Cadeia de Markov

Lista de Exercícios Cadeia de Markov Para todas as questões desenhe o grafo Questão 1 Escolha de Restaurante Uma família costuma almoçar fora aos domingos e tem três restaurantes preferidos Italiano I Japonês J e Brasileiro B Se forem ao restaurante Italiano em um domingo há 60 de chance de repetirem no próximo 25 de irem ao Japonês e 15 ao Brasileiro Se forem ao restaurante Japonês há 50 de chance de repetirem 30 de irem ao Brasileiro e 20 ao Italiano Se forem ao restaurante Brasileiro há 70 de chance de repetirem e 15 de chance para cada um dos outros dois 1 Monte a matriz de transição P 2 Qual a probabilidade de que se a família foi ao restaurante Japonês neste domingo vá ao Italiano no próximo 3 Qual a probabilidade de que se a família foi ao restaurante Italiano hoje vá ao Brasileiro daqui a dois domingos Questão 2 Troca de Aplicativo de Mensagem Um grupo de amigos troca mensagens usando quatro aplicativos WhatsTalk W ChatFast C MsgNow M e ZapBoom Z Se um amigo usou o WhatsTalk esta semana há 50 de chance de continuar usando na próxima 30 de mudar para o ChatFast 10 para o MsgNow e 10 para o ZapBoom Se usou o ChatFast há 40 de chance de permanecer 30 de mudar para MsgNow 20 para WhatsTalk e 10 para ZapBoom Se usou o MsgNow há 60 de chance de permanecer 20 de mudar para ZapBoom 10 para WhatsTalk e 10 para ChatFast Se usou o ZapBoom há 70 de chance de permanecer 10 para cada um dos demais aplicativos 1 Escreva a matriz de transição P 2 Se o amigo usou MsgNow esta semana qual a probabilidade de usar WhatsTalk na próxima 3 Qual a probabilidade de que um amigo que começou usando o ChatFast esteja usando ZapBoom após duas semanas 4 Determine o vetor de estado estacionário distribuição limite isto é a distribuição de uso dos aplicativos após muitas semanas Questão 3 Robô de Limpeza Um robô de limpeza se movimenta entre três cômodos Sala S Cozinha C e Quarto Q A cada intervalo de 10 minutos ele decide o próximo cômodo para limpar conforme as regras Se está na Sala ele vai para a Cozinha com probabilidade 04 para o Quarto com 04 e permanece na Sala com 02 Se está na Cozinha vai para a Sala com probabilidade 05 permanece com 03 e vai para o Quarto com 02 Se está no Quarto vai para a Sala com 06 e para a Cozinha com 02 ficando no Quarto com 02 1 Monte a matriz de transição P 2 Qual a probabilidade de que o robô esteja na Sala após dois movimentos tendo começado na Cozinha 3 Qual a probabilidade de que o robô esteja no Quarto após três movimentos tendo começado na Sala Resolucao Completa Processos de Markov Questao 1 Escolha de Restaurante Temos trˆes restaurantes preferidos Italiano I Japonˆes J e Brasileiro B As probabilidades de transicao sao Se forem ao restaurante Italiano I PI I 06 PI J 025 PI B 015 Se forem ao restaurante Japonˆes J PJ J 05 PJ B 03 PJ I 02 Se forem ao restaurante Brasileiro B PB B 07 PB I 015 PB J 015 1 Matriz de transicao P Escolho a ordem dos estados como I J B Assim cada linha representa o restaurante atual e cada coluna representa o restaurante no proximo domingo Logo P PI I PI J PI B PJ I PJ J PJ B PB I PB J PB B 06 025 015 02 05 03 015 015 07 2 Probabilidade de que se a famılia foi ao Japonˆes va ao Italiano no proximo domingo Se estao no Japonˆes hoje a probabilidade de irem ao Italiano no proximo domingo e diretamente o elemento PJ I da matriz Observando P PJ I 02 3 Probabilidade de que se a famılia foi ao Italiano hoje va ao Brasileiro em dois domingos Aqui quero a probabilidade de estar em B depois de dois passos partindo de I Isso corresponde ao elemento I B da matriz P 2 Denoto P 2 P P Entao P 2 IB PI I PI B PI J PJ B PI B PB B Substituindo os valores P 2 IB 06 015 025 03 015 07 009 0075 0105 027 Portanto a probabilidade e 027 ou 27 1 Questao 2 Troca de Aplicativo de Mensagem Temos quatro aplicativos para troca de mensagem WhatsTalk W ChatFast C MsgNow M e ZapBoom Z As probabilidades de transicao sao Se usou WhatsTalk W nesta semana PW W 05 PW C 03 PW M 01 PW Z 01 Se usou ChatFast C PC C 04 PC M 03 PC W 02 PC Z 01 Se usou MsgNow M PM M 06 PM Z 02 PM W 01 PM C 01 Se usou ZapBoom Z PZ Z 07 PZ W 01 PZ C 01 PZ M 01 1 Matriz de transicao P Escolho a ordem dos estados como W C M Z Assim cada linha representa o estado atual e cada coluna o estado na semana seguinte Logo P PW W PW C PW M PW Z PC W PC C PC M PC Z PM W PM C PM M PM Z PZ W PZ C PZ M PZ Z 05 03 01 01 02 04 03 01 01 01 06 02 01 01 01 07 2 Se usou MsgNow qual a probabilidade de usar WhatsTalk na proxima semana Diretamente essa probabilidade e o elemento PM W PM W 01 3 Probabilidade de que um amigo que comecou usando ChatFast esteja usando ZapBoom apos duas semanas Isso equivale ao elemento C Z da matriz P 2 Calculo P 2 CZ PC WPW ZPC CPC ZPC MPM ZPC ZPZ Z Substituindo valores P 2 CZ 02 01 04 01 03 02 01 07 002 004 006 007 019 Portanto a probabilidade e 019 ou 19 2 4 Vetor de estado estacionario distribuicao limite Seja π πW πC πM πZ o vetor estacionario Ele satisfaz πP π e πW πC πM πZ 1 Explicitamente isso significa πW 05πW 02πC 01πM 01πZ πC 03πW 04πC 01πM 01πZ πM 01πW 03πC 06πM 01πZ πZ 01πW 01πC 02πM 07πZ πW πC πM πZ 1 Procedo resolvendo esse sistema Da primeira equacao πW05πW 02πC01πM01πZ 05πW 02πC01πM01πZ πW 04πC02πM02πZ Da segunda πC04πC 03πW01πM01πZ 06πC 03πW01πM01πZ πC 05πW1 6πM1 6πZ Fazendo substituicoes e usando tambem as outras equacoes terceira quarta e a soma igual a 1 chego a um conjunto coerente de proporcoes Uma das maneiras e observar a simetria notando que πW e πC podem coincidir e resolver o restante Obtive πW πC 02 πM 028 πZ 032 Verifico a soma 02 02 028 032 1 Portanto o vetor de estado estacionario e π 02 02 028 032 Questao 3 Robˆo de Limpeza O robˆo se movimenta entre trˆes cˆomodos Sala S Cozinha C e Quarto Q As probabilidades de transicao sao Se estiver na Sala S PS S 02 PS C 04 PS Q 04 Se estiver na Cozinha C PC S 05 PC C 03 PC Q 02 Se estiver no Quarto Q PQ S 06 PQ C 02 PQ Q 02 3 1 Matriz de transição P Escolho a ordem SCQ Então P PS S PS C PS Q PC S PC C PC Q PQ S PQ C PQ Q 02 04 04 05 03 02 06 02 02 2 Probabilidade de o robô estar na Sala após dois movimentos tendo começado na Cozinha Quero P²CS Faço a soma sobre todos os caminhos de dois passos que começam em C e terminam em S P²CS PC S PS S PC C PC S PC Q PQ S Substituindo P²CS 05 02 03 05 02 06 01 015 012 037 Logo a probabilidade é 037 ou 37 3 Probabilidade de o robô estar no Quarto após três movimentos tendo começado na Sala Agora quero o elemento SQ de P³ Primeiro calculo a linha de P² partindo de S Denoto P²S P²SS P²SC P²SQ Faço passo a passo P²SS PS S PS S PS C PC S PS Q PQ S 02 02 04 05 04 06 004 020 024 048 P²SC PS S PS C PS C PC C PS Q PQ C 02 04 04 03 04 02 008 012 008 028 P²SQ PS S PS Q PS C PC Q PS Q PQ Q 02 04 04 02 04 02 008 008 008 024 Assim a linha de P² relativa ao estado S é 048 028 024 Para P³SQ P³SQ P²SS PS Q P²SC PC Q P²SQ PQ Q Substituindo P 3 SQ 048 04 028 02 024 02 0192 0056 0048 0296 Portanto a probabilidade de o robˆo estar no Quarto apos trˆes movimentos iniciando na Sala e 0296 ou 296 5