Lista de Exercícios Resolvidos - Mecânica Clássica I - UFAL

Lista IIIAvaliativa Clássica I 20221 Física UFALArapiraca SSA October 26 2022 OBS ESTA É UMA ATIVIDADE QUE VALE UM PONTO NA PRIMEIRA PROVA CASO ESTEJA CORRETA A ENTREGA DEVE SER FEITA NO AVA ATÉ ÀS 12H DE 18112022 NO AVA E EM LOCAL INDICADO Nome 1 Encontre na base cartesiana os vetores unitários no seguintes sistemas de coordenadas a Polar b Cartesiana c Esférica d Cilíndrica 2 Prove as seguintes identidades vetoriais a A x B x y z Ax Ay Az Bx By Bz b A x B B x A c A x A 0 d A x B 0 se B βA com β um escalar não nulo e C A x B B C x A A B x C f A x B x C BA C CA B 3 Prove as seguintes identidades a k εkijεklm δilδjm δimδjl b A x B ijk εijkxiAjBk Sendo δij 1 se i j 0 se i j 1 e εijk 1 se for cíclico 0 se repetir 1 anti cíclico 2 4 Prove as seguintes identidades considerando r vetor posição a x x A A 2A b x r 0 c r 3 d ddtA B ddtA B A ddtB e ddtA x B ddtA x B A x ddtB f fr 2r ddr f d2dr2 f 5 Considere uma tábua de comprimento L largura A e espessura e possuindo uma massa M uniformemente distribuída sobre seu volume A tábua é colocada sobre dois cilindros retos que giram com frequência ω em módulo e em sentidos contrários Os cilindros tem seus eixos paralelos e distantes Mecˆanica Classica I 3 um do outro por uma distˆancia D Entre a tabua e os cilin dros existem atritos cineticos e dinˆamicos dados por µK e µD Em que confiracao o sistema e MHS Neste caso quais sao a frequˆencia de oscilacao perıodo e posicao do centro de massa Construa o grafico da posicao como funcao do tempo 6 Considere um cilindro reto de raio R comprimento L e massa M uniformemente distribuida sobre seu volume Ao longo do eixo principal do cilindro e feito um furo de raio bem pequeno de um lado a outro do mesmo Dentro do furo e colocada uma massa pontual m a O sistema e MSH b Caso o sistema seja MHS encontre o perıodo e frequˆencia c Caso o sistema seja MHS encontre a velocidade como funcao do tempo e seu grafico d Caso o sistema seja MHS encontre a posicao como funcao do tempo e seu grafico 7 Um bloco de massa M e pendurado no teto de uma residˆencia atraves de uma mola de constante k O sistema esta em uma regiao do espaco em que existe uma forca de resistˆencia proporcional a velocidade atrave de uma constante β O movimento ocorre ao longo da vertical a Em caso de βm2 4km i Encontre a posicao como funcao do tempo e seu grafico ii Encontre a velocidade como funcao do tempo e seu grafico b Em caso de βm2 4km Mecˆanica Classica I 4 i Encontre a posicao como funcao do tempo e seu grafico ii Encontre a velocidade como funcao do tempo e seu grafico 8 Um bloco de massa M e conectado a um conjunto de n molas de constantes k1 k2 k3 kn onde n e um numero inteiro maior que 1 As molas estao ligadas em serie uma a outra e as molas das extremidades estao ligadas ao bloco e a outra a uma parede O sistema todo esta na horizontal e nao existe atrito Desconsidere a massa das molas a O sistema e um MHS b Caso seja MHS Quais sao a frequˆencia e o perıodo das oculacoes c Neste sisma construa o grafico da energia Mecˆanica como funcao do tempo d Qual a energia potencial do sistema como funcao da posicao e seu grafico e Que sistema eletrico pode ser comparado ao presente sistema Lista Individual Lista Individual Lista Individual Lista Individual 2 a A x B Ax ĉ Ay ĵ Az k x Bx ĉ By ĵ Bz k Ay Bz Az By Az Bx Ax Bz Ax By Ay Bx 1 usando i x i 0 i x j k j x k i j x j 0 e j x i k k x j i i x k j k x k 0 k x e j podemos representar 1 da seguinte forma determinante do matriz A x B i j k Ax Ay Az Bx By Bz cg b A x B ĉ ĵ k Ax Ay Az Bx By Bz i j k Ax Ay Az i j k Bx By Bz Ax Ay Az propriedades de determinantes B x A cg c A x A i j k Ax Ay Az Ax Ay Az 0 O 000 d se B βA B β Ax β Ay β Az A x B i j k Ax Ay Az β Ax β Ay β Az β i j k Ax Ay Az Ax Ay Az O Digitalizado com CamScanner e A B C A i j k Ax Ay Az Bx By Bz T Bx By Bz Cx Cy Cz Cx Cy Cz Cx Cy Cz Ax Ay Az C A B B C A cg1 f A B C A B2 C3 B3 C2 B3 C1 B1 C3 B1 C2 B2 C1 Az B1 C2 A2 B2 C1 A3 B3 C1 A3 B1 C3 B A C C A B 3 a substituindo b substituindo 4 r xyz a A Azy Ayz Axz Azx Ayx Axy A yAyx Axy zAxz Azx zAzy Ayz xAyx Axy xAxz Azx yAzy Ayz A 2 A b r zy yz 0 0 000 0 c r xx yy zz 111 3 d AB Ax Bx Ay By Az Bz ddtAB ddtAx Bx Ay By Az Bz ddtAx Bx ddtBx Ax ddtAy By ddtBy Ay ddtAz Bz ddtBz Az dAxdt dAydt dAzdtBx By Bz Ax Ay AzdBxdt dBydt dBzdt ddtA B A ddtB e ddtA B ddtB2 B3 B3 B2 B1 B3 A1 B3 A1 B2 A2 B1 dAzdt B3 dB3dt Az dAzdt B2 dB2dt A3 dA3dt B1 dB1dt A3 dA1dt B3 dB3dt A1 dA1dt B2 dB2dt A1 dA2dt B1 dB1dt A2 ddt A B A ddt B f fr tx i ty j tz k fr 2 tx2 2 ty2 2 tz2 usando tx tr rx 2 tx2 x tr rx tr 2 rx2 2 tr2 rx2 tr 2 rx2 2 tr2 xr2 tr 1r x2r3 fr 2 tr2 xr2 yr2 zr2 tr 3r x2 y2 z2r3 fr 2 tr2 2r tr cc d 1 5 calculando as reações conservação de momento RA mg D2 x D RB mg D2 x D Resultante horizontal Fres FatA FatB mg D2 x μk D mg D2 x μk D 2mgx μk D kx k 2mg μk D é um MHS condição mg D2 x μk mg D2 x μD μk D2 x D2 x μD f 1 2π 2mg μk μk D 1 2π 2g μk D τ 2π D 2g μk equação posição resolvendo EDO 2mg μk x D m a m x m x 2mg μk x D 0 x 2g μk x D d²x dt² 2g μk x D r² 2g μk D 0 xt c₁ er₁ t c₂ er₂ t tal que r₁ 2g μk D e r₂ 2g μk D gráfico 6 a sim MHS devido a gravidade força gravitacional provocada pelo cilindro b calculando FG G M m r² dFG G dm m r² dFG G m dM r² G m ρ dV r² G m Vtotn1 dV r² Keq x f 1 2π km T 2π mk c resolvendo EDO d vt dxdt dx v dt x dt v 7 a βm2 4Km c equação da força resultante Fres ma Kx βv mẍ βẋ Kx 0 ẍ βmẋ Kmx 0 equação diferencial resolvendo eq característica mr2 βr K 0 r β β2 4mK 2m como β2 4Km r1 β β2 4mK 2m e r2 β β2 4mK 2m xt c1 er1 t c2 er2 t tal que r1 e r2 forem representados acima e c1 e c2 são constantes ii vt dxdt c1 r1 er1 t c2 r2 er2 t mesmas condições Digitalizado com CamScanner gráfico vt lim t vt 0 t 2 velocidade tem tendência de zero justificado pela força de resistência Fres βv b quando βm2 4Km β2 4Km c aproveitando o desenvolvimento do item a r1 r2 β 2m xt c1 e β 2m t c2 t e β 2m t resolção EDO cii vt dxdt c1 β2m e β 2m t c2 e β 2m t t e β 2m t β 2m c1 β2m e β 2m t c2 e β 2m t β2m t e β 2m t Digitalizado com CamScanner v t demora um pouco mais para convergir mas lim t vt 0 8 a Sim Essa associação de moles é equivalente a uma única mole com a constante elástica equivalente b calculando cte eq 1Keq Σ 1Ki i1n Keq 1 Σ 1Ki i1n sistema massa mole Digitalizado com CamScanner f 12π KeqM tal que Keq 1Σ from i1 to n of 1Ki τ 2π MKeq c energia ET Ep Ec Kx²2 mv²2 grafico Emec ET cte com o tempo d Ep Kex²2 Keq x²2 uma parabola