Máximos e Mínimos - Aula 17 de Cálculo III

Máximos e Mínimos Profª Gérsica V L de Freitas 4 de outubro de 2023 Cálculo III Profª Gérsica Freitas Aula 17 Exemplo Suponha que a temperatura em um ponto z y z do espaco seja dada por Tz y z 80 1 27 2y 327 onde T é medida em graus Celsius e xy e z em metros Em que direcado no ponto 1 12 a temperatura aumenta mais rapidamente Qual é a taxa maxima de aumento Um ponto da fronteira de D é um ponto a b tal que qualquer bola aberta com centro em a b contém pontos de D e pontos não pertencentes a D Um conjunto fechado de R2 contém todos os seus pontos da fronteira Um conjunto limitado em R2 é aquele que está contido em alguma bola aberta Profª Gérsica Freitas Aula 17 BREA 0 disco Dayay 1 constituido de todos os pontos sobre e dentro da circunferéncia x y 1 um conjunto fechado porque contém todos os seus pontos da fronteira que sdo os pontos sobre a circunferéncia aty1 Segue que y V1 2 Teorema do Valor Extrema para as Funcoes de Duns Varies Se f continua em um conjunto fechado e limitado D em R entao f assume um valor maximo absoluto f 1 y1 e um valor minimo absoluto f x2 y2 em alguns pontos 21 y1 e 22 y2 de D Para determinar os valores máximo e mínimo absolutos de uma função contínua f em um conjunto fechado e limitado D I Determine os valores de f nos pontos críticos de f em D II Determine os valores extremos de f na fronteira de D III O maior dos valores dos passos 1 e 2 é o valor máximo absoluto o menor desses valores é o valor mínimo absoluto Exemplo Determine os valores máximo e mínimo absolutos da função fx y x2 2xy 2y no retângulo D x y 0 x 3 e 0 y 2 Exercício A temperatura T em qualquer ponto x y do plano é dada por Tx y 3y2 x2 x Qual a temperatura máxima e mínima em um disco fechado de raio 1 centrado na origem Profª Gérsica Freitas Aula 17 Multiplicador de Lagrange Queremos determinar os valores extremos de fx y sujeita a uma restrição da forma gx y k Em outras palavras queremos achar os valores extremos de fx y quando o ponto x y pertencer à curva de nível gx y k Profª Gérsica Freitas Aula 17 Para maximizar fx y sujeita a gx y k é preciso determinar o maior valor de c tal que a curva de nível fx y c intercepte gx y k Pela gura vemos que isso acontece quando essas curvas se tocam ou seja quando essas curvas têm uma reta tangente comum Isso signica que as retas normais ao ponto x0 y0 onde as duas curvas se tocam devem ser as mesmas Logo os vetores gradientes são paralelos ou seja f x0 y0 λg x0 y0 para algum escalar λ Profª Gérsica Freitas Aula 17 Método dos Multiplicadores de Lagrange Para determinar os valores máximo e mínimo de fx y z sujeitos à restrição gx y z k supondo que esses valores extremos existam e que g 0 sobre a superfície gx y z k a Determine todos os valores de x y z e λ tais que fx y z λgx y z gx y z k b Calcule f em todos os pontos x y z que resultaram do passo a O maior desses valores será o valor máximo de f e o menor será o valor mínimo de f Exemplo Uma caixa retangular sem tampa deve ser feita com 12 m2 de papelão Determine o volume máximo dessa caixa Profª Gérsica Freitas Aula 17