Maximizando as Derivadas Direcionais - Cálculo III Aula 16

Maximizando a Derivadas Direcionais Profª Gérsica V L de Freitas 2 de outubro de 2023 Cálculo III Profª Gérsica Freitas Aula 16 Maximizando a Derivadas Direcionais Suponha que f tenha duas ou três variáveis e considere todas as derivadas direcionais possíveis de f em um ponto determinado Isso nos dará a taxa de variação de f em todas as direções possíveis Podemos então perguntar Em qual dessas direções a função f varia mais rapidamente e qual a taxa máxima de variação Profª Gérsica Freitas Aula 16 Teorema Suponha que f seja uma funcdo diferenciavel de duas ou trés variaveis O valor maximo da derivada direcional Df x é Vf x e ocorre quando u tem a mesma direcdo do vetor gradiente V fx Se fxy xe determine a taxa de variacdo de f no ponto P 20 na nk 1 direcdo de Pa Q 52 Em que direcdo f tem a maxima taxa de variacdo Qual é a maxima taxa de variacdo Denição Seja fx y denida em uma região R que contém o ponto a b Então I f tem um máximo local em a b se fx y fa b quando x y está próximo de a b Isso signica que fx y fa b para todos os pontos x y em alguma bola aberta com centro a b II O número fa b é chamado valor máximo local Se fx y fa b quando x y está próximo a b então f tem um mínimo local em a b e fa b é um valor mínimo local Atenção Se as inequações da Denição acima valerem para todos os pontos x y do domínio de f então f tem um máximo absoluto ou mínimo absoluto em a b Profª Gérsica Freitas Aula 16 Teorema Se f tem um máximo ou mínimo local em a b e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesses pontos então fxa b 0 e fya b 0 Atenção Se impusermos fxa b 0 e fya b 0 na equação do plano tangente obteremos z z0 Assim o plano tangente deve ser horizontal Profª Gérsica Freitas Aula 16 Denição Um ponto a b é chamado ponto crítico ou ponto estacionário de f se fxa b 0 e fya b 0 ou se uma das derivadas parciais não existir Atenção O Teorema anterior diz que se f tem um máximo ou mínimo local em a b então a b é um ponto crítico de f Exemplo Encontre os pontos críticos fx y x2 y2 2x 6y 14 Analise a natureza desses pontos críticos Profª Gérsica Freitas Aula 16 Atenção Nem todos os pontos críticos originam máximos ou mínimos Em um ponto crítico a função pode ter um máximo local ou um mínimo local ou ainda nenhum dos dois Denição Uma função diferenciável fx y possui um ponto de sela em um ponto crítico a b se em todo disco aberto centrado em a b existirem ponto x y do domínio onde fx y fa b e ponto x y do domínio onde fx y fa b Teste da Segunda Derivada Suponha que as segundas derivadas parciais de f sejam contínuas em uma bola aberta com centro em a b e suponha que fxa b 0 e fya b 0 Seja D Da b fxxa bfyya b fxya b2 I Se D 0 e fxxa b 0 então fa b é um mínimo local II Se D 0 e fxxa b 0 então fa b é um máximo local III Se D 0 então fa b não é mínimo local nem máximo local Profª Gérsica Freitas Aula 16 Observacio No caso III o ponto ab chamado ponto de sela de f e 0 grafico de f cruza seu plano tangente em ab Observacdo Se D 0 o Teste da Segunda Derivada nao da nenhuma informacdo isto é f pode ter um maximo local ou minimo local em ab ou ab pode ser um ponto de sela de f Observacdo Para lembrar a formula de D é dtil escrevéla como um determinante Sex Say 2 D f f fe fiy Uw yx Jyy Exemplo Determine os valores maximos e minimos locais e os pontos de sela de fxy 27 y Exemplo Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de fx y x2 y2 Exemplo Determine os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela de fx y x4 y4 4xy 1 Profª Gérsica Freitas Aula 16 Exemplo Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão Determine o volume máximo dessa caixa SOLUÇÃO Sejam x y e z o comprimento a largura e a altura da caixa em metros como mostrado na Figura Então o volume da caixa é V xyz Podemos expressar V como função só de x e y usando o fato de que a área dos quatro lados e do fundo da caixa é 2xz 2yz xy 12 Isolando z nessa equação obtemos z 12 xy2x y e V ca V xy 12 xy 2x y 12xy x2y2 2x y Profª Gérsica Freitas Aula 16 Calculamos as derivadas parciais OV y 12 2ry x OV x 12 2ry y Ox 2a y Oy 2a y Se V um maximo entdo OVOx OVOy 0 mas x 0 ou y 0 da V 0 de modo que precisamos resolver as equacdes 122ay20 122ryy0 Isso implica que x ye portanto 2 y Observe que ambos devem ser positivos neste problema Se colocarmos x y em qualquer uma das equacdes obtemos 12 3x 0 o que da v2y2e212222221 Podemos usar o Teste da Segunda Derivada para mostrar que o ponto obtido é um máximo local de V ou podemos argumentar que a natureza física do problema exige a existência de um máximo absoluto que deve ocorrer em um ponto crítico de V portanto esse máximo pode ocorrer quando x 2 y 2 z 1 Assim V 2 2 1 4 e o volume máximo da caixa é 4 m3 Profª Gérsica Freitas Aula 16