Prova de Cálculo Diferencial - Funções, Domínio, Limites e Derivadas

1 10 val Considere a seguinte função fx x2 7 x x 6 a 02 val Determine o domínio de f b 04 val Usando a definição prove que f é diferenciável no ponto x 0 e calcule f 0 c 04 val Estude a existência de assíntotas verticais ao gráfico de f 2 08 val Calcule o limite seguinte lim x 1 2x 3 lnex 6x 1 3 14 val Considere a seguinte função gx 6x ex a 10 val Faça o estudo da função respondendo às seguintes questões i Determine o domínio de g ii Calcule os zeros da função g iii Estude a continuidade da função g iv Verifique se g é uma função par ou ímpar v Estude a existência de assíntotas ao gráfico de g vi Calcule a derivada da função g vii Estude a monotonia e encontre os extremos locais da função g viii Calcule a segunda derivada da função g ix Estude a concavidade e encontre os pontos de inflexão de g b 04 val Desenhe o gráfico de g representando claramente as caracte rísticas estudadas na alínea anterior incluindo os pontos e as assíntotas encontradas 4 08 val Seja hx uma função duas vezes diferenciável em R com h0 0 e seja fx hx cos hx x uma função cujo polinómio de Taylor de ordem 1 no ponto x0 0 é p1x 1 4x Sabendo que f 0 0 diga qual o valor de h0 e qual a concavidade da função hx numa vizinhança de x 0 FIM Página 4 de 4 1 a Sendo fx x² 7 x x 6 seu domínio é tal que 7 x 0 pois não há raiz real de um número negativo e x 6 uma vez que não pode dividir por zero Sendo assim Df x R x 7 e x 6 b Sendo a definição de derivado fa lim h0 fa h fa h temos f0 lim h0 fh f0 h lim h0 h² 7 h h 6 0 7 0 0 6 h lim h0 h² 7 h h 6 h lim h0 h² 7 h h h 6 lim h0 h 7 h h 6 0 7 0 0 6 0 6 c A existência de uma assíntota vertical se deve a uma divisão por zero Assim sendo existe uma única assíntota vertical em x 6 Além disso podemos notar que o limite pelo esquerdo lim x6 fx enquanto pelo direito lim x6 fx Então o gráfico de função neste ponto terá a forma 2 O limite lim x lnex 6x 1 2x 3 lnex 6 1 2 3 Sendo assim podemos usar a regra de LHospital lim x lnex 6x 1 2x 3 lim x d lnex 6x 1 dx d 2x 3 dx d lnex 6x 1 dx 1 ex 6x 1 d ex 6x 1 dx ex 6 ex 6x 1 no qual usamos a regra do coleia d 2x 3 dx 2 Então lim x lnex 6x 1 2x 3 lim x ex 6 2 ex 6x 1 lim x ex 6 2ex 6x 1 Usando mais uma vez a regra de LHospital lim x ex 6 2ex 6x 1 lim x d ex 6 dx d 2ex 6x 1 dx lim x ex 2 ex 12 lim x 1 2 12 ex 1 2 0 lim x lnex 6x 1 2x 3 1 2 3 a i Sendo gx 6x ex notamos que não há nenhum ponto proibido para o domínio ou seja não há divergências para x finito nem valores de x tais que gx ℂ Portanto Dg x R ii O único zero da função é x 0 visto que ex só vai a zero no limite assintótico x iii Como podemos perceber pelo função gx esta é contínua para todo seu domínio visto que para todo a R temos que ga está definido lim xa gx existe e lim xa gx ga iv Verificamos se gx é ímpar por ou nenhum dos dois gx 6xex 6x ex gx logo gx não é gx gx por nem ímpar v Como não há divergências para qualquer x finito não há assíntotas verticais Analisemos a existência de assíntotas horizontais lim x 6x ex 6 e⁰ lim x 6x ex 6 e ex vai a zero mais rapidamente que x vai a temos que este limite é nulo Assim sendo existe uma assíntota horizontal quando x pois gx 0 vi Para calcular a derivado usamos a regra da multiplicação ddx 6x ex 6 ex x ex 6 ex 1 x b fx 6 e1 ponto de inflexão 2 1 0 x Sendo agora fx hx cos hx xhx 1hx 1 sinhx x hx no qual usamos a regra do cosseno e a regra do produto