Lista 1 Fisica 2

Licenciatura em ciências USP Univesp 17 Gil da Costa Marques ESTÁTICA Dinâmica do Movimento dos Corpos 171 Introdução 172 Condição para o equilíbrio do ponto material 173 Equilíbrio do corpo rígido Translações 1731 O Centro de Massa ou Centro de Gravidade 174 Equilíbrio do corpo rígido Rotações 175 Máquinas simples 1751 Força motriz ou força potente 1752 Força resistente 1753 Elemento de ligação 176 Tipos básicos de máquinas simples 1761 Alavanca 17611 Interfixa 17612 Interresistente 17613 Interpotente 17614 Condições de equilíbrio das alavancas 1762 Roldanas 1763 Roda e Eixo 1764 Engrenagens 409 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 171 Introdução A estática é uma área da Mecânica em que procuramos estudar as condições sob as quais podem ocorrer situações de equilíbrio em um sistema físico Por sistema físico podemos entender desde uma partícula material corpos de dimensão desprezível até sistemas que envolvem vários corpos rígidos Equilíbrio como se sabe é um conceito bastante abrangente que em geral está associado ao conceito de imutabilidade ou mais precisamente de estabilidade Na mecânica esse conceito se refere à situação em que um corpo rígido ou sistema de corpos rígidos permanece em repouso sem experimentar deslocamentos ou rotações quando sob a ação de forças aplicadas a ele O sistema se comporta de uma forma que ele aparenta ser imutável De acordo com Dugas em seu livro A history of mechanics o primeiro livro de Mecânica e um dos primeiros compêndios do que hoje denominamos ciências exatas teria como título Mecânica autor desconhecido e nele são apresentados estudos sobre as máquinas simples tema esse usualmente discutido na estática Assim essa teria sido a primeira área de interesse da mecânica interesse esse reforçado algum tempo depois por Arquimedes ao empreender estudos sistemáticos da estática Arquimedes de Siracusa 287 aC 212 aC foi um dos maiores matemáticos da Antiguidade Ele é também considerado por alguns historiadores como o pai da Mecânica Introduziu no estudo da estática e da hidrostática estudo dos sistemas fluidos em equilíbrio o que chamamos hoje de método científico aliando em certo sentido o empirismo à formulação das leis e demonstrações de teoremas usando conceitos de geometria e da álgebra Figura 171 Arquimedes de Siracusa 287 aC 212 aC o precursor dos princípios matemáticos aplicados à filosofia natural Os trabalhos importantes de Arquimedes na mecânica foram publicados em dois livros Sobre o Equilíbrio dos Planos dois volumes e Sobre os Corpos Flutuantes No primeiro Arquimedes desenvolve princípios básicos da Estática entre os quais se incluem as leis da Alavanca e discute a determinação do centro de gravidade dos corpos 410 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Inúmeras são as aplicações dos princípios da estática especialmente na área da engenharia civil Nas construções civis destacamse as gruas os guindastes e as pontes O entendimento do funcionamento de partes do corpo humano estudado na biomecânica faz uso de conceitos extraídos da estática 172 Condição para o equilíbrio do ponto material Um ponto material é definido como um objeto que tem dimensões desprezíveis Assim ele permanecerá em repouso se essa for a sua condição inicial se nenhuma força for aplicada a ele ou se for nula a resultante das forças que atuam sobre ele que é a somatória das forças O corpo permanecerá em repouso se for nula a sua velocidade inicial Assim admitimos que o sistema de referência escolhido não esteja em movimento em relação ao ponto material Geralmente dizemos que a condição necessária e suficiente para que um ponto material esteja em equilíbrio ou seja em repouso é a de que a soma das forças aplicadas a ele se anule Se o ponto material estiver sob a ação de n forças e sendo Fi a iésima força agindo sobre o ponto material a condição de equilíbrio se escreve assim Em geral tal situação ocorre apenas para um ponto do espaço Esse ponto é denominado ponto de equilíbrio Figura 172 Ponte Estaiada na cidade de São Paulo Foi construída tendo como base científica entre outros os princípios que regem a Estática Fi i n 1 0 412 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 3 forças não coplanares atuarem em um ponto este ponto jamais poderá estar em equilíbrio Resolvendose geometricamente o triângulo resultante no processo da poligonal determinamse os seus lados que representam as intensidades das forças Nesse caso temos um triângulo retângulo cuja hipotenusa é T3a ser determinado e cujos catetos são T1 P 100 N e T2 a ser determinado Aplicando as relações métricas ao triângulo retângulo da Figura 175 escrevemos tanθ T1T2 T2 T1tanθ Como tanθ senθcosθ 0806 43 temos T2 100 N43 75 N Portanto T2 75 N é a intensidade da força com que o operador puxa a corda Para determinar T3 a hipotenusa aplicamos o Teorema de Pitágoras ou seja T3 2 T1 2 T2 2 Assim Portanto T3 125 N é a intensidade da força tensora que atua ao longo da corda AB 2 Processo analítico Este método utiliza as componentes cartesianas dos vetores Se ForçasA T T T 1 2 3 0 então a soma das componentes ao longo de seus respectivos eixos cartesianos também se iguala a zero ou seja II III IV Nesse caso como as forças são coplanares e considerando que elas pertençam ao plano Oxy a relação IV deve ser desprezada A Figura 176 ilustra as componentes dessas forças T3 2 2 100 75 125 N N N T T T T x x x x 1 2 3 0 T T T T y y y y 1 2 3 0 T T T T z z z z 1 2 3 0 Figura 176 A força T1 é a própria componente no eixo y e a força T2 é a própria componente no eixo x A força T3 tem componentes T3x e T3y não nulas 413 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 A tabela sintetiza as componentes das forças Forças i componente no eixo x j componente no eixo y T1 0 100 T2 T2 0 T3 T3cosθ 06T3 T3senθ 08T3 No equilíbrio temos V VI Substituindose VI em V obtémse T2 75 N Portanto as forças que atuam no ponto A com resultante nula são Forças i j Módulo localização T1 0 100 100 N φ 270 T2 75 0 75 N φ 0 T3 75 100 125 N φ 127 onde φ é o ângulo trigonométrico medido positivamente no sentido antihorário a partir do eixo x positivo de acordo com os seguintes diagramas O ângulo θ foi dado a saber cosθ 06 θ arccos06 53 T T T T T x 0 0 0 6 0 0 6 2 3 2 3 T T T y 0 100 0 0 8 0 125 3 3 N Figura 177 Ângulos que indicam a posição de T1 e T3 414 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 173 Equilíbrio do corpo rígido Translações Definimos corpo rígido como aquele para o qual a distância entre dois pontos quaisquer sobre ele se mantém constante independentemente das circunstâncias Dessa forma um corpo rígido pode exibir dois tipos de movimento Primeiramente temos um movimento de translação de todo o corpo rígido que é analisado considerandose um ponto especial do corpo rígido conhecido como centro de massa ou centro de gravidade Dizemos que um corpo rígido está em equilíbrio do ponto de vista de deslocamentos do corpo todo ou seja do seu centro de massa se a somatória das forças que atuam sobre o corpo for nula isto é onde Fi representa a iésima força agindo sobre o corpo rígido Em componentes escrevemos A condição acima é equivalente a não haver deslocamentos do centro de massa do corpo rígido Isso é equivalente a não haver deslocamentos do corpo rígido Fi i n 1 0 F F F F F F F F F F F x x x nx y y y ny z z z 1 2 3 1 2 3 1 2 3 0 0 Fnz 0 Figura 178 Um corpo rígido pode se deslocar por inteiro e ao mesmo tempo experimentar um movimento de rotação 415 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 1731 O Centro de Massa ou Centro de Gravidade O centro de massa de uma distribuição de massas é um ponto localizado sobre essa distri buição às vezes fora dela e dotado de uma propriedade especial Embora seja em geral muito difícil determinar a posição e a velocidade de qualquer uma das partículas de um sistema existe um ponto cujo movimento em um bom número de casos é previsível Esse ponto é o centro de massa O centro de massa é definido pelas suas coordenadas Rx Ry e Rz dadas pelas expressões onde M é a massa total do sistema de partículas Podemos assim escrever vetorialmente que o vetor de posição R do centro de massa é dado por a b Figura 179 Centro de massa de uma distribuição contínua de massa a e de uma distribuição discreta de massa num plano b R M m x M m x m x m x m x R M m y M m y x i i i N N N y i i i N 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 1 1 m y m y R M m z M m z m z m z N N z i i i N N N M m m m m m i N i N 1 2 3 1 R M m r i i 1 416 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 ExEmplo 02 A Figura 1710 ilustra um sistema de 8 partículas localizadas nos vértices de um cubo de aresta a 20 cm e cujas massas estão expressas na figura Determinar as coordenadas cartesianas do respectivo CM centro de massa REsolução Adotemos um sistema de referência cartesiano conforme ilustra a Figura 1711 A tabela a seguir mostra as partículas com seus respectivos posicionamentos e produtos mixi miyi e mizi Partícula xyz massa mixi miyi mizi A0 00 2m 0 0 0 B0 a 0 m 0 ma 0 Ca a 0 2m 2ma 2ma 0 Da 00 m ma 0 0 Ea 0 a m ma 0 ma Fa a a 2m 2ma 2ma 2ma J0 a a m 0 ma ma H00a 2m 0 0 2ma Somatória 12m 6ma 6ma 6ma Figura 1710 Partículas distribuídas nos vértices de um cubo de aresta a Figura 1711 Sistema de referência cartesiano xyz adotado para o posicionamento das partículas A B C D E F J H 417 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Da tabela extraímos Em resumo sendo a 20 cm o centro de massa do sistema encontrase no ponto de coordenadas 10 cm 10 cm 10 cm de outra forma o centro de massa do sistema é definido pelo vetor posição R i j k 10 10 10 cm No caso de um sistema composto por um número muito grande de partículas é preferível tratálo como uma distribuição contínua de partículas e não como uma distribuição discreta conforme vimos no Exemplo 02 Nesse caso um dos conceitos mais relevantes é a densidade Considere uma massa dm contida num volume dV conforme ilustra a Figura 1712 A densidade de massa é definida como a razão entre a quantidade de massa dm e o elemento infinitesimal de volume dV que contém essa massa Definimos portanto onde r é o vetor posição do elemento de volume dV Dada a densidade volumétrica de massa podemos calcular a massa total utilizando a integral de volume da densidade Para uma distribuição contínua de massa o centro de massa é dado por m m m x m a R m a m a m y m a R m a m i i i x i i y 12 6 6 12 0 5 6 6 12 0 5 6 6 12 0 5 a m z m a R m a m a i i z Figura 1712 Elemento de massa dm contido num elemento de volume dV cuja posição é definida pelo vetor posição r ρ r dm r dV M r dV ρ R M r r dV 1 ρ 418 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 O movimento do centro de massa é bastante simples se considerarmos o conceito de momento linear Para especificar melhor o movimento do centro de massa notamos primeiramente que m v p M dR dt i i i i i e portanto a taxa de variação do vetor posição do centro de massa vezes a massa total é igual ao momento linear total Assim podemos escrever M d R dt dP dt F i i 2 2 1 ext O que o distingue dos demais pontos é o centro de massa movimentarse como se todas as forças externas estivessem atuando sobre ele Não é assim muito difícil determinar a posição do centro de massa de um sistema de partículas e prever seu movimento Esse é o caso quando o corpo rígido fica sujeito apenas à força gravitacional Tudo se passa como se toda a força gravitacional estivesse aplicada nesse ponto daí resultando que esse ponto se torna o centro de gravidade do corpo Definese momento linear ou quantidade de movimento linear de uma massa m que se move com velocidade p m v como a grandeza vetorial p m v O módulo do momento linear é p mv e a sua unidade de medida no SI é kgms sem nome específico P M dR dt Figura 1713 Centro de gravidade de alguns sólidos homogêneos ponto onde se considera aplicada a força gravitacional sobre o sólido 419 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 ExEmplo 03 Como determinar o centro de massa ou centro de gravidade de uma placa de formato irregular conforme ilustra a Figura 1714 REsolução Em objetos de formato regular como por exemplo uma placa retangular homogênea a posição do centro de massa ou centro de gravidade pode ser inferida mediante o conceito de simetria No caso em questão a placa apesar de ser homogênea tem formato irregular portanto não possui dora de eixos de simetria evidentes Como sabemos que a força gravitacional peso sobre a placa é uma força aplicada no CM ou CG se mediante um fio a pendurarmos por um ponto A no equilíbrio a vertical que passa pelo ponto A também passa pelo CM Se a pendu rarmos por outro ponto B a vertical por esse ponto também passa pelo CM Logo se desenharmos na placa as duas ver ticais o ponto comum intersecção das verticais será o CM procurado Veja a Figura 1716 Figura 1714 Onde se localiza o centro de massa desta placa de formato irregular Figura 1715 No caso de objetos de formatos regulares e com distribuição de massa homogênea o centro de massa pertence a eixos de simetria A intersecção de dois eixos de simetria determina o ponto do centro de massa Figura 1716 A placa é pendurada primeiramente pelo ponto A e depois pelo ponto B As verticais obtidas pelo fio de prumo passam pelo CM da placa O CM é a intersecção desses dois segmentos de reta 420 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 174 Equilíbrio do corpo rígido Rotações Finalmente devemos considerar o movimento de rotação do corpo rígido Esse tipo de movimento é independente do anterior Um exemplo dessa situação é um sistema de duas forças paralelas aplicadas a um corpo de forma que tenham módulos e direções iguais mas sentidos contrários Se as duas forças forem aplicadas em pontos distintos sobre o corpo ele não se deslocará mas se colocará em movimento de rotação Tal sistema de forças é conhecido como um sistema binário No caso do sistema binário o corpo rígido se coloca em rotação como resultado não nulo das duas forças em sentidos opostos Para analisar o efeito de um conjunto de forças agindo sobre um corpo no sentido de provocar rotações ou não devemos considerar os torques provocados por tais forças Considere a Figura 1718 A placa figurada pode girar ao redor do eixo 0z Por meio de um fio paralelo ao plano da peça aplicase uma força F no pino B a ação da força tende a girar a peça ao redor do eixo 0z A grandeza relacionada com a rotação dos sólidos é o torque O torque τ de uma força F aplicada num ponto B de um sólido é definido como o produto vetorial τ r F onde r é o vetor posição de B em relação ao ponto O ponto em que o eixo de rotação Oz fura perpendicularmente o plano definido pelos vetores F e r O módulo do torque é o escalar τ θ r F sen com 0 θ π Observase que quando θ 0 ou θ π 180 não há torque ou seja quando r e F forem paralelos ou antiparalelos entre si o torque é nulo Figura 1717 Sistema binário de força aplicado no volante de um carro Esse sistema produz rotação no volante nesse caso rotação horária mirando o volante do topo Figura 1718 a O torque é representado pelo vetor τ que é perpendicular ao plano definido pelos vetores r e F b Pela regra da mão direita determinase o sentido de τ para tanto desenhamse r e τ a partir de um ponto comum os dedos rebatem r contra F e o polegar indica o sentido do torque τ Se o torque for no sentido positivo do eixo 0z o giro será no sentido antihorário olhando contra o eixo z positivo e caso contrário o giro será no sentido horário b a 421 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Unidade de medida de torque τ θ r F sen No Sistema Internacional de Unidades SI τ metro newton 1 mN Portanto a unidade de medida de torque no SI é Nm sem nome especial ExEmplo 04 Uma peça metálica articulada em 0 está sujeita a três forças perten centes ao plano Oxy conforme indicadas na Figura 1719 A tabela resume as informações das forças e dos vetores posição em relação ao eixo Oz que passa pela origem do referencial dos pontos de aplicação de cada força F i 1 100 N r i j 1 0 2 0 3 m F j 2 75 N r i j 2 0 4 0 2 m F F i F j x y 3 3 3 N r3 0 Calcular o torque de cada força em relação ao polo O REsolução a Torque de F1 Duas maneiras analíticas de se calcular o torque A 1ª será por meio do desenvolvimento do produto vetorial τ r F Assim que resulta Características do vetor torque τ1 Módulo τ1 30 Nm Direção eixo Oz Sentido positivo do eixo Oz ou seja um vetor saindo do plano do papel Figura 1719 A peça metálica é articulada em 0 e está sujeita ao sistema de forças coplanares F1 F2 e F3 τ r F i j i i i j 0 2 0 3 100 0 2 100 0 3 100 0 2 100 0 3 100 20 i i i j i i i 30 20 30 20 0 30 j i i i i j k τ1 30 k 422 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 b Torque de F2 Outra forma analítica de se calcular o produto vetorial é por meio do seguinte determinante Vamos escrever as expressões cartesianas completas dos vetores Substituindo as componentes na matriz e resolvendo Características do vetor torque τ2 Módulo τ2 30 Nm Direção eixo Oz Sentido negativo do eixo Oz ou seja um vetor penetrando no plano do papel ou tendendo a girar o objeto no sentido horário Sentido de giro do torque Outra forma de caracterizar o torque é pelo sentido de giro que ele produz em relação ao eixo de rotação que neste caso é o eixo 0z Para isso usase a mão direita o polegar na direção do eixo de rotação neste caso o eixo 0z e os outros dedos giram seguindo a direção da força O resultado neste caso é um giro antihorário Resumindo o torque da força F1 em relação ao eixo 0z tende a girar o objeto no sentido antihorário τ2 2 2 2 2 2 2 2 2 r F i j k r r r F F F x y z x y z det F i j k r i j k 2 2 0 75 0 0 4 0 2 0 τ τ 2 2 2 0 4 0 2 0 0 75 0 0 2 0 75 0 0 F i j k i j det 4 0 0 0 0 4 0 2 0 75 0 2 0 75 0 2 k i τ j k i 0 4 0 0 0 0 4 75 0 2 0 0 0 2 τ j k i j k 0 0 30 0 0 0 30 2τ 30 k 423 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 c Torque de F3 0 pois r3 0 Torque e o conceito de braço da força ou braço de alavanca A Figura 1720 ilustra o braço BF de uma força F em relação ao polo O ou eixo de rotação em relação ao qual a peça ilustrada pode girar Em relação ao polo O o torque é τ r F e o seu módulo é τ θ r F sen Mas conforme ilustrado na Figura 1720 B F r senθ o que nos permite escrever Conclusão O módulo do torque pode ser calculado como se fosse o produto da intensidade da força pelo seu respectivo braço em relação ao polo de rotação O sentido de rotação que o torque pode produzir ao redor do eixo pelo polo O será horário ou antihorário o que pode ser determinado pelo uso do dedo polegar da mão direita direção do eixo e os outros dedos no sentido da força o que determina o sentido de rotação Sinal algébrico dos torques quando os torques forem calculados utilizandose o conceito de braço de força devemos adotar um sinal algébrico para os giros que podem ser 2 em relação a um eixo Se adotarmos o sinal para o torque que tende a girar o corpo no sentido antihorário os torques opostos devem acolher sinais algébricos ou viceversa ExEmplo 05 Vamos considerar a mesma situação do Exemplo 04 porém agora tendo como conhecidos os braços das forças conforme ilustrado na Figura 1721 Calcule os módulos e o sentido de giro dos torques das forças envolvidas Figura 1720 O braço BF da força é a distância do eixo de rotação por O até a linha de ação da força F portanto o segmento de reta OC é perpendicular tanto à linha tracejada AC quanto ao eixo de rotação τ B F B F F F Figura 1721 Em relação ao polo 0 o braço de F1 é BF1 30 cm e o de F2 é BF2 40 cm O braço de F3 é BF3 0 pois a sua linha de ação passa por 0 424 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 REsolução Vamos adotar como positivos os torques antihorários em relação ao eixo de rotação que passa pelo polo O Assim Torque de F1 Escolha do sinal como F1 tende a girar o corpo no sentido antihorário o sinal a ser adotado é Logo τF1 30 Nm Torque de F2 Escolha do sinal como F2 tende a girar o corpo no sentido horário o sinal a ser adotado é Logo τF2 30 Nm Torque de F3 τF BF F 3 3 3 0 pois BF3 0 Torque total e o equilíbrio de rotação de um sólido Quando sobre um corpo rígido atuam várias forças devemos considerar o torque total definido por τ τ i i N 1 onde τi i i r F A condição para que um corpo rígido se apresente em equilíbrio de rotação ou seja que não exiba movimento de rotação ou se exibir a rotação será uniforme como a da Terra ao longo de sua órbita ao redor do Sol é a de que a soma dos torques sobre o corpo rígido seja nula Assim se nenhum torque for aplicado ao corpo ele permanecerá estável quanto às rotações No caso geral o problema do equilíbrio de um corpo rigido é sempre resolvido a partir de um conjunto de 6 equações Essas equações envolvem as componentes dos torques e das forças aplicadas Sendo N o conjunto de forças aplicadas ao corpo podemos escrever primeiramente para as forças onde Fix Fiy e Fiz são respectivamente as componentes x y e z da iésima força enquanto para τF BF F 1 1 1 30 100 3 000 30 cm N N cm N cm τF BF F 2 2 2 40 75 30 cm N N m τ τ i i N 1 0 F F F ix i N iy i N iz i N 1 1 1 0 0 0 425 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 as componentes dos torques vale onde τix τiy τiz são respectivamente as componentes x y e z do torque aplicado ao corpo pela iésima força ExEmplo 06 A figura ilustra a força F F j B B exercida pelo bíceps contraído no ponto B do antebraço Um sistema de referência xyz foi desenhado de modo que o eixo 0z saia do plano do papel O peso do antebraço tem intensidade 20 N e é localizado no centro de gravidade CGantebr a bola com centro de gravidade CGbola tem peso de intensidade 50 N Sendo x1 45 cm x2 15 cm e x3 30 cm calcule FB e a reação na articulação R0 REsolução Esta situação não trata de forças concentradas numa partícula Tratase de um sistema de forças distribuídas ao longo de um corpo extenso Este corpo extenso é o antebraço que para simplificar a análise iremos con siderar como uma alavanca com ponto de apoio em 0 articulação e nela esquematizar as forças ou seja esquematizar o DCL da alavanca τ τ τ ix i N iy i N iz i N 1 1 1 0 0 0 Figura 1722 Esquema da força do bíceps sobre o antebraço Figura 1723 Modelo da alavanca para o antebraço 426 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Os vetores x i 1 4 5 x i 2 15 e x i 3 30 em cm representam os vetores posição dos pontos de aplicação de cada força na alavanca em relação à origem 0 articulação do antebraço neste caso A situação em análise é uma situação estática ou seja uma situação na qual a aceleração resultante do sistema é a 0 Portanto de acordo com a 2ª Lei de Newton podemos escrever VII Temos duas incógnitas R0 e FB Precisamos de outra relação entre as incógnitas Essa relação será obtida mediante uma função importantíssima das forças que os músculos exercem sobre os ossos tratase da rotação que as forças podem pro duzir nos ossos ao redor das articulações Esse poder de rotação é denominado torque ou momento da força em relação à articulação O módulo do torque é τ rFsenθ onde rsenθ b braço de alavanca da força em relação à articulação O torque será nulo se o braço da força b 0 ou seja se θ 0 Para θ 90 r F sen 90 1 e τ Fb intensidade máxima do torque Por tanto o torque de uma força é tal que 0 τ Fb No caso de forças cujas direções linhas de ação pertencem a um mesmo plano os torques dessas forças serão vetores perpendiculares ao plano Em relação a um eixo de rotação perpendicular ao plano alguns torques serão no sentido horário e outros no sentido antihorário Se a soma dos torques no sentido horário suplantar a soma dos torques no sentido antihorário o objeto sujeito às forças será dotado de uma aceleração angular no sentido horário e viceversa No caso analisado no entanto o objeto está em equilíbrio e destituído do movimento de rotação Calculando os torques Os produtos vetoriais ver Vetores dos vetores cartesianos i i j j k k 0 e i j k j k i k i j serão utilizados nos cálculos dos torques τF B B B B B x F i F j F i j F k 1 4 5 4 5 4 5 N cm τP x P i j i j k 1 2 1 15 20 300 300 N cm τP x P i j i j k 3 3 3 30 50 1500 1500 N cm τR0 0 pois seu respectivo vetor posição xR0 0 Como o sistema se encontra estático VIII De VIII determinamos FB 1800 4 5 400 N cm cm N vertical para cima que substituído em VII determinamos R j 0 330 ou Ro 330 N vertical para baixo F m a F j j j i B 1 4 0 0 20 50 0 ou R Figura 1724 Detalhe do braço da força em relação ao eixo de rotação τsalavanca 4 5 300 1500 0 F k B 427 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 ExEmplo 07 Grua ou guindaste A que distância o operador de uma grua deve colocar o contrapeso móvel de 10 toneladas se quiser deslocar com segurança uma carga de massa de 2 toneladas elevada a partir de um ponto que dista 2 metros da base da torre REsolução A grua é um instrumento mediante o qual podemos elevar e movimentar cargas acondicionadas em contêineres por exemplo e materiais pesados de maneira geral Antes da operação posicionamse contrapesos fixos na parte da estrutura horizontal da grua de modo que o CG do sistema se localize na vertical que passe ao longo da estrutura vertical da grua conforme ilustra a Figura 1726 Desse modo para o estudo do equilíbrio vamos considerar apenas as forças decorrentes da carga e do contrapeso móvel na estrutura horizontal como ilustra a Figura 1726 Na situação de equilíbrio escrevese 1º Forças 0 ou seja Portanto F M g M g M M g 1 2 1 2 3 120 10 newtons considerando g 10 Nkg 2º Torques 0 ou seja τ τ τ F F F 1 2 0 em relação a qualquer polo ou eixo Escolhendose o ponto O como os polos dos torques temos τF 0 pois F é aplicado em O e por tanto o respectivo vetor posição é nulo e consequentemente o torque também é nulo Figura 1725 Equilíbrio entre a carga e o contrapeso móvel numa grua Figura 1726 DCL da estrutura horizontal da grua como os pesos da carga e do contrapeso móvel F1 e F2 são verticais a reação F da estrutura vertical sobre a estrutura horizontal é vertical F F F F j M g j M g j 1 2 1 2 0 0 428 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Resta então Temos d i M g j d i M g j d M g i j d 1 1 2 2 1 1 0 2 2 1 1 2 2 0 M g i j i j k d M g k d M g k como 00 0 como k resulta Donde inferimos que a distância onde devemos situar o contrapeso é dada por 175 Máquinas simples Desde priscas eras os seres humanos têm procurado desenvolver máquinas e instrumentos voltados para facilitar o desenvolvimento das suas múltiplas atividades Alguns antropólogos estabelecem como marco na transição entre os seres mais primitivos dos quais eventualmente descendemos os hominídeos para o Homo sapiens o desenvolvimento de máquinas as quais denominamos hoje máquinas simples A primeira máquina de que se tem notícia foi algo análogo ao que chamamos hoje de machadinha As máquinas simples ou compostas obtidas a partir da cunha recebem o nome de instrumentos Acheulianos Iniciase com essa descoberta a fase em que o homem adquire a capacidade de interferir no meio ambiente De fato a descoberta desses instrumentos as máquinas simples permitiu ao ser humano fazer uma transição na sua forma de interagir com outros animais e interferir na natureza Máquinas simples são instrumentos que nos permitem mudar tanto a direção como também o módulo de uma força aplicada O conceito mais importante nesse contexto é o da vantagem mecânica que está associado à multiplicação da força aplicada mediante o uso da máquina τ τ F F r F r F 1 2 0 0 1 1 2 2 r d i r d i F M g j F M g j 1 1 2 2 1 1 2 2 M gd M gd 1 1 2 2 0 d M M d 2 1 2 1 3 3 2 10 10 10 2 0 4 40 kg kg m m cm 429 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Podemos analisar algumas máquinas simples à luz de três elementos 1751 Força motriz ou força potente É definida como toda força capaz de produzir movimento É a força que aciona a máquina simples Em geral é essa força que aplicamos a uma das partes de uma máquina simples como a alavanca Será designada por FM 1752 Força resistente É toda força que se opõe ao movimento que seria induzido pela força motriz É aquela que queremos vencer ou contrabalançar ao aplicarmos a força motriz Será designada por FR 1753 Elemento de ligação É uma estrutura que permite a interação entre FM força potente e FR força resistente que pode ser um ponto fixo um eixo ou um plano De acordo com as definições acima a vantagem mecânica VM de uma máquina simples será aqui estabelecida como a relação entre o módulo da força resistente e o da força motriz A grande vantagem do uso das máquinas simples reside no fato de podermos reduzir a força aplicada FM com o intuito de mover um objeto O custo disso no entanto é a distância percorrida pelo ponto de aplicação de FM que vamos chamar de dM ser maior do que dR a respectiva distância percorrida pelo ponto de aplicação de FR O estudo das máquinas simples é importante porque os princípios sobre os quais repousa sua construção se aplicam a todas as máquinas É nesse sentido que procuraremos analisar algumas máquinas simples compostas ou seja compostas pelas máquinas simples clássicas De fato tendo em vista as suas múltiplas aplicações as máquinas simples foram estudadas e analisadas ao longo de mais de três séculos Seu uso por outro lado vem de épocas imemoriais e nunca terá fim V F F m R M 430 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 176 Tipos básicos de máquinas simples Adotaremos a classificação de máquinas simples utilizada desde o período da Renascença Essa é uma definição clássica Ela considera máquina simples como aquela que é composta de apenas uma peça Elas são Hoje em dia ampliamos tal definição para incorporar máquinas compostas a partir das máquinas simples clássicas Assim a tesoura o alicate a pinça e o machado por exemplo são máquinas compostas As máquinas simples podem ser divididas em duas categorias Figura 1727 Exemplos de máquinas simples Figura 1728 Alguns exemplos de máquinas compostas de máquinas simples 431 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Na primeira categoria devemos fazer a análise do funcionamento delas em termos de forças e sob esse aspecto é essencial que efetuemos a decomposição das forças O parafuso a cunha e o plano inclinado pertencem a esse primeiro grupo Na segunda categoria encontramos aquelas para as quais a análise se baseia no equilíbrio mediante a ação de torques a roldana a alavanca e a roda Analisaremos apenas essas últimas 1761 Alavanca Alavanca é um corpo rígido sólido de forma alongada relativamente fina como uma haste e que quando apoiada num ponto denominado fulcro pode ser colocada em rotação em torno desse ponto Em qualquer alavanca devemos considerar além das forças motriz e resistente já definidas os seguintes elementos O elemento de ligação no caso da alavanca é um ponto conhecido como fulcro Definimos o braço resistente BR como a distância do fulcro até a reta suporte do vetor FR ou seja até a linha de ação da força resistente Essa distância é também denominada braço da força resistente Analogamente definimos o braço motor ou potente BM como a distância entre a linha de ação da força motriz FM e o fulcro conforme ilustração na Figura 1729 Levandose em conta a posição relativa do ponto de apoio em relação aos pontos nos quais estão aplicadas as demais forças podemos classificar as alavancas em três categorias 17611 Interfixa É aquela em que o fulcro se situa entre os pontos nos quais as demais forças estão aplicadas Figura 1729 As forças motriz FM e resistente FR e os respectivos braços BF e BR em relação ao fulcro Figura 1730 a O operador puxa a alavanca interfixa com a intenção de mover uma pedra robusta b O DCL da alavanca O fulcro A situase entre a força motriz FM aplicada pelo operador em C e a força FR em B esta força é a reação à força que a alavanca aplica na pedra no ponto B b a 432 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 17612 Interresistente Quando a força resistente é aplicada num ponto situado entre o ponto de apoio e o ponto no qual a força motriz é aplicada 17613 Interpotente Referese ao caso em que a força motriz é aplicada num ponto situado entre o ponto de apoio e o ponto no qual a força resistente é aplicada Essa mesma classificação se aplica às máquinas simples compostas por duas alavancas Assim a tesoura composta por duas alavancas e a gangorra fazem uso de alavancas interfixas O abridor de tampas de garrafa e o carrinho de mão são exemplos de alavancas interresistentes A pinça composta por duas alavancas e o braço humano fazem uso de alavancas interpotentes a b Figura 1731 a O carrinho de pedreiro se reduz a uma alavanca interresistente conforme se pode notar em b o respectivo DCL A força FM é a força aplicada pelo operador no ponto C da alavanca o ponto O é o fulcro e representa o eixo da roda sobre o qual a alavanca se apoia este eixo é empurrado para baixo devido à carga do carrinho e F é a força de reação do eixo sobre a alavanca Em b representase a força que o peso da carga exerce sobre a alavanca É a força resistente FR a ser vencida pela máquina simples em tela a b Figura 1732 a O antebraço é mantido na posição indicada pela ação da força do bíceps no ponto C A carga a ser suportada é o peso do antebraço que se aplica no CG O sistema funciona como uma alavanca interpotente Em b temos o DCL da alavanca antebraço reduzido a uma alavanca onde FM é a força do bíceps e FR é o peso do antebraço a resistência a ser vencida 433 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 17614 Condições de equilíbrio das alavancas Levandose em conta as condições de equilíbrio em uma alavanca o produto da força potente pelo seu braço deve ser igual ao produto da força resistente pelo seu braço De acordo com a notação já introduzida escrevemos E portando a vantagem mecânica de uma alavanca é dada pela relação entre os braços ou seja E ela pode ser em princípio tão grande quanto quisermos É com base nesse argumento que Arquimedes afirma que até mesmo mover o mundo seria possível ExEmplo 08 Na Figura 1733 a carga total do carrinho é de 600 N a Qual a força que o operador exerce sobre o carrinho b Qual a vantagem mecânica do sistema REsolução O carrinho de pedreiro pode ser anali sado como uma alavanca interresistente conforme visto antes O DCL do carrinho é dado pela Figura 1734 F B F B R R M M V F F B B m R M M R Figura 1733 Carrinho de pedreiro com carga total de 600 N as distâncias entre as verticais que passam pelo eixo da roda pelo CG do carrinho e pelo ponto de aplicação da força do operador são mencionadas na figura Figura 1734 DCL do carrinho redu zido a uma alavanca interresistente Em relação ao fulcro 0 o braço de FM é BM 90 cm 434 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 a Admitindose uma situação de equilíbrio estático temos torques 0 0 τ τ τ F F F M R Esta soma vale para qualquer polo em relação ao qual calculamos os torques Vamos adotar o polo O fulcro pois desse modo eliminamos uma incógnita que é a força F Assim I τF M M M M M F B F F 90 90 cm cm FM escolhemos o sinal pelo fato de o giro ser no sentido horário em relação ao fulcro II τF R R MR F B 600 30 1800 N cm N cm escolhemos o sinal pelo fato de este torque ser no sentido antihorário III τF 0 Logo 90 cm FM 18000 N cm 0 donde FM 200 N b A vantagem mecânica é V F F M R M 600 200 3 N N uma outra forma de determinar a vantagem mecânica é V B B M M R 90 30 3 cm cm A vantagem mecânica é ausente de unidades físicas pois resulta de uma relação de grandezas de mesma espécie O significado da vantagem mecânica quantas vezes a força resistente é maior do que a força potente ou ao contrário quantas vezes a força motriz é menor do que a força resistente 1762 Roldanas A rigor uma roldana nada mais é do que uma roda que gira ao redor de um eixo passando pelo centro dela Essa roda deve ser dotada de um sulco para que por ele passemos um cabo flexível ou uma corda como é mais usual A roldana ou polia é outra máquina simples bastante antiga O uso de apenas uma roldana facilita a realização de tarefas por uma questão apenas de ergonomia ou um aspecto anatômico Uma roldana muda a direção de uma força aplicada por um ângulo de até 180 A força necessária para elevar um objeto é a mesma mas eleválo usando a roldana é mais cômodo Viabiliza a realização da tarefa pois fica mais fácil realizála Assim a rigor despendemos mais energia do que se o elevássemos com as próprias mãos b a Figura 1735 a Características principais de uma polia móvel ou roldana b Polia móvel em operação erguer a carga puxando o fio para baixo é mais cômodo do que erguêla puxandoa diretamente para cima 435 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 As roldanas podem ser utilizadas de três formas distintas Uma roldana é dita fixa se seu eixo é fixo a um suporte ou seja ela pode estar presa ao teto por exemplo Ela pode estar livre Nesse caso ela acom panha a carga que se quer elevar Finalmente podemos compor arranjos envolvendo muitas roldanas Nesse último caso ainda podemos falar de máquinas simples mas seria mais adequado falar de máquinas simples compostas No caso de uma roldana fixa ela funciona como uma alavanca interfixa de braços iguais Nesse caso a vantagem mecânica é igual a 1 Figura 1736 Diríamos que nesse caso não há vantagem mecânica O trabalho realizado para elevar o objeto de uma distância d é W Pd exatamente igual ao trabalho realizado pela força peso Nessa nova posição o objeto ganha energia potencial a expensas da energia despendida pelo operador da máquina A roldana móvel funciona como uma alavanca interresistente Nesse caso a vantagem mecânica é igual a dois desprezandose o atrito e o momento de inércia da roldana De qualquer forma empre gamos uma força menor para elevar um objeto a partir do chão Analisando o equilíbrio da polia móvel podemos concluir que 2T 2FM FR donde F F M R 2 e portanto a VMpolia móvel 2 O uso de várias polias permitenos aplicar uma força menor do que a requerida para levantar uma carga relativamente pesada Por exemplo se usarmos uma combinação de uma polia móvel junta mente com outra fixa como mostra a Figura 1737 a força necessária será desprezandose o peso da polia móvel igual à metade do peso a ser erguido O deslocamento agora medido pela quantidade de corda que puxamos será o dobro do deslocamento da massa que deslocamos ou seja o trabalho é o mesmo que o feito com apenas uma polia por exemplo Figura 1736 a Carga sendo erguida por meio de uma polia fixa b DCL da polia reduzida a uma alavanca interfixa Na situação de equilíbrio a força tensora no fio tem módulo constante FM FR peso P da carga b a Figura 1737 Polia móvel acionada mediante uma polia fixa que apenas muda a direção de ação da força motriz Fm mas não influi na sua intensidade A força tensora no fio que passa pelas polias é T FM 436 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Podemos associar três quatro ou mais polias para facilitar ainda mais o levantamento de objetos a partir do solo Nesse caso estamos falando de máquinas simples compostas 1763 Roda e Eixo Afirmase que uma das maiores descobertas da história da humanidade tenha sido a Roda Certamente isso é válido para a Antiguidade Uma das suas funções é eliminar ao máximo a força de atrito com o solo que dificulta tremendamente o trabalho quando se arrasta um corpo não redondo sobre o solo Provavelmente ela terá sido derivada do rolete que são troncos arredondados de árvores que facilitam o transporte de objetos a longas distâncias como requerido no antigo Egito Podemos combinar rodas e roletes formando com isso várias outras máquinas simples Uma roda com um eixo pode ser pensada como uma segunda roda ou rolete presa ao centro da primeira roda Muitas vezes é essa combinação que é apresentada como máquina simples A combinação de uma roda e um eixo pode ser pensada como uma alavanca modificada a qual gira em torno de um ponto central agora considerado como o fulcro da roda eixo O sarilho e a roda dágua são versões dessa máquina Na versão do sarilho aplicase uma força FM por meio do uso de uma manopla a uma distância R do centro o raio da roda grande Com esse arranjo podemos erguer um balde de peso P a força resistente FR preso a uma corda enrolada sobre um eixo de raio r Nesse caso continua valendo uma relação análoga à alavanca ou seja a vantagem mecânica ideal é dada pela relação dos raios As rodas podem ser combinadas em um mesmo eixo eou em eixos paralelos e acopladas por meio de correias Tais combinações de rodas são voltadas para a redução ou para o aumento da velo cidade angular da rotação de um determinado dispositivo ou para alterar a sua direção Figura 1738 Sarilho usado para erguer balde com água do interior de uma cisterna com água Figura 1739 Polias fixas roda e eixo acopladas por correias encontradas em motores de veículos automotores V F F R r m R M 437 Dinâmica do Movimento dos Corpos Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 1764 Engrenagens As engrenagens rodas dentadas são máquinas simples compostas e voltadas para a redução ou para o aumento da velocidade angular da rotação de um determinado dispositivo ou para alterar a sua direção Grosso modo uma engrenagem é um conjunto de rodas dentadas que se acoplam de alguma maneira As Figuras 1740 e 1741 exemplificam alguns desses dispositivos A justificativa mais comum para a utilização das engrenagens é a de que nem sempre um dispositivo uma máquina por exemplo tem sua velocidade adequada para funcionamento igual ao do dis positivo que o colocou em movimento um motor por exemplo Digamos que um motor impulsionado por um conjunto de pistões coloque um girabrequim para funcionar com uma velocidade de rotação de 1000 rpm mas a máquina que ele pretende acionar só funciona bem se acionada a 250 rpm Para reduzir a velocidade angular por um fator 4 basta acoplar as engrenagens de maneira que enquanto um dá 4 voltas a outra dê apenas uma volta Isso se consegue fazendo com que uma das rodas tenha quatro vezes mais dentes do que a outra Usualmente construímos um sistema de duas engrenagens formando um conjunto único Podese assim transmitir a energia proporcional provida por um motor para uma máquina Às vezes no entanto não é conveniente ter as engrenagens ligadas entre si diretamente Nesse caso podese fazer uso de correntes ou correias Numa bicicleta com marchas existem várias combinações de rodas dentadas com número adequado de dentes que podem ser acessadas usando uma alavanca disponível no guidão ExEmplo 09 O sistema de transmissão de movimento de uma bicicleta de marcha única é composto de duas rodas dentadas acopladas por uma correia dentada A coroa é acionada pelos pés do ciclista A catraca gira mediante a correia dentada acoplada à coroa Figura 1740 Engrenagem cônica Diferencial de carros Figura 1741 Sistema de engrenagem em uma bicicleta de marcha única A engrenagem de acionamento é denominada coroa e a acoplada à roda traseira é conhecida como catraca 438 17 Estática Licenciatura em Ciências USPUnivesp Módulo 1 Considere uma bicicleta com coroa de 48 dentes catraca com 16 dentes e um sistema rodapneu de 637 cm de diâmetro externo Se o ciclista acionar a coroa com frequência f 3 rps rotações por segundo qual a frequência de rotação da catraca REsolução O sistema coroa correia dentada catraca transmite a potência mecânica dos pés do ciclista ao eixo da roda de tração e assim acelera e mantém a velocidade de uma bicicleta A relação entre os números de dentes da coroa e da catraca identifica a relação da transmissão de movimento A coroa tem 48 dentes Co 48 e a catraca tem 16 dentes Ca 16 A cada volta da coroa a catraca realiza 3 voltas a relação de transmissão é de 13 A frequência de rotação também guarda a mesma relação ou seja a frequência da coroa é fCo 3 rps então a frequência da catraca será de fCa 9 rps O mesmo ocorre com as velocidades angulares ωCo 2πfCo 6π rads e ωCa 2πfCa 18π rads Figura 1742 Sistema coroacatraca em uma bicicleta de marcha única