Aula 11: Derivadas Parciais - Funções de Várias Variáveis

Derivadas Parciais Funções de várias variáveis Derivadas Parciais Profª Gérsica V L de Freitas 30 de agosto de 2023 Cálculo III Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Denição A derivada parcial de fx y em relação à variável x no ponto x0 y0 é f xx0 y0 lim h0 fx0 h y0 fx0 y0 h desde que o limite exista Observação Fixamos y y0 e consideramos uma função de uma única variável gx fx y0 Então fxx0 y0 f xx0 y0 gx0 Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Denição A derivada parcial de fx y em relação à variável y no ponto x0 y0 é f y x0 y0 lim h0 fx0 y0 h fx0 y0 h desde que o limite exista Observação Fixamos x x0 e consideramos uma função de uma única variável gy fx0 y Então fyx0 y0 f y x0 y0 gy0 Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Interpretação Geométrica O gráco de z fx y é uma superfície S Se fx0 y0 z0 então o ponto Px0 y0 z0 está em S Fixando y y0 obtemos a curva C1 que é a intersecção do plano vertical y y0 com S Fixando x x0 obtemos a curva C2 que é a intersecção do plano vertical x x0 com S A curva C1 é o gráco da função gx fx y0 e a inclinação da reta tangente T1 à C1 em P é gx0 fxx0 y0 A curva C2 é o gráco da função gy fx0 y e a inclinação da reta tangente T2 à C2 em P é gy0 fyx0 y0 As derivadas parciais fxx0 y0 e fyx0 y0 podem ser interpretadas geometricamente como as inclinações das retas tangentes em Px0 y0 z0 aos cortes C1 e C2 de S nos planos y y0 e x x0 Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Notação para as derivadas parciais Se z fx y escrevemos fxx y fx f x f xx y z x f1 D1f Dxf fyx y fy f y f y x y z y fy D2f Dyf Regra para Determinar as Derivadas Parciais de z fx y 1 Para determinar fx trate y como uma constante e derive fx y com relação a x 2 Para determinar fy trate x como uma constante e derive fx y com relação a y Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Exemplo 1 Se fx y x3 x2y3 2y2 encontre fx2 1 e fy2 1 Exemplo 2 Se fx y ysenxy encontre fx e fy Exemplo 3 Se fx y 2y y cosx encontre fx e fy Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Exemplo 4 Dado fx y 4 x2 2y2 encontre fx1 1 e fy1 1 Interprete esses números como inclinações Figura Fixando y y0 Figura Fixando x x0 Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Exemplo 5 A interseção do plano x 1 com o paraboloide z x2 y2 é uma parábola Encontre o coeciente angular da reta tangente à parábola em 1 2 5 Exemplo 6 Considere z denido implicitamente pela equação x3 y3 z3 6xyz 1 Determine z x e z y Exemplo 7 Seja fx y z exy lnz Determine f x f y e f z Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Derivadas de Ordem Superior Se f é uma função de duas variáveis suas derivadas parciais fx e fy são funções de duas variáveis de modo que podemos considerar novamente suas derivadas parciais fxx fxy fyx fyy chamadas derivadas parciais de segunda ordem de f Profª Gérsica Freitas Aula 11 Se z fxy usamos a seguinte notacdo Notacdo para as derivadas parciais 0 Of Pf Pz fea fra ax 51 Or2 Or2 fir O of Of Az ide f ay 3p ae ye 2 0 Of Of Pz fry fey ay 52 yon Oyon fiz 0 Of Pf dz fya tye ar 5 Oxdy Oxdy fat Derivadas Parciais Exemplo Determine as derivadas parciais de fx y x3 x2y3 2y2 Teorema Teorema de Clairaut Suponha que f seja denida em uma bola aberta D que contenha o ponto a b Se as funções fxy e fyx forem ambas contínuas em D então fxya b fyxa b Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas parciais de ordem 3 ou maior também podem ser definidas Por exemplo feyy fey 2 OF OF vyy YY Oy OyOx Oy20x e usando o Teorema de Clairaut podemos mostrar que feyy fycy fyyx S essas fungdes forem continuas 22 Exemplo Seja fxy 6 9 Calcule fron fryys fyee Derivadas Parciais Equações Diferenciais Parciais As derivadas parciais ocorrem em equações diferenciais parciais que exprimem certas leis físicas Por exemplo a equação diferencial parcial 2u x2 2u y2 0 é denominada equação de Laplace em homenagem a Pierre Laplace 17491827 As soluções dessa equação são chamadas funções harmônicas e são muito importantes no estudo de condução de calor escoamento de uidos e potencial elétrico EXEMPL0 Mostre que a função ux y ex sen y é solução da equação de Laplace Profª Gérsica Freitas Aula 11 Derivadas Parciais Aplicação A equação da onda 2u t2 a2 2u x2 descreve o movimento de uma onda que pode ser do mar de som luminosa ou se movendo em uma corda vibrante Por exemplo se ux t representa o deslocamento da corda vibrannte de violino no instante t e à distância x de uma das extremidades da corda então ux t satisfaz a equação da onda A constante a depende da densidade da corda e da tensão aplicada nela EXEMPLO Verique se a função ux t senx at satisfaz a equação de onda Profª Gérsica Freitas Aula 11