Modelagem e Métodos Numéricos: Balanço de Massa, Energia e Aplicações - Newton-Raphson, Gauss, Runge-Kutta

P2 Modelagem Balanço de massa Balanço de energia Métodos numéricos Métodos numéricos aplicados 1 Método de NewtonRaphson Expansão de uma equação não linear em série de Taylor em torno de uma raiz estimada xn Xn1 xn fxn fxn Método iterativo fxn não pode ser 0 Chute inicial xn valor escolhido no chute fxn função com o valor substituído derivada de fxn xn1 resultado xn Exemplo fx x2 ex 0 Chute inicial i 0 x 0 x1 0 02 e0 20 e0 1 i 1 x 1 x2 1 12 e1 21 e1 0733 i 2 x 0733 2 Método de eliminação de Gauss Solução de equações lineares simultaneamente Exemplo 3x1 18x2 9x3 38 2x1 3x2 3x3 117 4x1 x2 2x3 283 Multiplicar e subtrair equações Olhar a resolução do caderno Planilha do Excel Atividade modelagem 3003 Matriz coeficientes Matriz constantes Matriz inversa Resultados Olhar planilha pver os comandos 3 Método de substituição de GaussSeidel Equações algébricas lineares simultâneas Restrição os coef da diagonal deve ter seu valor absoluto maior que a soma dos demais termos na equação Exemplo 3x1 01x2 02x3 785 01x1 7x2 03x3 193 03x1 02x2 10x3 74 31 1031 1021 71 1031 1031 101 1031 1021 Etapas 1 Estimase x2 e x3 2 Calculase x1 pela 1ª equação 3 Calculase x2 com x1 e x3 2ª eq 4 Calculase x3 com x2 e x1 3ª eq 5 Repetir até a convergência E x13 x32x33 100 0 2ª iteração x2 e x3 são os calculados na 1ª it Planilha do Excel Atividade modelagem 0604 OLHAR 4 Método de RungeKutta para equações diferenciais ordinárias Os EDOs devem estar na forma canônica yx yx x 2ª ordem K1 hfxn yn K2 hfxn hi yn K1 Yn3 yn 5 K1 K2 3ª ordem K1 hfxn yn K2 hfxn h2 yn K12 K3 hfxn h yn 2K2 K3 Yn 3 yn 56 K1 4K2 K3 4ª ordem K1 hfxn yn K2 hfxn h2 yn K12 K3 hfxn h2 yn K22 K4 hfxn h yn K3 Yn 5 yn 36 K1 2K2 2K3 K4 Planilha Excel Atividade modelagem 1308 Métodos numéricos para sistemas de EDOs dy1dx fx y1 y2 yn nº incógnitas nº equações dy2dx fx y1 y2 yn Sistemas de EDOs muito comum em problemas práticos na eng Método de RungeKutta Adaptado 2ª ordem K1j hfx y1 y2 yn K2j hfx h y3 K3j y2 K2j ym K1n Yn1j y0j 12 K1j K2j Métodos numéricos para EDOs de 2ª ordem O método de RungeKutta pode ser adaptado para equações diferenciais de 2ª ordem do tipo y fx y y 1 Método de RungeKutta Adaptado 2ª ordem K3 hyn K3 hfxn yn yn K2 hyn K3 K2 hfxn h yn K3 yn K1 Yn3 yn 12 K3 K2 yn3 yn 12 K3 K2 Métodos numéricos para EDOs com condição de contorno 1 RungeKutta Diferenças finitas Uma equação diferencial linear é transformada em um conjunto de equações algébricas simultâneas que podem ser resolvidas por eliminação de Gauss fx fx x fx x diferenças progressivas fx fx fx x x diferenças regressivas fx fx x fx x 2 x diferenças centradas fx fx x 2fx fx x x2 d²ydx² yi1 2yi yi1 x² intervalo EDOs lineares com condição de contorno Diferenças finitas EDOs não lineares Tentativa e erro EXERCÍCIOS PRÁTICOS PRÁTICA 1 Uma reação química ocorre em uma série de 3 reatores CSTR reação irreversível do tipo A B Inicialmente o regime é estacionário com CA0 08 molsm³ Em t0 esta concentração sobe para 38 molsm³ Obter o perfil das concentrações a partir de t0 overlineτ 2 minutos e K05 min¹ não precisa do volume Perfil de concentrações variação das conc em função do tempo 1º REATOR BM po componente A acúmulo entra sai ger⁰ consumo V dCA1dt CA0F0 CA1F KCA1V F0 F p não ter acúmulo de massa global dCA1dt FV CA0 CA1 KCA1 dCA1dt 16 CA0 CA1 KCA1 1 2º REATOR dCA2dt 16 CA1 CA2 KCA2 2 SISTEMA DE 3 EDOS 3º REATOR dCA3dt 16 CA2 CA3 KCA3 3 PLANILHA EXCEL Atividade modelagem 1308 Resolução por RungeKutta de 2ª ordem Encontrar os valores de CA1 CA2 e CA3 ao longo do tempo PRÁTICA 2 Para h001m² Ta20ºC TJ40ºC e T2200ºC Obter o perfil de temperatura ao longo da barra Balanço de energia global acúmulo entfa sai ger⁰ consumo ddxkdTdx hTa T 0 condução convecção k unitário nverter para um sistema de EDOs de valores iniciais equivalentes kd²Tdx² hTa T 0 Kˉddx dTdxze hTa T 0 dTdx z z0 30 supor a condição inicial dzdx hTa T 0 T0 40 TJ T10 200ºC para conferir RESOLUÇÃO EXCEL RUNGE KUTTA 2ª ORDEM inverso Parecido com Atividade modelagem 2409 Ferramenta atingir metas OU APLICANDO DIFERENÇAS FINITAS Δx 305 Δx 2m d²ydx² y i1 2 y i y i1Δx² 0 10 0 2 4 6 8 k d²Tdx² hTa T 0 y i1 2 y i y i1Δx² hTa Ti 0 Ti1 2Ti Ti1 hTiΔx² hTa Δx² Ti3 Ti2 2 h Δx² Ti3 hTa Δx² PONTO 1 T2 TJ 2 h Δx² T0 hTa Δx² cte cte T2 204TJ 408 PONTO 2 T3 204T2 TJ 08 PONTO 3 T4 204T3 T2 08 PONTO 4 204T4 T3 2008 RESOLUÇÃO EXCEL ELIMINAÇÃO DE GAUSS Atividade modelagem 2408 TJ 6597 ºC T2 9378 ºC T3 12454 ºC T4 15948 ºC 204 1 0 0 408 1 204 1 0 08 0 1 204 1 08 0 0 1 204 2008 PRÁTICA 3 Exemplo anterior com o fenômeno da radiação d²Tdx² hTa T⁴ 0 radiação Para h510⁸m² Ta20ºC TJ40ºC e T2200ºC obter o perfil de temperatura ao longo da barra Kunitário dTdx z z0 30 condição inicial dzdx hTa T⁴ 0 T0 40ºC RESOLUÇÃO EXCEL RUNGEKUTTA DE 2ª ORDEM inverso Atividade modelagem 2708 Ferramenta atingir meta MODELAGEM MÉTODOS NUMÉRICOS ① EQUILÍBRIO QUÍMICO Reator batelada com reação reversível A B Ks e Kz são adimensionais Balanço de massa p o componente A acúmulo entra BATELADA sai geração consumo vdCAdt RAv KsCA KzCB Tornando o modelo adimensional y1 CACA0 e y2 CBCA0 não sabe se tem B no começo logo não pode dividir por CB0 Substituindo CA0dy1dt Ksy1CA0 Kzy2CA0 dy1dt y1Ks y2Kz Caso a reação seja A B C Balanço para A dy2dt Ksy3 Kzy2 BM p B acúmulo geração consumo dCBdt rB KsCA KzCB K3CB dCBdt KsCA CB Kz K3 γy CB CAO CA0 dyz dt K3 yA CA0 y2 CAO K2 K3 dyz dt y3 K3 y2 Kz K3 dy1 dt y3 K3 y2 k2 dyz dt y3 K3 y2 K2 K3 Simular para a K33000 K2Δ e K31 b K33000 K2Δ e K3500 Resolução Excel Runge Kutta de 2a ordem Atividade modelagem 0309 ② Destilação Equilíbrio vapor líquido V ya gás ideal Mistura ideal xa fração molar do componente volátil A no líquido yA no vapor M número de mols totais de líquido dentro do destilador V número de mols de vapor que saemunidade de tempo Balanço de massa acúmulo entra sai ger consumo acúmulo fluxo molar que sai dm dt V 1 mols totais Deixando 1 em termos do componente mais volátil A dMxadt VyA xa dmdt M dxadt VyA xaV M dxadt VyA dxadt Vm xa yA 2 yA também varia em função do tempo Aplicando o conceito de equilíbrio químico entre o vapor e o líquido Volatilidade relativa relacionada com o componente com maior ponto de ebulição B αAB yAxa yBxb αAB 1 B mais volátil que A αAB 1 A mais volátil que B Fase líquida mistura ideal Lei de Raoult PA PA xa e PB PB xb P pressão parcial P pressão do vapor Fase vapor gás ideal Lei de Dalton yA PAP yA PA xaP e yB PBP yB PB xbP αAB yAxa yBxb αAB PA xa P xa P PA PB xb xb αAB PA PB Pressão de vapor Equação de Antoine p 10A BCT Assumindo que o vapor e o líquido estão em equilíbrio no destilador yA αA xa j αA j xa 3 Substituindo 3 em 2 dxadt Vm xa αA xa j αA j xa 4 dmdt V dxadt Vm xa αA xa j αA j xa Resolução Excel RungeKutta de 2a ordem Atividade modelagem 1009 ③ Destilador Condensador com retorno Condensador m xc RVRtJ VRtJ volta pro destilador produto XH fração molar de heptano na mistura yH no vapor xc no condensador M mols totais no condensador S destilador V mols que saem do destilador unidade de tempo A taxa R refluxo é constante e é dada por LD onde L líquido que retorna para o destilador e D produto destilado V L D e parte do vapor condensado que retorna para a torre de todo vapor gerado é LV LV L LD tudo por D LD VD LD R LD DD LV LR1 L VR R1 nilarmente parte do vapor condensado D que sai como produto é DV DV D LD DV DV 1 R1 D V R1 BMG no destilador acúmulo entra sai ger consumo ds dt RV R1 V dsdt RV RV V R1 dsdt V R1 1 Relembrando α PA PB p 10AB CT yH α xH j αj xH BM po heptano no destilador acúmulo entra sai ger cons dSxHdt RV R1 xc VyH xH dSdt S dxHdt RV R1 xc V yH xH V R1 S dxHdt RV R1 xc V yH S dxHdt xH V R1 RV R1 xc V α xH j αj xH dxHdt 1S V R1 R xc xH VS α xH j αj xH 2 BMG no condensador acúmulo entra sai ger cons dmdt V RV R1 V R1 dmdt V RV V R1 dmdt V V R1 R1 dmdt V V 0 Confirmar entra sai nível de líquido permanece igual BM po heptano no condensador acúmulo entra sai ger cons dMxcdt VyH Vxc xc dMdt M dxcdt V yH V xc M dxcdt V yHxc dxcdt Vm α xH j αj xH xc 3 Resolução Excel Runge Kutta de 2a ordem Atividade modelagem 1409 4 TRANSPORTE DE CALOR POR CONDUÇÃO UNIDIMENSIONAL EM UMA ALETA RETANGULAR SUJEITA A CONVECÇÃO NA SUPERFÍCIE BEG acúmulo entra sai Q W regime permanente 0 entra sai Q 0 qx qx dx Q 0 Aplicando a LEI DE FOURIER condução térmica qx Ke dTdx qx dx qx dqdx dx δx Ke dTdx ddx Ke dTdx δx Q h 2 superfícies δx T Ta porque está perdendo calor área Δx Substituindo Ke dTdx Ke dTdx Ke dTdx² δx h 2 δx T Ta 0 Ke dTdx² δx h 2 δx T Ta EDO LINEAR com CONDIÇÃO DE CONTORNO Para h 5443 Wm²K Ta 267 C To 933 C e Tf 267 C K 138 WmK L 254 cm e espessura 064 cm Obter o perfil de temperatura ao longo da aleta USANDO DIFERENÇAS FINITAS d²ydx² yi1 2yi yi1Δx² KeTi1 2Ti Ti1Δx² 2h TiTa Ti1 2Ti Ti1 Δx² 2h TiΔx² 2h TaKe KeKe δ 2Δx² hKe Ti1 Ti2 Δx² 2hKe Ti1 2 Δx² h TaKe Ti1 Ti 2 δ Ti1 δ Ta 0 6 1 2 3 4 5 Δx 254 6 0423 cm 254 cm Ponto 3 T2 T3 2 δ To δ Ta T2 T3 2 δ 933 267 T2 T3 2 δ 267 933 1 Ponto 2 T3 T2 γ 2 T3 267 2 Ponto 3 T4 T3 2 δ T2 267 3 Ponto 4 T5 T4 2 δ T3 267 4 Ponto 5 T6 T5 2 δ T4 267 T5 2 δ T4 267 8 267 5 RESOLUÇÃO EXCEL ELIMINAÇÃO DE GAUSS Atividade modelagem 17 09 5 PRÁTICA DE OTIMIZAÇÃO Busca por máximos e mínimos Ponto ótimo fx 0 fx 0 ponto de máximo fx 0 ponto de mínimo MÉTODO UTILIZADO NEWTON RAPHSON Xn1 Xn fxfx Considerando o projeto de um reator isotérmico para produzir G molss de um produto B pela reação A B rA KCA² Desejase determinar o volume do reator a corrente de alimentação e a conversão que correspondem ao sistema mais lucrativo possível para os valores G 75 molshora Cm custo da matériaprima 06 1 mol de A Cr custo do reator custo operacional 035 hora m³ CAO 35 molm³ Lucro bruto LB GPv Ct Pv preço de venda do produto B mol de B ct custo total Gt CrV CmFCAO reator matéria prima B m no reator acúmulo entra sai ger cons 0 FCAO FCA KCA²V F CAO CA KCA²V 0 2 G F CAO CA 3 A partir de 2 KCA²V F CAO CA V F CAO CAKCA² 4 V G KCA² 5 A partir de 3 F GCAO CA 6 Substituindo 5 e 6 em 1 Ct CrG CmGCAO KCA² CAO CA 7 Ct para LB RESOLUÇÃO EXCEL MÉTODOS DAS DIFERENÇAS FINITAS Atividade modelagem 23 09 6 DIFUSÃO E REAÇÃO DE 1ª ORDEM IRREVERSÍVEL UNIDIMENSIONAL Bm G acúmulo entra sai ger cons Entra Fx Sai Fx dx reações Consumo KCA Difusão LEI DE FICK Fx D dCAdx molsm² Fx dx Fx dFxdx dx D dCAdx ddx D dCAdx dx Balanço 0 FxA Fx dFxdxA KCAV FxA Fx dFxdxA KCAV 0 D dCAdx D dCAdx D ddx dCAdx A KCAV 0 D d²CAdx² dx A KCAV 0 D d²CAdx² dx dy dz KCA dz dx dy D d²CAdx² K CA dCAdx z dzdx KCAD dCAdx z z0 350 suposto CA0 02 molm³ Para L 130e3 m K 130e3 1s D 1210⁹ m²s e CAO 02 molm³ Problema com condição de contorno x 0 CA CAO x L CA Condição de contorno móvel x L dCAdx 0 d²CAdx² KCAD ddx dCAdx KCAD dCAdx z dzdx KCAD RESOLUÇÃO EXCEL RUNGEKUTTA Atividade modelagem 24 09 Ferramenta atingir metas