Calculo Volume 2 - James Stewart - 6a Edicao - Resumo

VOLUME 2 Neste volume continuação de Cálculo vol 1 capítulos 1 a 8 James Stewart mantém o estímulo e o apreço dos estudantes pelo cálculo defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e no entendimento do mundo natural dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta Cálculo vol 2 capítulos 9 a 17 traz temas importantes como equações diferenciais vetores integrais entre outros complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior Algumas seções e capítulos foram reformulados Mais de 25 dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus dados modernizados Em muitos deles as unidades foram alteradas do sistema norteamericano para o Sistema Internacional de Unidades Revista e atualizada a obra mantém o espírito das edições anteriores apresentando exercícios graduados com progressão cuidadosamente planejada desde conceitos básicos até problemas complexos e desafiadores Os exemplos e exercícios agora têm perspectiva global incluindo dados inspirados em países da Ásia e América Latina Aplicações Livrotexto para a disciplina cálculo nos cursos de Matemática e Engenharia Para suas soluções de curso e aprendizado visite wwwcengagecombr Sobre o autor James Stewart é mestre pela Universidade de Stanford e PhD pela Universidade de Toronto Após dois anos na Universidade de Londres tornouse professor de Matemática na McMaster University Seus livros foram traduzidos para diversos idiomas como espanhol português francês italiano coreano chinês e grego Stewart foi nomeado membro do Fields Institute em 2002 e recebeu o doutorado honorário em 2003 pela McMaster University O Centro de Matemática James Stewart foi aberto em outubro de 2003 também na McMaster University cálculo VOLUME 2 JAMES STEWART cálculo TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTEAMERICANA VOLUME 2 Outras Obras Álgebra Linear David Poole Análise Numérica Tradução da 8ª edição norteamericana Richard L Burden e J Douglas Faires Cálculo Volume 1 Tradução da 6ª edição norteamericana James Stewart Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software Selma Arenales e Artur Darezzo PréCálculo 2ª edição revista e atualizada Valéria Zuma Medeiros Coord André Machado Caldeira Luiza Maria Oliveira da Silva Maria Algusta Soares Machado Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências Jay L Devore Vetores e Matrizes Uma introdução à álgebra linear 4ª edição Nathan Moreira dos Santos Doherty Andrade e Nelson Martins Garcia cálculo J A M E S S T E W A R T POSSUI MATERIAL DE APOIO TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTEAMERICANA para professores que comprovadamente adotam a obra POSSUI MATERIAL DE APOIO para professores que comprovadamente adotam a obra AFcalculo2pdf 1 2312012 114857 ISBN 13 9788522112746 ISBN 10 8522112746 9 788522 112746 CÁLCULO VOLUME II Calculo00Layout 1 040809 1418 Page I Stewart James Cálculo volume 2 James Stewart tradução técnica Antonio Carlos Moretti Antonio Carlos Gilli Martins revisão técnica Helena Maria Ávila de Castro São Paulo Cengage Learning 2009 Título original Calculus 6 ed americana ISBN 9788522106615 1 Cálculo 2 Cálculo Problemas exercícios etc I Título Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil 0907221 CDD515 515076 Índice para catálogo sistemático 1 Cálculo Matemática 515 2 Exercícios Cálculo Matemática 515076 3 Problemas Cálculo Matemática 515076 Calculo00Layout 1 040809 1418 Page II CÁLCULO VOLUME II Tradução da 6 a edição norteamericana JAMES STEWART MCMASTER UNIVERSITY Tradução Técnica ANTONIO CARLOS MORETTI Doutor em Engenharia Industrial pelo Georgia Institute of Technology e Professor LivreDocente do Imeec Unicamp ANTONIO CARLOS GILLI MARTINS Doutor em Matemática pela Unicamp e Professor Doutor do Imeec Unicamp Revisão Técnica HELENA MARIA ÁVILA DE CASTRO Professora Doutora do IMEUSP Austrália Brasil Japão Coreia México Cingapura Espanha Reino Unido Estados Unidos Calculo00Layout 1 040809 1418 Page III Cálculo Volume II James Stewart Gerente Editorial Patricia La Rosa Editora de Desenvolvimento Ligia Cosmo Cantarelli Fernanda Batista dos Santos Supervisora de Produção Editorial Fabiana Alencar Albuquerque Produtora Editorial Monalisa Neves Título Original Calculus Early Transcendentals ISBN13 9780495382737 ISBN10 0495382736 Tradução Técnica Antonio Carlos Moretti Antonio Carlos Gilli Martins Revisão Técnica Helena Maria Ávila de Castro Copidesque Fábio Larsson Revisão Adriane Peçanha Cristiane Mayumi Morinaga Diagramação Cia Editorial Capa Souto Crescimento de Marca 2008 Cengage BrooksCole parte da Cengage Learning 2010 Cengage Learning Edições Ltda Todos os direitos reservados Nenhuma parte deste livro poderá ser reproduzida sejam quais forem os meios empregados sem a permissão por escrito da Editora Aos infratores aplicamse as sanções previstas nos artigos 102 104 106 e 107 da Lei n o 9610 de 19 de fevereiro de 1998 Para informações sobre nossos produtos entre em contato pelo telefone 0800 11 19 39 Para permissão de uso de material desta obra envie seu pedido para direitosautoraiscengagecom 2010 Cengage Learning Todos os direitos reservados ISBN13 9788522106615 ISBN10 8522106614 Cengage Learning Condomínio EBusiness Park Rua Werner Siemens 111 Prédio 20 Espaço 4 Lapa de Baixo CEP 05069900 São Paulo SP Tel 11 36659900 Fax 11 36659901 SAC 0800 11 19 39 Para suas soluções de curso e aprendizado visite wwwcengagecombr Impresso no Brasil Printed in Brazil 6 7 8 9 10 12 11 10 09 08 Calculo00Layout 1 040809 1418 Page IV V Esta versão da 6 a edição de Cálculo utiliza em todos os exemplos e exercícios o Sistema Internacional de Unidades SI Em algumas exceções porém as unidades originais foram mantidas para algumas aplicações em engenharia acredito ser do interesse de alguns en genheiros familiarizaremse com as unidades empregadas nos Estados Unidos Também foram mantidas as unidades em exercícios específicos nos quais o uso de outro sistema de medidas não faria sentido por exemplo os que tratam de beisebol Procurei tornar mais internacional a natureza dos exercícios e exemplos que envolves sem dados do mundo real de forma que agora em grande parte os dados se referem a ou tros países que não os Estados Unidos Os exemplos e exercícios tratam da tarifa postal de Hong Kong da dívida pública canadense dos índices de desemprego na Austrália da in cidência de luz solar em Ancara na Turquia de isotérmicas da China do porcentual da po pulação rural na Argentina das populações da Malásia Indonésia México e Índia do consumo de energia elétrica em Ontário entre muitos outros Além de adaptar alguns exercícios para o sistema internacional de unidades e interna cionalizar os dados alguns outros exercícios foram também alterados de forma que cerca de 10 dos exercícios diferem da versão anterior FILOSOFIA DO LIVRO A arte de ensinar diz Mark van Doren é a arte de propiciar o descobrimento Tentei es crever um livro que auxiliasse o estudante em sua descoberta do cálculo tanto pela uti lidade prática da disciplina quanto por sua surpreendente beleza Nesta edição bem como nas cinco anteriores meu objetivo foi mostrar ao estudante a utilidade do cálculo e de senvolver competência técnica mas ao mesmo tempo desejei transmitir a beleza intrínseca à matéria Não há dúvida de que Newton teve uma enorme sensação de triunfo quando rea lizou suas maiores descobertas e minha intenção é que os estudantes partilhem um pouco deste sentimento A ênfase aqui é na compreensão de conceitos Creio que quase todos concordam que este deve ser o objetivo principal do ensino do cálculo Na verdade o ímpeto que norteia o atual movimento de reforma no ensino do cálculo vem da Conferência de Tulane de 1986 que teve como principal recomendação Concentrarse na compreensão de conceitos Tentei atingir este objetivo por meio da chamada Regra dos Três Os tópicos devem ser apresentados geométrica numérica e algebricamente A visualização e as experiências numéricas e gráficas entre outras ferramentas alteraram fundamentalmente a forma como ensinamos os raciocínios conceituais Mais recentemente a Regra dos Três expandiuse em uma Regra dos Quatro valorizando também o ponto de vista verbal ou descritivo Na redação desta 6 a edição parti da premissa de que é possível almejar à compreen são dos conceitos e ao mesmo tempo conservar as melhores tradições do cálculo conven cional Este livro possui elementos de reforma mas que estão contextualizados no currículo tradicional PREFÁCIO Calculo00Layout 1 040809 1418 Page V VIMMCÁLCULO O QUE HÁ DE NOVO NA 6 a EDIÇÃO Estas são algumas das alterações nesta 6 a edição de Cálculo I No início do livro foram incluídos quatro testes de verificação Álgebra Básica Geo metria Analítica Funções e Trigonometria Foram fornecidas as respostas e os estu dantes que não tiveram bom desempenho são encaminhados aos locais em que podem encontrar a ajuda necessária nos Apêndices I Alguns docentes cujos cursos não alcançavam o capítulo de equações diferenciais afir mavam ser inadequado que a seção sobre Crescimento e Decrescimento Exponencial estivesse colocada ali Por essa razão esta parte foi deslocada para o Capítulo 3 Vo lume I o que causou a reorganização do Capítulo 9 I As Seções 1110 e 1111 foram também combinadas em uma única seção Antes acre ditavase que separar as séries binomiais em uma seção própria enfatizava sua impor tância porém alguns professores não trabalhavam esta seção Incorporouse as séries binomiais na Seção 1110 I O material sobre coordenadas esféricas e cilíndricas previamente na Seção 127 foi transferido para o Capítulo 15 no qual é dado no contexto do cálculo das integrais triplas I Foram reformuladas ou incluídas algumas frases e notas para tornar o texto mais elucidativo I Algumas ilustrações foram redesenhadas I Os dados de alguns exemplos e exercícios foram atualizados e modernizados I Inúmeros exemplos foram incluídos ou alterados I Foram acrescentados alguns passos na resolução de certos problemas I Mais de 25 dos exercícios são novos Alguns de meus favoritos 11638 111130 14544 e 1482021 I Existem também alguns interessantes novos problemas nas Seções Problemas Quentes CARACTERÍSTICAS A melhor maneira de treinar a compreensão dos conceitos é resolvendo os problemas su geridos Com esta finalidade desenvolvi diversos tipos de exercício Em alguns é exi gida a explicação dos conceitos fundamentais da seção ver por exemplo os primeiros exercícios das Seções 112 142 e 143 Da mesma forma as seções de revisão começam com uma Verificação de Conceitos e Testes VerdadeiroFalso Outros exercícios verifi cam a compreensão dos conceitos mediante o uso de gráficos e tabelas como nos Exer cícios 911112 1012427 11102 13212 1333337 14112 1413038 143310 14612 14734 151510 1611118 1621718 16312 Outra modalidade de exercícios parte da descrição verbal para verificar o entendimento dos conceitos Particularmente valorizo problemas que combinam e confrontam proces sos gráficos numéricos e algébricos ver Exercício 942 Cada grupo de exercícios progride em complexidade partindo da verificação de concei tos básicos e problemas para treinar técnicas até problemas mais desafiadores envolvendo demonstrações e aplicações EXERCÍCIOS CONCEITUAIS EXERCÍCIOS COM DIFICULDADE PROGRESSIVA Calculo00Layout 1 040809 1418 Page VI PREFÁCIOMMVII Minha equipe e eu nos empenhamos em pesquisar dados do mundo real em bibliotecas empresas agências governamentais e na internet que pudessem apresentar e ilustrar os conceitos de cálculo Por este motivo muitos exercícios e exemplos lidam com funções definidas por tais dados numéricos ou gráficos As funções com duas variáveis são ilus tradas por uma tabela que mostra o índice de sensação térmica em função da temperatura do ar e da velocidade do vento Exemplo 2 da Seção 141 As derivadas parciais são apre sentadas na Seção 143 por meio do exame de uma das colunas da tabela do humidex ín dice de temperatura aparente usado no Canadá como uma função da temperatura real e da umidade relativa do ar Este mesmo exemplo também aparece mais à frente quando são discutidas as aproximações lineares Exemplo 3 da Seção 144 As derivadas direcionais são apresentadas na Seção 146 usando um mapa de contornos de temperaturas para esti mar a taxa de variação da temperatura na direção sudoeste de Chongqing As integrais du plas são usadas para calcular a precipitação média de neve no Colorado entre 2021 de dezembro de 2006 Exemplo 4 da Seção 151 E os campos vetoriais são apresentados por meio da descrição dos campos vetoriais de velocidade do vento na Baía de São Francisco Uma maneira de despertar o interesse dos alunos e facilitar a aprendizagem é fazer com que trabalhem às vezes em grupos em projetos mais aprofundados que transmitam um verdadeiro sentimento de realização quando completados Incluí quatro tipos de projetos os Projetos Aplicados são aplicações que visam despertar a imaginação dos estudantes Na Seção 93 o projeto pede que se determine se uma bola jogada para cima demora mais para alcançar sua altura máxima ou para retornar à posição inicial e a resposta pode ser sur preendente O projeto após a Seção 148 aplica os multiplicadores de Lagrange para de terminar as massas dos três estágios de um foguete buscando minimizar a massa total e ao mesmo tempo permitir que o foguete atinja a velocidade desejada os Projetos de La boratório envolvem tecnologia o projeto após a Seção 102 mostra como as curvas de Bézier são usadas para traçar as formas que representam as letras em uma impressora laser os Projetos Escritos exigem que os alunos comparem os métodos atuais àqueles de senvolvidos pelos fundadores do cálculo por exemplo o método criado por Fermat para encontrar as tangentes Neles também são oferecidas sugestões de bibliografia e os Pro jetos de Descoberta incentivam a descoberta por meio da percepção de padrões ou ante cipam questões a serem aprofundadas posteriormente Podem ainda explorar aspectos geométricos os tetraedros após a Seção 147 as hiperesferas após a Seção 156 e as in tersecções de três cilindros após a Seção 157 Os alunos normalmente têm mais dificuldades naqueles problemas em que não há um único procedimento bem definido para chegar à solução Acredito que não ocorreram mui tos avanços na área de resolução de problemas após a estratégia em quatro estágios pro postos por George Polya Este método é utilizado explícita e implicitamente em todo o livro Incluí também seções denominadas Problemas Quentes apresentando exemplos de como lidar com problemas de cálculo mais desafiadores Ao selecionar os diversos pro blemas nestas seções tentei seguir este conselho dado por David Hilbert Um problema matemático deve ser difícil a ponto de nos desafiar mas não inacessível a ponto de zom bar de nossos esforços Ao propor problemas difíceis em tarefas e provas costumo cor rigilos de forma diferenciada neles procuro valorizar principalmente as ideias que levam à resposta e a aplicação dos princípios de resolução de problemas mais relevantes A disponibilidade de tecnologia não diminui pelo contrário aumenta a importância de se entender com clareza os conceitos por trás das imagens na tela Quando utilizados apro priadamente computadores e calculadoras gráficas são ferramentas úteis na descoberta e compreensão de tais conceitos Este livro pode ser utilizado com ou sem o emprego de fer ramentas tecnológicas dois símbolos especiais são usados para indicar precisamente DADOS REAIS PROJETOS RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS TECNOLOGIA Calculo00Layout 1 040809 1418 Page VII VIIIMMCÁLCULO quando um tipo especial de ferramenta é necessária O símbolo indica um exercício que definitivamente requer o uso dessas tecnologias o que não quer dizer que seu uso nos demais exercícios seja proibido O símbolo aparece em problemas nos quais são em pregados todos os recursos de um sistema de computação algébrica como o Derive Maple Mathematica ou o TI8992 Mas a tecnologia não torna lápis e papel obsoletos Frequentemente são preferíveis os cálculos e esboços feitos à mão ao se tentar ilustrar e reforçar algum conceito Tanto professores quanto estudantes precisam aprender a discer nir quando é mais adequado o uso das máquinas ou o cálculo manual SCA TESTES DE VERIFICAÇÃO UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO 9 I EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 10 I EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARES 11 I SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITAS 12 I VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO 13 I FUNÇÕES VETORIAIS 14 I DERIVADAS PARCIAIS No site da Cengage wwwcengagecombr há material de apoio com slides uma importante ferramenta no dia a dia do aprendizado O material de apoio é uma corte sia para professores que adotam a obra e a indicam na ementa do curso CONTEÚDO VOLUME 1I O livro começa com quatro testes de verificação Álgebra Básica Geometria Analítica Funções e Trigonometria Temos aqui um panorama da matéria incluindo uma série de questões para nortear o es tudo do cálculo O destaque deste tratamento inicial das equações diferenciais é o tema dos modelos Os cam pos direcionais e o método de Euler são estudados antes de equações lineares e separáveis serem resolvidas explicitamente com a intenção de permitir que sejam analisadas pela abor dagem qualitativa numérica e analítica Aplicamse estes métodos a modelos exponenciais logísticos e de crescimento populacional As primeiras quatro ou cinco seções deste capítulo são uma boa introdução às equações diferenciais de primeira ordem Ao término uma seção opcional usa o modelo predadorpresa para ilustrar os sistemas de equações diferenciais Este capítulo trata das equações paramétricas e coordenadas polares aplicando a eles os princípios de cálculo As curvas parametrizadas são bem adequadas a projetos de labora tório os dois aqui apresentados envolvem famílias de curvas e curvas de Bézier Uma breve explicação das seções cônicas em coordenadas polares prepara o estudo das leis de Kepler no Capítulo 13 Os testes de convergência são justificados intuitivamente ver p 697 bem como de monstrados formalmente As estimativas numéricas das somas de séries dependem de qual teste foi usado para demonstrar a convergência Enfatizase as séries de Taylor os poli nômios e suas aplicações na física Também são mencionadas as estimativas de erro in clusive em ferramentas gráficas A geometria analítica tridimensional foi dividida em dois capítulos Aqui são estudados os vetores produtos escalares e vetoriais retas planos e superfícies Aqui são estudadas as funções a valores vetoriais suas derivadas e integrais o compri mento e curvatura de curvas espaciais e a velocidade e aceleração ao longo destas curvas finalizando com as Leis de Kepler As funções de duas ou mais variáveis são estudadas do ponto de vista verbal numérico vi sual e algébrico As derivadas parciais são introduzidas mediante a análise de uma particu lar coluna de uma tabela com índices de conforto térmico temperatura aparente do ar como função da temperatura medida e da umidade relativa As derivadas direcionais são estima das por meio de mapas de contorno de temperatura pressão e precipitação de neve Calculo00Layout 1 040809 1418 Page VIII PREFÁCIOMMIX Para calcular as médias de temperatura e precipitação de neve em dadas regiões utiliza mos mapas de contorno e a Regra do Ponto Médio São usadas integrais duplas e triplas no cálculo de probabilidades área de superfície e em projetos do volume de hiperesfe ras e da intersecção de três cilindros As coordenadas esféricas e cilíndricas são introdu zidas no contexto de cálculo de integrais triplas A apresentação de campos vetoriais é feita por meio de figuras dos campos de velocidade do vento na Baía de São Francisco Exploramos também as semelhanças entre o Teorema Fundamental para integrais de linha o Teorema de Green o Teorema de Stokes e o Teo rema do Divergente Como as equações diferenciais de primeira ordem foram tratadas no Capítulo 9 este úl timo capítulo trata das equações diferenciais lineares de segunda ordem sua aplicação em molas vibrantes e circuitos elétricos e na solução em séries A 6 a edição de Cálculo é dotada de material de apoio elaborado sob minha supervisão que procura facilitar a compreensão por parte dos alunos e propiciar criatividade no ensino AGRADECIMENTOS A preparação desta edição envolveu muito tempo e contou com a leitura de muitos revi sores Eu agradeço imensamente o tempo despendido para compreender a motivação da minha abordagem para este livro Aprendi algo com cada um deles 15 I INTEGRAIS MÚLTIPLAS 16 I CÁLCULO VETORIAL 17 I EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEM MATERIAL DE APOIO REVISORES DA 6 a EDIÇÃO Marilyn Belkin Villanova University Philip L Bowers Florida State University Amy Elizabeth Bowman University of Alabama in Huntsville M Hilary Davies University of Alaska Anchorage Frederick Gass Miami University Paul Triantafilos Hadavas Armstrong Atlantic State University Nets Katz Indiana University Bloomington James McKinney California State Polytechnic University Pomona Martin Nakashima California State Polytechnic University Pomona Lila Roberts Georgia College and State University Maria Andersen Muskegon Community College Eric Aurand Eastfield College Joy Becker University of WisconsinStout Przemyslaw Bogacki Old Dominion University Amy Elizabeth Bowman University of Alabama in Huntsville Monica Brown University of MissouriSt Louis Roxanne Byrne University of Colorado at Denver and Health Sciences Center Teri Christiansen University of MissouriColumbia Bobby Dale Daniel Lamar University Jennifer Daniel Lamar University Andras Domokos California State University Sacramento Timothy Flaherty Carnegie Mellon University Lee Gibson University of Louisville Jane Golden Hillsborough Community College Semion Gutman University of Oklahoma Diane Hoffoss University of San Diego Lorraine Hughes Mississippi State University Jay Jahangiri Kent State University John Jernigan Community College of Philadelphia Brian Karasek South Mountain Community College Jason Kozinski University of Florida Carole Krueger The University of Texas at Arlington Ken Kubota University of Kentucky John Mitchell Clark College Donald Paul Tulsa Community College Chad Pierson University of Minnesota Duluth Lanita Presson University of Alabama in Huntsville Karin Reinhold State University of New York at Albany Thomas Riedel University of Louisville Christopher Schroeder Morehead State University Angela Sharp University of Minnesota Duluth REVISORES DE TECNOLOGIA Calculo00Layout 1 040809 1418 Page IX XMMCÁLCULO B D Aggarwala University of Calgary John Alberghini Manchester Community College Michael Albert CarnegieMellon University Daniel Anderson University of Iowa Donna J Bailey Northeast Missouri State University Wayne Barber Chemeketa Community College Neil Berger University of Illinois Chicago David Berman University of New Orleans Richard Biggs University of Western Ontario Robert Blumenthal Oglethorpe University Martina Bode Northwestern University Barbara Bohannon Hofstra University Philip L Bowers Florida State University Jay Bourland Colorado State University Stephen W Brady Wichita State University Michael Breen Tennessee Technological University Robert N Bryan University of Western Ontario David Buchthal University of Akron Jorge Cassio MiamiDade Community College Jack Ceder University of California Santa Barbara Scott Chapman Trinity University James Choike Oklahoma State University Barbara Cortzen DePaul University Carl Cowen Purdue University Philip S Crooke Vanderbilt University Charles N Curtis Missouri Southern State College Daniel Cyphert Armstrong State College Robert Dahlin Gregory J Davis University of WisconsinGreen Bay Elias Deeba University of HoustonDowntown Daniel DiMaria Suffolk Community College Seymour Ditor University of Western Ontario Greg Dresden Washington and Lee University Daniel Drucker Wayne State University Kenn Dunn Dalhousie University Dennis Dunninger Michigan State University Bruce Edwards University of Florida David Ellis San Francisco State University John Ellison Grove City College Martin Erickson Truman State University Garret Etgen University of Houston Theodore G Faticoni Fordham University Laurene V Fausett Georgia Southern University Norman Feldman Sonoma State University Newman Fisher San Francisco State University José D Flores The University of South Dakota William Francis Michigan Technological University James T Franklin Valencia Community College East Stanley Friedlander Bronx Community College Patrick Gallagher Columbia UniversityNew York Paul Garrett University of MinnesotaMinneapolis Frederick Gass Miami University of Ohio Bruce Gilligan University of Regina Matthias K Gobbert University of Maryland Baltimore County Gerald Goff Oklahoma State University Stuart Goldenberg California Polytechnic State University John A Graham Buckingham Browne Nichols School Richard Grassl University of New Mexico Michael Gregory University of North Dakota Charles Groetsch University of Cincinnati Salim M Haïdar Grand Valley State University D W Hall Michigan State University Robert L Hall University of WisconsinMilwaukee Howard B Hamilton California State University Sacramento Darel Hardy Colorado State University Gary W Harrison College of Charleston Melvin Hausner New York UniversityCourant Institute Curtis Herink Mercer University Russell Herman University of North Carolina at Wilmington Allen Hesse Rochester Community College Randall R Holmes Auburn University James F Hurley University of Connecticut Matthew A Isom Arizona State University Gerald Janusz University of Illinois at UrbanaChampaign John H Jenkins EmbryRiddle Aeronautical University Prescott Campus Clement Jeske University of Wisconsin Platteville Carl Jockusch University of Illinois at UrbanaChampaign Jan E H Johansson University of Vermont Jerry Johnson Oklahoma State University Zsuzsanna M Kadas St Michaels College Matt Kaufman Matthias Kawski Arizona State University Frederick W Keene Pasadena City College Robert L Kelley University of Miami Virgil Kowalik Texas AI University Kevin Kreider University of Akron Leonard Krop DePaul University Mark Krusemeyer Carleton College REVISORES DA EDIÇÃO ANTERIOR Patricia Shaw Mississippi State University Carl Spitznagel John Carroll University Mohammad Tabanjeh Virginia State University Capt Koichi Takagi United States Naval Academy Lorna TenEyck Chemeketa Community College Roger Werbylo Pima Community College David Williams Clayton State University Zhuan Ye Northern Illinois University Calculo00Layout 1 040809 1418 Page X PREFÁCIOMMXI John C Lawlor University of Vermont Christopher C Leary State University of New York at Geneseo David Leeming University of Victoria Sam Lesseig Northeast Missouri State University Phil Locke University of Maine Joan McCarter Arizona State University Phil McCartney Northern Kentucky University Igor Malyshev San Jose State University Larry Mansfield Queens College Mary Martin Colgate University Nathaniel F G Martin University of Virginia Gerald Y Matsumoto American River College Tom Metzger University of Pittsburgh Michael Montaño Riverside Community College Teri Jo Murphy University of Oklahoma Richard Nowakowski Dalhousie University Hussain S Nur California State University Fresno Wayne N Palmer Utica College Vincent Panico University of the Pacific F J Papp University of MichiganDearborn Mike Penna Indiana UniversityPurdue University Indianapolis Mark Pinsky Northwestern University Lothar Redlin The Pennsylvania State University Joel W Robbin University of WisconsinMadison E Arthur Robinson Jr The George Washington University Richard Rockwell Pacific Union College Rob Root Lafayette College Richard Ruedemann Arizona State University David Ryeburn Simon Fraser University Richard St Andre Central Michigan University Ricardo Salinas San Antonio College Robert Schmidt South Dakota State University Eric Schreiner Western Michigan University Mihr J Shah Kent State UniversityTrumbull Theodore Shifrin University of Georgia Wayne Skrapek University of Saskatchewan Larry Small Los Angeles Pierce College Teresa Morgan Smith Blinn College William Smith University of North Carolina Donald W Solomon University of WisconsinMilwaukee Edward Spitznagel Washington University Joseph Stampfli Indiana University Kristin Stoley Blinn College M B Tavakoli Chaffey College Paul Xavier Uhlig St Marys University San Antonio Stan Ver Nooy University of Oregon Andrei Verona California State UniversityLos Angeles Russell C Walker Carnegie Mellon University William L Walton McCallie School Jack Weiner University of Guelph Alan Weinstein University of California Berkeley Theodore W Wilcox Rochester Institute of Technology Steven Willard University of Alberta Robert Wilson University of WisconsinMadison Jerome Wolbert University of MichiganAnn Arbor Dennis H Wortman University of Massachusetts Boston Mary Wright Southern Illinois UniversityCarbondale Paul M Wright Austin Community College Xian Wu University of South Carolina COLABORADORES DA 6 a EDIÇÃO BRASILEIRA Professores da Universidade de Caxias do Sul Adalberto Ayjara Dornelles Filho Adriana Miorelli Adami Adriana Speggiorin Verza Daiane Scopel Boff Eliana Maria do Sacramento Soares Helena Maria Ludke Isolda Giani de Lima Juliana Dotto Kelen Berra de Mello Laurete Zanol Sauer Luciana Muler Somavilla Magda Mantovani Lorandi Marilia Schmidt de Azambuja Mauren Turra Pize Monica Scotti Raquel Milani Rejane Pergher Solange Galiotto Sartor Valdecir Bottega Vania Maria Pinheiro Slaviero Calculo00Layout 1 040809 1418 Page XI AO ALUNO A leitura de um livrotexto de cálculo difere da leitura de um jornal ou de um romance ou mesmo de um livro de física Não desanime se precisar ler o mesmo trecho muitas vezes antes de entendêlo E durante a leitura você deve sempre ter lápis papel e calculadora à mão para fazer contas e desenhar diagramas Alguns estudantes preferem partir diretamente para os exercícios passados como dever de casa consultando o texto somente ao topar com alguma dificuldade Acredito que ler e compreender toda a seção antes de lidar com os exercícios é muito mais interessante Você deve prestar especial atenção às definições e compreender o significado exato dos termos E antes de ler cada exemplo sugiro que você cubra a solução e tente resolvêlo sozinho Assim será muito mais proveitoso quando você observar a resolução Parte do objetivo deste curso é treinálo a pensar logicamente Procure escrever os estágios da resolução de forma articulada passo a passo com frases explicativas e não somente uma série de equações e fórmulas desconexas As respostas da maioria dos exercícios ímpares são dadas no fim do livro no Apêndice I Alguns exercícios pedem explicações interpretações ou descrições por extenso Em tais casos não há uma forma única de escrever a resposta então não se preocupe se a sua ficou muito diferente Da mesma forma também há mais de uma maneira de expressar uma resposta algébrica ou numérica Assim se a sua resposta diferir daquela que consta no livro não assuma imediatamente que a sua está errada Por exemplo se você chegou em 2 1 e a resposta impressa é 11 2 você está certo e a racionalização do denominador mostrará que ambas são equivalentes O símbolo imagem com calculadora indica que o exercício exige o uso de uma calculadora gráfica ou um computador com software adequado na Seção 14 no Volume I discutimos o uso desses dispositivos e algumas das armadilhas que você pode encontrar Mas isso não significa que não possa utilizar esses equipamentos para verificar seus resultados nos demais exercícios O símbolo SCA é utilizado nos exercícios em que são necessários todos os recursos de um sistema de computação algébrica como o Derive Maple Mathematica ou o TI8992 Outro símbolo com o qual você vai deparar é o imagem símbolo círculo com traço que o alerta para um erro comum O símbolo registra as situações em que percebi que uma boa parte dos alunos tende a cometer o mesmo erro O cálculo é uma matéria fascinante e com justiça é considerado uma das maiores realizações da inteligência humana Espero que você descubra não apenas o quanto esta disciplina é útil mas também o quão intrinsecamente bela ela é James Stewart XIII TESTES DE VERIFICAÇÃOMMXVII UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOMMXXII EQUAÇÕES DIFERENCIAISMM536 91 Modelagem com Equações DiferenciaisMM537 92 Campos de Direções e o Método de EulerMM542 93 Equações SeparáveisMM549 Projeto Aplicado I Quão Rapidamente um Tanque EsvaziaMM557 Projeto Aplicado I O Que É Mais Rápido Subir ou DescerMM559 94 Modelos para Crescimento PopulacionalMM560 Projeto Aplicado I Cálculo e BeisebolMM569 95 Equações LinearesMM571 96 Sistemas PredadorPresaMM576 RevisãoMM583 Problemas QuentesMM586 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS E COORDENADAS POLARESMM588 101 Curvas Definidas por Equações ParamétricasMM589 Projeto de Laboratório I Rolando Círculos ao Redor de CírculosMM597 102 Cálculo com Curvas Parametrizadas MM598 Projeto de Laboratório I Curvas de BézierMM606 103 Coordenadas PolaresMM607 104 Áreas e Comprimentos em Coordenadas PolaresMM617 105 Seções CônicasMM621 106 Seções Cônicas em Coordenadas PolaresMM628 RevisãoMM635 Problemas QuentesMM638 SUMÁRIO 9 10 Calculo00Layout 1 040809 1418 Page XIII XIVMMCÁLCULO SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASMM640 111 SequênciasMM641 Projeto de Laboratório I Sequências LogísticasMM652 112 SériesMM652 113 O Teste da Integral e Estimativas de SomasMM661 114 Os Testes de ComparaçãoMM668 115 Séries AlternadasMM673 116 Convergência Absoluta e os Testes da Razão e da RaizMM678 117 Estratégia para Testar as SériesMM684 118 Séries de PotênciasMM687 119 Representações de Funções como Séries de PotênciasMM692 1110 Séries de Taylor e de MaclaurinMM698 Projeto de Laboratório I Um Limite ElusivoMM711 Projeto Escrito I Como Newton Descobriu a Série BinomialMM711 1111 Aplicações de Polinômios de TaylorMM712 Projeto Aplicado I Radiação Proveniente das EstrelasMM720 RevisãoMM721 Problemas QuentesMM725 VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇOMM728 121 Sistema de Coordenadas TridimensionaisMM729 122 VetoresMM734 123 O Produto EscalarMM742 124 O Produto VetorialMM749 Projeto de Descoberta I A Geometria do TetraedroMM756 125 Equações de Retas e PlanosMM756 Projeto de Laboratório I Pondo 3D em PerspectivaMM765 126 Cilindros e Superfícies QuádricasMM766 RevisãoMM773 Problemas QuentesMM776 FUNÇÕES VETORIAISMM778 131 Funções Vetoriais e Curvas EspaciaisMM779 132 Derivadas e Integrais de Funções VetoriaisMM785 133 Comprimento de Arco e CurvaturaMM791 134 Movimento no Espaço Velocidade e AceleraçãoMM799 Projeto Aplicado I Leis de KeplerMM807 RevisãoMM809 Problemas QuentesMM812 11 12 LONDRES PARIS 13 Calculo00Layout 1 040809 1418 Page XIV SUMÁRIOMM XV DERIVADAS PARCIAISMM814 141 Funções de Várias VariáveisMM815 142 Limites e ContinuidadeMM829 143 Derivadas ParciaisMM836 144 Planos Tangentes e Aproximações LinearesMM848 145 Regra da CadeiaMM857 146 Derivadas Direcionais e o Vetor GradienteMM865 147 Valores Máximo e MínimoMM877 Projeto Aplicado I Projeto de uma CaçambaMM887 Projeto de Descoberta I Aproximação Quadrática e Pontos CríticosMM887 148 Multiplicadores de LagrangeMM888 Projeto Aplicado I Ciência dos FoguetesMM895 Projeto Aplicado I Otimização de uma Turbina HidráulicaMM896 RevisãoMM897 Problemas QuentesMM902 INTEGRAIS MÚLTIPLASMM904 151 Integrais Duplas sobre RetângulosMM905 152 Integrais IteradasMM913 153 Integrais Duplas sobre Regiões GeraisMM918 154 Integrais Duplas em Coordenadas PolaresMM926 155 Aplicações das Integrais DuplasMM931 156 Integrais TriplasMM940 Projeto de Descoberta I Volumes de HiperesferasMM950 157 Integrais Triplas em Coordenadas CilíndricasMM950 Projeto de Descoberta I A Intersecção de Três CilindrosMM954 158 Integrais Triplas em Coordenadas EsféricasMM954 Projeto Aplicado I Corrida na RampaMM960 159 Mudança de Variáveis em Integrais MúltiplasMM961 RevisãoMM969 Problemas QuentesMM972 CÁLCULO VETORIALMM974 161 Campos VetoriaisMM975 162 Integrais de LinhaMM981 163 Teorema Fundamental das Integrais de LinhaMM992 164 Teorema de GreenMM1000 165 Rotacional e DivergenteMM1007 166 Superfícies Parametrizadas e Suas ÁreasMM1015 167 Integrais de SuperfícieMM1025 168 O Teorema de StokesMM1036 Projeto Escrito I Três Homens e Dois Teoremas 1041 14 15 16 Calculo00Layout 1 040809 1418 Page XV XVIMMCÁLCULO 169 O Teorema do DivergenteMM1041 1610 Resumo dos TeoremasMM1047 RevisãoMM1048 Problemas QuentesMM1051 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS DE SEGUNDA ORDEMMM1052 171 Equações Lineares de Segunda OrdemMM1053 172 Equações Lineares Não HomogêneasMM1058 173 Aplicações das Equações Diferenciais de Segunda OrdemMM1065 174 Soluções em SériesMM1072 RevisãoMM1076 APÊNDICES A Números Desigualdades e Valores AbsolutosMMA2 B Geometria Analítica e RetasMMA10 C Cônicas Gráficos das Equações de Segundo GrauMMA16 D TrigonometriaMMA23 E Notação de Somatória ou Notação SigmaMMA32 F Demonstrações dos TeoremasMMA37 G O Logaritmo Definido como uma IntegralMMA47 H Números ComplexosMMA54 I Respostas dos Exercícios de Números ÍmparesMMA61 ÍNDICE REMISSIVOMMA93 17 Calculo00Layout 1 040809 1418 Page XVI TESTES DE VERIFICAÇÃO O sucesso no cálculo depende em grande parte do conhecimento da matemática que precede o cálculo álgebra geometria analítica funções e trigonometria Os testes a seguir têm a intenção de diagnosticar falhas que você possa ter nessas áreas Depois de fazer cada teste é possível conferir suas respostas com as respostas dadas e se necessário refrescar sua memória consultando o material de revisão fornecido A TESTES DE VERIFICAÇÃO ÁLGEBRA 1 Calcule cada expressão sem usar uma calculadora a 34 b 34 c 34 d 523 521 e 2 32 f 1634 2 Simplifique cada expressão Escreva suas respostas sem expoentes negativos a 200 32 b 3a²b³4ab²2 c 3x³y3 x²y122 3 Expanda e simplifique a 3x 6 42x 5 b x 34x 5 c a ba b d 2x 3² e x 2³ 4 Fatore cada expressão a 4x² 25 b 2x² 5x 12 c x³ 3x² 4x 12 d x⁴ 27x e 3x³² 9x12 6x12 f x³y 4xy 5 Simplifique as expressões racionais a x² 3x 2 x² x 2 b 2x² x 1 x² 9 x 3 2x 1 c x² x² 4 x 1 x 2 d y x x y 1 y 1 x 6 Racionalize a expressão e simplifique a 10 5 2 b 4 h 2 h 7 Reescreva completando o quadrado a x² x 1 b 2x² 12x 11 8 Resolva a equação Encontre apenas as soluções reais a x 5 14 12 x b 2x x 1 2x 1 x c x² x 12 0 d 2x² 4x 1 0 e x⁴ 3x² 2 0 f 3x 4 10 g 2x4 x12 34 x 0 9 Resolva cada desigualdade Escreva suas respostas usando a notação de intervalos a 4 5 3x 17 b x² 2x 8 c xx 1x 2 0 d x 4 3 e 2x 3 x 1 1 10 Diga se cada equação é verdadeira ou falsa a p q² p² q² b ab a b c a² b² a b d 1 TC C 1 T e 1 x y 1 y 1 x f 1 ax bx 1 a b RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO A ÁLGEBRA 1 a 81 b 81 c 181 d 25 e 94 f 18 2 a 62 b 48a⁵b⁷ c x 9y⁷ 3 a 11x 2 b 4x² 7x 15 c a b d 4x² 12x 9 e x³ 6x² 12x 8 4 a 2x 52x 5 b 2x 3x 4 c x 3x 2x 2 d xx 3x² 3x 9 e 3x¹²x 1x 2 f xyx 2x 2 5 a x 2 x 2 b x 1 x 3 c 1 x 2 d x y 6 a 52 210 b 1 4 h 2 7 a x 12² 34 b 2x 3² 7 8 a 6 b 1 c 3 4 d 1 122 e 1 2 f 23 223 g 125 9 a 4 3 b 2 4 c 2 0 1 d 1 7 e 1 4 10 a Falso b Verdadeiro c Falso d Falso e Falso f Verdadeiro TESTES DE VERIFICAÇÃO GEOMETRIA ANALÍTICA 1 Encontre uma equação para a reta que passa pelo ponto 2 5 e a tem inclinação 3 b é paralela ao eixo x c é paralela ao eixo y d é paralela à reta 2x 4y 3 2 Encontre uma equação para o círculo que tem centro 1 4 e passa pelo ponto 3 2 3 Encontre o centro e o raio do círculo com equação x2 y2 6x 10y 9 0 4 Sejam A74 e B512 pontos no plano a Encontre a inclinação da reta que contém A e B b Encontre uma equação da reta que passa por A e B Quais são as interseções com os eixos c Encontre o ponto médio do segmento AB d Encontre o comprimento do segmento AB e Encontre uma equação para a mediatriz de AB f Encontre uma equação para o círculo para o qual AB é um diâmetro 5 Esboce a região do plano xy definidas pelas equações ou inequações a 1 y 3 b x 4 e y 2 c y 1 12 x d y x2 1 e x2 y2 4 f 9x2 16y2 144 RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO B GEOMETRIA ANALÍTICA 1 a y 3x 1 b y 5 c x 2 d y 12 x 6 2 x 12 y 42 52 3 Centro 3 5 raio 5 4 a 43 b 4x 3y 16 0 interseção com o eixo x 4 interseção com o eixo y 163 c 1 4 d 20 e 3x 4y 13 f x 12 y 42 100 5 a b c d e f Se você teve dificuldade com estes problemas consulte a revisão de geometria analítica nos Apêndices B e C TESTES DE VERIFICAÇÃO FUNÇÕES 1 O gráfico de uma função f é dado à esquerda a Diga o valor de f1 b Estime o valor de f2 c Para quais valores de x vale que fx 2 d Estime os valores de x tais que fx 0 e Diga qual é o domínio e a imagem de f 2 Se fx x3 calcule o quociente da diferença f2 h f2h e simplifique sua resposta 3 Encontre o domínio da função a fx 2x 1 x2 x 2 b gx ³x x2 1 c hx 4 x x2 1 4 Como os gráficos das funções são obtidos a partir do gráfico de f a y fx b y 2fx 1 c y fx 3 2 5 Sem usar uma calculadora faça um esboço grosseiro do gráfico a y x3 b y x 13 c y x 23 3 d y 4 x2 e y x f y 2x g y 2x h y 1 x1 6 Seja fx 1 x2 se x 0 2x 1 se x0 a Calcule f2 e f1 b Esboce o gráfico de f 7 Se fx x2 2x 1 e gx 2x 3 encontre cada uma das seguintes funções a fg b gf c ggg RESPOSTAS DOS TESTES DE VERIFICAÇÃO C FUNÇÕES 1 a 2 b 28 c 31 d 25 03 e 3 3 2 3 2 12 6h h2 3 a 2 U 2 1 U 1 b c 1 U 1 4 4 a Refletindo em torno do eixo x b Expandindo verticalmente por um fator 2 a seguir transladando 1 unidade para baixo c Transladando 3 unidades para a direita e duas unidades para cima 5 a b c d e f g h 6 a 3 3 b 7 a fgx 4x2 8x 2 b gfx 2x2 4x 5 c gggx 8x 21 Se você teve dificuldade com estes problemas consulte as Seções 11 a 13 deste livro TESTES DE VERIFICAÇÃO TRIGONOMETRIA 1 Converta de graus para radianos a 300º b 18º 2 Converta de radianos para graus a 5π6 b 2 3 Encontre o comprimento de um arco de um círculo de raio 12 cm cujo ângulo central é 30º 4 Encontre os valores exatos a tgπ3 b sen7π6 c sec5π3 5 Expresse os comprimentos a e b na figura em termos de θ 6 Se sen x 13 e sec y 54 onde x e y estão entre 0 e π2 calcule senx y 7 Demonstre as identidades a tg θ sen θ cos θ sec θ b 2 tg x 1 tg2 x sen 2x 8 Encontre todos os valores de x tais que sen 2x sen x e 0 x 2π 9 Esboce o gráfico da função y 1 sen 2x sem usar uma calculadora RESPOSTAS DOS TESTES DEVERIFICAÇÃO D TRIGONOMETRIA 1 a 5π3 b π10 2 a 150º b 360π 1146º 3 2π cm 4 a 3 b 12 c 2 5 a 24 sen θ b 24 cos θ 6 115 4 62 8 0 π3 π 5π3 2π 9 Se você teve dificuldade com estes problemas consulte o Apêndice D deste livro XXII O cálculo é fundamentalmente diferente da matemática que você já estudou O cálculo é menos estático e mais dinâmico Ele trata de variação e de movimento bem como de quan tidades que tendem a outras quantidades Por essa razão pode ser útil ter uma visão geral do assunto antes de começar um estudo mais aprofundado Vamos dar aqui uma olhada em algumas das principais ideias do cálculo mostrando como surgem os limites quando ten tamos resolver diversos problemas UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULO Calculo00Layout 1 040809 1418 Page XXII O PROBLEMA DA ÁREA As origens do cálculo remontam à Grécia antiga pelo menos 2 500 anos atrás quando foram encontradas áreas usando o chamado método da exaustão Naquela época os gregos já sabiam encontrar a área de qualquer polígono dividindoo em triângulos como na Figura 1 e em seguida somando as áreas obtidas É muito mais difícil achar a área de uma figura curva O método da exaustão dos antigos gregos consistia em inscrever e circunscrever a figura com polígonos e então aumentar o número de lados deles A Figura 2 ilustra esse procedimento no caso especial de um círculo com polígonos regulares inscritos Seja An a área do polígono inscrito com n lados À medida que aumentamos n fica evidente que An ficará cada vez mais próxima da área do círculo Dizemos então que a área do círculo é o limite das áreas dos polígonos inscritos e escrevemos A lim n An Os gregos porém não usaram explicitamente os limites Todavia por um raciocínio indireto Eudoxo século V aC usou a exaustão para demonstrar a conhecida fórmula da área do círculo A πr² Usamos uma ideia semelhante no Capítulo 5 para encontrar a área de regiões do tipo mostrado na Figura 3 Vamos aproximar a área desejada A por áreas de retângulos como na Figura 4 fazer decrescer a largura dos retângulos e então calcular A como o limite dessas somas de áreas de retângulos O problema da área é central no ramo do cálculo chamado cálculo integral As técnicas que desenvolvemos no Capítulo 5 para encontrar áreas também possibilitam o cálculo do volume de um sólido o comprimento de um arco a força da água sobre um dique a massa e o centro de gravidade de uma barra e o trabalho realizado ao se bombear a água para fora de um tanque O PROBLEMA DA TANGENTE Considere o problema de tentar determinar a reta tangente t a uma curva com equação y f x em um dado ponto P Demos uma definição precisa de reta tangente no Capítulo 2 Por ora você pode pensála como a reta que toca a curva em P como na Figura 5 Uma vez que sabemos ser P um ponto sobre a reta tangente podemos encontrar a equação de t se conhecermos sua inclinação m O problema está no fato de que para calcular a inclinação é necessário conhecer dois pontos sobre t e temos somente o ponto P Para contornar esse problema determinamos primeiro uma aproximação para m tomando sobre a curva um ponto próximo Q e calculando a inclinação mpQ da reta secante PQ Da Figura 6 vemos que mPQ fx fa x a Imagine agora o ponto Q movendose ao longo da curva em direção a P como na Figura 7 Você pode ver que a reta secante gira e aproximase da reta tangente como sua posiçãolimite Isso significa que a inclinação mPQ da reta secante fica cada vez mais próxima da inclinação m da reta tangente Isso é denotado por m lim Q P mPQ e dizemos que m é o limite de mPQ quando Q tende ao ponto P ao longo da curva Uma vez que x tende a a quando Q tende a P também podemos usar a Equação 1 para escrever m lim x a fx fa x a Exemplos específicos desse procedimento foram dados no Capítulo 2 O problema da tangente deu origem ao ramo do cálculo chamado cálculo diferencial que não foi inventado até mais de 2 mil anos após o cálculo integral As principais ideias por trás do cálculo diferencial devemse ao matemático francês Pierre Fermat 16011665 e foram desenvolvidas pelos matemáticos ingleses John Wallis 16161703 Isaac Barrow 16301677 e Isaac Newton 16421727 e pelo matemático alemão Gottfried Leibniz 16461716 Os dois ramos do cálculo e seus problemas principais o da área e o da tangente apesar de parecerem completamente diferentes têm uma estreita conexão O problema da área e o da tangente são problemas inversos em um sentido que foi explicado no Capítulo 5 VELOCIDADE Quando olhamos no velocímetro de um carro e vemos que ele está a 48 kmh o que essa informação indica Sabemos que se a velocidade permanecer constante após uma hora o carro terá percorrido 48 km Porém se a velocidade do carro variar qual o significado de a velocidade ser em um dado momento 48 kmh Para analisar essa questão vamos examinar o movimento de um carro percorrendo uma estrada reta e suponha que possamos medir a distância percorrida por ele em metros em intervalos de 1 segundo como na tabela a seguir t Tempo decorrido s 0 2 4 6 8 10 d Distância m 0 2 10 25 43 78 Como primeiro passo para encontrar a velocidade após 4 segundos de movimento calcularemos qual a velocidade média no intervalo de tempo 4 t 8 velocidade média distância percorrida tempo decorrido 43 10 8 4 825 ms Analogamente a velocidade média no intervalo 4 t 6 é velocidade média 25 10 5 4 75 ms Nossa intuição é de que a velocidade no instante t 4 não pode ser muito diferente da velocidade média durante um pequeno intervalo de tempo que começa em t 4 Assim imaginaremos que a distância percorrida foi medida em intervalos de 02 segundo como na tabela a seguir t 40 42 44 46 48 50 d 1000 1102 1216 1345 1496 1680 Então podemos calcular por exemplo a velocidade média no intervalo de tempo 4 5 velocidade média 1680 1000 5 4 68 ms Os resultados desses cálculos estão mostrados na tabela Intervalo de tempo 4 6 4 5 4 48 4 46 4 44 4 42 Velocidade média ms 75 68 62 575 54 51 As velocidades médias em intervalos cada vez menores parecem ficar cada vez mais próximas de 5 dessa forma esperamos que exatamente em t 4 a velocidade seja cerca de 5 ms No Capítulo 2 definimos a velocidade instantânea de um objeto em movimento como o limite das velocidades médias em intervalos de tempo cada vez menores Na Figura 8 mostramos uma representação gráfica do movimento de um carro traçando a distância percorrida como uma função do tempo Se escrevermos d f t então f t é o número de metros percorridos após t segundos A velocidade média no intervalo de tempo 4 t é velocidade média distância percorrida tempo decorrido ft f4 t 4 que é a mesma coisa que a inclinação da reta secante PQ da Figura 8 A velocidade v quando t 4 é o valorlimite da velocidade média quando t aproximase de 4 isto é v lim t 4 f t f4 t 4 e da Equação 2 vemos que isso é igual à inclinação da reta tangente à curva em P Dessa forma ao resolver o problema da tangente em cálculo diferencial também estamos resolvendo problemas relativos à velocidade A mesma técnica aplicase a problemas relativos à taxa de variação nas ciências naturais e sociais O LIMITE DE UMA SEQUÊNCIA No século V aC o filósofo grego Zenão propôs quatro problemas hoje conhecidos como Paradoxos de Zenão com o intento de desafiar algumas das ideias correntes em sua época sobre espaço e tempo O segundo paradoxo de Zenão diz respeito a uma corrida entre o herói grego Aquiles e uma tartaruga para a qual foi dada uma vantagem inicial Zenão argumentava que Aquiles jamais ultrapassaria a tartaruga se ele começasse em uma posição a1 e a tartaruga em t1 veja a Figura 9 quando ele atingisse o ponto a2 t1 a tartaruga estaria adiante em uma posição t2 No momento em que Aquiles atingisse a3 t2 a tartaruga estaria em t3 Esse processo continuaria indefinidamente e dessa forma aparentemente a tartaruga estaria sempre à frente Todavia isso desafia o senso comum Uma forma de explicar esse paradoxo usa a ideia de sequência As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga são respectivamente a1 a2 a3 e t1 t2 t3 conhecidas como sequências Em geral uma sequência aₙ é um conjunto de números escritos em uma ordem definida Por exemplo a sequência 1 12 13 14 15 pode ser descrita pela seguinte fórmula para o nésimo termo aₙ 1n Podemos visualizar essa sequência marcando seus termos sobre uma reta real como na Figura 10a ou desenhando seu gráfico como na Figura 10b Observe em ambas as figuras que os termos da sequência aₙ 1n tornamse cada vez mais próximos de 0 à medida que n cresce De fato podemos encontrar termos tão pequenos quanto desejarmos bastando para isso tomarmos n suficientemente grande Dizemos então que o limite da sequência é 0 e indicamos isso por lim n 1n 0 Em geral a notação lim n aₙ L será usada se os termos aₙ tendem a um número L quando n tornase grande Isso significa que podemos tornar os números aₙ tão próximos de L quanto quisermos escolhendo n suficientemente grande O conceito de limite de uma sequência ocorre sempre que usamos a representação decimal de um número real Por exemplo se a₁ 31 a₂ 314 a₃ 3141 a₄ 31415 a₅ 314159 a₆ 3141592 a₇ 31415926 então lim n aₙ π Os termos nessa sequência são aproximações racionais de π Vamos voltar ao paradoxo de Zenão As posições sucessivas de Aquiles e da tartaruga formam as sequências aₙ e tₙ nas quais aₙ tₙ para todo n Podemos mostrar que ambas as sequências têm o mesmo limite lim n aₙ p lim n tₙ É precisamente nesse ponto p que Aquiles ultrapassa a tartaruga A SOMA DE UMA SÉRIE Outro paradoxo de Zenão conforme nos foi passado por Aristóteles é o seguinte Uma pessoa em certo ponto de uma sala não pode caminhar até a parede Para tanto ela deveria percorrer metade da distância depois a metade da distância restante e então novamente a metade da distância que restou e assim por diante de forma que o processo pode ser sempre continuado e não terá um fim Veja a Figura 11 Como naturalmente sabemos que de fato a pessoa pode chegar até a parede isso sugere que a distância total possa ser expressa como a soma de infinitas distâncias cada vez menores como a seguir 1 12 14 18 116 12ⁿ Zenão argumentava que não fazia sentido somar um número infinito de números Porém há situações em que fazemos implicitamente somas infintas Por exemplo na notação decimal o símbolo 03 03333 significa 310 3100 31000 310000 dessa forma em algum sentido deve ser verdade que 310 3100 31000 310000 13 Mais geralmente se dₙ denotar o nésimo algarismo na representação decimal de um número então 0d₁d₂d₃d₄ d₁10 d₂10² d₃10³ dₙ10ⁿ Portanto algumas somas infinitas ou como são chamadas séries infinitas têm um significado Todavia é necessário definir cuidadosamente o que é a soma de uma série Retornando à série da Equação 3 denotamos por sₙ a soma dos n primeiros termos da série Assim s₁ 12 05 s₂ 12 14 075 s₃ 12 14 18 0875 s₄ 12 14 18 116 09375 s₅ 12 14 18 116 132 096875 s₆ 12 14 18 116 132 164 0984375 s₇ 12 14 18 116 132 164 1128 09921875 s₁₀ 12 14 11024 099902344 s₁₆ 12 14 12¹⁶ 099998474 Observe que à medida que somamos mais e mais termos as somas parciais ficam cada vez mais próximas de 1 De fato pode ser mostrado que tomando n suficientemente grande isto é adicionando um número suficientemente grande de termos da série podemos tornar a soma parcial sₙ tão próxima de 1 quanto quisermos Parece então razoável dizer que a soma da série infinita é 1 e escrever 12 14 18 12ⁿ 1 Em outras palavras a razão de a soma da série ser 1 é que lim n sₙ 1 No Capítulo 11 discutiremos mais essas ideias Usaremos então a ideia de Newton de combinar séries infinitas com cálculo diferencial e integral RESUMO Vimos que o conceito de limite surge de problemas tais como encontrar a área de uma região a tangente a uma curva a velocidade de um carro ou a soma de uma série infinita Em cada um dos casos o tema comum é o cálculo de uma quantidade como o limite de outras quantidades mais facilmente calculáveis É essa ideia básica que coloca o cálculo à parte de outras áreas da matemática Na realidade poderíamos definir o cálculo como aquele ramo da matemática que trata de limites Depois de inventar sua versão de cálculo sir Isaac Newton a usou para explicar o movimento dos planetas em torno do Sol Hoje o cálculo é usado na determinação de órbitas de satélites e naves espaciais na predição do tamanho de uma população na estimativa UMA APRESENTAÇÃO DO CÁLCULOMMXXIX de como aumenta o preço do café na previsão do tempo na medida do fluxo sanguíneo que sai do coração no cálculo dos prêmios dos seguros de vida e em uma grande varie dade de outras áreas Vamos explorar neste livro algumas dessas aplicações do cálculo Para transmitir uma noção da potência dessa matéria finalizaremos esta apresentação com uma lista de perguntas que você poderá responder usando o cálculo 1 Como você explicaria o fato ilustrado na Figura 12 de que o ângulo de elevação de um observador até o ponto mais alto em um arcoíris é 42º 2 Como você poderia explicar as formas das latas nas prateleiras de um supermercado 3 Qual o melhor lugar para se sentar em um cinema 4 A qual distância de um aeroporto um piloto deve começar a descida 5 Como podemos juntar curvas para desenhar formas que representam letras em uma impressora a laser 6 Onde um jogador deveria se posicionar para apanhar uma bola de beisebol lançada por outro jogador e mandála para a home plate 7 Uma bola lançada para cima leva mais tempo para atingir sua altura máxima ou para cair de volta à sua altura original 8 Como você pode explicar o fato de planetas e satélites se moverem em órbitas elípticas 9 Como você pode distribuir o escoamento de água entre as turbinas de uma usina hi drelétrica de modo a maximizar a energia total produzida 10 Se uma bola de gude uma bola de squash uma barra de aço e um cano de ferro rola rem por uma encosta qual deles atingirá o fundo primeiro raio a partir do Sol observador raio a partir do Sol 42 138 FIGURA 12 Calculo00Layout 1 040809 1418 Page XXIX 536 Talvez a aplicação mais importante do cálculo sejam as equações diferenciais Quando os físicos ou cientistas sociais usam o cálculo em geral o fazem para analisar uma equação diferencial surgida no processo de modelagem de algum fenômeno que estão estudando Embora seja frequentemente impossível encontrar uma fórmula explícita para a solução de uma equação diferencial veremos que as aproximações gráficas e numéricas fornecem a informação necessária 9 Os campos de direções nos permitem esboçar soluções de equações diferenciais sem fórmulas explícitas EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Cal09v2Layout 1 040809 1812 Page 536 91 MODELAGEM COM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS Na descrição do processo de modelagem na Seção 12 no Volume 1 falamos a respeito da formulação de um modelo matemático de um problema real por meio de raciocínio intuitivo sobre o fenômeno ou por meio de uma lei física fundamentada em evidência experimental O modelo matemático frequentemente tem a forma de uma equação diferencial isto é uma equação que contém uma função desconhecida e algumas de suas derivadas Isso não surpreende porque em um problema real normalmente notamos que mudanças ocorrem e queremos predizer o comportamento futuro com base na maneira como os valores presentes variam Vamos começar examinando vários exemplos de como as equações diferenciais aparecem quando modelamos um fenômeno físico MODELOS DE CRESCIMENTO POPULACIONAL Um dos modelos para o crescimento de uma população baseiase na hipótese de que uma população cresce a uma taxa proporcional ao seu tamanho Essa hipótese é razoável para uma população de bactérias ou animais em condições ideais meio ambiente ilimitado nutrição adequada ausência de predadores imunidade a doenças Vamos identificar e dar nomes às variáveis nesse modelo t tempo a variável independente P número de indivíduos da população a variável dependente A taxa de crescimento da população é a derivada dPdt Assim nossa hipótese de que a taxa de crescimento da população é proporcional ao tamanho da população é escrita como a equação dPdt kP onde k é a constante de proporcionalidade A Equação 1 é nosso primeiro modelo para o crescimento populacional é uma equação diferencial porque contém uma função desconhecida P e sua derivada dPdt Tendo formulado um modelo vamos olhar para suas consequências Se desconsiderarmos uma população nula então Pt 0 para todo t Dessa forma se k 0 então a Equação 1 mostra que Pt 0 para todo t Isso significa que a população está sempre aumentando De fato quando Pt aumenta a Equação 1 mostra que dPdt tornase maior Em outras palavras a taxa de crescimento aumenta quando a população cresce A Equação 1 pede que encontremos uma função cuja derivada seja um múltiplo constante dela própria Sabemos do Capítulo 3 no Volume 1 que as funções exponenciais têm esta propriedade De fato se fizermos Pt Cekt então Pt Ckekt kCekt kPt Portanto qualquer função exponencial da forma Pt Cekt é uma solução da Equação 1 Quando estudarmos essa equação em detalhes na Seção 94 veremos que não existe outra solução Se fizermos C variar em todos os números reais obtemos a família de soluções Pt Cekt cujos gráficos são mostrados na Figura 1 Mas as populações têm apenas valores positivos e assim estamos interessados somente nas soluções com C 0 E estamos provavelmente preocupados apenas com valores de t maiores que o instante inicial t 0 A Figura 2 mostra as soluções com significado físico Fazendo t 0 temos P0 Cek0 C de modo que a constante C acaba sendo a população inicial P0 A Equação 1 é apropriada para a modelagem do crescimento populacional sob condições ideais mas devemos reconhecer que um modelo mais realista deveria refletir o fato de que um dado ambiente tem recursos limitados Muitas populações começam crescendo exponencialmente porém o nível da população se estabiliza quando ela se aproxima de sua capacidade de suporte K ou diminui em direção a K se ela excede o valor de K Para um modelo considerar ambos os casos fazemos duas hipóteses dPdt kP se P for pequeno inicialmente a taxa de crescimento é proporcional a P dPdt 0 se P K P diminui se exceder K Uma expressão simples que incorpora ambas as hipóteses é dada pela equação dPdt kP 1 PK Observe que se P é pequeno quando comparado com K então PK está próximo de 0 e portanto dPdt kP Se P K então 1 PK é negativo e assim dPdt 0 A Equação 2 é chamada equação diferencial logística e foi proposta pelo matemático e biólogo holandês PierreFrançois Verhulst na década de 1840 como um modelo para o crescimento populacional mundial Desenvolveremos técnicas que nos permitam encontrar soluções explícitas da equação logística na Seção 94 mas enquanto isso podemos deduzir as características qualitativas das soluções diretamente da Equação 2 Primeiro observamos que as funções constantes Pt 0 e Pt K são soluções porque em qualquer um dos casos um dos fatores do lado direito da Equação 2 é zero Isso certamente tem sentido físico se a população for 0 ou estiver na capacidade de suporte permanecerá dessa maneira Essas duas soluções constantes são denominadas soluções de equilíbrio Se a população inicial P0 estiver entre 0 e K então o lado direito da Equação 2 é positivo assim dPdt 0 e a população aumenta Se a população ultrapassa a capacidade de suporte P K então 1 PK é negativo assim dPdt 0 e a população diminui Observe que em qualquer um dos casos se a população se aproxima da capacidade de suporte P K então dPdt 0 o que significa que a população se estabiliza Dessa forma esperamos que as soluções da equação diferencial logística tenham gráficos que se pareçam com aqueles da Figura 3 Observe que os gráficos se distanciam da solução de equilíbrio P 0 e se aproximam da solução de equilíbrio P K UM MODELO PARA O MOVIMENTO DE UMA MOLA Vamos olhar agora para um modelo físico Consideremos o movimento de um objeto com massa m na extremidade de uma mola vertical como na Figura 4 Na Seção 64 no Volume I discutimos a Lei de Hooke que diz que se uma mola for esticada ou comprimida x unidades a partir de seu tamanho natural então ela exerce uma força que é proporcional a x força elástica kx onde k é uma constante positiva chamada constante da mola Se ignorarmos qualquer força externa de resistência por causa da resistência do ar ou do atrito então pela segunda Lei de Newton força é igual à massa vezes a aceleração temos m d²xdt² kx Esse é um exemplo do que chamamos equação diferencial de segunda ordem porque envolve derivadas segundas Vamos ver o que podemos deduzir da solução diretamente da equação Podemos reescrever a Equação 3 na forma d²xdt² km x que diz que a derivada segunda de x é proporcional a x mas tem o sinal oposto Conhecemos duas funções com essa propriedade as funções seno e cosseno De fato todas as soluções da Equação 3 podem ser escritas como combinações de certas funções seno e cosseno veja o Exercício 4 Isso não é surpreendente esperamos que a mola oscile em torno de sua posição de equilíbrio e assim é natural pensar que funções trigonométricas estejam envolvidas EQUAÇÕES DIFERENCIAIS GERAIS Em geral uma equação diferencial é aquela que contém uma função desconhecida e uma ou mais de suas derivadas A ordem de uma equação diferencial é a ordem da derivada mais alta que ocorre na equação Dessa maneira as Equações 1 e 2 são de primeira ordem e a Equação 3 é de segunda ordem Em todas as três equações a variável independente é chamada t e representa o tempo mas em geral a variável independente não precisa representar o tempo Por exemplo quando consideramos a equação diferencial y xy entendemos que y seja uma função desconhecida de x Uma função f é denominada solução de uma equação diferencial se a equação é satisfeita quando y fx e suas derivadas são substituídas na equação Assim f é uma solução da Equação 4 se fx xfx para todos os valores de x em algum intervalo Quando nos pedem para resolver uma equação diferencial esperase que encontremos todas as soluções possíveis da equação Já resolvemos algumas equações diferenciais particularmente simples a saber aquelas da forma y fx Por exemplo sabemos que a solução geral da equação diferencial y x³ é dada por y x⁴4 C onde C é uma constante arbitrária Mas em geral resolver uma equação diferencial não é uma tarefa fácil Não existe uma técnica sistemática que nos permita resolver todas as equações diferenciais Na Seção 92 contudo veremos como esboçar os gráficos das soluções mesmo quando não temos uma fórmula explícita Também aprenderemos como achar aproximações numéricas para as soluções EXEMPLO 1 Mostre que todo membro da família de funções y 1 cet1 cet é uma solução da equação diferencial y 12 y2 1 SOLUÇÃO Usamos a Regra do Quociente para derivar a expressão em relação a y y 1 cetcet 1 cetcet 1 cet2 cet c2 e2t cet c2 e2t 1 cet2 2cet 1 cet2 O lado direito da equação diferencial tornase 12 y2 1 12 1 cet 1 cet2 1 12 1 cet2 1 cet21 cet2 12 4cet 1 cet2 2cet 1 cet2 Portanto para todo valor de c a função dada é solução da equação diferencial Quando aplicamos as equações diferenciais geralmente não estamos tão interessados em encontrar uma família de soluções a solução geral quanto em encontrar uma solução que satisfaça algumas condições adicionais Em muitos problemas físicos precisamos encontrar uma solução particular que satisfaça uma condição do tipo yt0 y0 Esta é chamada condição inicial e o problema de achar uma solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial é denominado problema de valor inicial Geometricamente quando impomos uma condição inicial olhamos para uma família de curvas solução e escolhemos uma que passe pelo ponto t0 y0 Fisicamente isso corresponde a medir o estado de um sistema no instante t0 e usar a solução do problema de valor inicial para prever o comportamento futuro do sistema EXEMPLO 2 Encontre uma solução da equação diferencial y 12 y2 1 que satisfaça a condição inicial y0 2 SOLUÇÃO Substituindo os valores t 0 e y 2 na fórmula y 1 cet 1 cet do Exemplo 1 obtemos 2 1 ce0 1 ce0 1 c 1 c Resolvendo essa equação para c temos 2 2c 1 c o que fornece c 13 Assim a solução do problema de valor inicial é y 1 13 et 1 13 et 3 et 3 et 91 EXERCÍCIOS 1 Mostre que y x x1 é uma solução da equação diferencial xy y 2x 2 Verifique que y sen x cos x cos x é uma solução do problema de valor inicial y tg x y cos2 x y0 1 no intervalo π2 x π2 3 a Para quais valores de r a função y erx satisfaz a equação diferencial 2y y y 0 b Se r1 e r2 são os valores que você encontrou na parte a mostre que todo membro da família de funções y aer1 x ber2 x também é uma solução 4 a Para quais valores de k a função y cos kt satisfaz a equação diferencial 4y 25y b Para estes valores de k verifique que todo membro da família de funções y A sen kt B cos kt também é uma solução 5 Quais das seguintes funções são soluções da equação diferencial y 2y y 0 a y et b y et c y tet d y t2 et 6 a Mostre que cada membro da família de funções y Cex22 é uma solução da equação diferencial y xy b Ilustre a parte a traçando vários membros da família de soluções na mesma tela c Encontre a solução da equação diferencial y xy que satisfaça a condição inicial y0 5 d Encontre a solução da equação diferencial y xy que satisfaça a condição inicial y1 2 7 a O que você pode dizer da solução da equação y y2 apenas olhando a equação diferencial b Verifique que todos os membros da família y 1x C são soluções da equação na parte a c Você pode pensar em uma solução da equação diferencial y y2 que não seja membro da família na parte b d Encontre uma solução para o problema de valor inicial y y2 y0 05 8 a O que você pode dizer sobre o gráfico de uma solução da equação y xy3 quando x está próximo de 0 E se x for grande b Verifique que todos os membros da família y c x212 são soluções da equação diferencial y xy3 c Trace vários membros da família de soluções na mesma tela Os gráficos confirmam o que você predizse na parte a d Encontre uma solução para o problema de valor inicial y xy3 y0 2 9 Uma população é modelada pela equação diferencial dPdt 12P1 P4200 a Para quais valores de P a população está aumentando b Para quais valores de P a população está diminuindo c Quais são as soluções de equilíbrio 10 A função yt satisfaz a equação diferencial dydt y4 6y3 5y2 a Quais são as soluções constantes da equação b Para quais valores de y a função está aumentando c Para quais valores de y a função está diminuindo 11 Explique por que as funções cujos gráficos são dados a seguir não podem ser soluções da equação diferencial dydt et y 12 12 A função cujo gráfico é dado a seguir é uma solução de uma das seguintes equações diferenciais Decida qual é a equação correta e justifique sua resposta A y 1 xy B y 2xy C y 1 2xy 13 Os psicólogos interessados em teoria do aprendizado estudam as curvas de aprendizado Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função Pt o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t A derivada dPdt representa a taxa na qual o desempenho melhora a Quando você acha que P aumenta mais rapidamente O que acontece a dPdt quando t aumenta Explique b Se M é o nível máximo de desempenho do qual o aprendiz é capaz explique a razão pela qual a equação diferencial dPdt kM P k uma constante positiva é um modelo razoável para o aprendizado c Faça um esboço de uma possível solução da equação diferencial 14 Suponha que você tenha acabado de servir uma xícara de café recémcoado com uma temperatura de 95 C em uma sala onde a temperatura é de 20 C a Quando você acha que o café esfria mais rapidamente O que acontece com a taxa de resfriamento com o passar do tempo Explique b A Lei de Resfriamento de Newton afirma que a taxa de resfriamento de um objeto é proporcional à diferença de temperatura entre o objeto e sua vizinhança desde que essa diferença não seja muito grande Escreva uma equação diferencial para expressar a Lei de Resfriamento de Newton nessa situação particular Qual a condição inicial Tendo em vista sua resposta na parte a você acha que essa equação diferencial é um modelo apropriado para o resfriamento c Faça um esboço para o gráfico da solução do problema de valor inicial na parte b 92 CAMPOS DE DIREÇÕES E O MÉTODO DE EULER Infelizmente é impossível resolver a maioria das equações diferenciais de forma a obter uma fórmula explícita para a solução Nesta seção mostraremos que mesmo sem uma solução explícita podemos ainda aprender muito sobre a solução por meio de uma abordagem gráfica campos de direções ou de uma abordagem numérica método de Euler CAMPOS DE DIREÇÕES Suponha que nos peçam para esboçar o gráfico da solução do problema de valor inicial y x y y0 1 Não conhecemos uma fórmula para a solução então como é possível que esbocemos seus gráficos Vamos pensar sobre o que uma equação diferencial significa A equação y x y nos diz que a inclinação em qualquer ponto x y no gráfico chamado curva solução é igual à soma das coordenadas x e y no ponto veja a Figura 1 Em particular como a curva passa pelo ponto 0 1 sua inclinação ali deve ser 0 1 1 Assim uma pequena porção da curva solução próxima ao ponto 0 1 parece um segmento de reta curto que passa por 0 1 com inclinação 1 veja a Figura 2 Como um guia para esboçar o restante da curva vamos desenhar pequenos segmentos de reta em diversos pontos x y com inclinação x y O resultado denominado campo de direções é mostrado na Figura 3 Por exemplo o segmento de reta no ponto 1 2 tem inclinação 1 2 3 O campo de direções nos permite visualizar o formato geral das curvas solução pela indicação da direção na qual as curvas prosseguem em cada ponto Agora podemos esboçar a curva solução pelo ponto 0 1 seguindo o campo de direções como na Figura 4 Observe que desenhamos a curva de modo a tornála paralela aos segmentos de reta próximos Em geral suponha que tenhamos uma equação diferencial de primeira ordem do tipo y Fx y onde Fx y é alguma expressão em x e y A equação diferencial diz que a inclinação da curva solução no ponto x y na curva é Fx y Se desenharmos pequenos segmentos de reta com inclinação Fx y em vários pontos x y o resultado será chamado campo de direções ou campo de inclinações Esses segmentos de reta indicam a direção na qual uma curva solução está seguindo de modo que o campo de direções nos ajuda a visualizar o formato geral dessas curvas EXEMPLO 1 a Esboce o campo de direções para a equação diferencial y x² y² 1 b Use a parte a para esboçar a curva solução que passa pela origem SOLUÇÃO a Podemos começar calculando a inclinação em vários pontos na seguinte tabela x 2 1 0 1 2 2 1 0 1 2 y 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 y x² y² 1 3 0 1 0 3 4 1 0 1 4 Agora podemos desenhar pequenos segmentos de reta com essas inclinações nesses pontos O resultado é o campo de direções mostrado na Figura 5 b Podemos começar na origem e nos mover para a direita na direção do segmento de reta que tem inclinação 1 Continuamos a desenhar a curva solução de maneira que ela se mova paralela aos segmentos de reta próximos A curva solução resultante é exposta na Figura 6 Voltando para a origem desenhamos a curva solução para a esquerda da mesma maneira Quanto mais segmentos desenharmos no campo de direções mais clara se tornará a figura É claro que é tedioso calcular as inclinações e desenhar segmentos de reta para um número muito grande de pontos manualmente mas os computadores facilitam essa tarefa A Figura 7 apresenta um campo de direções mais detalhado desenhado por um computador para a equação diferencial no Exemplo 1 Isso nos permite desenhar com uma precisão razoável as curvas solução exibidas na Figura 8 com intersecções com o eixo y iguais a 2 1 0 1 e 2 geralmente uma pilha ou gerador que produz uma voltagem de Et volts V e uma corrente de It amperes A em um instante t O circuito também possui um resistor com resistência de R ohms Ω e um indutor com indutância de L henrys H A Lei de Ohm fornece a queda na voltagem em razão do resistor como RI A queda de voltagem por causa do indutor é LdIdt Uma das leis de Kirchhoff diz que a soma das quedas de voltagem é igual à voltagem fornecida Et Então temos L dIdt RI Et que é uma equação diferencial de primeira ordem que modela a corrente I no instante t EXEMPLO 2 Suponha que no circuito simples da Figura 9 a resistência seja de 12 Ω a indutância 4 H e a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V a Desenhe um campo de direções para a Equação 1 com esses valores b O que você pode dizer sobre o valorlimite da corrente c Identifique quaisquer soluções de equilíbrio d Se o interruptor for fechado quando t 0 de forma que a corrente comece com I0 0 use o campo de direções para esboçar a curva solução SOLUÇÃO a Se fizermos L 4 R 12 e Et 60 na Equação 1 obteremos 4 dIdt 12I 60 ou dIdt 15 3I O campo de direções para essa equação diferencial é mostrado na Figura 10 b Do campo de direções parece que todas as soluções se aproximam do valor 5 A isto é lim t It 5 c Parece que a função constante It 5 é uma solução de equilíbrio De fato podemos verificar isso diretamente da equação diferencial dIdt 15 3I Se It 5 então o lado esquerdo é dIdt 0 e o lado direito é 15 35 0 d Usamos o campo de direções para esboçar a curva solução que passa por 0 0 como indicado na Figura 11 Observe que na Figura 10 os segmentos de reta ao longo de qualquer reta horizontal são paralelos Isso ocorre porque a variável independente t não aparece do lado direito da equação I 15 3I Em geral uma equação diferencial do tipo y fy onde a variável independente não aparece do lado direito é chamada autônoma Para tal equação as inclinações correspondentes a dois pontos diferentes com a mesma coordenada y devem ser iguais Isso significa que se conhecermos uma solução para uma equação diferencial autônoma então poderemos obter infinitas outras apenas pelo deslocamento do gráfico da solução conhecida para a esquerda ou para a direita Na Figura 11 mostramos as soluções que resultam do deslocamento da curva solução do Exemplo 2 uma ou duas unidades de tempo ou seja segundos para a direita Elas correspondem ao fechamento do interruptor quando t 1 ou t 2 MÉTODO DE EULER A ideia básica por trás dos campos de direções pode ser usada para encontrar aproximações numéricas para as soluções das equações diferenciais Ilustramos o método no problema de valor inicial que utilizamos para introduzir os campos de direções y x y y0 1 A equação diferencial nos conta que y0 0 1 1 dessa forma a curva solução tem inclinação 1 no ponto 0 1 Como uma primeira aproximação para a solução poderíamos usar uma aproximação linear Lx x 1 Em outras palavras poderíamos usar a reta tangente em 0 1 como uma aproximação grosseira para a curva solução veja a Figura 12 A ideia de Euler era melhorar essa aproximação prosseguindo apenas uma pequena distância ao longo da reta tangente e então fazer uma correção no meio do caminho mudando a direção como indicado pelo campo de direções A Figura 13 mostra o que acontece se começamos ao longo da reta tangente mas paramos quando x 05 Essa distância horizontal percorrida é denominada passo Como L05 15 temos y05 15 e tomamos 05 15 como o ponto de partida para um novo segmento de reta A equação diferencial nos diz que y05 05 15 2 assim usamos a função linear y 15 2x 05 2x 05 como uma aproximação para a solução para x 05 veja o segmento azulescuro na Figura 13 Se diminuirmos o passo de 05 para 025 obteremos uma aproximação de Euler melhor veja a Figura 14 Em geral o método de Euler diz para começarmos no ponto dado pelo valor inicial e prosseguirmos na direção indicada pelo campo de direções Paramos após um intervalo de tempo olhamos para a inclinação na nova localização e prosseguimos naquela direção Continuamos parando e mudando de direção de acordo com o campo de direções O método de Euler não produz a solução exata para um problema de valor inicial Mas pela diminuição do passo e portanto aumentando o número de correções no meio do caminho obtemos aproximações sucessivamente melhores para a solução exata Compare as Figuras 12 13 e 14 Para o problema de valor inicial de primeira ordem geral y Fxy yx0 y0 nosso objetivo é encontrar valores aproximados para a solução em números igualmente espaçados x0 x1 x0 h x2 x1 h onde h é o passo A equação diferencial nos diz que a inclinação em x0 y0 é y Fx0 y0 assim a Figura 15 nos mostra que o valor aproximado para a solução quando x x1 é y1 y0 hFx0 y0 Analogamente y2 y1 hFx1 y1 Em geral yn yn1 hFxn1 yn1 Exemplo 3 Use o método de Euler com o passo 01 para construir uma tabela de valores aproximados para a solução do problema de valor inicial y x y y0 1 Solução Sabemos que h 01 x0 0 y0 1 e Fxy x y Desse modo temos y1 y0 hFx0y0 1 010 1 11 y2 y1 hFx1 y1 11 0101 11 122 y3 y2 hFx2 y2 122 0102 122 1362 Isso significa que se yx é a solução exata então y03 1362 Prosseguindo com cálculos similares temos os valores na tabela Para uma tabela com valores mais precisos no Exemplo 3 poderíamos diminuir o tamanho do passo Contudo para um número grande de pequenos passos a quantidade de cálculos é considerável e assim precisamos programar uma calculadora ou um computador para fazer os cálculos A seguinte tabela mostra os resultados da aplicação do método de Euler com diminuição do tamanho do passo para o problema de valor inicial do Exemplo 3 Pacotes computacionais que produzem aproximações numéricas para as soluções de equações diferenciais usam métodos que são refinamentos do método de Euler Embora o método de Euler seja simples ele não é preciso mas é a ideia básica na qual os métodos mais precisos se baseiam Observe que as estimativas de Euler na tabela parecem estar se aproximando de limites a saber os valores verdadeiros de y05 e y1 A Figura 16 mostra os gráficos das aproximações de Euler com os passos 05 025 01 005 002 001 e 0005 Eles estão se aproximando da curva solução exata à medida que o passo h se aproxima de 0 Exemplo 4 No Exemplo 2 discutimos um circuito elétrico simples com resistência 12 Ω indutância 4 H e uma pilha com voltagem 60 V Se o interruptor for fechado quando t 0 modelamos a corrente I no instante t pelo problema de valor inicial dIdt 15 3I I0 0 Estime a corrente no circuito meio segundo após o fechamento do interruptor Solução Usamos o método de Euler com Ft I 15 3I t0 0 I0 0 e o passo h 01 obtendo I1 0 0115 3 0 15 I2 15 0115 3 15 255 I3 255 0115 3 255 3285 I4 3285 0115 3 3285 37995 I5 37995 0115 3 37995 415965 Assim a corrente após 05 s é I05 416 A 2 É mostrado um campo de direções para a equação diferencial y x sen y a Esboce os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas i y0 1 ii y0 2 iii y0 π iv y0 4 v y0 5 b Ache todas as soluções de equilíbrio 36 Ligue a equação diferencial a seu campo de direções IIV Dê as razões para sua resposta 3 y 2 y 4 y x2 y 5 y x y 1 6 y senx sen y 7 Use o campo de direções II acima para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas a y0 1 b y0 2 c y0 1 8 Use o campo de direções IV acima para esboçar os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas a y0 1 b y0 0 c y0 1 910 Esboce o campo de direções para a equação diferencial Useo para esboçar três curvas solução 9 y 1 y 10 y x2 y2 1114 Esboce o campo de direções das equações diferenciais dadas Useos para esboçar a curva solução que passa pelo ponto dado 11 y y 2x 10 12 y 1 xy 00 13 y y xy 01 14 y x xy 10 1516 Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial dada Obtenha uma impressão e esboce uma curva solução que passe por 01 Use o SCA para desenhar a curva solução e compare o resultado com seu esboço 15 y y sen 2x 16 y senx y 17 Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial y y3 4y Obtenha uma impressão e esboce as soluções que satisfazem a condição inicial y0 c para diversos valores de c Para quais valores de c o limite limt yt existe Quais são os possíveis valores para esse limite 18 Faça o esboço de um campo de direções para a equação diferencial autônoma y fy onde o gráfico de f é como o exibido Como o comportamentolimite das soluções depende do valor de y0 19 a Use o método de Euler com cada um dos passos dados para estimar o valor de y04 onde y é a solução do problema de valor inicial y y y0 1 i h 04 ii h 02 iii h 01 b Sabemos que a solução exata do problema de valor inicial na parte a é y ex Desenhe o mais precisamente que puder o gráfico de y ex 0 x 04 junto com as aproximações de Euler usando os passos da parte a Seus esboços devem se parecer com as Figuras 12 13 e 14 Use seus esboços para decidir se suas estimativas na parte a estão subestimadas ou superestimadas c O erro no método de Euler é a diferença entre o valor exato e o valor aproximado Calcule os erros feitos na parte a ao usar o método de Euler para estimar o verdadeiro valor de y04 a saber e04 O que acontece com o erro cada vez que o passo cai pela metade 20 Um campo de direções para uma equação diferencial é apresentado Desenhe com uma régua os gráficos das aproximações de Euler para a curva solução que passa pela origem Use os passos h 1 e h 05 As estimativas de Euler estarão superestimadas ou subestimadas Explique y 2 1 0 1 2 x 21 Use o método de Euler com o passo 05 para calcular os valores aproximados de y y1 y2 y3 e y4 da solução do problema de valor inicial y y 2x y1 0 22 Use o método de Euler com o passo 02 para estimar y1 onde yx é a solução do problema de valor inicial y 1 xy y0 0 23 Use o método de Euler com o passo 01 para estimar y0 5 onde yx é a solução do problema de valor inicial y y xy y0 1 24 a Use o método de Euler com o passo 02 para estimar y1 4 onde yx é a solução do problema de valor inicial y x xy y1 0 b Repita a parte a com o passo 01 25 a Programe uma calculadora ou um computador para usar o método de Euler para calcular y1 onde yx é a solução do problema de valor inicial dydx 3x²y 6x² y0 3 i h 1 ii h 01 iii h 001 iv h 0001 b Verifique que y 2 ex³ é a solução exata da equação diferencial c Encontre os erros ao usar o método de Euler para calcular y1 com os passos da parte a O que acontece com o erro quando o passo é dividido por 10 26 a Programe seu sistema de computação algébrica usando o método de Euler com o passo 001 para calcular y2 onde y é a solução do problema de valor inicial y x3 y3 y0 1 b Verifique seu trabalho usando o SCA para desenhar a curva solução 27 A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz um capacitor com capacitância de C farads F e um resistor com resistência de R ohms Ω A queda de voltagem no capacitor é QC onde Q é a carga em coulombs nesse caso a Lei de Kirchhoff fornece RI QC Et Mas I dQdt de modo que temos R dQdt 1C Q Et Suponha que a resistência seja 5 Ω a capacitância seja 005 F e a pilha forneça uma voltagem constante de 60 V a Desenhe um campo de direções para essa equação diferencial b Qual é o valorlimite da carga C E R c Existe uma solução de equilíbrio d Se a carga inicial for Q0 0 C use o campo de direções para esboçar a curva solução e Se a carga inicial for Q0 0 C use o método de Euler com o passo 01 para estimar a carga depois de meio segundo 28 No Exercício 14 na Seção 91 consideramos uma xícara de café a 95 ºC em uma sala com temperatura de 20 ºC Suponha que o café esfrie a uma taxa de 1 ºC por minuto quando sua temperatura for 70 ºC a Como fica a equação diferencial nesse caso b Desenhe um campo de direções e useo para esboçar a curva solução para o problema de valor inicial Qual é o valorlimite da temperatura c Use o método de Euler com o passo h 2 minutos para estimar a temperatura do café após 10 minutos 93 EQUAÇÕES SEPARÁVEIS Observamos as equações diferenciais de primeira ordem de um ponto de vista geométrico campos de direções e de um ponto de vista numérico método de Euler E do ponto de vista simbólico Seria bom ter uma fórmula explícita para uma solução de uma equação diferencial Infelizmente isso não é sempre possível Mas nesta seção examinaremos um tipo de equação diferencial que pode ser resolvida explicitamente Uma equação separável é uma equação diferencial de primeira ordem na qual a expressão para dydx pode ser fatorada como uma função de x vezes uma função de y Em outras palavras pode ser escrita na forma dydx gxf y O nome separável vem do fato de que a expressão do lado direito pode ser separada em uma função de x e uma função de y De modo equivalente se f y 0 podemos escrever dydx gxhy onde hy 1f y Para resolver essa equação a reescrevemos na forma diferencial hy dy gxdx assim todos os y estão em um lado da equação e todos os x estão do outro lado Então integramos ambos os lados da equação hy dy gx dx A Equação 2 define y implicitamente como uma função de x Em alguns casos poderemos isolar y e escrevêlo em termos de x Usamos a Regra da Cadeia para justificar este procedimento se h e g satisfazem 2 então ddx hy dy ddx gx dx logo ddx hy dy dydx gx e hy dydx gx Portanto a Equação 1 é satisfeita EXEMPLO 1 a Resolva a equação diferencial dydx x²y² b Ache a solução dessa equação que satisfaça a condição inicial y0 2 SOLUÇÃO a Escrevemos a equação na forma diferencial e integramos os dois lados y² dy x² dx y² dy x² dx 13 y³ 13 x³ C onde C é uma constante qualquer Poderíamos ter usado uma constante C₁ no lado esquerdo e outra constante C₂ no lado direito Mas decidimos combinálas em uma só constante no lado direito fazendo C C₂ C₁ Isolando y obtemos y ³x³ 3C Poderíamos deixar a solução dessa maneira ou podemos escrevêla na forma y ³x³ K onde K 3C Pois C é uma constante qualquer e o mesmo ocorre com K b Se fizermos x 0 na equação geral da parte a temos y0 ³K Para satisfazer a condição inicial y0 2 devemos fazer ³K 2 e assim temos K 8 Portanto a solução do problema de valor inicial é y ³x³ 8 EXEMPLO 2 Resolva a equação diferencial dydx 6x² 2y cos y SOLUÇÃO Escrevendo a equação em uma forma diferencial e integrando ambos os lados temos 2y cos y dy 6x² dx 2y cos y dy 6x² dx y² sen y 2x³ C onde C é uma constante A Equação 3 fornece uma solução geral implícita Nesse caso é impossível resolver a equação para expressar y explicitamente como uma função de x EXEMPLO 3 Resolva a equação y x² y SOLUÇÃO Primeiro reescrevemos a equação usando a notação de Leibniz dydx x² y Se y 0 podemos reescrevêla em uma notação diferencial e integrála dyy x² dx y 0 dyy x² dx ln y x³3 C Essa equação define y implicitamente como uma função de x Mas nesse caso podemos resolver explicitamente para y como a seguir y elny ex³3 C eC ex³3 de modo que y eC ex³3 Podemos verificar facilmente que a função y 0 também é uma solução da equação diferencial dada Dessa forma podemos escrever a solução geral na forma y Aex³3 onde A é uma constante arbitrária A eC ou A eC ou A 0 A Figura 3 mostra o campo de direções para a equação diferencial do Exemplo 3 Compareo com a Figura 4 na qual utilizamos a equação y Aex33 para traçar as soluções com diversos valores diferentes de A Se usar os campos de direções para esboçar as curvas solução que interceptam o eixo y em 5 2 1 1 e 2 você obterá as curvas da Figura 4 família x2 y2 r2 de círculos concêntricos com o centro na origem veja a Figura 8 Dizemos que as duas famílias são trajetórias ortogonais uma da outra As trajetórias ortogonais ocorrem em vários ramos da física Por exemplo em um campo eletrostático as linhas de força são ortogonais às linhas de potencial constante Também as linhas de corrente em aerodinâmica são trajetórias ortogonais às curvas de velocidade constante PROBLEMAS DE MISTURAS Um problema típico de mistura envolve um tanque de capacidade fixa preenchido com uma solução completamente misturada de alguma substância digamos sal Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a uma taxa fixa e a mistura bem agitada sai a uma taxa fixa que pode ser diferente da taxa de entrada Se yt denota a quantidade de substância no tanque no instante t então yt é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada A descrição matemática da situação frequentemente leva a uma equação diferencial de primeira ordem separável Podemos usar o mesmo tipo de raciocínio para modelar uma variedade de fenômenos reações químicas descarga de poluentes em um lago injeção de medicamentos na corrente sanguínea entre outras EXEMPLO 6 Um tanque contém 20 kg de sal dissolvido em 5 000 L de água Água salgada com 003 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 Lmin A solução é misturada completamente e sai do tanque à mesma taxa Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de meia hora SOLUÇÃO Seja yt a quantidade de sal em quilogramas depois de t minutos Foinos dado que y0 20 e queremos encontrar y30 Fazemos isso encontrando uma equação diferencial que seja satisfeita por yt Observe que dydt é a taxa de variação da quantidade de sal assim dydt taxa de entrada taxa de saída onde taxa de entrada é a taxa na qual o sal entra no tanque e taxa de saída é a taxa na qual o sal deixa o tanque Temos taxa de entrada 003 kgL25 Lmin 075 kgmin O tanque sempre contém 5 000 L de líquido então a concentração no tempo t é yt5 000 medida em quilogramas por litro Como a água salgada sai a uma taxa de 25 Lmin obtemos taxa de saída yt5 000 kgL25 Lmin yt200 kgmin Então da Equação 5 temos dydt 075 yt200 150 yt200 Resolvendo essa equação diferencial separável obtemos dy150 y dt200 ln 150 y t200 C 93 EXERCÍCIOS I10 Resolva a equação diferencial 1 dydx y² 2 dydx e2x4y³ 3 x² 1y xy 4 y y² sen x 5 1 tg y y x² 1 6 dudr 1 r1 u 7 dydt tety1 y² 8 dydθ ey sen²θy sec θ 9 dudt 2 2u t tu 10 dzdt etz 0 1118 Ache a solução da equação diferencial que satisfaça a condição inicial dada 11 dydx y² 1 y1 0 12 dydx y cos x1 y² y0 1 13 x cos x 2y e3yy y0 0 14 dPdt Pt P1 2 15 dudt 2t sec²t2u u0 5 16 xy y y² y1 1 17 y tg x a y yπ3 a 0 x π2 18 dLdt KL² ln t L1 1 19 Encontre uma equação da curva que passe pelo ponto 0 1 e cuja inclinação em x y seja xy 20 Encontre a função f tal que fx fx1 fx e f0 12 21 Resolva a equação diferencial y x y usando a mudança de variáveis u x y 22 Resolva a equação diferencial xy y xeyx usando a mudança de variáveis v yx 23 a Resolva a equação diferencial y 2x1 y² b Resolva o problema de valor inicial y 2x1 y² y 0 0 e faça um gráfico de solução c O problema de valor inicial y 2x1 y² y 0 2 tem solução Explique 24 Resolva a equação eyy cos x 0 e trace vários membros da família de soluções Como a curva solução muda quando a constante C varia 25 Resolva o problema de valor inicial y sen xsen y y0 π2 e trace a solução se seu SCA fizer gráficos implícitos 26 Resolva a equação y xvx² 1yex e trace vários membros da família de soluções se seu SCA fizer gráficos implícitos Como muda a curva solução quando a constante C varia 2728 a Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial Imprimao e esboce algumas curvas solução sem resolver a equação diferencial b Resolva a equação diferencial c Use o SCA para desenhar vários membros da família de soluções obtida na parte b Compare com as curvas da parte a 27 y 1y 28 y x²y 2932 Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas Usando uma calculadora ou um computador desenhe vários membros de cada família na mesma tela 29 x² 2y² k² 30 y² kx³ 31 y kx 32 y x1 kx 33 Resolva o problema de valor inicial no Exercício 27 na Seção 92 para encontrar uma expressão para a carga no instante t Encontre o valorlimite da carga 34 No Exercício 28 na Seção 92 discutimos uma equação diferencial que modela a temperatura de uma xícara de café a 95 ºC em uma sala a 20 ºC Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para a temperatura do café no instante t 35 No Exercício 13 na Seção 91 formulamos um modelo para o aprendizado na forma da equação diferencial dPdt kM P onde Pt mede o desempenho de alguém aprendendo uma habilidade depois de um tempo de treinamento t M é o nível máximo de desempenho e k é uma constante positiva Resolva essa equação diferencial para encontrar uma expressão para Pt Qual é o limite dessa expressão 36 Em uma reação química elementar as moléculas únicas de dois reagentes A e B formam a molécula do produto C A B C A lei de ação das massas afirma que a taxa de reação é proporcional ao produto das concentrações de A e B dCdt kAB Veja o Exemplo 4 na Seção 37 no Volume I Então se as concentrações iniciais forem A a molsL e B b molsL e escrevermos x C então teremos dxdt ka xb x a Assumindo que a b encontre x como uma função de t Use o fato de que a concentração inicial de C é 0 b Encontre xt assumindo que a b Como essa expressão para xt é simplificada se soubermos que C 12 a depois de 20 segundos 37 Em contraste com a situação do Exercício 36 as experiências mostram que a reação H₂ Br₂ 2 HBr satisfaz a lei de troca dHBrdt kH₂12Br₂12 e portanto para essa reação a equação diferencial tornase dxdt ka xb x12 onde x HBr e a e b são concentrações iniciais de hidrogênio e bromo a Escreva x como uma função de t no caso em que a b Use o fato de que x0 0 b Se a b escreva t como uma função de x Sugestão ao efetuar a integração faça a substituição u b x 38 Uma esfera com raio de 1 m está a uma temperatura de 15 ºC Ela está dentro de uma esfera concêntrica com raio de 2 m e temperatura de 25 ºC A temperatura Tr a uma distância r do centro comum das duas esferas satisfaz a equação diferencial d²Tdr² 2r dTdr 0 Se fizermos S dTdr então S satisfaz uma equação diferencial de primeira ordem Encontre uma expressão para a temperatura Tr entre as duas esferas 39 Uma solução de glicose é administrada por via intravenosa na corrente sanguínea a uma taxa constante r À medida que a glicose é adicionada ela é convertida em outras substâncias e removida da corrente sanguínea a uma taxa que é proporcional à concentração naquele instante Então um modelo para a concentração C Ct da solução de glicose na corrente sanguínea é dCdt r kC onde k é uma constante positiva a Suponha que a concentração no instante t 0 é C₀ Determine a concentração em um instante qualquer t resolvendo a equação diferencial b Assumindo que C₀ rk calcule lim t Ct e interprete sua resposta 40 Um pequeno país tem 10 bilhões em papelmoeda em circulação e a cada dia 50 milhões chegam aos bancos daquele lugar O governo decide introduzir uma nova moeda fazendo com que os bancos troquem notas velhas por novas sempre que a moeda antiga entrar nos bancos Denote por x xt a quantidade de moeda nova em circulação no instante t com x0 0 a Formule um modelo matemático na forma de um problema de valor inicial que represente o fluxo da nova moeda em circulação b Resolva o problema de valor inicial encontrado na parte a c Quanto tempo levará para a nova moeda representar 90 da moeda em circulação 41 Um tanque contém 1 000 L de água salgada com 15 kg de sal dissolvido Água pura entra no tanque a uma taxa de 10 Lmin A solução é mantida bem misturada e escoa do tanque na mesma taxa Quanto sal há no tanque a após t minutos e b após 20 minutos 42 O ar em uma sala com volume 180 m³ contém 015 de dióxido de carbono inicialmente Ar mais fresco com apenas 005 de dióxido de carbono entra na sala a uma taxa de 2 m³min e o ar misturado sai na mesma taxa Encontre a porcentagem de dióxido de carbono na sala como uma função do tempo O que acontece a longo prazo 43 Um barril com 2 000 L de cerveja contém 4 de álcool por volume Cerveja com 6 de álcool é bombeada para dentro do barril a uma taxa de 20 Lmin e a mistura é bombeada para fora do barril à mesma taxa Qual é a porcentagem de álcool depois de uma hora 44 Um tanque contém 1 000 L de água pura Água salgada com 005 kg de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de 5 Lmin Água salgada com 004 kg de sal por litro de água entra no tanque a uma taxa de 10 Lmin A solução é mantida completamente misturada e sai do tanque a uma taxa de 15 Lmin Quanto sal há no tanque a depois de t minutos e b depois de uma hora 45 Quando uma gota de chuva cai ela aumenta de tamanho assim sua massa em um instante t é uma função de t mt A taxa do aumento da massa é kmt para alguma constante positiva k Quando aplicamos a Lei do Movimento de Newton à gota de chuva obtemos mv gm onde v é a velocidade da gota de chuva dirigida para baixo e g é a aceleração da gravidade A velocidade terminal da gota de chuva é lim t vt Encontre uma expressão para a velocidade terminal em termos de g e k 46 Um objeto de massa m está se movendo horizontalmente por um meio que resiste ao movimento com uma força que é uma função da velocidade isto é m d²sdt² m dvdt fv onde v vt e s st representam a velocidade e a posição do objeto no instante t respectivamente Por exemplo pense em um barco se movendo pela água a Suponha que a força de resistência seja proporcional à velocidade isto é fv kv k uma constante positiva Esse modelo é apropriado para os valores pequenos de v Sejam v0 v₀ e s0 s₀ os valores iniciais de v e s Determine v e s em um instante qualquer t Qual é a distância total que o objeto percorre a partir do instante t 0 b Suponha que a força de resistência seja proporcional ao quadrado da velocidade isto é fv kv² k 0 Este modelo foi proposto pela primeira vez por Newton Sejam v₀ e s₀ os valores iniciais de v e s Determine v e s em um instante qualquer t Qual é a distância total que o objeto percorre nesse caso 47 Seja At a área de uma cultura de tecido em um instante t e seja M a área final do tecido quando o crescimento está completo A maioria das divisões celulares ocorre na periferia do tecido e o número de células na periferia é proporcional a At Assim um modelo razoável para o crescimento de tecido é obtido assumindose que a taxa de crescimento da área seja conjuntamente proporcional a At e M At a Formule uma equação diferencial e usea para mostrar que o tecido cresce mais rápido quando At 14 M b Resolva a equação diferencial para encontrar uma expressão para At Use um sistema de computação algébrica para fazer a integração 48 De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton a força gravitação em um objeto de massa m que tenha sido lançado verticalmente para cima da superfície da Terra é F mgR²x R² onde x xt é a distância do objeto acima da superfície no instante t R o raio da Terra e g a aceleração da gravidade Também pela Segunda Lei de Newton F ma m dvdt e dessa forma m dvdt mgR²x R² a Suponha que um foguete seja lançado verticalmente para cima com uma velocidade inicial v₀ Seja h a altura máxima acima da superfície alcançada pelo objeto Mostre que v₀ 2gRhR h Sugestão Pela Rega da Cadeia mdudt mvdvdx b Calcule vₑ lim h v₀ Esse limite é chamado velocidade de escape da Terra c Use R 6 370 km e g 98 ms² para calcular vₑ em quilômetros por segundo PROJETO APLICADO QUÃO RAPIDAMENTE UM TANQUE ESVAZIA Se água ou outro líquido está vazando de um tanque esperamos que o escoamento seja maior no começo quando o tanque estiver mais cheio e que vá gradualmente diminuindo à medida que o nível de água do tanque diminui Mas queremos uma descrição matemática mais precisa de como o escoamento decresce a fim de responder às perguntas que os engenheiros fazem após quanto tempo o tanque estará completamente vazio Quão cheio o tanque deve estar para garantir uma pressão mínima a um sistema de irrigação Sejam ht e Vt a altura e o volume de água em um tanque no instante t Se a água escorre por um buraco com área a no fundo do tanque então a Lei de Torricelli diz que dVdt a 2gh onde g é a aceleração da gravidade Logo a taxa na qual a água escoa do tanque é proporcional à raiz quadrada da altura da água 1 a Suponha que o tanque seja cilíndrico com altura igual a 2 m e raio igual a 1 m e que o buraco seja um círculo com raio igual a 2 cm Se tomarmos g 10 ms² mostre que h satisfaz a equação diferencial dhdt 0000420h b Resolva esta equação para encontrar a altura da água no instante t supondo que o tanque esteja cheio em t 0 c Quanto tempo iria demorar para o tanque ficar completamente vazio 2 O modelo teórico dado pela Equação 1 não é muito preciso se levarmos em conta a rotação e viscosidade do líquido Em vez dele o modelo dhdt k h é em geral usado e a constante k que depende das propriedades físicas do líquido é determinada a partir dos dados relacionados com o vazamento do tanque a Suponha que o buraco esteja posicionado na lateral de uma garrafa e que a altura h da água acima do buraco decresça de 10 cm para 3 cm em 68 segundos Use a Equação 2 para encontrar uma expressão para ht Calcule ht para t 10 20 30 40 50 60 b Perfure um buraco de 4 mm perto do fundo de uma garrafa plástica e um refrigerante de 2 litros Faça marcas de 0 a 10 com 0 correspondendo ao topo do buraco Com um dedo tampando o buraco encha a garrafa com água até a marca de 10 cm Tire seu dedo do buraco e registre os valores de ht para t 10 20 30 40 50 60 segundos Provavelmente você vai descobrir que demorará cerca de 68 segundos para o nível chegar a h 3 cm Compare seus dados com os valores de ht da parte a Quão bem o modelo previu os valores reais 3 Em muitas partes do mundo a água para os sistemas de combate a incêndios em grandes hotéis e hospitais é fornecida pela ação da gravidade em tanques cilíndricos colocados nos telhados desses prédios Suponha que tanque tenha um raio de 3 m e o diâmetro de sua saída de água seja de 6 cm Um engenheiro tem de garantir que a pressão da água seja no mínimo de 104 kPa por um período de 10 minutos Quando um incêndio acontece o sistema elétrico pode falhar e pode levar cerca de 10 minutos para que o gerador de emergência e bombas antiincêndio sejam ativados Qual a altura que o engenheiro deve especificar para o tanque a fim de garantir essa exigência Use o fato de que a pressão da água a uma profundidade de d metros é P 10 d quilopascals Veja a Seção 83 4 Nem todos os tanques têm a forma de cilindros Suponha que um tanque tenha uma seção transversal de área Ah em uma altura h Então o volume de água até a altura h é V 0h Au du e portanto o Teorema Fundamental do Cálculo nos dá dVdh Ah Segue que dVdt dVdh dhdt Ah dhdt e assim a Lei de Torricelli tornase Ah dhdt av2gh a Suponha que o tanque tenha o formato de uma esfera de raio igual a 2 m e que esteja cheia inicialmente até a metade de sua capacidade de água Se o raio do buraco circular é 1 cm e assumimos que g 10 ms² mostre que h satisfaz a equação diferencial 4h h² dhdt 0000120h b Em quanto tempo o tanque ficará completamente vazio PROJETO APLICADO O QUE É MAIS RÁPIDO SUBIR OU DESCER Suponha que você jogue uma bola para o ar Você acha que ela leva mais tempo para alcançar sua altura máxima ou para cair de volta à Terra a partir de sua altura máxima Resolveremos esse problema neste projeto mas antes de começar pense sobre a situação e dê um palpite com base em sua intuição prática 1 Uma bola de massa m é lançada verticalmente para cima a partir da superfície da Terra com uma velocidade inicial positiva v0 Assumimos que as forças agindo na bola sejam a força da gravidade e a força de resistência do ar com sentido oposto ao sentido do movimento e com módulo pvt onde p é uma constante positiva e vt é a velocidade da bola no instante t Tanto na subida quanto na descida a força total agindo na bola é pv mg Durante a subida vt é positiva e a resistência age para baixo durante a descida vt é negativa e a resistência age para cima Assim pela Segunda Lei de Newton a equação de movimento é mv pv mg Resolva essa equação diferencial para mostrar que a velocidade é vt v0 mgp eptm mgp 2 Mostre que a altura da bola até ela atingir o chão é yt v0 mgp mp 1 eptm mgtp 3 Seja t1 o tempo que a bola leva para alcançar sua altura máxima Mostre que t1 mp lnmg pv0 mg Calcule esse tempo para uma bola com massa 1 kg e velocidade inicial 20 ms Suponha que a força de resistência do ar seja 110 da velocidade 4 Seja t2 o instante no qual a bola volta para a Terra Para a bola do Problema 3 estime t2 usando um gráfico da função altura yt O que é mais rápido ir para cima ou voltar para baixo 5 Em geral não é fácil encontrar t2 porque é impossível resolver a equação yt 0 explicitamente Podemos entretanto usar um método indireto para determinar se a subida ou a descida é mais rápida determinamos se y2t1 é positivo ou negativo Mostre que y2t1 m² gP² x 1x 2 ln x onde x ept1m Então mostre que x 1 e que a função fx x 1x 2 ln x é crescente para x 1 Use esse resultado para decidir se y2t1 é positivo ou negativo O que você pode concluir A subida ou a descida é mais rápida Exemplos e exercícios sobre a utilização de 2 são dados na Seção 38 no Volume I Vamos começar nossa análise mais detalhada da equação diferencial logística olhando para um campo de direções EXEMPLO 1 Desenhe um campo de direções para a equação logística com k 008 e capacidade de suporte K 1 000 O que você pode deduzir sobre as soluções SOLUÇÃO Nesse caso a equação diferencial logística é dPdt 008P1 P1000 Um campo de direções para essa equação é mostrado na Figura 1 Mostramos apenas o primeiro quadrante porque as populações negativas não têm significado e estamos interessados apenas no que acontece depois de t 0 A equação logística é autônoma dPdt depende apenas de P não de t assim as inclinações são as mesmas ao longo de qualquer reta horizontal Como esperado as inclinações são positivas para 0 P 1000 e negativas para P 1000 As inclinações são pequenas quando P está próximo de 0 ou 1000 a capacidade de suporte Observe que as soluções se distanciam da solução de equilíbrio P 0 e se aproximam da solução de equilíbrio P 1000 Na Figura 2 usamos o campo de direções para esboçar as curvas solução com populações iniciais P0 100 P0 400 e P0 1300 Observe que as curvas solução abaixo de P 1000 estão aumentando e aquelas que começam acima de P 1000 estão diminuindo As inclinações são maiores quando P 500 portanto as curvas solução que começam abaixo de P 1000 têm pontos de inflexão quando P 500 De fato podemos demonstrar que todas as curvas solução que começam abaixo de P 500 têm um ponto de inflexão quando P é exatamente 500 veja o Exercício 9 A equação logística 4 é separável e podemos resolvêla explicitamente usando o método da Seção 93 Como dPdt kP1 PK temos 5 dPP1 PK k dt Para calcular a integral no lado esquerdo escrevemos 1P1 PK KPK P Usando frações parciais veja a Seção 74 no Volume I temos KPK P 1P 1K P Isso nos permite reescrever a Equação 5 1P 1K P dP k dt ln P ln K P kt C ln K PP kt C K PP ekt C eC ekt 6 K PP Aekt onde A eC Isolando P na Equação 3 obtemos KP 1 Aekt PK 11 Aekt assim P K1 Aekt Encontramos o valor de A colocando t 0 na Equação 6 Se t 0 então P P₀ a população inicial portanto K P₀P₀ Ae0 A Então a solução para a equação logística é Pt K 1 Aekt onde A K P0 P0 Usando a expressão para Pt na Equação 7 vemos que lim t Pt K que é o esperado tdias 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Pobservados 2 3 22 16 39 52 54 47 50 76 69 51 57 70 53 59 57 t 1980 1982 1984 1986 1988 1990 Bt 9 847 9 856 9 855 9 862 9 884 9 962 t 1992 1994 1996 1998 2000 Bt 10 036 10 109 10 152 10 175 10 186 c Use o campo de direções para esboçar as soluções para as populações iniciais de 20 40 60 80 120 e 140 O que essas soluções têm em comum Como diferem Quais soluções têm pontos de inflexão Em qual nível populacional elas ocorrem d Quais são as soluções de equilíbrio Como as outras soluções estão relacionadas a essas soluções 2 Suponha que uma população cresça de acordo com o modelo logístico com capacidade de suporte 6 000 e k 00015 por ano a Escreva a equação diferencial logística para esses dados b Desenhe um campo de direções à mão ou com um sistema de computação algébrica O que ele lhe diz sobre as curvas solução c Use o campo de direções para esboçar as curvas solução para as populações iniciais de 1 000 2 000 4 000 e 8 000 O que você pode dizer sobre a concavidade dessas curvas Qual o significado dos pontos de inflexão d Programe uma calculadora ou um computador para usar o método de Euler com passo h 1 para estimar a população depois de 50 anos se a população inicial for 1 000 e Se a população inicial for 1 000 escreva uma fórmula para a população depois de t anos Usea para calcular a população depois de 50 anos e compare com sua estimativa na parte d f Trace a solução da parte e e compare com a curva solução que você esboçou na parte c 3 O cardume de atum do Pacífico foi modelado pela equação diferencial dydt ky 1 yK onde yt é a biomassa massa total dos membros da população em quilogramas no instante t medido em anos a capacidade de suporte é estimada como K 8 107 kg e k 071 por ano a Se y0 2 107 kg calcule a biomassa um ano depois b Quanto tempo levará para a biomassa alcançar 4 107 kg 4 A tabela fornece o número de células de levedura em uma cultura nova de laboratório Tempo horas Células de levedura Tempo horas Células de levedura 0 18 10 509 2 39 12 597 4 80 14 640 6 171 16 664 8 336 18 672 a Marque os dados e use o gráfico para estimar a capacidade de suporte para a população de levedura b Use os dados para estimar a taxa de crescimento inicial relativo c Encontre um modelo exponencial e um modelo logístico para esses dados d Compare os valores previstos com os valores observados na tabela e nos gráficos Compare como seus modelos se ajustam aos dados e Utilize seu modelo logístico para estimar o número de células de levedura depois de sete horas 5 A população mundial era cerca de 53 bilhões em 1990 A taxa de natalidade na década de 1990 variou entre 35 e 40 milhões por ano e a taxa de mortalidade variou entre 15 e 20 milhões por ano Vamos supor que a capacidade de suporte para a população mundial seja de 100 bilhões a Escreva uma equação diferencial logística para esses dados Como a população inicial é pequena comparada à capacidade de suporte você pode tomar k como uma estimativa da taxa de crescimento relativo inicial b Utilize o modelo logístico para prever a população mundial em 2000 e compare a população real de 61 bilhões c Use o modelo logístico prever a população mundial nos anos 2100 e 2500 d Quais seriam as suas previsões se a capacidade de suporte fosse de 50 bilhões 6 a Faça uma conjectura para a capacidade de suporte da população dos Estados Unidos Usea e também o fato de que a população era de 250 milhões em 1990 para formular um modelo logístico para a população norteamericana b Determine o valor de k em seu modelo usando o fato de que a população norteamericana em 2000 era de 275 milhões c Use seu modelo para prever a população dos Estados Unidos nos anos 2100 e 2200 d Utilize seu modelo para prever o ano no qual a população ultrapassará 350 milhões 7 Um modelo para a propagação de um boato é que a taxa de propagação é proporcional ao produto da fração y da população que ouviu o boato pela fração que não ouviu o boato a Escreva uma equação diferencial que seja satisfeita por y b Resolva a equação diferencial c Uma cidade pequena tem 1 000 habitantes Às 8 horas 80 pessoas tinham ouvido o boato Ao meiodia metade da cidade tinha ouvido o boato A que horas 90 da população terá ouvido o boato 8 Os biólogos colocaram em um lago 400 peixes e estimaram a capacidade de suporte a população máxima de peixes daquela espécie no lago como 10 000 O número de peixes triplicou no primeiro ano a Presumindo que o tamanho da população de peixes satisfaça a equação logística encontre uma expressão para o tamanho da população depois de t anos b Quanto tempo levará para a população aumentar para 5 000 9 Mostre que se P satisfizer a equação logística 1 então d²Pdt² k²P1 PK1 2PK b Deduza que a população cresce mais rapidamente quando ela atinge a metade de sua capacidade de suporte 10 Para um valor fixo de K digamos K10 a família de funções logísticas dada pela Equação 7 depende do valor inicial P0 e da constante de proporcionalidade k Trace vários membros dessa família Como muda o gráfico quando P0 varia Como muda o gráfico quando k varia 11 A tabela dá a população do Japão em meados do ano em milhares de 1960 a 2005 Ano População Ano População 1960 94 092 1985 120 754 1965 98 883 1990 123 537 1970 104 345 1995 125 341 1975 111 573 2000 126 700 1980 116 807 2005 127 417 Use uma calculadora gráfica para ajustar tanto uma função exponencial quanto uma função logística a estes dados Marque os pontos trace ambas as funções e comente a precisão dos modelos Sugestão Subtraia 94 000 de cada valor da população Então depois de obter um modelo de sua calculadora some 94 000 para obter seu modelo final Pode ser útil escolher t 0 como 1960 ou 1980 12 A tabela fornece a população da Espanha em meados do ano em milhares de 1955 a 2000 Ano População Ano População 1955 29 319 1980 37 488 1960 30 641 1985 38 535 1965 32 085 1990 39 351 1970 33 876 1995 39 750 1975 35 564 2000 40 016 Use uma calculadora gráfica para ajustar tanto uma função exponencial quanto uma função logística a estes dados Marque os pontos trace ambas as funções e comente a precisão dos modelos Sugestão Subtraia 29 000 de cada valor da população Então depois de obter um modelo de sua calculadora some 29 000 para obter seu modelo final Pode ser útil escolher t 0 como 1955 ou 1975 13 Considere a população P Pt com taxas de natalidade e mortalidade relativas constantes α e β respectivamente e uma taxa de emigração constante m onde α β e m são constantes positivas Suponha que α β Então a taxa de variação da população no instante t é modelada pela equação diferencial dPdt kP m onde k α β a Encontre a solução desta equação que satisfaça a condição inicial P0 P0 b Que condições sobre m levarão a uma expansão exponencial da população c Que condições sobre m resultarão em uma população constante E em um declínio da população d Em 1847 a população da Irlanda era de cerca de 8 milhões e a diferença entre as taxas de natalidade e mortalidade relativas era 16 da população Por causa da fome da batata nas décadas de 1840 e 1850 cerca de 210 000 habitantes por ano emigraram da Irlanda A população estava crescendo ou decrescendo naquela época 14 Seja c um número positivo Uma equação diferencial da forma dydt ky1c onde k é uma constante positiva é chamada equação do dia do juízo final porque o expoente na expressão ky1c é maior que o expoente 1 do crescimento natural a Determine a solução que satisfaz a condição inicial y0 y0 b Mostre que existe um instante finito t T dia do juízo final tal que lim tT yt c Uma raça especialmente fértil de coelhos tem o termo de crescimento ky101 Se 2 destes coelhos se cruzarem inicialmente e a ninhada for de 16 coelhos depois de três meses quando será o dia do juízo final 15 Vamos modificar a equação logística do Exemplo 1 como a seguir dPdt 008P1 P1 000 15 a Suponha que Pt represente uma população de peixes no instante t onde t é medido em semanas Explique o significado do termo 15 b Desenhe um campo de direções para essa equação diferencial c Quais são as soluções de equilíbrio d Use o campo de direções para esboçar várias curvas solução Descreva o que acontece à população de peixes para várias populações iniciais e Resolva essa equação diferencial explicitamente usando frações parciais ou com um sistema de computação algébrica Use as populações iniciais de 200 e 300 Trace as soluções e compare com seus esboços na parte d 16 Considere a equação diferencial dPdt 008P1 P1 000 c como um modelo para uma população de peixes onde t é medido em semanas e c é uma constante a Use um SCA para desenhar campos de direções para diversos valores de c b A partir dos campos de direções na parte a determine os valores de c para os quais há pelo menos uma solução de equilíbrio Para quais valores de c a população de peixes sempre desaparece c Use a equação diferencial para demonstrar o que você descobriu graficamente na parte b d Qual sua recomendação para o limite de pesca semanal para essa população de peixes 17 Existe evidência considerável para apoiar a teoria de que para algumas espécies existe uma população mínima m de forma que as espécies se tornarão extintas se o tamanho da população cair abaixo de m Essa condição pode ser incorporada à equação logística pela introdução do fator 1 mP Então o modelo logístico modificado é dado pela equação diferencial dPdt kP 1 PK1 mP a Use a equação diferencial para mostrar que qualquer solução é crescente se m P K e decrescente se 0 P m b Para o caso onde k 008 K 1 000 e m 200 desenhe um campo de direções e useo para esboçar várias curvas solução Descreva o que acontece à população para várias populações iniciais Quais são as soluções de equilíbrio c Resolva a equação diferencial explicitamente usando frações parciais ou um sistema de computação algébrica Use a população inicial P0 d Use a solução na parte c para mostrar que se P0 m então a espécie se tornará extinta Sugestão Mostre que o numerador em sua expressão para Pt é 0 para algum valor de t 18 Outro modelo para a função crescimento para uma população limitada é dado pela função de Gompertz que é uma solução da equação diferencial dPdt c lnKP P onde c é uma constante e K é a capacidade de suporte a Resolva essa equação diferencial b Calcule lim t Pt c Trace a função de crescimento de Gompertz para K 1 000 P0 100 e c 005 e comparea com a função logística no Exemplo 2 Quais são as similaridades Quais são as diferenças d Sabemos do Exercício 9 que a função logística cresce mais rapidamente quando P K2 Use a equação diferencial de Gompertz para mostrar que a função de Gompertz cresce mais rápido quando P Ke 19 Em um modelo de crescimento sazonal uma função periódica do tempo é introduzida para considerar variações sazonais na taxa de crescimento Essas variações podem por exemplo ser causadas por mudanças sazonais na oferta de alimentos a Encontre a solução do modelo de crescimento sazonal dPdt kP cosrt φ P0 P0 onde k r e φ são constantes positivas b Traçando a solução para vários valores de k r e φ explique como os valores de k r e φ afetam a solução O que você pode dizer sobre lim t Pt 20 Suponha que alteremos a equação diferencial no Exercício 19 como a seguir dPdt kP cos²rt φ P0 P0 a Resolva essa equação diferencial com a ajuda de uma tabela de integrais ou um SCA b Trace a solução para vários valores de k r e φ Como os valores de k r e φ afetam a solução O que você pode dizer sobre lim t Pt nesse caso 21 Os gráficos das funções logísticas Figuras 2 e 3 são extremamente similares ao gráfico da função tangente hiperbólica Figura 3 na Seção 311 Explique a similaridade mostrando que a função logística dada pela Equação 7 pode ser escrita como Pt 12 K1 tgh12 kt c onde c ln Ak Portanto a função logística é apenas uma tangente hiperbólica transladada PROJETO APLICADO CÁLCULO E BEISEBOL Neste projeto exploraremos três das diversas aplicações do cálculo ao beisebol As interações físicas do jogo especialmente a colisão da bola com o taco são complexas e seus modelos são discutidos em detalhes no livro de Robert Adair The Physics of Baseball 3 ed Nova York HarperPerennial 2002 1 Pode ser surpreendente saber que a colisão entre a bola de beisebol e o taco dura apenas cerca de um milésimo de segundo Aqui descobriremos a força média no taco durante essa colisão calculando primeiro a mudança no momento da bola O momento p de um objeto é o produto de sua massa m e sua velocidade v isto é p mv Suponha que um objeto movendose ao longo de uma linha reta esteja sujeito a uma força F Ft que é uma função contínua do tempo a Mostre que a mudança no momento no intervalo de tempo t0 t1 é igual à integral de F de t0 a t1 isto é mostre que pt1 pt0 t1 t0 Ft dt Essa integral é chamada impulso da força no intervalo de tempo 95 EQUAÇÕES LINEARES Uma equação diferencial linear de primeira ordem é aquela que pode ser escrita na forma fracdydx Pxy Qx onde P e Q são funções contínuas em um dado intervalo Esse tipo de equação ocorre frequentemente em vários ramos da ciência como veremos Um exemplo de uma equação linear é xy y 2x porque para x eq 0 esta pode ser escrita na forma y frac1x y 2 Observe que essa equação diferencial não é separável porque é impossível fatorar a expressão para y como uma função de x vezes uma função de y Mas ainda podemos resolver a equação observando que pela Regra do Produto xy y xy e assim podemos escrever a equação como xy 2x Se integrarmos ambos os lados dessa equação obteremos xy x2 C ou y x fracCx Se nos tivesse sido dada a equação diferencial na forma da Equação 2 teríamos de fazer uma etapa preliminar multiplicando cada lado da equação por x Ocorre que toda equação diferencial linear de primeira ordem pode ser resolvida de uma maneira similar pela multiplicação de ambos os lados da Equação 1 por uma função adequada Ix chamada fator integrante Tentamos encontrar I de modo que o lado esquerdo da Equação 1 quando multiplicado por I tornase a derivada do produto Ixy Ixy Pxy Ixy Se pudermos encontrar tal função I a Equação 1 ficará Ixy IxQx Integrando ambos os lados teremos Ixy int IxQx dx C de modo que a solução será yx frac1Ix left int IxQx dx C right Para encontrarmos esse I expandimos a Equação 3 e cancelamos termos Ixy IxPxy Ixy Ixy Ixy IxPx Ix Esta é uma equação separável para I que resolvemos como a seguir int fracdII int Px dx extln I int Px dx I Aeint Px dx onde A pm eC Estamos procurando um fator de integração particular não o mais geral assim tomamos A 1 e usamos 5 Ix eint Px dx Então a fórmula para a solução geral da Equação 1 é fornecida pela Equação 4 onde I é dado pela Equação 5 Em vez de memorizar essa fórmula contudo apenas lembramos a forma do fator integrante Para resolver a equação diferencial linear y Pxy Qx multiplique ambos os lados pelo fator integrante Ix eint Px dx e integre ambos os lados EXEMPLO 1 Resolva a equação diferencial fracdydx 3x2 y 6x2 SOLUÇÃO A equação dada é linear porque ela tem a forma da Equação 1 com Px 3x2 e Qx 6x2 Um fator integrante é Ix eint 3x2 dx ex3 Multiplicando ambos os lados da equação diferencial por ex3 obtemos ex3 fracdydx 3x2 ex3 y 6x2 ex3 ou fracddx leftex3 yright 6x2 ex3 Integrando ambos os lados temos ex3 y int 6x2 ex3 dx 2 ex3 C y 2 Cex3 EXEMPLO 2 Encontre a solução para o problema de valor inicial x2 y xy 1 x 0 y1 2 SOLUÇÃO Devemos primeiro dividir ambos os lados pelo coeficiente de y para colocar a equação diferencial na forma padrão 6 y frac1x y frac1x2 x 0 O fator integrante é Ix eint 1x dx eln x x A multiplicação de ambos os lados da Equação 6 por x fornece xy y frac1x ou xy frac1x Então xy int frac1x dx ln x C b Um arremessador joga uma bola rápida a 90 mih para o rebatedor que a rebate diretamente de volta ao lançador A bola está em contato com o taco por 0001 s e deixa o taco com a velocidade de 110 mih Uma bola de beisebol pesa 5 onças e em unidades americanas usuais sua massa é medida em slugs m wg onde g 32 péss2 i Calcule a mudança no momento da bola ii Determine a força média no taco 2 Neste problema calculamos o trabalho necessário para um lançador arremessar uma bola rápida a 90 mih primeiro considerando a energia cinética A energia cinética K de um objeto de massa m e velocidade v é dada por K frac12 m v2 Suponha que um objeto de massa m movendose em linha reta esteja sujeito a uma força F Fs que depende de sua posição s De acordo com a Segunda Lei de Newton Fs ma m fracdvdt onde a e v denotam a aceleração e a velocidade do objeto a Mostre que o trabalho realizado para mover o objeto de uma posição s0 para uma posição s1 é igual à variação na energia cinética do objeto isto é mostre que W ints0s1 Fs ds frac12 m v12 frac12 m v02 onde v0 vs0 e v1 vs1 são as velocidades do objeto nas posições s0 e s1 Sugestão Pela Regra da Cadeia m fracdvdt m fracdvds fracdsdt mv fracdvds b Quantas libraspés de trabalho são necessárias para jogar uma bola de beisebol a 90 mih 3 a Um outfielder jogador que ocupa o campo externo apanha uma bola de beisebol a 280 pés do home plate e a joga diretamente para o pegador com uma velocidade inicial de 100 péss Suponha que a velocidade vt da bola depois de t segundos satisfaça a equação diferencial dvdt frac110 v por causa da resistência do ar Quanto tempo leva para a bola atingir o home plate Ignore qualquer movimento vertical da bola b O diretor do time se pergunta se a bola alcançaria o home plate mais rápido se ela fosse relançada por um infielder jogador da parte central do campo O shortstop jogador que fica entre a segunda e a terceira bases pode se posicionar diretamente entre o outfielder e o home plate pegar a bola jogada pelo outfielder girar e jogála para o pegador com uma velocidade inicial de 105 péss O diretor cronometra o tempo de relançamento do shortstop pegar girar jogar em metade de um segundo A que distância do home plate deve se posicionar o shortstop para minimizar o tempo total para a bola atingir a base O diretor deve encorajar uma jogada direta ou uma jogada relançada O que aconteceria se o shortstop pudesse jogar a bola a 115 péss c Para qual velocidade de arremesso do shortstop a jogada relançada leva o mesmo tempo que a direta Uma vista superior da posição de um taco de beisebol mostrada a cada quinquagésimo de segundo durante um movimento típico adaptado de The Physics of Baseball Área do rebatedor A Figura 1 mostra os gráficos de vários membros da família de soluções no Exemplo 1 Observe que todos eles se aproximam de 2 quando x o infty FIGURA 1 A solução do problema de valor inicial no Exemplo 2 é mostrada na Figura 2 Embora as soluções da equação diferencial no Exemplo 3 sejam expressas em termos de uma integral elas ainda podem ser traçadas por um sistema de computação algébrica Figura 3 A equação diferencial no Exemplo 4 é linear e separável assim um método alternativo é resolvêla como uma equação separável Exemplo 4 na Seção 93 Se trocarmos a pilha por um gerador contudo obteremos uma equação que é linear mas não é separável Exemplo 5 A Figura 5 mostra como a corrente no Exemplo 4 se aproxima de seu valorlimite A Figura 6 mostra o gráfico da corrente quando a pilha é trocada por um gerador 95 EXERCÍCIOS 14 Determine se a equação diferencial é linear 1 y ex y x3 y2 2 y sen x x3 y 3 xy ln x x2 y 0 4 xy x ex y 514 Resolva a equação diferencial 5 y 2y 2x 6 y x 5y 7 xy 2y x2 8 x2 y 2xy cos2 x 9 xy y x 10 y y senex 11 sen x dydx cos x y senx2 12 x dydx 4y x4 ex 13 1 t dudt u 1 t t 0 14 t ln t drdt r tet 1520 Resolva o problema de valor inicial 15 y y x ex y0 0 16 t dydt 2y t3 t 0 y1 0 17 dvdt 2tv 3t2 et2 v0 5 18 2xy y 6x x 0 y4 20 19 xy y x2 sen x yπ 0 20 x2 1 dydx 3xy 1 0 y0 2 2122 Resolva a equação diferencial e use uma calculadora gráfica ou um computador para traçar vários membros da família de soluções Como a curva solução muda quando C varia 21 xy 2y ex 22 y cos x y cos x 23 Uma equação diferencial de Bernoulli em homenagem a James Bernoulli 16541705 é da forma dydx Px y Qx yn Observe que se n0 ou 1 a equação de Bernoulli é linear Para outros valores de n mostre que a substituição u y1n transforma a equação de Bernoulli na equação linear dudx 1n Px u 1n Qx 2425 Use o método do Exercício 23 para resolver a equação diferencial 24 xy y xy2 25 y 2x y y3x2 26 Resolva a equação de segunda ordem xy 2y 12x2 por meio da substituição uy 27 No circuito apresentado na Figura 4 uma pilha fornece uma voltagem constante de 40 V a indutância é 2H a resistência é 10 Ω e I0 0 a Encontre It b Calcule a corrente após 01 s 28 No circuito mostrado na Figura 4 um gerador fornece uma voltagem de Et 40 sen 60t volts a indutância é 1H a resistência é 20 Ω e I0 1 A a Encontre It b Calcule a corrente depois de 01 s c Use uma ferramenta gráfica para desenhar o gráfico da função corrente 29 A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz um capacitor com capacitância de C farads F e um resistor com uma resistência de R ohms Ω A queda de voltagem no capacitor é QC onde Q é a carga em coulombs nesse caso a Lei de Kirchhoff fornece RI QC Et Mas I dQdt veja o Exemplo 3 na Seção 37 no Volume I assim temos R dQdt 1C Q Et Suponha que a resistência seja 5 Ω e a capacitância 005 F que a pilha forneça uma voltagem constante de 60V e que a carga inicial seja Q0 0C Encontre a carga e a corrente no instante t 30 No circuito do Exercício 29 R 2 Ω C 001 F Q0 0 e Et 10 sen 60t Calcule a carga e a corrente no instante t 31 Seja Pt o nível de desempenho de alguém aprendendo uma habilidade como uma função do tempo de treinamento t O gráfico de P é chamado curva de aprendizagem No Exercício 13 na Seção 91 propusemos a equação diferencial dPdt kM Pt 32 Dois novos trabalhadores foram contratados para uma linha de montagem João processou 25 unidades durante a primeira hora e 45 unidades durante a segunda Marcos processou 35 unidades durante a primeira hora e 50 unidades na segunda Usando o modelo do Exercício 31 e assumindo que P00 estime o número máximo de unidades por hora que cada trabalhador é capaz de processar Com ambas as espécies presentes contudo supomos que a causa principal de morte entre as presas seja serem comidas por predadores e as taxas de natalidade e sobrevivência dos predadores dependam da disponibilidade de comida a saber as presas Também supomos que as duas espécies se encontrem a uma taxa que é proporcional a ambas as populações e é portanto proporcional ao produto CL Quanto maior for qualquer uma das populações maior é a chance do encontro Um sistema de duas equações diferenciais que incorporam essas hipóteses é mostrado a seguir dCdt kC aCL dLdt rL bCL onde k r a e b são constantes positivas Observe que o termo aCL diminui a taxa natural de crescimento das presas e o termo bCL aumenta a taxa de crescimento natural dos predadores Assim as populações de equilíbrio consistem em 80 lobos e 1000 coelhos Isso significa que 1000 coelhos são suficientes para sustentar uma população constante de 80 lobos Não existem muitos lobos o que resultaria em menos coelhos nem poucos lobos o que resultaria em mais coelhos FIGURA 3 Trajetória da fase em 1 000 40 L 40 na primeira equação diferencial teremos dCdt 0081 000 0001100040 80 40 40 Como dCdt 0 concluímos que C está aumentando em P0 e assim nos movemos no sentido antihorário ao longo da trajetória de fase Vemos que em P0 não existem lobos suficientes para manter um equilíbrio entre as populações dessa forma a população de coelhos aumenta Isso resulta em mais lobos e eventualmente existem tantos lobos que os coelhos têm dificuldade para evitálos Assim o número de coelhos começa a declinar em P1 onde estimamos que C atinja a população máxima ao redor de 2 800 Isso significa que algum tempo depois a população de lobos começa a cair em P2 onde C 1 000 e L 140 Mas isso beneficia os coelhos portanto sua população depois começa a aumentar em P3 onde L 80 e C 210 Como conseqüência a população de lobos eventualmente começa a aumentar também Isso acontece quando as populações retornam a seus valores iniciais de C 1 000 e L 40 e o ciclo inteiro começa novamente e Da descrição na parte d de como as populações de coelhos e lobos aumentam e diminuem podemos esboçar os gráficos de Ct e Lt Suponha que os pontos P1 P2 e P3 na Figura 3 sejam alcançados nos tempos t1 t2 e t3 Então podemos esboçar gráficos de C e L como na Figura 4 FIGURA 4 Gráficos das populações de coelhos e lobos como função do tempo Para tornar os gráficos mais fáceis de comparar os desenhamos nos mesmos eixos mas com escalas diferentes para C e L como na Figura 5 Observe que os coelhos atingem sua população máxima cerca de um quarto de ciclo antes dos lobos FIGURA 5 Comparação das populações de coelhos e lobos Uma parte importante do processo de modelagem como discutimos na Seção 12 é interpretar nossas conclusões matemáticas como previsões do mundo real e testar as previsões com dados reais A Hudsons Bay Company que começou a comercializar peles de animais no Canadá em 1670 manteve registros desde 1840 A Figura 6 mostra gráficos do número de peles de lebre e de seu predador o lince canadense comercializadas pela companhia em um período de 90 anos Você pode ver que as oscilações acopladas na população de lebres e linces prevista pelo modelo de LotkaVolterra realmente ocorrem e o período desses ciclos é de aproximadamente dez anos FIGURA 6 A abundância relativa de lebres e linces dos registros da Hudsons Bay Company Embora o modelo relativamente simples de LotkaVolterra tivesse algum sucesso em explicar e prever as populações acopladas modelos mais sofisticados também têm sido propostos Uma maneira de modificar as equações de LotkaVolterra é supor que na ausência de predadores a presa cresce de acordo com um modelo logístico com capacidade de suporte K Então as equações de LotkaVolterra 1 são substituídas pelo sistema de equações diferenciais dCdt kC1 CK aCL dLdt rL bCL Esse modelo é investigado nos Exercícios 9 e 10 Também têm sido propostos modelos para descrever e prever níveis de população de duas espécies que competem pelos mesmos recursos ou cooperam por benefícios mútuos Esses modelos serão explorados no Exercício 2 96 EXERCÍCIOS 1 Para cada sistema predadorpresa determine qual das variáveis x ou y representa a população de presas e qual representa a população de predadores O crescimento das presas é restrito apenas pelos predadores ou por outros fatores também Os predadores alimentamse apenas das presas ou eles têm outras fontes de alimentação Explique a dxdt 005x 00001xy dydt 01y 0005xy b dxdt 02x 00002x2 0006xy dydt 0015x 000008xy 2 Cada sistema de equações diferenciais é um modelo para duas espécies que competem pelas mesmas fontes ou cooperam por mútuo benefício plantas em floração e insetos polinizadores por exemplo Decida se cada sistema descreve competição ou cooperação e explique por que este é um modelo razoável Perguntese qual é o efeito que o aumento de uma das espécies tem na taxa de crescimento da outra a dxdt 012x 00006x2 000001xy dydt 008x 000004xy b dxdt 015x 00002x2 00006xy dydt 02y 000008y2 00002xy 34 Uma trajetória de fase é mostrada para as populações de coelhos C e raposas R a Descreva como cada população muda com o passar do tempo b Use sua descrição para fazer um esboço grosseiro dos gráficos de C e R como funções do tempo 3 4 56 Os gráficos de populações de duas espécies são ilustrados Useos para esboçar a trajetória de fase correspondente 5 espécia 1 espécie 2 6 7 No Exemplo 1b mostramos que as populações de coelhos e lobos satisfazem a equação diferencial dLdC 002L 000002CL 008C 0001CL Resolviendo essa equação diferencial separável mostre que C002 L008 e000002C e0001L E onde E é uma constante É impossível resolver essa equação para L como uma função explícita de C ou viceversa Se você tiver um sistema de computação algébrica que trace curvas definidas implicitamente use essa equação e seu SCA para desenhar a curva solução que passa pelo ponto 1 000 40 e compare com a Figura 3 8 As populações de pulgões e joaninhas são modeladas pelas equações dPdt 2P 001PJ dJdt 05J 00001PJ a Calcule as soluções de equilíbrio e explique seu significado b Encontre uma expressão para dJdP c O campo de direções para a equação diferencial na parte b é mostrado Useo para esboçar um retrato de fase O que as trajetórias de fase têm em comum d Suponha que no instante t 0 existam 1 000 pulgões e 200 joaninhas Desenhe a trajetória de fase correspondente e usea para descrever como as populações variam e Use a parte d para fazer esboços das populações de pulgões e joaninhas como funções de t Como os gráficos estão relacionados 9 No Exemplo 1 usamos as equações de LotkaVolterra para modelar as populações de coelhos e lobos Vamos modificar aquelas equações como a seguir dCdt 008C1 00002C 0001CL dLdt 002L 000002CL a De acordo com essas equações o que acontece à população de coelhos na ausência dos lobos b Calcule as soluções de equilíbrio e explique seus significados c A figura mostra a trajetória de fase que começa no ponto 1 000 40 Descreva o que acabará ocorrendo com as populações de coelhos e lobos d Esboce os gráficos das populações de coelhos e lobos como funções do tempo 10 No Exercício 8 modelamos populações de pulgões e joaninhas com um sistema LotkaVolterra Suponha que modifiquemos aquelas equações como a seguir dPdt 2P1 00001P 001PJ dJdt 05J 00001PJ a Na ausência de joaninhas o que o modelo prevê sobre os pulgões b Encontre as soluções de equilíbrio c Encontre uma expressão para dJdP d Use um sistema de computação algébrica para desenhar um campo de direções para a equação diferencial na parte c Então use o campo de direções para esboçar um retrato de fase O que as trajetórias de fase têm em comum e Suponha que no instante t 0 existam 1 000 pulgões e 200 joaninhas Desenhe a trajetória de fase correspondente e usea para descrever como ambas as populações variam f Use a parte e para fazer esboços das populações de pulgões e de joaninhas como funções de t Como os gráficos estão relacionados 1 a O que é uma equação diferencial b O que é a ordem de uma equação diferencial c O que é uma condição inicial 2 O que você pode dizer sobre as soluções da equação y x2 y2 apenas olhando para a equação diferencial 3 O que é um campo de direções para a equação diferencial y Fxy 4 Explique como o método de Euler funciona 5 O que é uma equação diferencial separável Como você a resolve 6 O que é uma equação diferencial linear de primeira ordem Como você a resolve Testes VerdadeiroFalso Determine se a afirmação é falsa ou verdadeira Se for verdadeira explique por quê caso contrário explique por que ou dê um exemplo que mostre que é falsa 1 Todas as soluções da equação diferencial y 1 y4 são funções decrescentes 2 A função fx ln xx é uma solução da equação diferencial x2 y xy 1 3 A equação y x y é separável Exercícios 1 a Um campo de direções para a equação diferencial y yy2y4 é mostrado Esboce os gráficos das soluções que satisfazem as condições iniciais dadas i y0 03 ii y0 1 iii y0 3 iv y0 43 b Se a condição inicial for y0 c para quais valores de c o lim t yt é finito Quais são as soluções de equilíbrio 2 a Esboce um campo de direções para a equação diferencial y xy Então useo para esboçar as quatro soluções que satisfazem as condições iniciais y0 1 y0 1 y2 1 e y2 1 b Verifique seu trabalho na parte a resolvendo a equação diferencial explicitamente Que tipo de curva é cada curva solução 3 a Um campo de direções para a equação diferencial y x2 y2 é mostrado Esboce a solução do problema de valor inicial y x2 y2 y0 1 Use seu gráfico para estimar o valor de y03 7 a Escreva uma equação diferencial que expresse a lei de crescimento natural O que ela diz em termos da taxa de crescimento relativo b Sob quais circunstâncias este é um modelo apropriado para o crescimento populacional c Quais são as soluções dessa equação 8 a Escreva a equação logística b Sob quais circunstâncias este é um modelo apropriado para o crescimento populacional 9 a Escreva equações de LotkaVolterra para modelar populações de peixes P e tubarões T b O que essas equações dizem sobre cada população na ausência da outra 4 A equação y 3y 2x 6xy 1 é separável 5 A equação ex y y é linear 6 A equação y xy ex é linear 7 Se y for a solução do problema de valor inicial dydt 2y1 y5 y0 1 então limt y 5 b Use o método de Euler com passo 01 para estimar y03 onde yx é a solução do problema de valor inicial na parte a Compare com sua estimativa da parte a c Em que retas estão localizados os centros dos segmentos de reta horizontais do campo de direções da parte a O que acontece quando uma curva solução intercepta essas retas 4 a Use o método de Euler com passo 02 para estimar y04 onde yx é a solução do problema de valor inicial y 2xy2 y0 1 b Repita a parte a com passo 01 c Encontre a solução exata da equação diferencial e compare com o valor em 04 com as aproximações nas partes a e b 58 Resolva a equação diferencial 5 y xesen x y cos x 6 dxdt 1 t x tx 7 2y ey2 y 2x 3 x 8 x2 y y 2x3 e1x 911 Resolva o problema de valor inicial 9 drdt 2tr r r0 5 10 1 cos x y 1 ex sen x y0 0 11 xy y x ln x y1 2 12 Resolva o problema de valor inicial y 3x2 ey y0 1 e trace a solução 1314 Encontre as trajetórias ortogonais da família de curvas 13 y kex 14 y ekx 15 a Escreva a solução do problema de valor inicial dPdt 01P1 P2000 P0 100 e usea para encontrar a população quando t 20 b Quando a população atinge 1 200 16 a A população mundial era de 528 bilhões em 1990 e 607 bilhões em 2000 Encontre um modelo exponencial para esses dados e useo para prever a população mundial no ano 2020 b De acordo com o modelo na parte a quando a população mundial excederá 10 bilhões c Use os dados na parte a para encontrar um modelo logístico para a população Considere uma capacidade de suporte de 100 bilhões A seguir use o modelo logístico para prever a população em 2020 Compare sua previsão com o modelo exponencial d De acordo com o modelo logístico quando a população mundial excederá 10 bilhões Compare com suas previsões na parte b 17 O modelo de crescimento de Von Bertalanffy é usado para prever o comprimento Lt de um peixe em um período de tempo Se L for o maior comprimento para uma espécie então a hipótese é que a taxa de crescimento do comprimento seja proporcional a L L o comprimento que o peixe ainda pode crescer a Formule e resolva uma equação diferencial para encontrar uma expressão para Lt b Para o hadoque do Mar do Norte foi determinado que L 53 cm L0 10 cm e a constante de proporcionalidade é 02 Como é a expressão para Lt com esses dados 18 Um tanque contém 100 L de água pura Água salgada contendo 01 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 10 Lmin A solução é agitada e retirada do tanque na mesma taxa Quanto sal permanece no tanque depois de seis minutos 19 Um modelo para a propagação de uma epidemia é que a taxa de propagação é proporcional ao número de pessoas infectadas e ao número de pessoas não infectadas Em uma cidade isolada de 5 000 habitantes 160 pessoas têm uma doença no começo da semana e 1 200 no fim da semana Quanto tempo levará para 80 da população se contaminar 20 A Lei de BrentanoStevens em psicologia modela a maneira como um objeto de estudo reage a um estímulo Ela estabelece que se R representar a reação à quantidade de estímulo S então as taxas relativas de aumento são proporcionais 1R dRdt kS dSdt onde k é uma constante positiva Encontre R como uma função de S 21 O transporte de uma substância através de uma parede capilar na fisiologia pulmonar tem sido modelado pela equação diferencial dhdt RV h k h onde h é a concentração de hormônio na corrente sanguínea t é o tempo R é a taxa máxima de transporte V é o volume do capilar e k é a constante positiva que mede a afinidade entre os hormônios e as enzimas que auxiliam o processo Resolva essa equação diferencial para encontrar uma relação entre h e t 587 PROBLEMAS QUENTES 10 a Suponha que o cachorro no Problema 9 corra duas vezes mais rápido que o coelho Encontre uma equação diferencial para a trajetória do cachorro Então resolvaa para encontrar o ponto onde o cachorro pega o coelho b Suponha que o cachorro corra com a metade da velocidade do coelho Quão pró ximo o cachorro chega do coelho Quais são suas posições quando eles estão o mais próximo possível 11 Um engenheiro deve apresentar algumas estimativas à sua companhia sobre uma nova planta de alume considerando a capacidade de um silo desenhado para conter minério de bauxita até este ser processado em alume O minério parece pó de talco corderosa e é despejado a partir de uma esteira transportadora no topo do silo O silo é um cilin dro de 30 m de altura com raio de 60 m A esteira transportadora carrega 1500p m 3h e o minério mantém um formato cônico cujo raio é 15 vez a sua altura a Se em um instante t determinado a pilha tiver 20 m de altura quanto tempo le vará para ela alcançar o topo do silo b A administração quer saber quanto espaço restará no chão do silo quando a pilha tiver 20 m de altura Quão rápido está crescendo a área preenchida no chão quando a pilha estiver a essa altura c Suponha que um carregador comece a remover o minério a uma taxa de 500p m 3h quando a altura da pilha alcança 27 m Suponha também que a pilha continue a manter seu formato Quanto tempo levará para a pilha atingir o topo do silo nes sas condições 12 Ache a curva que passa pelo ponto 3 2 e que tem a propriedade de que se a reta tan gente for desenhada em qualquer ponto P na curva a parte da reta tangente que está no primeiro quadrante será dividida ao meio por P 13 Lembrese de que a reta normal a uma curva em um ponto P na curva é a reta que passa por P e é perpendicular à reta tangente em P Ache a curva que passa pelo ponto 3 2 e tem a propriedade de que se a reta normal for desenhada em qualquer ponto na curva cortará o eixo y sempre no ponto 6 14 Encontre todas as curvas com a propriedade de que se a reta normal for desenhada em qualquer ponto P na curva a parte da reta normal entre P e o eixo x será dividida em duas partes iguais pelo eixo y Cal09v2Layout 1 040809 1812 Page 587 728 Neste capítulo introduziremos vetores e sistemas de coordenadas para o espaço tridimensional introduzindo assim o cenário para estudarmos no Capítulo 14 o cálculo de funções de duas variáveis já que o gráfico de tais funções é uma superfície no espaço Neste capítulo veremos que vetores fornecem uma descrição particularmente simples de retas e planos no espaço 12 LONDRES LISBOA BERLIM OSLO MADRI PARIS ROMA A velocidade do vento é um vetor já que tem módulo direção e sentido Na imagem estão representados os vetores velocidade dos ventos sobre o Atlântico Norte e a Eu ropa Ocidental em 28 de fevereiro de 2007 Setas maiores indicam ventos mais intensos VETORES E A GEOMETRIA DO ESPAÇO Cal12v2Layout 1 040809 1822 Page 728 778 As funções que usamos até agora foram funções a valores reais Agora estudaremos funções cujos valores são vetores pois estas funções são necessárias para descrever curvas e superfícies no espaço Usaremos funções a valores vetoriais também para descrever o movimento de objetos no espaço Em particular nós as usaremos para deduzir as leis de Kepler para o movimento planetário 13 Os vetores tangentes mostram a direção para a qual uma curva espacial se dirige em qualquer ponto FUNÇÕES VETORIAIS Cal13v2Layout 1 040809 1824 Page 778 814 Até aqui tratamos o cálculo de funções de uma única variável No entanto no mundo real quantidades físicas frequentemente dependem de duas ou mais variáveis de modo que neste capítulo focalizaremos nossa atenção em funções de várias variáveis e esten deremos nossas ideias básicas do cálculo diferencial para tais funções 14 Funções de duas variáveis podem ser visualizadas por meio de curvas de nível que ligam pontos nos quais a função assume um valor dado A pressão atmosférica em um dado instante é uma função da longitude e da latitude e é medida em milibares As curvas de nível da Figura são chamadas isobáricas e unem as posições que registraram a mesma pressão em 7 de março de 2007 As curvas rotuladas 1028 por exemplo ligam pontos com pressão 1028 mb Os ventos na superfície tendem a fluir de áreas de alta pressão através de isobáricas para áreas de baixa pressão e são mais fortes onde as isobáricas estão mais concentradas DERIVADAS PARCIAIS Cal14v2Layout 1 040809 1825 Page 814 904 Neste capítulo estendemos a ideia de integrais definidas para integrais duplas e triplas de funções de duas ou três variáveis Essas ideias serão usadas para calcular volumes áreas de superfícies massas e centroides de regiões mais gerais do que as consideradas nos Capítulos 6 e 8 no Volume I Usaremos também as integrais duplas para calcular probabilidades quando duas variáveis aleatórias estiverem envolvidas Veremos que as coordenadas polares são úteis no cálculo de integrais duplas em alguns tipos de região De modo parecido introduziremos dois novos sistemas de coordenadas no espaço tridimensional coordenadas cilíndricas e coordenadas esféricas que simplificam muito o cálculo de integrais triplas em certas regiões sólidas que ocorrem frequentemente 15 Uma integral dupla de uma função positiva é um volume que é o limite das somas dos volumes de colunas retangulares INTEGRAIS MÚLTIPLAS Cal15v2Layout 1 040809 1836 Page 904 974 Neste capítulo estudaremos o cálculo de campos vetoriais esses campos são funções que associam vetores a pontos do espaço Em particular definiremos a integral de linha que pode ser utilizada para determinar o trabalho efetuado por um campo de força agindo sobre um objeto que se move ao longo de uma curva e definiremos a integral de superfície que pode ser usada para determinar a vazão de um fluido através de uma superfície As conexões entre esses novos tipos de integrais e as integrais unidimensionais duplas e triplas que já vimos são dadas por versões em maior dimensão do Teorema Fundamental do Cálculo conhecidas como Teorema de Green Teorema de Stokes e Teorema do Divergente 16 As equações paramétricas nos permitem traçar superfícies com formas estranhas e belas CÁLCULO VETORIAL Cal16v2Layout 1 040809 1838 Page 974 975 CAMPOS VETORIAIS Os vetores da Figura 1 representam os vetores velocidade do ar e indicam a velocidade es calar a direção e o sentido do vento em pontos a 10 m da superfície na área da baía de São Francisco Observe que os padrões de vento em dias consecutivos são bem diferen tes Associado a cada ponto do ar podemos imaginar um vetor velocidade do vento Este é um exemplo de campo vetorial de velocidade 161 FIGURA 1 Campos vetoriais de velocidade mostrando aspectos do vento na baía de São Francisco a 20 de fevereiro de 2007 12 horas b 21 de fevereiro de 2007 14 horas FIGURA 2 Campos vetoriais velocidade Nova Scotia a Correntes oceânicas em frente à costa de Nova Scotia b Escoamento do ar por um aerofólio inclinado Werle 1974 1 3 1 4 ha w Outros exemplos de campos vetoriais de velocidade estão ilustrados na Figura 2 cor rentes oceânicas e o escoamento por um aerofólio Outro tipo de campo vetorial chamado campo de força associa um vetor força a cada ponto da região Um exemplo é o campo de força gravitacional que examinaremos no Exemplo 4 Cal16v2Layout 1 040809 1838 Page 975 A1 A Números Desigualdades e Valores Absolutos B Geometria Analítica e Retas C Gráficos das Equações de Segundo Grau D Trigonometria E Notação Sigma F Demonstrações dos Teoremas G O Logaritmo Definido como uma Integral H Números Complexos I Respostas dos Exercícios de Números Ímpares APÊNDICES CalapenV2Layout 1 030809 1543 Page A1 A93 A Aberta região 994 Absolutamente série convergente 678 Absoluto máximo e mínimo 877 valores 882 Aceleração 799 Aceleração de uma partícula 787 componentes da 802 Adição de vetores 734 Afélio 633 Algébrica função 685 sistemas de computação 1008 Alternadas séries 673 676 séries harmônicas 675 Teorema da Estimativa das Séries 676 Testes das Séries 674 Amortecedor de choque 1066 Amortecidas vibrações 1066 Amortecimento constante de 1066 Angular momento 807 Ângulos diretores 744 Ângulos entre vetores 743 744 Antenas de satélites paraboloidais 770 caracterização geométrica de 751 Apolúnio 627 Aproximação pela Desigualdade de Taylor 702 por polinômios de Taylor 712 Aproximação Linear 854 Aproximação para um plano tangente 849 850 Arco comprimento de 601 619 791 Área da superfície 603 de um setor de um círculo 617 de uma superfície de revolução 600 em coordenadas polares 1003 pelo Teorema de Grenn 1003 sobre uma curva paramétrica 600 Argumento de um número complexo A56 Aritméticageométrica média 651 Árvore diagrama em 859 Assíntota de uma hipérbole 625 Astroide 597 Autônoma equação diferencial 545 Auxiliar equação 1054 Axioma da completude 648 B Bactérias crescimento das 564 Bactérias crescimento das 560 Beisebol posição para revezamento 570 velocidade de arremesso 570 Beisebol e Cálculo 569 Bernoulli equação diferencial de 575 James 575 John 550 593 Bessel Friedrich 688 função de 688 Bézier curvas de 592606 Bézier Pierre 606 Binomial série 705 Binomial Teorema 705 descoberta por Newton 711 Binormal vetor 795 Brahe Tycho 803 Braquistócrona problema da 593 Bruxa de Maria Agnesi 596 C C1 transformação 962 Cadeia regra da para várias variáveis 857 Calculadora gráfica 591 614 Humidex 836 Calor índice de 838 condutividade do 1033 equação de condução do calor 848 fluxo de 1033 Caminho 994 Campo conservativo 999 elétrico 979 força 979 gradiente 979 gravitacional 978 ÍNDICE REMISSIVO CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A93 A94MMCÁLCULO velocidade 978 vetor 976 Campo elétrico força por unidade de carga 979 Campos escalares 976 Canônica base dos vetores 738 Cantor conjunto 660 Georg 660 Capacidade de suporte 561 Característica equação 1054 Cardioide 610 Carga elétrica total 946 Carga 932 939 densidade de 939 densidade de 932 Cassini Giovanni 616 Cauchy AugustinLouis 914 CauchySchwarz Desigualdade de 748 Centro de massa 946 984 1013 Centro de massa de uma lâmina 932 de um sólido 947 Centroide de um sólido 946 Cicloide 592 Cilíndricas coordenadas 951 950 Cilindro 766 parabólico 766 Circulação de um campo vetorial 1039 Círculo equação do A16 Círculo de curvatura 796 Círculo máximo 960 Cissoide 596 626 Cissoide de Diocles 596 626 Clairaut Alexis 843 Teorema de 843 Cobb Charles 817 844 CobbDouglas função produção de 817 844 894 Cocleoide 636 Coeficiente de atrito estático 776 Coeficiente de atrito 776 Coeficiente binomial 705 Coeficientes binomiais 705 Coeficiente de uma série de potência 687 Cometas órbitas dos 634 Comparação Teste da 668 para séries 669 Complementar equação 1059 Completude Axioma da 648 Complexo conjugado A54 Componente função 966 de um vetor 736 746 Componentes funções 779 Componentes da aceleração 803 de campo vetorial 989 componente tangencial da aceleração 802 Composição de funções 834 Composição de funções continuidade da 832 Compostos juros 650 Comprimento de um vetor 737 de uma curva no espaço 791 de uma curva paramétrica 602 de uma curva polar 619 Computacionais sistemas algébricos 592 para fazer gráfico de sequência 893 Computador fazendo gráfico com 614 782 Conchoides 594 615 Condicionalmente série convergente 678 Condutividade 1033 Cone 769 Conexa região 996 Confronto Teorema do para uma sequência 644 Cônica seção equação polar 630 seções deslocadas 615 Cônicas seções 621 628 excentricidade 629 diretriz 629 foco 629 Cônicas transladadas 630 Conjugados propriedades dos A55 Conjunto fechado 882 Conjunto limitado 882 Conjunto limitado ou fechado 855 Conservação de energia 998 Conservativo campo vetorial 979 Constantes da mola 1068 Contínuas composição de juros 569 Contínuas expansão em frações 651 Continuidade de uma função 779 de uma função de duas variáveis 833 de uma função de três variáveis 834 Continuidade de função vetorial 781 Contorno curva de 1024 problema de 1057 Convergência absoluta 678 condicional 678 de uma sequência 642 de uma série 654 intervalo de 689 raio de 689 Convergente sequência 642 série 654 propriedades da 657 Coordenadas 729 cilíndrica 950 esférica 954 x 729 y 729 z 729 polar 607 Coordenadas cilíndricas equações de conversão para 766 Coordenados eixos 729 planos 729 Coplanares vetores 753 Coriolis aceleração de 811 Cornu espiral de 605 Corpo negro 720 Corrida de patins 944 Corrida na rampa 960 Cosseno função 635 Crescente sequência 647 Crescimento Lei do Natural 560 Crítico ponto 878 887 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A94 ÍNDICE REMISSIVOMMA95 Crítico vibração amortecimento 1067 Cunha esférica 956 Curvas aberta 982 comprimento da 791 conexa 982 de Bézier 592 606 de catástrofe em forma de rabo de andorinha 597 de contorno 1039 de nível 820 do aprendizado 541 do aprendizagem 576 de fronteira 1038 fechada 1001 Curva polar 583 comprimento de arco de 594 gráfico de 583 reta tangente à 586 simetria em 586 Curvas de contorno 820 Curvatura 792 no ponto P 605 Cúspide 594 D De Moivre Abraham A57 Decrescente sequência 647 Definida integral de uma função a valores vetoriais 788 Densidade de um sólido 946 de uma lâmina 932 Dependente variável 815 859 Derivação e integração termo a termo 669 Derivadas de ordem superior 841 de uma função a valores vetoriais 772 direcional 865 867 de uma série de potência 687 domínio da maximizando a 870 normal 1014 notação 838 parcial 836 838 segunda 787 valor máximo da 870 Desigualdade de CauchySchwarz 749 Deslocamento de um vetor 746 Determinante 740 Diferenciação de uma função vetorial 788 de uma série de potência 694 implícita 862 parcial 836 843 termo a termo 694 Diferencial equação 537 539 de Bernoulli 576 de primeira ordem 550 de segunda ordem 539 1053 linear 571 logística 652 não homogênea 1053 ordem da 539 parcial 843 separável 550 homogênea 1053 solução da 539 solução geral da 539 autônoma 545 Diferencial 853 Diferenciável função 851 Direção campo de 542 números que dão a 757 Direcional derivada 866 869 870 de uma função temperatura 940 maximizando a 867 Direções campo de 542 Direita regra da mão 729 750 Diretores cossenos 744 Diretriz 621 629 Distância entre planos 762 entre ponto e plano 755 761 entre ponto e reta 755 entre pontos no espaço 731 fórmula da em três dimensões 731 Divergência de um campo vetorial 1010 1042 de uma sequência 642 de uma série infinita 653 Teorema da 1042 Teste para 657 Divergente sequência 642 série 653 Divisão de série de potência 708 DNA 781 Domínio de uma função 834 Douglas Paul 816 844 Dupla integral 918 919 propriedades de 911 913 regra do ponto médio para 909 sobre regiões genéricas 918 sobre retângulos 907 mudança de variável na 965 em coordenadas polares 926 soma de Riemann 907 E Efeito Doppler 864 Eixos de uma parábola 553 Eixos coordenados 727 x 727 y 727 z 727 Elemento de um conjunto A3 Elétrica carga 946 Elétrico campo de força 979 fluxo 1021 circuito 573 1068 Eliminação constante do remédio 585 Elipse 623629 diretriz 630 eixo principal 623 equação polar 630 excentricidade 629 focos 623 629 propriedade da reflexão 624 vértice 623 Elipsoide 768 Elíptico paraboloide 768 Energia cinética 570 998 conservação da 998 potencial 998 Epicicloide 598 Equações auxiliares 1054 raízes complexas da 1056 raízes reais da 1055 Equação de condução do calor 847 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A95 A96MMCÁLCULO Equaçãos lebrelince 580 de Laplace 843 1011 de um plano 759 de uma esfera 732 de uma reta no espaço 756 757 diferencial ver Diferencial equação logística 561 do calor 848 linear 759 logística 538 diferencial 652 LotkaVolterra 577 onda 843 paramétrica 589 757 780 1015 polar 609 predadorpresa 577 da Onda 843 escalar de um plano 769 Equilíbrio ponto de 578 soluções de 584 577 Equipotenciais curvas 827 Erros estimados para séries alternadas 676 na aproximação de Taylor 713 Escalar 735 múltiplo de um vetor 735 produto 742 em forma de componente 742 propriedades do 742 equação 760 projeção 745 Escalares 976 campos 976 Esfera equação da 732 Esférica coordenada 956 Espaço tridimensional 729 curva no 780 781 Esperados valores 938 Estacionária solução 1070 Estimando a soma de uma série 671 676 680 664 Estratégia para testar séries 745 Estrofoides 684 Euler constante de 668 método de 545 Excentricidade 629 Exponencial ais função série de potência para 700 complexas A59 Extremo Teorema do Valor 882 F Família de hipocicloides 587 de soluções 537 Fase Plano de 578 trajetórias de 579 retrato de 578 Fechada superfície 1018 Ferramenta gráfica Ver sistema de computação algébrica Fibonacci 651 sequência de 642 Final ponto de uma curva 590 Floco de neve 725 curva 725 Fluido fluxo do 769 Fluxo linha de 981 elétrico 1033 Foco de uma elipse 629 de uma parábola 621 de uma seção cônica 629 Focos de uma elipse 623 de uma hipérbole 625 Foguetes ciência dos 895 Fólio de Descartes 638 Fonte 1045 Força campo de 979 Força centrípeta 801 Força elétrica 979 Forçadas vibrações 1068 Forma de andorinha curva de catástrofe em 597 Formas vetoriais do Teorema de Green 1014 1015 Fórmulas do ângulo duplo A29 Fórmula de Euler A59 FrenetSerret fórmulas de 798 Fronteira 1047 lisa 792 lisa por partes 792 lisa por partes 983 malha 1003 no espaço 771 772 orientação da 1001 paramétrica 583 polar 609 simples 1001 Fubini Guido 914 Teorema de 914 941 Função a valores vetoriais Ver função vetorial Função de Airy 692 Função integrável 907 conversão para coordenadas cilíndricas 952 conversão para coordenadas esféricas 957 conversão para coordenadas polares 961 de uma função vetorial 779 funções de Airy 692 Funções homogêneas 865 Funçãoões componente 779 composta 834 comprimento de arco 792 contínua 779 833 de duas variáveis 815 de Gompertz 569 de n variáveis 824 de três variáveis 824 869 de várias variáveis 815 densidade conjunta 936 946 densidade de probabilidade 936 diferenciável 851 domínio de 815 gradiente de 867 gráfico de 817 818 harmônica 843 homogênea 865 implícita 861 limite de 829 832 linear 818 polinomial 833 potência 692 979 produção Cobb 844 894 CobbDouglas 817 racional 833 representações como uma série de potências de 692 valor máximo ou mínimo da 877 882 valor médio de 909 949 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A96 ÍNDICE REMISSIVOMMA97 valor vetorial 779 variação da 815 vetor 779 Bessel 640 688 1077 imagem de 817 Fundamental Teorema do Cálculo versões para dimensões superiores 1047 G Galileu 593 Gases lei dos 847 Gause G F 564 Gauss Karl Friedrich 1042 lei de 1033 Teorema de 1042 Gauss óptica de 717 Geometria do tetraedro 756 Geométrica série 653 Geratriz de uma superfície 766 Gompertz função 569 Gourdon Xavier 702 Grad 868 Gradiente campo vetorial 979 vetor 868 869 importância do vetor 873 Gráfica calculadora 591 596 Gráfico polar 609 Gráficos de uma curva paramétrica 590 de uma superfície 1012 polar 609 613 de uma função 817 818 por computadores 613 782 Gravitacional campo 979 Green George 1001 1029 identidades de 1014 Teorema de 1000 formas vetoriais 1011 1012 Gregory James 696 série de 696 H Harmônica função 843 série 656 Hecht Eugene 717 Hélice 780 Helicoide 1024 Hipérbole 624 629 assíntota 625 diretriz da 629 equação da 625 equação polar da 628 excentricidade da 629 focos da 625 629 ramos da 625 reflexão propriedades da 628 vértices da 625 Hiperbólico paraboloide 768 Hiperboloide 769 Hiperesfera 950 Hipocicloide 597 Homogênea Equação diferencial 1053 1068 Hooke lei de 1065 Horizontal plano 730 Huygens 593 I i número imaginário A54 i vetor da base canônica 738 i 738 757 Imagem 963 Implícita diferenciação 862 função 862 Teorema da Função 862 Importância do 873 Impulso de uma força 569 Inclinação da reta tangente à 553 com relação ao comprimento de arco 598 Inclinações campo de 543 Incompressível campo de velocidade 1001 Incremento 851 854 Independência de caminho 993 Independente variável 815 859 Indeterminados coeficientes 1060 Índice de sensação térmica 816 845 Inércia momento de 934 947 979 Infinita sequência ver Sequência Infinita série ver Série Inicial condição 540 ponto de uma curva paramétrica 590 Problema de Valor 540 1056 Integração de uma série de potência 694 revertendo a ordem da 922 termo a termo 694 parcial 913 Integralis dupla 907 918 iterada 913 superfície 1012 1018 tabela de contracapa Testes da 661 tripla 940 941 942 linha 975 981 982 985 múltipla 961 de uma função vetorial788 definida de funções a valores vetoriais 789 definida 905 Integrante fator 571 Intermediária variável 859 Intersecção de gráficos polares 618 de três cilindros 891 954 Intersecção de gráficos polares área de 594 Intervalo de convergência 689 Inversa transformação 962 da função trigonométrica envolvente 597 Involuta 606 Irrotacional campo de vetores 1010 Isotérmicas 821 Iterada integral 922 J j 739 jvetor da base canônica 738 Jacobi Carl 964 Jacobiano 964 967 Jacobiano de uma transformação 964 968 Juros compostos continuamente 650 K k 739 k vetor da base canônica 738 de uma função vetorial 749 para funções de duas variáveis 761 Kepler Johannes 803 lei de 804 807 Kirchhoff leis de 544 549 1069 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A97 A98MMCÁLCULO L Lagrange Joseph 889 multiplicadores de 888 889 892 Lâmina 1008 Laplace equações de 843 1011 operador de 1011 Pierre 843 Lei da Conservação de Energia 999 do crescimento natural 560 de conservação do momento angular 807 Leibniz Gottfried Wilhelm 550 631 711 Limaçons 614 Limitada sequência 648 Limitado conjunto 882 Limites de duas variáveis 832 de três variáveis 833 de uma função a valor vetorial 779 de uma função 829 de uma sequência 642 leis de para sequência 643 superior mínimo 642 Teste da Comparação do 670 Linear aproximação 850 851 854 equação 761 diferencial 571 1053 função 811 combinação 1053 Linear para um plano tangente 848 849 Linearidade 911 Linearidade da integral 911 para uma curva no espaço 1036 para uma curva plana 982 Linearização 850 Linearmente solução independente 1053 Linha as aerodinâmica 969 de corrente 981 integral de 981 982 985 de campos vetoriais 976 Teorema Fundamental para 1047 com relação ao comprimento do arco 985 no espaço 974 Lisa curva 792 superfície 1019 Lissajous figuras de 597 Litotripsia 624 Local máximo e mínimo 877 Logística equação de diferença 652 equação de diferencial 538 538 seqüências 652 Logístico modelo 538 LORAN sistema de 627 LotkaVolterra equações de 577 M Maclaurin Colin 699 série de 699 Magnitude de um vetor 735 Maior eixo da elipse 623 Mapa de contorno 820 Marginal propensão a consumir ou a economizar 659 Massa 932 946 984 1012 centro de 032 946 984 1012 Massa de uma lâmina 933 de um sólido 947 Massa centro de Ver centro de massa CobbDouglas para custos de produção 844 Matemática indução 648 Máximo e mínimo absoluto 833 Máximo e mínimo valores 877 832 Média Y 938 Médio Teorema do Valor para integrais duplas 971 valor de uma função 909 949 Método dos Mínimos Quadrados 886 dos Multiplicadores de Lagrange 892 Método dos coeficientes indeterminados 1059 1062 Misturas problemas de 554 Möbius faixa de 1024 Modelando com equações diferenciais 537 crescimento da população 537 custo de produção 816 844 894 movimento de uma mola 538 Modelos matemáticos comparação do crescimento natural versus logístico 564 crescimento sazonal 569 predadorpresa 577 von Bertalanffy 584 Gompertz função de 569 Módulo A55 Mola constante da 538 1066 Momento de inércia 934 947 979 de um objeto 569 de um sólido 946 de uma lâmina 932 em torno de um eixo 932 em torno de um plano 947 polar 935 segundo 934 Momento de inércia polar 934 Monótona Monotônica sequência 647 Teorema da Sequência 648 Movimento no espaço 799 804 das luas e planetas 632 de satélites 632 Movimento de uma mola força que afeta o de decaimento 1067 ressonância 1068 restauradora 1066 Mudança de variáveis em integrais duplas 965 em integrais múltiplas 961 em integrais triplas 967 Múltipla integral 961 Multiplicação de séries de potências 708 Multiplicação de vetores por escalar 735 Multiplicador de Lagrange 888 889 efeito 659 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A98 ÍNDICE REMISSIVOMMA99 N Não homogênea equação diferencial 1053 1058 Natural Lei do Crescimento 560 Newton Lei da Gravitação de 804 966 Lei de Resfriamento de 542 sir Isaac 804 Segunda Lei de 800 804 1064 Nicomedes 594 Nívelis de uma pressão barométrica 874 de curvas 820 de temperatura média do mundo 821 superfície de 824 plano tangente à 872 Nó trevo 782 Normal componente da aceleração 802 derivada 1014 plano 796 reta 872 vetor 759 796 Notação de conjunto A3 Números complexos A54 argumento de A56 forma polar de A55 igualdade de A54 módulo de A55 multiplicação de A54 A56 parte imaginária de A54 parte real de A54 potências de A57 raiz quadrada principal de A55 raízes de A58 divisão de A55 A56 O Octante 729 Onda equação da 843 Óptica de Gauss 717 de primeira ordem 717 Órbita 804 Órbita dos planetas 623 Ordem de uma equação diferencial 539 revertendo da integração 923 Ordem maior derivadas 841 Ordenada tripla 729 Oresme Nicole 656 Orientação de uma curva 1000 de uma superfície 1017 1018 Orientada superfície 1029 Ortogonalis vetores 744 trajetória 552 superfície 876 projeção 749 Osculador círculo 796 plano 796 Ostrogradsky Mikhail 1042 Óptica de terceira ordem 718 Ovais de Cassini 616 P Padrão de ventos na baía de São Francisco 975 para Integral de linha 980 Parábola 621 629 diretriz da 621 eixo da 622 equação da 622 equação polar da 628 foco da 621 628 vértice da 621 Parabólico cilindro 766767 Paraboloide 767 Paralelepípedo 753 Paralelogramo Lei do 734 748 Paralelos planos 760 Paralelos vetores 735 Paramétricas curva 780 equações 583 da reta 757 de uma curva espacial 780 de uma reta no espaço 792 de uma superfície 1015 superfície 1012 1015 1018 Parametrização de uma curva no espaço 792 Parametrização lisa 792 comprimento de arco de 793 797 Parametrizada curva 589 Parâmetro 589 756 780 Parcialis derivada 836 839 de uma função com três ou mais variáveis 824 notações para 838 regras para determinar 839 segunda 841 equação diferencial 843 integração 914 somas de uma série 653 Partícula movimento de uma 799 Periélio 633 Perilúnio 627 Perpendiculares vetores 744 Planck Lei de 720 Planetário movimento 804 Planos 759 coordenados 729 equação do 756 759 horizontal 730 normal 796 paralelo 760 tangente a superfície 849 872 1019 Planos não paralelos 735 Polares coordenadas 607 eixo 607 equaçãoões gráfico de 609 de cônicas 607 Polar forma de um número complexo A55 retângulo 926 Polinomial função de duas variáveis 833 Polinômio de Taylor de grau n 700 Polo 607 Ponto amostra 906 Ponto final de uma curva parametrizada 590 Pontos no espaço conversão de integrais duplas par 961 962 equações de conversão para coordenadas cartesianas 608 Pontos estacionários 878 Ponto médio regras do para integral dupla 909 para integral tripla 948 População crescimento da 537 da bactéria 537 de peixe 566 de modelos 560 do mundo 538 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A99 A100MMCÁLCULO Por partes curva lisa 983 Por trechos curva lisa 792 Posição padrão de um ângulo A25 Posição vetor 736 Positiva função 907 orientação de uma curva 1024 1000 de uma superfície 1018 Potência Potência série de 687 coeficientes de 687 divisão de 708 integração de 694 intervalo de convergência 689 multiplicação de 708 raio de convergência 689 diferenciação de 694 representações de funções como 692 Potencial energia 998 função 979 Predador 576 Predadorpresa modelo 577 Presa 576 Primeira Equação diferencial de ordem 571 ordem óptica de 717 Primeiro octante 729 Principal vetor normal unitário 795 Princípio da superposição 1061 Princípio de Arquimedes 1047 Probabilidade 936 função densidade 936 Produtividade marginal 844 Produto escalar 742 Produto interno 742 Produto misto 753 triplo 753 escalar 753 vetorial 753 Produto vetorial propriedades do 753 Projeção 729 745 Projétil 597 801 psérie 663 Q Quadrática aproximação 887 Quádrica superfície 767 gráfico da 768 R Racional função 834 Radiação das estrelas 720 Radiação de corpo negro 720 Raio de convergência 689 de giração 935 Raiz quadrada principal de um número complexo A55 Raiz Teste da 681 Raízes de um número complexo A58 Ramos da hipérbole 625 RayleighJeans Law 720 Razão Teste da 679 Rearranjo de uma série 682 Referencial TNB 795 Reflexão propriedades da de uma elipse 624 de uma hipérbole 628 Região aberta 982 conexa 996 do tipo I 1001 do tipo II 1002 simples 1002 sólida simples 1042 simplesmente conexa 996 Região plana do tipo I ou do tipo II 944971 Região plana do tipo I 942 Região plana do tipo II 942 Região plana simples 1036 Região polar área de 617 Região sólida do tipo 1 2 ou 3 942 Regra da mão direita 729 750 Regrada superfície 772 Relação de recursão 1074 Relativa taxa de crescimento 561 Representações de um vetor 736 Ressonância 1068 Resto de uma série de Taylor 701 Resto estimativa do para o Teste da Integral 665 para o Teste da Razão 681 para o Teste de comparação 671 672 para uma série alternada 676 Restrição 890 894 Resultante força 740 741 Retas Retas no espaço normal 872 tangente 786 equações paramétricas de 757 equações simétricas de 823 no plano equação vetorial de 756 Reta vertical 757 Retangular sistema de coordenada 730 Reversas ordem da integração 922 retas 759 Riemann somas de para integral múltipla 907 Roberval Gilles de 600 Rosa de quatro pétalas 610 Rotacional de um campo vetorial 1007 S Sazonal modelo de crescimento 569 Secções transversais 766 Segunda derivada 539 parcial 841 ordem equação diferencial de 539 Segunda derivada de uma função vetorial 760 Segundo momento de inércia 934 Sela do cachorro 827 Sela do macaco 827 Sela ponto de 878 Semiespaço 824 Seno função série de potência da 703 Seno série de potências para a função 703 Separável equação diferencial 549 550 Sequências 641 Sequência convergente 642 crescente 647 de Fibonacci 642 de somas parciais 653 decrescente 647 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A100 ÍNDICE REMISSIVOMMA101 divergente 642 gráfico da 645 limitada 647 limite de 642 monótona 647 termos da 642 Série 652 absolutamente convergente 678 alternada 673 binomial 705 coeficiente da 687 condicionalmente convergente 678 convergente 653 de Gregory 696 de potência 747 divergente 653 estratégia para teste 684 geométrica 653 harmônica 656 infinita 652 Maclaurin 759 psérie 663 rearranjo da 682 soma da 653 soma parcial da 653 Taylor 698 termo da 640 série de potência da 687 harmônica alternada 675 677 trigonométrica 687 Série de Fourier finita Série harmônica alternada 652 Setor de um círculo 617 Sierpinski carpete de 660 Simétricas equações de uma reta 757 Simples curva 995 movimento harmônico 1065 região 1001 sólida 1042 Simplesmente conexa região 996 Simpson Thomas 903 Sólida região 1044 Sólido volume do 960 961 ângulo 1051 Solução curva 542 soluções da 1046 da equação predadorpresa 577 de uma equação diferencial em série 1072 Soma de uma série geométrica 654 de uma série infinita 653 de vetores 734 Telescópica 655 Sorvedouro 1045 Stokes Stokes sir George 1036 Stokes Teorema de 1036 Suave Subamortecido vibração 1067 Superamortecido vibração 1067 Superfície área da de uma superfície paramétrica 600 de uma superfície z fx y 940 de uma esfera 603 de nível 824 de revolução representação para métrica da 1018 fechada 1018 gráfico da 1016 integral de 1026 lisa 1019 orientada 1029 paramétrica 1094 1015 1019 quádrica 767 de nível 824 T T1 Transformação inversa 962 Tangencial componente da aceleração 802 Tangente plano a uma superfície de nível 872 a uma superfície paramétrica 1019 a uma superfície z f x y 849 851 aproximação 851 Tangente reta a uma curva paramétrica 598 a uma curva no espaço 774 a uma curva polar 611 vetor 786 Tautócrona problema 593 Taylor Brook 699 desigualdade de 701 polinômio de 700 887 série de 659 Telescópica soma 655 Temperaturaumidade índice da 825 836 Teorema de De Moivre A57 Teorema do Confronto para sequências 644 Terminal ponto de um vetor 734 velocidade 557 Termo a termo diferenciação e integração 694 de uma sequência 641 de uma série 645 Teste de comparação para integrais impróprias 661 Teste da segunda derivada 878 Testes para Convergência e Divergência de Série da Comparação do Limite 670 da Integral 663 da Razão 679 da Série Alternada 674 da Raiz 681 para Divergência 657 Tetraedro 756 Thomson William lorde Kelvin 1001 1036 Tipo 1 região sólida do 942 2 região sólida do 943 3 região sólida do 944 I região do plano do 919 II região do plano do 920 Torcida cúbica 782 Toro 1025 Toroide espiral 782 Torque 753 Torre de resfriamento hiperbólica 772 Torricelli Evangelista 557 Total diferencial 853 Trabalho 746 977 Traços 766 Trajetória 801 CalremissivoLayout 1 060809 1108 Page A101 A102MMCÁLCULO Trajetória equações paramétricas para 801 Transferência curva 811 Transformação 962 jacobiano da 964 um a um 962 Triangular desigualdade para vetores 748 Triângulo Lei do 734 Tridimensional sistema coordenado 730 Trigonométrica Série 687 Tripla soma de Riemann 941 Tripla integral 941 sobre uma região geral limitada 942 em coordenadas esféricas 950 ponto médio regra do para 948 aplicações da 945 em coordenadas cilíndricas 950 Tripla Ver integral dupla integral tripla Triplo produto 753 Trocoide 596 Turbina hidráulica otimização da 897 U Ultravioleta catástrofe do 720 Um a um transformação 962 Unitário vetor 739 normal 795 V Valor Absoluto A55 Valores máximo e mínimos locais 900 Variação de parâmetros 1059 Variação dos parâmetros método de 1059 Variávelis aleatória independente 937 dependente 815 859 independente 815 859 intermediária 859 Variáveis mudança de Ver mudança de variáveis Velocidade 799 campo 978 padrão de vento 975 correntes oceânicas 976 fluxo do ar 976 vento 975 Velocidade angular 800 Verhulst 538 Vértices de uma elipse 623 de uma hipérbole 625 de uma parábola 621 Vetor força 975 Vetor ndimensional 950 Vetor secante 785 Vetores equivalentes 734 irrotacional 1010 i j e k 738 gradiente 868 módulo do 737 multiplicação de 735 múltiplo escalar do 735 negativo 735 normal 796 normal unitário 795 normal unitário principal 795 ortogonal 744 paralelo 735 perpendicular 744 posição 736 produto escalar 742 produto triplo 753 produto vetorial de 749 753 projeção 745 propriedades do 738 representações de 737 soma de 734 subtração de 735 tangente 855 tangente unitário 855 tridimensional 737 unitário 739 unitário vetor 739 unitário normal vetor normal 795 unitário normal principal 795 unitário tangente vetor tangente 786 velocidade 799 zero 734 Vetores 734 aceleração 799 adição de 734 ângulos entre 743 744 bidimensional 737 binormal 795 componentes do 736 comprimento do 737 coplanares 753 deslocamento 746 diferença de 735 equivalentes 734 força 967 Vetorialis projeção 745 equação de um plano 759 de uma reta 756 produtos 749 triplo 753 campo 976 978 conservativo 979 999 divergente do 1007 fluxo do 1031 gradiente 979 incompressível 1011 irrotacional 1010 rotacional do 1007 velocidade 978 função a valores 779 contínua 779 derivada da 785 limite da 779 Vibraçãoões 1065 1068 da mola 1065 de uma membrana de borracha modelo da 688 Vibração de uma mola 1065 Vínculos 892 Volterra Vito 577 Volume de um sólido 907 por integral dupla 907 por integral tripla 945 de hiperesferas 950 Von Bertalanffy modelo de 584 W Wren sir Christopher 603 Z Zero vetor 734 CalremissivoLayout 1 040809 0953 Page A102 VOLUME 2 Neste volume continuação de Cálculo vol 1 capítulos 1 a 8 James Stewart mantém o estímulo e o apreço dos estudantes pelo cálculo defendendo seu papel fundamental inclusive na percepção e no entendimento do mundo natural dos fenômenos mais corriqueiros à nossa volta Cálculo vol 2 capítulos 9 a 17 traz temas importantes como equações diferenciais vetores integrais entre outros complementando a obra sobre cálculo de maior sucesso no mundo Esta 6ª edição de Cálculo traz diversas inovações em relação à edição anterior Algumas seções e capítulos foram reformulados Mais de 25 dos exercícios são novos e os exemplos tiveram seus dados modernizados Em muitos deles as unidades foram alteradas do sistema norteamericano para o Sistema Internacional de Unidades Revista e atualizada a obra mantém o espírito das edições anteriores apresentando exercícios graduados com progressão cuidadosamente planejada desde conceitos básicos até problemas complexos e desafiadores Os exemplos e exercícios agora têm perspectiva global incluindo dados inspirados em países da Ásia e América Latina Aplicações Livrotexto para a disciplina cálculo nos cursos de Matemática e Engenharia Para suas soluções de curso e aprendizado visite wwwcengagecombr Sobre o autor James Stewart é mestre pela Universidade de Stanford e PhD pela Universidade de Toronto Após dois anos na Universidade de Londres tornouse professor de Matemática na McMaster University Seus livros foram traduzidos para diversos idiomas como espanhol português francês italiano coreano chinês e grego Stewart foi nomeado membro do Fields Institute em 2002 e recebeu o doutorado honorário em 2003 pela McMaster University O Centro de Matemática James Stewart foi aberto em outubro de 2003 também na McMaster University cálculo VOLUME 2 JAMES STEWART cálculo TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTEAMERICANA VOLUME 2 Outras Obras Álgebra Linear David Poole Análise Numérica Tradução da 8ª edição norteamericana Richard L Burden e J Douglas Faires Cálculo Volume 1 Tradução da 6ª edição norteamericana James Stewart Cálculo Numérico aprendizagem com apoio de software Selma Arenales e Artur Darezzo PréCálculo 2ª edição revista e atualizada Valéria Zuma Medeiros Coord André Machado Caldeira Luiza Maria Oliveira da Silva Maria Algusta Soares Machado Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências Jay L Devore Vetores e Matrizes Uma introdução à álgebra linear 4ª edição Nathan Moreira dos Santos Doherty Andrade e Nelson Martins Garcia cálculo J A M E S S T E W A R T POSSUI MATERIAL DE APOIO TRADUÇÃO DA 6 EDIÇÃO NORTEAMERICANA para professores que comprovadamente adotam a obra POSSUI MATERIAL DE APOIO para professores que comprovadamente adotam a obra AFcalculo2pdf 1 2312012 114857 ISBN 13 9788522112746 ISBN 10 8522112746 9 788522 112746