Prova Mecanica Classica 1 Calculo Variacional e Equacoes de Movimento

Mecânica clássica 1 O elemento de distância no plano é ds² dx² dy² ds dx² dy² u portanto L x0 y0x1 y1 dx² dy² x0x1 1 dydx² dx fy x Definindo dydx y então a equação de Euler 2 será ddx ddy 1 y2 0 ddx 2y21 y2 0 vemos que y1 y2 c cte2 y c 1 y2 y2 c² 1 y2 y2 1 c² c² y c² 1 c² a cte2 dydx a y a dx ax b ou seja yx ax b 2 Braquistócrona A velocidade da partícula será in contrada a partir da energia da partícula m v²2 mg y v 2g y dsdt 2 3a avaliação AB2 Justifique TODAS as suas respostas As questões devem ser respondidas de acordo com o formalismo apresentado na disciplina 1 25 Mostre através do cálculo variacional que a distância mais curta entre dois pontos é uma linha reta 2 25 Utilizando o cálculo de variações resolve o problema da braquistócrona encontrando o caminho que permite que uma partícula atravesse o trânsito entre dois pontos x1 y1 e x2 y2 no menor tempo possível 3 25 Utilize as equações de EulerLangrange para encontrar as equações de movimento para o pêndulo esférico 4 25 O ponto de suporte de um pêndulo simples de massa m e comprimento l é acionado horizontalmente por x a senω t Encontre a equação de movimento do pêndulo e sendo ds sqrtd dydx2 dx sqrtd y2 dx Com isso co tempo de movimento será dt dsv sqrtd y2sqrt2gy dx Ty 1sqrt2g intxox sqrtd y24 dx invertendo a integral y dydx x dxdy e a equação de Euler partial fpartial x ddy partial fpartial x 0 partial fpartial x 2x2 sqrtyd x2 cte c1 Parametrizando x tgt tgtsqrtyd tgt2 c0 tgt c0 sqrtyd tgt2 tgt2 c02 yd tgt2 y tgt2c02 d tgt2 Definindo 1c02 y c2 tgt2d tgt2 c2 tg2tsec2t c2 sin2tcos2t 1cos2t y c2 sin2t c221 cos 2t e como dxdy tgt dx tgt dy e notando dydt ddt c2 sin2 t 2c2 sin t cos t logo dy 2c2 sin t cos t e portanto dx tgt 2c2 sin t cos t dt dx sin tcos t 2c2 sin t cos t dt dx 2c2 sin2 t dt 2c2 1 cos 2t dt x 2c2 int 1 cos 2t dt x 2c2 t 12 sin 2t c3 x c2 2t sin 2t c3 Com isso temos as equações paramétricas x c221 cos 2t e y c222t sin 2t c3 Se supomos que x0y0 00 c3 0 e definindo 2t θ x cθ sin θ e y c1 cos θ c22 c Cicloide 3 Para construir a lagrangiana irei utilizar coordenadas esféricas x l senΘcosφ y l senΘsenφ e z lcosΘ e sendo l 0 x lΘcosφcosφ lφsenΘsenφ y lΘcosφsenφ lφsenΘcosφ z lΘsenΘ Aqui l é o comprimento do fio A lagrangiana será L m2 x2 y2 z2 mgz L m2 l2Θ2 l2φ2sen2Θ mg lcosΘ Estou considerando que o fio está na vertical z e com isso temos as equações de EulerLagrange pΘ LΘ ddt LΘ 0 mg l senΘ m l2 φ2 cosΘ senΘ ddt m l2 Θ 0 m l2 Θ mg l senΘ m l2 φ2 cosΘ senΘ 0 Θ gl senΘ φ2 cosΘ senΘ 0 pφ Lφ ddt Lφ 0 ddt m l2 φ sen2 Θ 0 m l2 φ sen2 Θ m l2 φ 2 senΘ cosΘ Θ 0 φ 2 φ cotg Θ Θ 0 4 Temos que x a senωt x a senωt l senΘ y lcosa m então x aωcosωt lΘcosΘ u y lΘ senΘ A lagrangiana será L m2 x2 y2 mg y L m2 a2 ω2 cos2 ωt 2 a l ω Θ cosωt cosΘ l2 Θ2 mg l cosΘ A equação de Euler lagrange LΘ ddt LΘ 0 ddt LΘ LΘ ddt m a l ω cosωt cosΘ m l2 Θ m a l ω Θ cosωt senΘ mg l senΘ o l ω2 senωt cosΘ a l ω Θ cosωt senΘ u por fim Θ gl senΘ al ω2 senωt cosΘ 0