geometria analítica P Po n 0 ax xo by yo cz zo 0 ou ax by cz ax0 by0 cz0 0 d ou ainda a ax by cz d 0 Comparando com n verii camos que os coei cientes a b e c da equação geral de um plano são nesta ordem as coordenadas de um vetor normal a esse plano Exemplo Equação do plano que passa pelo ponto A 1 3 5 e seja ortogonal ao vetor n 2 4 6 Solução a Equação do plano a 2x 4y 6z d 0 b A 1 3 5 a 21 43 65 d 0 d 44 c Resposta a 2x 4y 6z 44 0 O poder é como violino pegase com a esquerda mas tocase com a direita Anônimo 01 Equação geral do plano que contém o ponto Po 0 1 3 e seja ortogonal ao vetor n 3 2 5 Resp 3x 2y 5z 17 0 166 Jacir J Venturi 02 Determine um vetor unitário perpendicular ao plano 2 5 0 x y z Resp 2 2 1 2 1 2 ou o seu oposto 6 CASOS PARTICULARES DA EQUAÇÃO GERAL DO PLANO A nulidade de um ou mais coei cientes na equação geral do plano fará com que este ocupe um posicionamento particular em relação aos eixos coor denados Na equação ax by cz d 0 se 1º caso d 0 ax by cz 0 com a b c 0 O plano contém a origem Justii cativa O ponto O 0 0 0 verii ca a equação ax by cz 0 Se o termo independente for nulo o plano conterá a origem 2º caso a a 0 by cz d 0 com b c d 0 O plano é paralelo ao eixo x Justii cativa O vetor normal ao plano by cz d 0 é n 0 b c que é perpendicular ao eixo x Logo o plano é paralelo ao eixo x Analogamente se b b 0 ax cz d 0 com a c d 0 O plano é paralelo ao eixo y c c 0 ax by d 0 com a b d 0 O plano é paralelo ao eixo z 167 álgebra vetorial e geometria analítica EM RESUMO O plano é sempre paralelo ao eixo da coordenada ausente 3º caso a a d 0 by cz 0 com b c 0 O plano conterá o eixo x Justiicativa O plano by cz 0 além de conter a origem pois d 0 é para lelo ao eixo x pois tem como vetor normal o n 0 b c Analogamente se b b d 0 ax cz 0 com a c 0 O plano conterá o eixo y c c d 0 ax by 0 com a b 0 O plano conterá o eixo z 4º caso a a b 0 cz d 0 com c d 0 O plano é paralelo ao plano xy Justiicativa O plano cz d 0 tem como vetor normal o n 0 0 c que é paralelo ao eixo z lsto posto o pla no intercepta o eixo z e é paralelo ao plano xy 168 Jacir J Venturi Se cz d z d c z k 0 que representa um plano pa ralelo ao plano xy e intercepta o eixo z no ponto k Em particular z 0 é a equação do plano coordenado xy Assim OBSERVAÇÃO b b c 0 ax d 0 com a d 0 O plano é paralelo ao plano yz Se ax d x d a x k 0 Em particular x 0 é a equa ção do plano coordenado yz OBSERVAÇÃO c a c 0 by d 0 com b d 0 O plano é paralelo ao plano xz Se by d y d b y k 0 Em particular y 0 representa o plano coordenado xz OBSERVAÇÃO 169 álgebra vetorial e geometria analítica EM RESUMO Se dois dos coeicientes das variáveis forem nulos a equação re presenta um plano paralelo ao plano das variáveis que não iguram na equação Exemplo Indicar o posicionamento de cada plano em relação ao sistema cartesiano a 3x y 4z 0 plano que passa pela origem b 2x 3z 3 0 plano paralelo ao eixo y c 4x 3y 0 plano que contém o eixo z d x 4z 0 plano que contém o eixo y e x 3 0 plano paralelo ao plano yz NB No E2 a equação 2x 3y 6 0 representa uma reta Entretanto no E3 tal equação representa um plano paralelo ao eixo z No E2 No E3 170 Jacir J Venturi Importa muito hoje que o candidato a uma vaga no mercado de trabalho seja comunicativo saiba trabalhar em grupo tenha conhecimento de uma especialidade e seja capaz de tomar decisões Nilson José Machado n 1947 professor da USP numa palestra em Curitiba 01 Dado o plano a 2x 3y z 3 0 perguntase se os pontos A 1 1 2 e B 2 0 1 pertencem a a Resp A a e B a 02 Obter a equação do plano que passa por P 1 2 1 e Q 3 1 1 e seja paralelo ao eixo y Resp x z 2 0 03 Calcular a equação do plano passante por P 1 3 3 e paralelo ao plano xy Resp z 3 0 04 Plano que contém o eixo x e o ponto A 1 3 3 Resp y z 0 05 Equação cartesiana do plano que passa pelos pontos A 0 1 2 e B 1 3 0 e seja paralelo ao eixo x Resp y z 3 0 06 Achar m para que o ponto A m 1 2 pertença ao plano x 2y z 5 0 Resp m 5 07 Nas i guras abaixo determine as equações dos planos sabendose que a a1 é paralelo ao plano yz 171 álgebra vetorial e geometria analítica b a2 passa por P e contém o eixo z c a3 é paralelo ao eixo y Resp a a1 x 2 0 b a2 2x y 0 c a3 x 2z 4 0 01 Achar a equação do plano que passa pela origem e é perpendicular ao vetor u 2 1 3 Resp 2x y 3z 0 Série B Certas escolas têm cheiro de morte por matarem a criatividade dos alunos Anônimo 02 VISSOTO LEITE A i gura abaixo representa um galpão Os números repre sentam as dimensões do galpão Determine a equações dos planos que contêm os telhados e as paredes b o volume do galpão Resp a EIFH y 3z 24 0 IHDG y 3z 36 0 ABFG x 20 0 BCDG y 12 0 OEAF y 0 OEDC x 0 b 2160 uv 172 Jacir J Venturi 7 PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DOIS PLANOS Dados os planos a1 a1x b1y c1z d1 0 a2 a2x b2y c2z d2 0 Então n1 e n2 são respectivamente os vetores normais aos planos a1 e a2 e podem ser representados por n1 a1 i b1 j c1k n2 a2 i b2 j c2k Condição de paralelismo Os planos a1 e a2 são pa ralelos se e somente se os ve tores n1 e n2 o forem isto é se e somente se os coei cientes das variáveis homônimas forem pro porcionais a a b b c c 1 2 1 2 1 2 Em particular os planos a1 e a2 serão coincidentes se a a b b c c d d 1 2 1 2 1 2 1 2 Neste caso a equação do plano a2 é o produto da equação de a1 por uma constante k Condição de ortogonalidade A condição de ortogona lidade de a1 e a2 é a mesma condição de ortogonalidade dos vetores n1 e n2 a1a2 b1b2 c1c2 0 173 álgebra vetorial e geometria analítica A metade do mundo sempre serteá adversa se fores bom os maus combaterteão se fores mau os bons combaterteão Sabedoria árabe 01 Calcular a e b para que os planos 2x 3y 3 0 e a 2x 6y b 1z 5 0 sejam paralelos Resp a 6 e b 1 02 Determinar k para que os planos 2x 3z 1 0 e 3x y kz 2 0 sejam ortogonais Resp k 2 03 Equação do plano que contenha P 0 1 2 e seja paralelo a a 2x 3y z 5 0 Resp 2x 3y z 1 0 1 a1 é paralelo a a a1 2x 3y z d 0 2 P a1 20 31 2 d 0 d 1 SUGESTÃO 04 Equação do plano que passa pelo ponto A 3 5 0 e é a paralelo ao plano a 2x y 3z 1 0 b ortogonal aos planos a1 x y 2z 2 0 e a2 x y z 3 0 Resp a 2x y 3z 11 0 b 3x y 2z 14 0 174 Jacir J Venturi 01 Obter o plano que contém P 0 1 2 e é ortogonal aos planos a1 x y z 5 0 e a2 2x 2y z 1 0 Resp x y 1 0 Observe na i gura que queremos um plano que passe pelo ponto P 0 1 2 e tenha a direção dos vetores n1 1 1 1 e n2 2 2 1 Então α 1 x y z 0 1 2 1 1 2 2 1 0 02 Obter a equação do plano que passa pelos pontos P1 1 3 0 e P2 2 0 1 e é ortogonal ao plano a x y z 3 0 Resp x y 2z 4 0 Depreendese da i gura que queremos um plano β que passa pelo ponto P1 e tem a direção dos vetores P2 P1 e n 1 1 1 β 1 x y z 1 3 0 1 3 1 1 1 0 SUGESTÃO 03 Equação geral do plano que passa pelos pontos A 2 0 5 e B 0 1 0 e é perpendicular ao plano a x 3y z 7 0 Resp 2x y z 1 0 175 álgebra vetorial e geometria analítica 04 Obter a equação do plano perpendicular ao plano xy e que contenha os pontos A 4 7 1 e B 1 3 1 Resp 4x 5y 19 0 Série B Encantamme as pessoas que vão além do seu dever 05 Determinar as coordenadas da projeção ortogonal do ponto P 0 1 2 sobre o plano a 4x 2z 2 0 Resp N 2 5 1 9 5 Fórmula deduzida à pág 133 N P A P vers n vers n onde A é um dos ini nitos pontos de a Por exemplo A 1 1 3 SUGESTÃO 06 Achar a projeção ortogonal do ponto A 3 1 3 sobre o plano a x y z 4 0 Resp N 2 0 2 07 Dado o ponto P 3 6 1 e um plano a x y z 13 0 achar o ponto P simétrico de P em relação a a Resp P 5 8 3 176 Jacir J Venturi 8 EQUAÇÃO DO FEIXE DE DOIS PLANOS Considere a1 e a2 dois pla nos que se interceptam segun do uma reta real r Assim no espaço tridimensional a reta r pode ser representada por a1 a1x b1y c1z d1 0 a2 a2x b2y c2z d2 0 r Denominamos FEIXE DE PLANOS de eixo r ao conjunto de todos os planos que passam pela reta r Equação do feixe de planos Multipliquemos a equação de a2 por um número real λ e somemos com a equação de a1 a1x b1y c1z d1 λa2x b2y c2z d2 0 Para cada valor de λ a equação representa um plano que passa pela reta interseção de a1 e a2 pois qualquer ponto P x y z dessa interseção satisfaz as equações de a1 de a2 e de Consoante o exposto a equação de um plano que passa pela interseção de dois planos pode ser determinada mediante o conhecimento de uma condi ção que permita calcular a constante λ A equação que em notação simplii cada será representada por a1 λa2 0 é denominada equação do feixe de dois planos 177 álgebra vetorial e geometria analítica Exemplo Achar a equação do plano que contenha a reta 2x y z 1 0 x y 1 0 e o ponto P 1 3 0 r Solução a Equação do feixe de planos 2x y z 1 λx y 1 0 b P 130 21 3 0 1 λ1 3 1 0 λ 2 c Substituindo λ 2 em 2x y z 1 2x y 1 0 ou y z 3 0 resposta O professor é o mais importante arquiteto Se estes constroem prédios de tijolos e concreto ferro e vidro aquele ergue templos de carne e osso João Manoel Simões n 1938 advogado e escritor português radicado no Paraná 01 Obter a equação do plano que contém a reta a1 x y z 3 0 a2 x y 2z 5 0 r e seja paralelo ao eixo das abscissas Resp 2y 3z 2 0 178 Jacir J Venturi 1 Equação do feixe de planos que r x y z 3 λx y 2z 5 0 ou 1 λ x 1 λ y 1 2λ z 3 5λ 0 2 Se o plano deve ser paralelo ao eixo x o seu coei ciente deve ser nulo 1 λ 0 λ 1 SUGESTÃO 0 02 Pedese a equação do plano que passa pela origem e que contém a reta x y z 8 0 2x z 4 0 r Resp 5x y z 0 03 Calcular a equação do plano que contém a reta x y z 0 y z 2 0 r e é perpendicular ao plano p x 2z 3 0 Resp 2x y z 6 0 04 Determinar a equação do plano que passa pela reta de interseção dos planos x 3y z 3 0 e 3x y 2z 2 0 e é perpendicular ao plano yz Resp 10y z 7 0 05 Equação do plano determinado pelo ponto A 0 1 1 e pela reta x y 3 0 y 2z 1 0 r Resp 3x y 4z 5 0 06 Dado o feixe de planos x y 3z 5 λ2x 3y 5z 1 0 pedese a equação do plano pertencente ao feixe e que passa pela origem do sistema cartesiano Resp 9x 14y 22z 0 179 álgebra vetorial e geometria analítica Série B Perde tudo quem perde o momento certo Provérbio espanhol 07 Os planos a1 6x 5y 2z 8 0 a2 x 2y 2z 1 0 e a3 6x 2y 5z 1 0 se interceptam em um único ponto P Determineo Resp P 1 0 1 Resolva o sistema 6x 5y 2z 8 0 x 2y 2z 1 0 6x 2y 5z 1 0 SUGESTÃO Três ou mais planos que se interceptam segundo um ponto P for mam uma estrela de planos O ponto P é o centro da estrela OBSERVAÇÃO 9 DISTÂNCIA DO PONTO PO A UM PLANO a Dados Po xo yo zo a ax by cz d 0 Com o escopo de utilizar a fórmula da página 135 consideremos um ponto genérico P1 x1 y1 z1 de a e o vetor n a i b j ck ortogonal a a 180 Jacir J Venturi Então dPO a P1 PO vers n ou em módulo dPO a PO P1 vers n 1 Porém PO P1 xO x1 yO y1 zO z1 e vers n n n a b c a b c 2 2 2 2 Substituindo 2 em 1 dPO a x x y y z z a b c a b c a x x b y y o o o o o 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 c z z a b c ax by cz ax by cz a b c o o o o Mas se P1 x1 y1 z1 a ax1 by1 cz1 d 0 ou d ax1 by1 cz1 Consequentemente d P ax by cz d a b c o o o o α 2 2 2 181 álgebra vetorial e geometria analítica O melhor lenço para uma lágrima é o sorriso da mulher amada Dito popular 01 Calcular a distância do ponto PO 1 0 1 ao plano a 2x 2y 2z 3 0 Resp 3 2 02 Os planos a1 x y z 4 0 e a2 2x 2y 2z 3 0 são paralelos Deter minar a distância entre eles Resp 5 3 6 Seja PO 4 0 0 um ponto qualquer de a1 da1 a2 dPO a2 SUGESTÃO O 03 Achar o ponto do eixo das cotas equidistante do ponto A 1 2 0 e do plano 2x 3y 6z 9 0 Resp P ou P 0 0 2 0 0 82 13 04 Obter as equações dos planos paralelos ao plano 2x y 2z 1 0 e que distam 3 unidades da origem Resp 2x y 2z 9 0 05 Quais os valores de k para que o plano x 2y 2z k 0 diste da origem 4 unidades Resp k 12 182 Jacir J Venturi 06 Encontrar um ponto do eixo y cuja distância ao plano x 2y 2z 2 0 é de 2 unidades Resp P 0 2 0 ou P 0 4 0 10 EQUAÇÕES DOS PLANOS BISSETORES Para uma melhor visualização da i gura os planos a1 e a2 estão represen tados por seus traços planos de topo DEFINIÇÃO Um plano é bissetor quando passa pela interseção de outros dois formando com estes ângulos diedros congruentes Os pla nos a1 e a2 possuem dois planos bissetores Considere a1 a1x b1y c1z d1 0 a2 a2x b2y c2z d2 0 Seja P x y z um ponto arbitrário de um plano bissetor As distâncias do ponto P às faces do diedro devem ser iguais dP a1 dP a2 183 álgebra vetorial e geometria analítica a x b y c z d a b c a x b y c z d a b c 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 que representam as equações dos dois planos bissetores do diedro formado pelos planos a1 e a2 11 ÂNGULO DE DOIS PLANOS Dados a1 a1x b1y c1z d1 0 a2 a2x b2y c2z d2 0 Sejam n a i b j c k n a i b j c k 1 1 1 1 2 2 2 2 e os vetores normais dos planos a1 e a2 respectivamente Considere θ o menor ângulo entre os vetores n1 e n2 Por construção θ também é o menor ângulo entre os planos a1 e a2 Do produto escalar cos θ n n n n 1 2 1 2 0 θ 90 ou cos θ a a b b c c a b c a b c 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 Em particular se θ 90º então cos θ 0 donde a1a2 b1b2 c1c2 0 que obviamente indica a já conhecida condição de ortogonalidade de dois planos 184 Jacir J Venturi Nada de grandioso pode ser obtido sem entusiamo Ralph Waldo Emerson 18031882 poeta e fi lósofo norte americano 01 Dados os planos a1 x 2y 3z 1 0 e a2 3x y 2z 5 0 obter a a equação dos planos bissetores b o ângulo agudo entre os planos a1 e a2 Resp a 2x 3y 5z 4 0 e 4x y z 6 0 b θ arc cos 5 14 6904 01 Determinar o valor de k para que seja de 60 o ângulo entre os planos a1 kx 2y 2z 1 0 e a2 x y z 3 0 Resp k 2 6 Série B Pequenas coisas só afetam as mentes pequenas Benjamin Disraeli 18041881 político e escritor inglês 02 Escrever as equações dos planos que contêm a reta r x z 0 y 2 0 e que formam com o plano a x y z 1 0 um ângulo de 60 Resp x y z 6 2 6 0 Equação do feixe de planos que r x z λy 2 0 ou x λy z 2λ 0 1 Aplique a fórmula do ângulo entre os planos 1 e a SUGESTÃO 185 álgebra vetorial e geometria analítica 03 Calcular o ângulo entre o plano coordenado yz e o plano x y z 3 0 Resp θ arc cos 3 3 04 Obter a equação do plano bissetor do diedro de ângulo agudo formado pelos planos a1 3x 2y 6z 7 0 e a2 3x 6y 2z 9 0 Resp 4y 4z 1 0 a Calcule os planos bisseto res β1 6x 4y 4z 16 0 β2 4y 4z 1 0 b Tome um ponto de um dos planos dados Seja P2 3 0 0 a2 Calcule as distâncias de P2 aos dois planos bissetores d P d P 2 1 2 2 2 68 1 17 1 32 β β Das duas distâncias a dP2 β2 é a menor lpso facto β2 é o plano bissetor do ângulo agudo SUGESTÃO 05 Achar a equação do plano bissetor do diedro obtuso cujas faces são os planos 2x 3y 6z 9 e 2x 6y 3z 7 Resp 4x 3y 3z 16 0 SOFISMAS Como Deus é onipotente Ele pode fazer absolutamente tudo Mas Poderia modii car o passado Seria capaz de construir uma pedra tão pesada que Ele próprio não pudesse carregar É justo que Ele permita que o justo sofra por ser justo História da Matemática 186 Jacir J Venturi O p na era da informática No século XX surge a informática Como se a busca pelo valor do p cons tituísse uma herança genética bendita desde os antigos babilônios adivinhe qual foi um dos primeiros trabalhos realizados pelo legendário computador ENIAC Sim em 1949 suas 17468 válvulas e 30 toneladas de peso calcularam 2 037 casas decimais em apenas 70h Em 1959 o computador IBM 704 calcu lou 10000 casas decimais em apenas 1h e 40min Uma experiência notável foi efetivada em 1999 por dois matemáticos ja poneses Takahashi e Kanada Eles calcularam o p com 206158430000 dígi tos Estes cálculos foram desenvolvidos na Universidade de Tóquio e foi utiliza do um supercomputador Hitachi O tempo gasto foi de 37h21min4s O curioso é que os matemáticos japoneses utilizaram dois algoritmos dis tintos de GaussLegendre e de Borwein Os dois métodos só apresentaram diferença nos 45 últimos algarismos Parecia ser a pá de cal para o cálculo do p Mas não Em 2003 o pertinaz Kanada e sua equipe chegaram a 1241100000000 casas decimais Único intuito marketing do fabricante de computadores Já se dei niu a Matemática como uma Ciência melancólica Este modes to texto mostra o quanto ela é pujante criativa e engenhosa Inútil e melancólica foi a notícia dada pela Gazeta do Povo 31000 Em 1995 um japonês recitou de memória 42000 primeiros dígitos do nº p em apenas 9h Quer uma forma mnemônica para decorar o p com 11 algarismos Assim p 31415926535 A frase a seguir representa um artifício para memorizálo SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO BEM VADIO em que cada palavra encerra um número de letras que coincide com cada algarismo de p Você sabia que há o dia internacional dedicado ao p Adivinhe qual é Resposta 314 ou seja 14 de março Do autor CAPÍTULO 187 8 a reta no e3 1 EQUAÇÕES DA RETA Qualquer representação cartesiana de uma reta no espaço tridimensional se faz com pelo menos duas equações Equações paramétricas da reta o Seja r uma reta passante por PO xO yO zO e paralela ao não nulo vetor r l r r r r i mj nk O vetor r é denominado vetor diretor da reta r Um ponto P x y z pertence à reta r se e somente se os vetores P PO e r forem paralelos P PO tr t R ou P PO tr 1 Esta é a equação vetorial paramétrica da reta r no E3 t é chamado parâmetro 188 Jacir J Venturi lntroduzindo as coordenadas de P PO e r em 1 obtémse x x t y y mt z z nt O O O cognominadas equações paramétricas da reta Equações simétricas da reta lsolandose o parâmetro t em cada uma das equações paramétricas e igualando as expressões obtémse x x y y m z z n t O O O que são denominadas equações simétricas da reta r Casos particulares das equações simétricas CONVENÇÃO A nulidade de um denominador implica na nulidade do correspondente numerador I Um dos denominadores é nulo Se por exemplo n 0 z zO 0 z zO Neste caso a reta é paralela ao plano cartesiano xy pois o seu vetor diretor r l r m 0 é paralelo a tal plano Por conseguinte r x x y y m z z r z z x x y y m O O O O O O 0 ou onde m 0 189 álgebra vetorial e geometria analítica II Dois denominadores são concomitantemente nulos Se por exemplo m 0 e n 0 se infere que a reta é paralela ao eixo das cotas uma vez que o seu vetor diretor é r 0 0 n Assim r x x y y z z n O O O 0 0 ou x x y y z z n t O O O r Equações simétricas da reta por dois pontos Considere a reta r individualizada por dois pontos P1 x1 y1 z1 e P2 x2 y2 z2 e seja P x y z um ponto genérico de tal reta Por conseguinte a reta r passa pelo ponto P1 e tem como vetor diretor o vetor P2 P1 x x x x y y y y z z z z 1 2 1 1 2 1 1 2 1 que representam as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos P1 e P2 190 Jacir J Venturi Equações da reta determinada pela interseção de dois planos Cumpre lembrar o já exposto no capítulo de plano que uma reta no espa ço E3 pode ser determinada pela interseção de dois planos r a x b y c z d a x b y c z d α α 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 Equações reduzidas da reta Das equações simétricas de uma reta r x x y y m z z n O O O temos duas igualdades independentes entre si y y m x x z z n x x O O O O 1 2 Isolandose a variável y em 1 y p1x q1 lsolandose a variável z em 2 z p2x q2 Destarte as equações reduzidas de uma reta com variável independente x são representadas por r y p x q z p x q 1 1 2 2 191 álgebra vetorial e geometria analítica Geometricamente a reta r y p x q z p x q 1 1 2 2 intercepta o plano yz no pon to PO 0 q1 q2 e v 1 p1 p2 é o seu vetor diretor Ademais cada uma das equações reduzidas da reta representa um plano e a reta é portanto deter minada pela interseção de dois planos cada um dos quais paralelo a um eixo coordenado Dependendo da posição da reta r poderseá usar como variável indepen dente não só o x como também o y ou então o z Exemplo Achar as equações reduzidas da reta r x y z 2 3 3 2 2 com variável independente x RESOLUÇÃO a x y z r y x z x 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 1 2 b lsolandose y em 1 e z em 2 r y x z x 3 2 3 2 resposta A reta r representada por suas equações reduzidas é fruto da interseção dos planos α α 1 2 3 2 3 2 e y x z x Observe que os planos a1 e a2 são paralelos aos eixos z e y respectivamente A reta r fura o plano yz no ponto PO 0 3 2 e tem como vetor diretor o v 1 3 2 1 192 Jacir J Venturi A Matemática é a única linguagem que temos em comum com a natureza Stephen Hawking n 1942 doutor em Cambridge considerado o mais brilhante físico teórico desde Einstein 01 Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 1 3 0 e é paralela ao vetor v 3 4 1 Resp x y z 1 3 3 4 1 02 Obter as equações simétricas da reta individualizada pelos pontos A 1 3 2 e B 5 2 2 Resp x y z 1 4 3 1 2 0 03 A reta r passa pelo ponto P 1 2 0 e tem a direção do vetor v 3i j k Determinar as equações reduzidas de r com variável independente x Resp y x z x 5 3 1 3 04 Estabelecer as equações reduzidas da reta que passa pelos pontos P 0 4 5 e Q 1 2 2 Resp y 2x 4 z 3x 5 05 São dadas as equações paramétricas de r x t y t z t 1 2 2 3 5 Obter as equações simétricas de r Resp x y z 1 2 2 3 5 193 álgebra vetorial e geometria analítica 06 Veriicar se os pontos P 4 2 0 e Q 1 0 1 pertencem à reta r x y z 1 3 2 1 1 Resp P r e Q r 07 Determinar o ponto da reta r x t y t z t 3 1 4 que tenha ordenada 5 Pedese também o vetor diretor de r Resp P 7 5 0 e r 1 1 1 08 O ponto A 0 x y pertence à reta determinada pelos pontos P 1 2 0 e Q 2 3 1 Achar A Resp A 0 1 1 09 Complete a A reta x y z 1 0 3 2 1 1 é paralela ao plano b A reta x y z 1 3 1 0 2 0 é paralela ao eixo c A reta x y z 1 2 1 1 2 é paralela ao plano d A reta r x y t z 2 2 3 3 é paralela ao eixo Resp a yz b x c xy d y 194 Jacir J Venturi 01 Dada a reta r como interseção de dois planos obter a sua equação simétrica Dada x y z x y z 2 0 3 2 0 Resp r x y z 2 2 0 1 0 1 Obtenha dois pontos P1 e P2 de r 1 fazendo por exemplo y 0 em r resulta o sistema x z x z x z P 2 0 2 0 2 0 2 0 0 1 2 fazendo por exemplo y 1 em r resulta o sistema x z x z x z P 1 0 1 0 0 1 0 1 1 2 3 r x x x x y y y y z z z z 1 2 1 1 2 1 1 2 1 NB Cumpre destacar que para o subtraendo de cada membro do numerador da resposta r x y z 2 2 0 1 0 1 adotouse o ponto P1 2 0 0 No entanto poderseia adotar o ponto P2 0 1 1 r x y z 0 2 1 1 1 1 ou qualquer outro ponto da reta r SUGESTÃO 02 Pedese a equação simétrica de s x y z x y z 2 3 0 4 5 3 0 Resp s x y z 0 1 2 1 1 1 195 álgebra vetorial e geometria analítica 03 Equação do plano que contém a reta r e o ponto A Dados A 1 0 2 e r x 1 y 3 z Resp x 2y 3z 5 0 1 Equação de r como interseção de 2 planos r x z y z α α 1 2 1 0 3 0 2 Equação do feixe de planos que r a1 λa2 0 1 3 A 1 SUGESTÃO 04 Obter a equação do plano determinado pelo ponto A 0 1 1 e pela reta r x y x z 3 0 2 1 0 Resp 3x y 4z 5 0 05 Achar a equação do plano a e que concomitantemente a passe pelo ponto A 0 1 2 b seja paralelo a r x y z 2 1 0 1 1 c seja perpendicular ao plano β 2x y z 2 0 Resp x 4y 2z 8 0 A fi gura mostra que o plano a contém o ponto A 0 1 2 e é paralelo aos vetores r 2 0 1 e n 2 1 1 Então α x y z 1 2 2 0 1 2 1 1 0 SUGESTÃO 196 Jacir J Venturi 01 Encontrar a projeção ortogonal da reta r x y 1 z 2 sobre o plano coor denado xy Resp r x y z 1 1 1 0 Sejam P1 0 1 2 e P2 1 2 3 pon tos da reta r e P1 0 1 0 e P2 1 2 0 as respectivas projeções ortogonais sobre o plano xy SUGESTÃO Série B Qualquer professor que possa ser substituído por um computador deve ser substituído Arthur Clarke 19172008 escritor inglês e autor de 2001 Uma odisseia no espaço 02 Calcule as medidas dos ângulos que a reta r x y z 5 2 3 3 6 forma com os eixos coordenados Resp cos cos cos e α α β β γ γ 73 2 7 3 7 65 6 7 31 o o o Calcule os cossenos diretores do vetor r 2 i 3 j 6k Por exemplo cos α x x y z 2 2 2 2 4 9 36 2 7 SUGESTÃO 197 álgebra vetorial e geometria analítica 03 A reta r passa pelo ponto A 1 2 3 e forma com os eixos x y e z respecti vamente ângulos de 60 90 e 30 Resp x y z 1 1 2 0 3 3 04 Achar a reta r obtida pela interseção do plano a 2x 3y 4z 12 0 com o plano xy Resp x y z 6 6 4 0 1 Equação segmentária de a x y z 6 4 3 1 2 Cálculo dos pontos P e Q P 6 0 0 e Q 0 4 0 3 Obter a reta PQ SUGESTÃO 05 Equação do plano que contém o ponto A 2 1 3 e é paralelo às retas r x t y t z s x z y z 2 1 3 2 2 1 3 e Resp 3x y 5z 10 0 06 Num cubo são conhecidos 4 de seus vértices P1 2 2 0 P2 2 4 0 P3 0 4 0 e P4 2 2 2 Determine os pontos onde a reta r x y z 1 0 2 2 2 1 fura o cubo Resp P 1 2 2 e P 1 4 1 198 Jacir J Venturi 07 Achar o ponto P em que a reta r x y z x y z 1 2 3 0 2 1 0 intercepta o plano co ordenado xy Resp P 2 1 0 08 Dada a i gura abaixo onde o plano a é paralelo ao eixo z e o plano β é paralelo ao plano xy A reta r é a interseção de a e β Pedese a equações simétricas de r b equação do feixe de planos por r Resp a r x y z 2 2 3 4 0 b 3x 2y 6 λz 4 0 ou z 4 λ3x 2y 6 0 2 POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS No espaço E3 duas reta r1 e r2 podem ser Coplanares e paralelas As retas r1 e r2 jazem no mes mo plano a e têm a mesma dire ção Como caso particular as retas r1 e r2 podem ser coincidentes Coplanares e concorrentes As retas r1 e r2 estão contidas no mesmo plano a e se interceptam num ponto P As coordenadas de P x y z satisfazem o sistema for mado por r1 e r2 199 álgebra vetorial e geometria analítica Reversas As retas r1 e r2 pertencem a planos distintos e não têm ponto próprio ou impróprio em comum 3 CONDIÇÕES DE PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE DUAS RETAS Conhecendose as retas r1 e r2 por suas equações simétricas r x x y y m z z n r x x y y m z z n 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 Condição de paralelismo A reta r1 tem a direção do vetor r l r r r r i m j n k 1 1 1 1 Por sua vez a reta r2 tem a direção do vetor r l r r r r i m j n k 2 2 2 2 A condição para que as retas r1 e r2 sejam paralelas é que seus vetores diretores o sejam 1 2 1 2 1 2 m m n n 200 Jacir J Venturi Condição de ortogonalidade A condição de ortogonalidade entre as retas r1 e r2 coincide com a dos vetores r 1 e r 2 1 2 1 2 1 2 0 m m n n NB Autores há que estabelecem uma acepção diferente no que tange a retas perpendiculares e retas ortogonais duas retas r1 e r2 são ortogonais se formarem entre si um ângulo reto duas retas r e s são perpendiculares se além de formarem um ângulo reto forem concorrentes r1 e r2 são ortogonais r1 e r2 são perpendiculares 201 álgebra vetorial e geometria analítica Pessoas que são boas em arranjar desculpas raramente são boas em qualquer outra coisa Benjamin Franklin 17061790 político físico e fi lósofo americano 01 Equação da reta que passa por P 1 2 0 e é paralela à reta r x y z 2 3 0 1 2 Resp x y z 1 3 2 0 2 02 Provar que as retas r x y x y z s x y x y z 1 0 2 0 2 2 1 0 3 3 6 1 0 e são paralelas Obter as equações simétricas de r e s e verifi car que 1 2 1 2 1 2 m m n n SUGESTÃO 03 Determinar as equações simétricas da reta r sabendose que passa pelo ponto P 3 5 2 e é concomitantemente ortogonal ao eixo x e à reta s x y z 1 0 3 2 1 1 Resp x y z 3 5 1 2 2 1 A reta r tem a forma x y m z n 3 0 5 2 2 lmponha a condição de ortogonalidade entre r e s SUGESTÃO 202 Jacir J Venturi 04 Calcular k para que as retas r e s sejam ortogonais Dadas r y kx z x s x t y t z t 2 3 1 3 2 2 e Resp k 3 4 CONDIÇÃO DE COPLANARIDADE DE DUAS RETAS Dadas as retas r x x y y m z z n r x x y y m z z n 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 A reta r1 contém o ponto P1 x1 y1 z1 e tem a direção do vetor r i m j n k 1 1 1 1 l r r r A reta r2 contém o ponto P2 x2 y2 z2 e tem a direção do vetor r i m j n k 2 2 2 2 l r r r As retas r1 e r2 serão coplanares se e somente se os vetores P2 P1 r1 e r2 o forem x x y y z z m 2 1 2 1 2 1 1 1 n m n 1 2 2 2 0 203 álgebra vetorial e geometria analítica As grandes ideias necessitam de grandes asas para os grandes voos Mas nunca podem dispensar o trem de pouso Umberto Eco n1932 escritor italiano 01 Provar que as retas r e s são coplanares Dadas r x y z s x y z 1 2 1 0 2 1 1 1 2 1 1 e 02 Calcular m para que as retas r e s sejam coplanares Dadas r x t y t z t s y mx z x 2 3 1 2 3 1 3 e Resp m 9 13 03 As retas r1 e r2 são coplanares Achar a equação do plano que as contém Dadas r x y z r x y z 1 2 1 3 1 1 2 3 5 4 2 3 2 e Resp 7x 6y 5z 23 0 O plano a contém o ponto P1 e é paralelo aos vetores r 1 e r 2 Sejam P1 2 2 5 um ponto qualquer de r1 r 1 3 1 3 e r 2 4 3 2 Então α 3 1 3 x y z 2 2 5 4 3 3 0 SUGESTÃO 204 Jacir J Venturi 04 Achar a equação do plano que contém as retas x y z x y z 1 2 1 0 2 1 1 1 2 1 1 e Resp 2x 3y 4z 7 0 Série B Sorte nas profi ssões não existe O que existe é o encontro da preparação com a oportunidade Joseph Straub consultor norteamericano 05 Obter as equações simétricas da reta r que passa pelo ponto A 1 0 1 e que intercepta as retas e r y z x y x z 1 2 3 1 2 2 e r Resp x y z 1 2 3 1 3 1 r x y m z n 1 0 1 2 equações simétricas de r1 e r2 r x y z r x y z 1 2 1 1 3 0 1 2 1 1 2 0 e 3 condição de coplanaridade entre r e r1 4 condição de coplanaridade entre r e r2 SUGESTÃO 205 álgebra vetorial e geometria analítica 06 Equações simétricas da reta que passa por P 1 1 2 e que intercepta as retas r e s Dadas r x z y z x z y z 3 0 2 2 0 2 3 0 2 0 e s Resp x y z 1 7 1 6 2 7 5 INTERSEÇÃO DE RETA E PLANO Sejam a ax by cz d 0 1 r x x t y y mt z z nt O O O 2 onde a reta não é paralela ao plano Se o ponto P x y z é o pon to de interseção da reta com o plano suas coordenadas devem verifi car as equações do sistema formado por 1 e 2 Destarte substituemse as equações paramétricas da reta na equação do plano determinandose o valor do parâmetro t Exemplo Calcular o ponto P de interseção da reta r x y z 3 1 2 2 10 3 t com o plano a 3x 2y 4z 12 0 206 Jacir J Venturi RESOLUÇÃO a Equações paramétricas de r r x t y t z t 3 2 2 10 3 b Substituindo as equações paramétricas de r na equação do plano 33 t 22 2t 410 3t 12 0 t 3 c Levandose o valor de t 3 nas equações paramétricas P 0 4 1 6 INTERSEÇÃO DE DUAS RETAS Sejam r1 e r2 duas retas concorrentes 2 r x x y y m z z n r x x y y m z z n 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 Se P x y z é o ponto de interseção de r1 e r2 as coordenadas deste ponto satisfazem o sistema formado por 1 e 2 Cumpre destacar que o sistema formado por 1 e 2 é composto de 4 igualdades 4 equações para três incógnitas x y e z A resolução mais acessível do sistema é na maioria esmagadora das vezes balizada na vivência pessoal do aluno Exemplo Achar o ponto P de interseção das retas r x y z s x y z 2 3 4 5 2 1 2 1 4 2 1 e 207 álgebra vetorial e geometria analítica RESOLUÇÃO a Tomemos a primeira igualdade de r e s Sistema x y x y x y 2 3 4 5 1 2 1 4 1 1 b Levemos x 1 na equação de r ou de s e obteremos z 2 c Resposta P 1 1 2 Duvidar de tudo ou acreditar em tudo são atitudes preguiçosas Dispensamnos de refl etir Henri Poincaré 18541912 fi lósofo e matemático francês 01 Achar o ponto de interseção da reta r com o plano a Dados r x y z x y z 2 2 4 1 1 3 3 5 1 0 e α Resp P 12 3 20 02 Encontrar as coordenadas do ponto de interseção de a 2x 3y 4z 1 0 com a reta determinada pelos pontos P1 1 0 2 e P2 3 4 1 Resp P 1 2 3 11 4 03 As retas r x y z s x y z 1 2 1 0 2 1 1 1 2 1 1 e se interceptam num ponto P Achar as coordenadas de P Resp P 1 1 2 208 Jacir J Venturi 04 Calcular o ponto de interseção das retas r x y z s x y z 1 2 3 1 3 1 1 2 2 e Resp P 1 1 2 05 Achar o ponto de interseção de r1 e r2 Dadas r x y x z r y y z 1 2 2 0 0 1 0 0 e Resp P 1 1 1 06 Calcular as equações simétricas da reta s que passa pelo ponto A 1 1 1 e é ortogonal à reta r x y z 2 2 1 1 Resp x y z 1 1 1 4 1 2 1 Equação de s s x y m z n 1 1 1 2 Condição de ortogonalidade de r e s 3 Condição de coplanaridade de r e s SUGESTÃO 07 A reta r passa por P 2 1 3 e é ortogonal à reta s x z y z 2 3 6 0 2 5 24 0 Achar o ponto de interseção de r e s Resp 3 2 4 209 álgebra vetorial e geometria analítica Série B You are not my fi rst love but you are my last Canção americana 08 Dados o ponto PO 2 1 1 e a reta t x y z 1 2 1 0 1 obter a a reta r que passa por PO e intercepta ortogonalmente a reta t b o ponto de interseção de r e t c a distância do ponto PO à reta t Resp a r x y z b N c d P t d P O O 2 1 1 0 1 2 11 5 1 3 5 N 5 5 01 Achar o ponto A simétrico de A 3 1 6 em relação à reta r x y z 3 1 1 0 4 1 Resp A 5 1 4 02 A interseção das retas r x y z 3 1 1 3 2 2 e s x y z 1 3 2 4 5 5 é o ponto PO Determine a distância do ponto PO ao plano a 2x y 2z 1 0 Resp 5 3 210 Jacir J Venturi 03 Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas r x t y t z t r x t y t z t 1 2 2 1 2 3 1 2 2 e e é ao mesmo tempo perpendicular a r1 e r2 Resp x y z 2 1 1 5 3 7 CONDIÇÕES DE PARALELISMO E ORTOGONALIDADE DE RETA E PLANO Sejam α ax by cz d r x x y y m z z n O O O 0 Condição de paralelismo de reta e plano O vetor n a i b j ck é ortogonal ao plano a e r l r r r r i mj nk tem a direção da reta r esta paralela ao plano a lsto posto a condição de paralelismo entre a reta r e o plano a se faz com a aplicação da condição de ortogonalidade entre os vetores n e r a bm cn 0 211 álgebra vetorial e geometria analítica Condição de ortogonalidade de reta e plano A reta r sendo ortogonal ao plano a tem a direção do vetor n a i b j ck Da condição de paralelismo entre dois vetores a m b n c Exemplos 1 Achar as equações da reta por PO 3 5 0 e ortogonal ao plano 2x 4y z 1 0 RESOLUÇÃO a Equação da reta por PO 3 5 0 r x y m z n 3 5 0 b Em face da condição de ortogonalida de de reta e plano a 2 m b 4 e n c 1 c Resposta r x y z 3 2 5 4 1 2 Obter a equação do plano por PO 3 5 0 e ortogonal à reta r x y z 1 1 2 2 4 212 Jacir J Venturi RESOLUÇÃO a Pela condição de ortogonalidade de reta e plano sabemos que a 1 b m 2 e c n 4 Então a 1x 2y 4z d 0 b Mas PO 3 5 0 a 13 25 40 d 0 d 13 c Resposta a x 2y 4z 13 0 Em tempo de mudanças os dispostos a aprender sempre são os que herdarão o futuro Os que acham que já aprenderam tudo descobrirão estar preparados apenas para viver num mundo que já não mais existe Eric Haffer 01 Verii car se a reta r x y z 1 1 3 3 1 1 é paralela ao plano a 2x 2z 3 0 Resp A reta é paralela ao plano 02 Obter a equação da reta que passa por P 3 0 1 e é ortogonal ao plano a 3x 4y 2 0 Resp x y z 3 3 4 1 0 213 álgebra vetorial e geometria analítica 03 Determinar a equação do plano ortogonal ao segmento de extremidades P 0 3 2 e Q 2 1 4 em seu ponto médio Resp x y z 2 0 04 Achar o ponto P simétrico de P 2 2 1 em relação plano a x z 3 0 Resp P 4 2 5 05 Calcular as equações simétricas da reta que passa pelo ponto A 1 2 5 e é paralela aos planos a1 x y z 3 0 e a2 x z 1 0 Resp x y z 1 1 2 2 5 1 06 Achar as equações simétricas da reta que passa pelo ponto P 3 5 2 e é paralela aos planos x 2y z 3 0 e x 2y 3z 4 0 Resp x y z 3 2 5 1 2 0 07 Determinar a distância da reta r ao plano a sendo r x y z 1 1 1 2 2 2 e a 4x y z 3 0 Resp 2 Verifi que que a reta é paralela ao plano Então dr a dPO a onde PO 1 1 2 é ponto qualquer de r SUGESTÃO a 214 Jacir J Venturi 08 Obter as equações da reta r tais que 1 passe por PO 2 3 5 2 seja paralela ao plano a 2x z 3 0 3 intercepte a reta s x z y 2 3 Resp x y z 2 5 3 6 5 10 a r x y m z n 2 3 5 b condição de paralelismo de r e a c condição de coplanaridade de r e s SUGESTÃO Série B Quando você contrata pessoas mais inteligentes que você prova que é mais inteligente que elas Richard Hallan Grant vicepresidente da Chevrolet Motor Company 215 álgebra vetorial e geometria analítica 01 09 Equação da reta r que passa pelo ponto A 3 2 1 é paralela ao plano a x y z 2 0 e ortogonal à reta s x 2y 3z Resp x y z 3 1 2 4 1 3 02 Provar que a reta r está contida no plano a Dados r x y z x y z 4 1 3 1 2 2 5 5 0 e α 03 O plano a é determinado pelos pontos A 0 0 2 B 2 0 0 e C 0 1 2 A reta por r x t y t z t 1 3 3 1 Sabendose paralelos r e a calcular a distância entre a reta e o plano Resp 2 04 Achar a equação do plano que passa pela reta r x y z x y 3 0 2 1 0 e paralelo a reta s x y z 1 1 2 2 7 Resp 3x 2y z 4 0 05 Obter as equações simétricas da reta r situada no plano a 2x y z 1 0 e que intercepta ortogonalmente a reta s x y z 1 1 2 1 3 Resp r x y Z 3 5 8 7 13 3 216 Jacir J Venturi 8 DISTÂNCIA DE PONTO A UMA RETA Considere r uma reta passante por PO xO yO zO e que tem a direção do vetor r l r r r r i mj nk Em tais condições a reta r tem a forma r x x y y m z z n O O O Na página 137 demonstrouse a fórmula que permite calcular a distância de um ponto A à reta r dA r A PO x vers r Se minha Teoria da Relatividade estiver correta a Alemanha dirá que sou alemão e a França me declarará cidadão do mundo Mas se não estiver a França dirá que sou alemão e os alemães dirão que sou judeu Albert Einstein 18791955 Prêmio Nobel de Física em 1921 01 Calcular a distância do ponto A 1 2 0 à reta r x y z x y z 2 0 3 2 0 Resp 21 3 217 álgebra vetorial e geometria analítica 02 Achar a distância do ponto A 1 1 3 à reta determinada pelos pontos P 4 3 2 e Q 2 2 0 Resp 2 03 As retas r1 e r2 são paralelas Determinar a distância entre elas Dadas r x y z r x y z 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 4 e Resp 30 3 dr1 r2 dA r2 onde A é o ponto qualquer de r1 SUGESTÃO Série B Na boca de quem não presta quem é bom não tem valia Chico Anysio 19312012 humorista ator escritor músico nascido no Ceará 04 Obter as equações simétricas das retas que passem pelo ponto A 0 0 1 distem 2 2 da origem do sistema cartesiano e sejam paralelas ao plano x y 2 0 Resp x y z 1 1 1 2 218 Jacir J Venturi 9 DISTÂNCIA ENTRE DUAS RETAS REVERSAS E EQUAÇÕES DA NORMAL COMUM A fi gura ao lado mostra duas retas rever sas r1 e r2 Pretendese a fórmula da distância entre elas bem como o cálculo das equações da normal comum n Fórmula da distância entre duas retas reversas A reta r1 é passante por P1 x1 y1 z1 e é paralela ao vetor r l r r r r i m j n k 1 1 1 1 A reta r2 contém o ponto P2 x2 y2 z2 e tem a direção do vetor r l r r r r i m j n k 2 2 2 2 Isto posto r x x y y m z z n r x x y y m z z n 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 Deduziuse na página 140 do presente manual que a distância dr1 r2 entre as retas reversas r1 e r2 estas reversas entre si é obtida pela fórmula d r P P r r 1 2 2 1 1 2 1 2 r x r x r 219 álgebra vetorial e geometria analítica Equações da normal comum A reta n normal comum às retas r1 e r2 será individualizada pelas equa ções da reta que passa pelos pontos N1 e N2 Corroboramos que os pontos N1 e N2 são os pés da normal comum às retas r1 e r2 A determinação de tais pontos fi cou demonstrada à página 140 N P k r N P k r 1 1 1 1 1 1 1 1 1 N P k r N P k r 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Subtraindo membro a membro 1 de 2 temse N N P P k r k r 2 1 2 1 2 2 1 1 Os valores de k1 e k2 são obtidos multiplicandose escalarmente esta última equação por r 1 e r 2 Nunca na minha vida aprendi fosse o que fosse daqueles que sempre concordaram comigo Dudley F Malone 18821950 diplomata americano 01 Dadas as retas r x y z r x y z 1 2 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 2 calcular a a distância entre as retas r1 e r2 b a reta n perpendicular comum às retas r1 e r2 Resp a d r r b n x y z 1 2 2 3 3 1 1 1 1 1 220 Jacir J Venturi 01 Sendo r x z y r x y z 1 2 2 0 1 0 2 1 0 1 0 e calcular a a distância entre as retas r1 e r2 b os pés da normal comum c a normal comum às retas r1 e r2 Resp a d r r b b N N 1 1 2 1 2 6 3 4 3 1 2 3 5 3 1 3 n x y z 4 3 1 1 2 2 3 1 10 ÂNGULO DE DUAS RETAS Dadas as retas r1 e r2 por suas equações simétricas r x x y y m z z n r x x y y m z z n 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 O ângulo θ é o menor ângulo formado pelas retas r1 e r2 Obtêmolo pela aplicação do produto escalar entre os vetores diretores r 1 e r 2 cos θ r r r r 1 2 1 2 0 2 θ π 221 álgebra vetorial e geometria analítica 11 ÂNGULO DE UMA RETA COM UM PLANO Dados a ax by cz d 0 r x x y y m z z n o o o Onde r tem a direção do vetor r l r r r r i mj nk Considere n a i b j ck um vetor normal ao plano a O ângulo agudo θ entre os vetores n e r calculado através da defi nição de produto escalar cos θ n r n r Procurase no entanto o ângulo Ø agudo entre a reta r que tem a dire ção do vetor r e o plano a Depreendese da fi gura que cos θ sen Ø haja vista que os ângulos θ e Ø são complementares Face ao exposto sen n r n r φ π 0 2 Duas coisas indicam a fraqueza calarse quando é preciso falar e falar quando é preciso calarse Adágio árabe 222 Jacir J Venturi Se não houver frutos valeu a beleza das fl ores Se não houver fl ores valeu a sombra das folhas Se não houver folhas valeu a intenção da semente Henfi l 19441988 escritor e humorista mineiro 01 Achar o ângulo entre as retas r x y z s x y z 1 7 1 1 0 3 2 2 1 1 2 e Resp θ π 4 rad 02 Pedese o ângulo entre a x y 3 0 e r x y z 2 1 2 2 1 Resp θ π 3 rad 03 Achar o ângulo que a reta r x y z x y z 2 3 2 1 0 2 4 3 5 0 forma com o eixo das cotas Resp arc cos 2 3 04 Achar as equações simétricas da reta que passe pelo ponto A 1 0 2 seja paralela ao plano a x z 2 0 e forme um ângulo de π rad 6 com o plano β x y z 4 0 Resp x y z 1 1 6 2 1 05 Calcule o ângulo agudo que a reta r x y z 1 3 3 2 6 forma com o plano xy Resp arc sen 6 7 59 223 álgebra vetorial e geometria analítica sen n r n r onde n 0 0 1 e r 3 2 6 SUGESTÃO Série B 06 Calcular as equações das retas r passantes pelos pontos A 2 1 1 e que interceptam a reta s x y z 1 2 1 0 11 segundo um ângulo de 45 Resp x y z x y z 2 1 1 0 1 3 2 3 1 0 1 1 ou 1 equação de r x y m z n 2 1 1 2 condição de coplanaridade de r e s 3 cos 45o r r r r r s r s SUGESTÃO 224 apÊnDice RECR ANDO A Matemática em muito ajuda o desenvolvimento do raciocínio Cada quebracabeça é um repto ao nosso ego uma razia à nossa inteligência e não há quem não goste de enfrentálo Existem às centenas envolvendo ou não a Matemática Pode parecer bizarra a inclusão de tal adendo Justii camos como uma homenagem especial aos nossos alunos de Licenciatura que poderão futura mente motivar suas aulas em nível de Ensino Fundamental e Médio Ademais cabe ao futuro engenheiro desenvolver o raciocínio por ser este a principal ferramenta de trabalho Já pertencentes ao domínio público tais recreações foram recriadas uma vez que possuem redação própria Em sua maioria esmagadora nos foram ver balizadas por alunos e amigos e coletados por cerca de três lustros Respostas na página 233 I Assinale a alternativa que corresponde ao 5º símbolo da sequência a b c d e II Um tijolo pesa 2 quilos mais meio tijolo Quanto pesa um tijolo e meio III O homembranco foi feito prisioneiro de uma feroz tribo indígena O cacique querendo demonstrar elevado grau de justiça remeteu a sentença à inteligência do prisioneiro 225 álgebra vetorial e geometria analítica Começou o cacique Você está numa cela onde existem duas portas cada uma vigiada por um guarda Existe uma porta que dá para a liberdade e outra para a morte Você está livre para escolher a porta que quiser e por ela sair Poderá fazer uma pergunta apenas uma a um dos dois guardas que vigiam as portas Ah ia esquecendo um dos dois guardas responde sempre a verdade o outro invariavelmente responde com uma mentira Mas você des conhece qual guarda mente ou qual diz a verdade Boa sorte O homembranco pensou bastante Depois dirigiuse a um dos guardas e fez uma única pergunta Só uma E lampejamente saiu pela porta que dava para a liberdade Qual a pergunta que o homembranco fez ao guarda IV Um grande industrial na necessidade de ir a São Paulo chegou a seu guardanoturno e ordenou Amanhã acordeme às 6h por favor Tenho que apanhar o avião para SP Pois não chefe Pontualmente às 6h o guarda apertou a campainha da residência do industrial e tentou demovêlo da ideia de viajar Patrão disse o guarda estou com mau presságio sonhei esta noite que o Sr teria um acidente com o avião e me permita sugerir que não viaje O industrial titubeou mas mesmo assim viajou Sem incidentes chegou a SP e por telefone mandou despedir o guarda Por quê V Coloque a vírgula Levar uma pedra do Rio à Europa uma andorinha não faz verão Um fazendeiro tinha um bezerro e o pai do fazendeiro também era a mãe do bezerro VI Um pai distribuiu um número x de maçãs a seus três ilhos de sorte que 1 ao ilho mais velho coube metade das maçãs mais meia maçã 2 ao ilho do meio metade das maçãs que sobraram mais meia maçã 3 ao ilho mais moço metade das maçãs que restaram das duas distribuições anteriores mais meia maçã 4 ao próprio pai coube uma maçã Calcular o número x de maçãs 226 Jacir J Venturi VII Prove que metade de onze é seis VIII Quando o Rei da Pérsia perguntou qual a recompensa que desejava o inventor do jogo de xadrez pediu um grão de trigo para o primeiro quadrado do tabuleiro dois para o segundo quatro para o terceiro oito para o quarto e assim por diante dobrando a quantidade para cada quadrado subsequente Calcular o número total de grãos corres pondentes aos 64 quadrados do tabuleiro TABULEIRO DE XADREZ IX Um relógio de parede dá uma badalada à uma hora duas badaladas às duas horas três badaladas às três horas e assim por diante Que horas são quando ele está dando a sua 42ª badalada do dia X A torneira A enche um tanque em 3 horas e a torneira B em 4 horas Um sifão esvazia o tanque em 6 horas Funcionando os três juntos e o tanque estando vazio qual o tempo para enchêlo 227 álgebra vetorial e geometria analítica XI Aponte o erro nas operações abaixo Seja a b 1 multiplicando os dois membros por a a2 ab 2 subtraindo b2 de ambos os membros a2 b2 ab b2 ou a b a b b a b 3 dividindo ambos os membros por a b a b b 4 mas a b b b b 2b b 5 dividindo os dois membros por b 2 1 XII Dois pastores A e B A diz para B Dême um de seus carneiros que i camos com igual número B diz para A Não dême um de seus carneiros que i carei com o dobro dos seus Quantos carneiros tem A e quantos tem B XIII Empregando apenas o algarismo 9 escrever a 10 b 100 c 1000 XIV Movendo apenas um palito do fósforo torne verdadeira a igualdade abaixo 228 Jacir J Venturi XV Três irmãos A B e C receberam de herança 17 camelos Na partilha caberia a A metade da cái la a B uma terça parte e C herdaria uma nona parte Como 17 não é múltiplo de 2 de 3 e de 9 não houve consenso entre os três irmãos Procuraram a via judicial O Juiz juntou ao espólio um de seus camelos perfazendo um total de 18 camelos e arguiu Cabe a A metade de 17 ou seja 85 camelos Com a inclusão do meu camelo metade de 18 é 9 Cabe a B uma terça parte de 17 ou seja 566 camelos Tomo 18 e divido por 3 e assim B leva 6 Cabe a C uma nona parte de 17 ou seja 188 Tomo 18 e divido por 9 e a C cabe 2 Os três irmãos anuíram e a sentença foi proferida Cumpre esclarecer que 9 6 2 17 e o juiz pôde reaver o seu camelo Explique o soi sma Numa redação mais primorosa e elegante você encontra o proble ma dos camelos porém para 34 no livro O Homem que Calculava de Malba Tahan OBSERVAÇÃO XVI Uma lesma deve subir um poste de 10 m de altura De dia sobe 2 m e à noite desce 1 m Em quantos dias atingirá o topo do poste XVII Existem nove bolas de mari m e uma delas por ser falsa tem peso me nor Dispondo de uma balança que em cada prato cabem no máximo três bolas pedese o número mínimo de pesagens para se descobrir a bola falsa XVIII O velho pai em seu leito de morte chamou seus dois i lhos e murmu rou Como vocês sabem tenho uma grande extensão de terra e não pretendo dividila Pôlosei a uma prova cada um de vocês apanhe um cavalo e o dono do último cavalo que chegar à cidade de Meca i cará sozinho com a herança O velho pai morreu e o i lho F1 tomou o cavalo C1 e o i lho F2 tomou o cavalo C2 Naturalmente passaramse anos e nem a F1 e nem a F2 interessava chegar primeiro a Meca 229 álgebra vetorial e geometria analítica Em busca de uma solução procuraram um juiz Este lhes deu uma sugestão sem contrariar a proposição do velho pai e os dois saíram em disparada cada um querendo chegar primeiro que o outro a Meca Qual a sugestão do juiz XIX Calcular o valor de x na equação a ax ate mo XX Três gatos comem três ratos em três minutos Cem gatos comem cem ratos em quantos minutos XXI O pai do padre é i lho de meu pai O que eu sou do padre XXII Qual o dobro da metade de dois XXIII Numa lagoa há dois patos na frente de dois patos dois patos no meio de dois patos e dois patos atrás de dois patos Quantos patos há na lagoa XXIV Depois de n dias uma pessoa observa que 1 choveu 7 vezes de manhã ou à tarde 2 quando chove de manhã não chove à tarde 3 houve 5 tardes sem chuva 4 houve 6 manhãs sem chuva Calcular n Questão de concurso para engenheiro de Petrobras OBSERVAÇÃO XXV O valor de 8 2 é XXVI Se um bezerro pesa 75 kg mais meio bezerro quanto pesa um bezerro inteiro 230 Jacir J Venturi XXVII Decifre 1 000 1 000 1 000 1 000 nós K nós você tem XXVIII Um avião lotado de passageiros parte do Rio de Janeiro em direção a Buenos Aires Por uma fatalidade cai na fronteira BrasilArgentina Onde serão enterrados os sobreviventes XXIX Uma pata nascida no Chile bota um ovo na divisa BrasilChile Segun do o ltamaraty a quem pertence o ovo XXX Quem é aquele moço pergunta Regina Débora responde O pai dele é irmão da esposa de meu cunhado Qual o grau de parentesco entre o moço e Débora XXXI O p é um número irracional e para 8 casas decimais tem o valor p 314159265 A frase abaixo representa um artifício para memorizálo SOU O MEDO E TEMOR CONSTANTE DO MENINO VADIO Onde cada palavra encerra um número de letras que coincide em or dem com cada algarismo do p XXXII Teste a sua intuição uma moeda é envolta bem ajustada em todo o seu perímetro por um barbante O mesmo se faz com a Terra considerea esférica à altura do Equador Acrescentando 1 m ao comprimento dos barbantes em ambos os casos resulta uma folga Qual folga é maior entre o barbante e a moeda ou entre o barbante e a Terra Qual dos dois casos permite a passagem de uma ratazana Este problema é encontrado no livro Geometria Analítica de Boulos e Camargo OBSERVAÇÃO 231 álgebra vetorial e geometria analítica XXXIII De posse de um lápis e de uma folha de papel em branco escrever o número 1000 dentro de um círculo fechado com a condição de não se levantar o lápis do papel Assim 1 000 XXXIV Um matemático ao contar a história dos 3 porquinhos a seu ilho de 5 anos começou Seja F uma loresta onde há 3 porquinhos P1 P2 e P3 Admitindo P1 P2 P3 XXXV Eis aqui um belo texto por demais conhecido A autoria é desconheci da Transcrevemolo com alguns acréscimos e alterações A TRAGÉDIA DA MATEMÁTICA Num certo livro de Matemática um quociente apaixonouse por uma in cógnita Ele o quociente é produto da notável família dos polinômios Ela uma simples incógnita resultante de um ente geométrico com uma equação literal Oh Que tremenda desigualdade Mas como todos sabem o amor não tem limites e vai do menos ininito ao mais ininito Apaixonado o quociente a olhou do ápice à base sob todos os ângulos agudos e obtusos Era linda igura ímpar com traços que a punham em evi dência olhar romboide boca elíptica seios esferoides num corpo cilíndrico de linhas senoidais Quem és perguntou o quociente com olhar radical Sou a raiz quadrada da soma do quadrado dos catetos Mas pode me chamar de Hipotenusa respondeu ela com uma expressão algébrica de quem ama Ele fez de sua vida uma paralela à dela até que se encontraram no in inito E se amaram ao quadrado da velocidade da luz traçando ao sabor do momento e da paixão retas e curvas nos jardins da terceira dimensão Ele a amava e a recíproca era verdadeira Adoravamse na mesma razão e proporção no intervalo aberto da vida Três quadrantes depois resolveram se casar Traçaram planos para o fu turo e todos lhes desejaram felicidade integral Os padrinhos foram o vetor e a bissetriz Tudo estava nos eixos O amor crescia em progressão geométrica como o marido era uma potência Hipotenusa foi fecundada quando estava em suas 232 Jacir J Venturi coordenadas positivas Tiveram um par o menino em homenagem ao padri nho chamaram de versor a menina uma linda abscissa Nasceram de uma operação cartesiana Foram felizes até que um dia tudo se tornou uma constante Foi aí que surgiu um outro Sim um outro O Máximo Divisor Comum um frequentador de círculos concêntricos viciosos O mínimo que o Máximo ofereceu foi uma grandeza absoluta Ela sentiuse imprópria mas amava o Máximo Sabedor deste triângulo amoroso o quociente chamoua de ordinária Sentindose um denominador resolveu aplicar a solução trivial um ponto de descontinuidade na vida deles E quando os dois amantes estavam em coló quio ele em termos menores e ela de combinação linear chegou o quociente e num giro determinante disparou o seu 45 Ela passou para o espaço imaginário e o quociente foi parar num intervalo fechado onde a luz solar se via através de pequenas malhas quadráticas XXXVI Um matemático chamado Roberto tinha três ilhos 1 Zeroberto 2 Umberto 3 Doisberto XXXVII Um trem parte de uma cidade A a 110 kmh e ao mesmo tempo um outro parte da cidade B a 90 kmh Encontramse numa cidade C Qual dos dois trens está mais próximo da cidade B XXXVIII Um barqueiro estando na margem A de um rio tem que atravessar para a margem B um coelho uma onça e uma caixa de cenouras Como seu barco é muito pequeno ele só pode atravessar um de cada vez Para que a onça não coma o coelho e o coelho não coma a ce noura em que sequência o barqueiro deve proceder a travessia 233 álgebra vetorial e geometria analítica RESPOSTAS I Resposta d Divida cada símbolo por uma reta vertical Assim temse à direita da reta o algarismo 1 e à esquerda o algarismo 1 invertido temse à direita da reta o algarismo 2 e à esquerda o algarismo 2 invertido O 3º símbolo corresponde ao algarismo 3 o 4º símbolo ao 4 e a res posta ao 5 II Resp 6 kg É só resolver a equação peso do tijolo x x x x 2 1 2 4 Então um tijolo e meio pesa 6 kg III O homembranco perguntou a um dos guardas Segundo o outro guarda qual a porta que dá para a liberdade E saiu pela porta oposta Justii cativa 1 O homembranco formula a pergunta ao guarda que sempre diz a verdade Este sabendo que o outro guarda mente indicará a porta que leva à morte 2 O homembranco formula a pergunta ao guarda que sempre mente Este por ser mentiroso dirá que o outro guarda apontará a porta que leva à morte IV Se era guardanoturno não podia ter sonhado dormido à noite V uma andorinha não faz verão Verão não é substantivo e sim verbo verão vocês OBSERVAÇÃO um fazendeiro tinha um bezerro e o pai do fazendeiro também era a mãe do bezerro 234 Jacir J Venturi VI 15 maçãs Resolução 1 ao mais velho x x 2 1 2 1 2 2 ao ilho do meio x x x 1 2 2 1 2 1 4 3 ao mais moço x x x x 1 2 1 4 2 1 2 1 8 4 ao pai 1 Equação x x x x 1 2 1 4 1 8 1 que resolvida nos conduz a x 15 VII Em algarismos romanos represente o XI Horizontalmente dividao ao meio Assim VIII A sequência 1 2 4 8 16 32 constitui uma PG limitada onde a1 1 q 2 e n 64 e pedese a soma de seus 64 termos a Cálculo de a64 an a1qn 1 a64 a1q63 1 263 263 b Cálculo de S64 s a q a q s n n 1 64 63 64 1 2 2 1 2 1 2 1 Resp 264 1 grãos de trigo 235 álgebra vetorial e geometria analítica Segundo Malba Tahan o celeiro que satisfaz essa condição é por exemplo aquele que tem 4 m de altura 10 m de largura e 300000000 km de comprimento ou quase o dobro de distância que separa a Terra do Sol A quantidade de trigo cujo número de grãos corresponde à expressão 264 1 cobriria toda a superfície da Terra com uma camada de trigo de 2 cm de altura OBSERVAÇÃO IX 9 horas X 2 horas e 24 min Resolução Empregue a fórmula 1 1 1 1 t t t t A B S onde t tempo procurado tA tempo da torneira A 3h tB tempo da torneira B 4h tS tempo do sifão S 6h Resp t 24h 2 horas e 24 minutos XI Observe no item 3 que a b 0 e matematicamente não se pode dividir por zero XII 5 e 7 Resolução número de carneiros de A x número de carneiros de B y x 1 y 1 y 1 2 x 1 Resolvendo o sistema temse x 5 e y 7 236 Jacir J Venturi XIII a 9 9 9 10 b 99 9 9 100 c 999 9 9 1000 XIV XV Basta observar que o número de camelos que em tese caberia à soma A B C não é 17 e sim 17 2 17 3 17 9 9 5 5 66 1 88 16 04 A diferença entre 17 e 1604 é 096 que icou assim distribuído a favor de A 9 85 05 a favor de B 6 566 034 a favor de C 2 188 012 A soma das diferenças 05 034 012 perfaz 096 XVI 9 dias No nono dia a lesma sobe 2 m atinge o topo e evidentemente não desce 1 m XVII Apenas 2 pesagens XVIII Atente para a proposição do velho pai o dono do último cavalo que chegar a Meca O Juiz simplesmente sugeriu que trocassem de ca valos Assim F1 montou em C2 e disparou em direção a Meca pois se chegasse em primeiro seu cavalo C1 chegaria em último Por sua vez F2 montou em C1 e também disparou em direção a Meca para que seu cavalo C2 chegasse em último 237 álgebra vetorial e geometria analítica XIX x amo te Algebricamente explicite o x a ax ate mo a a x te mo a x te mo a mo x te x a mo te 2 2 XX 3 minutos XXI Tio XXII Dois XXIII 4 patos Entenda pela i gura XXIV Resp 9 Resolução manhãs chuvosas tardes chuvosas dias chuvosos n 6 n 5 7 Resolvendo a equação n 6 n 5 7 temse n 9 XXV 4 8 2 Oito deitado dividido por dois resulta quatro deitado OBSERVAÇÃO 238 Jacir J Venturi XXVI 150 kg Resolução peso do bezerro x então x x x 75 2 150 XXVII Cá entre nós você tem mil encantos XXVIII Sobrevivente não se enterra XXIX O Brasil não faz divisa com o Chile XXX O moço é sobrinho de Débora XXXI x x x XXXII A folga é a mesma 16 cm Em ambos os casos a ratazana passa com a mesma facilidade Justiicativa A folga independe do raio Seja R o raio de uma circunferência de C 2pR Acrescendo 1 m temse C 2pR A folga igual a 1 m é a diferença C C Matematicamente C C 1 2pR 2pR 1 R R 1 2π 16 cm XXXIII Dobre a borda inferior da folha de papel de forma que se sobrepo nham A igura ilustra siga os números de 1 a 10 1 7 6 5 2 1 3 4 8 9 10 239 álgebra vetorial e geometria analítica XXXVIII Ambos os trens estão à mesma distância da cidade B XXXVIII 1 Atravessa o coelho para a margem B 2 Retorna sozinho para a margem A 3 Leva a cenoura para a margem B 4 Traz de volta o coelho para a margem A 5 Leva a onça para a margem B uma vez que a onça não come ce noura 6 Volta sozinho para a margem A 7 Finalmente retorna para a margem B com o coelho 241 álgebra vetorial e geometria analítica BIBLIOGRAFIA BARSOTTI Leo Geometria Analítica e vetores 3ª ed Curitiba Artes Gráicas Editora Uniicado 1984 v 1 165 p BOULOS Paulo CAMARGO lvan de Geometria Analítica um tratamento ve torial 2ª ed São Paulo Mc GrawHill 1987 383 p BOYER Carl B História da Matemática São Paulo Editora da Universidade de S Paulo 1974 488 p CABRERA MEDICI Geometria Analítica Buenos Aires s l 1947 456 p CAROLI Alésio João de CALLIOLI Carlos Alberto FEITOSA Miguel Oliva Ve tores Geometria Analítica teoria e exercícios 6ª ed São Paulo Nobel 1968 212 p GIACAGLIA G E O Vetores e Geometria Analítica Elementos de Álgebra Linear 3ª ed São Paulo Nobel 1985 355 p LEHMANN Charles H Geometria Analítica México UTEHA 1953 488 p LEITE Olímpio Rudinin Vissoto Geometria Analítica Espacial São Paulo Edi ções Loyola 1983 251 p MACHADO Antônio dos Santos Álgebra Linear e Geometria Analítica São Paulo Atual 1980 210 p MAIA L P M Cálculo Vetorial Rio de Janeiro LatinoAmericana 111 p MURDOCH David C Geometria Analítica com uma introdução ao cálculo veto rial e matrizes 2ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Cientíicos 1971 296 p REIS Genésio Lima dos SILVA Valdir Vilmar da Geometria Analítica Rio de Janeiro Livros Técnicos e Cientíicos 1984 227 p SANTOS Nathan Moreira dos Vetores e Matrizes 2ª ed Rio de Janeiro Livros Técnicos e Cientíicos 1979 152 p SIMMONS George F Cálculo com Geometria Analítica São Paulo Mc Graw Hill 1987 v 1 829 p STEINBRUCH Alfredo WINTERLE Paulo Geometria Analítica 2ª ed São Paulo Mc GrawHill 1987 291 p ZÓZIMO Gonçalves Menna Geometria Analítica Plana tratamento vetorial Rio de Janeiro Livros Técnicos e 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