03 Cap Hidráulica Aplicada as Ciências Agrárias - Raimundo Rodrigues Gomes Filho

CAPÍTULO 3\nHIDRODINÂMICA\n\nMarconi Batista Teixeira\nRaimundo Rodrigues Gomes Filho\nRobson André Armindo\n\n3.1. PRINCÍPIOS GERAIS\n\nFigura 1 – Linhas de fluxo de água dentro da tubulação.\n\nNa hidrodinâmica, estuda-se o movimento do fluido. Neste capítulo será realizado o estudo do movimento permanente, ou seja, quando a velocidade e a pressão não variam em um dado ponto com o tempo. Ademais, adotar-se-á que o movimento da água também será uniforme, ou seja, os pontos de uma mesma trajetória (linhas de fluxo) apresentam a mesma velocidade. Também será adotado o Sistema Internacional de medidas (SI).\n\n71 A vazão (Q), ou descarga, é representada por uma quantidade de fluido que atravessa uma determinada seção transversal por unidade de tempo. Na hidrodinâmica, essa quantidade é expressa em termos infinitesimais de volume (dV) de água que atravessa essa seção transversal (A) por uma unidade infinitesimal de tempo (dt).\n\nQ = \\frac{dV}{dt}\n\nEm que: \ndV : unidade infinitesimal de volume, m³;\ndt : unidade infinitesimal de tempo, s;\nQ : vazão do líquido no tubo, m³ s⁻¹.\n\nObservando-se a Figura 2, pode-se verificar que o escoamento, ou deslocamento infinitesimal (dS), do líquido no interior da tubulação de seção transversal (A) proporciona um infinitesimal volume (dV), por meio da seguinte relação:\n\nQ = \\frac{dV}{dt} = A \\frac{dS}{dt}\n\nMas, substituindo-se essa relação em (1), tem-se que\n\nQ = \\frac{dV}{dt} = A \\frac{dS}{dt}\n\nE, considerando-se que a velocidade (\\bar{v}) pode ser apresentada por\n\n\\bar{v} = \\frac{dS}{dt}\n\nEntão,\n\nQ = A.\\bar{v}\n\nEm que:\n\nA : área da seção transversal da tubulação, m²;\n\\bar{v} : velocidade de escoamento do líquido no tubo, m.s⁻¹. Figura 2. Líquido escoando em uma tubulação com seção transversal constante.\n\n3.2. REGIME DE ESCOAMENTO\n\nQuanto à direção da trajetória, o regime de escoamento de fluidos pode ser classificado em: laminar, transistório ou turbulento.\n\nNo regime laminar, as partículas do fluido percorram trajetórias paralelas, bem definidas. O escoamento laminar é também conhecido como lamelar ou tranquilo. No regime turbulento, as trajetórias são curvilíneas e irregulares, as partículas se deslocam desordenadamente. Elas se entrecruzam, formando uma série de minúsculos remoinhos. O escoamento turbulento é também conhecido como \"turbilhonário\" ou \"hidráulico\". Na prática, o escoamento dos fluidos quase sempre é turbulento. É o regime encontrado nas obras e instalações de engenharia, tais como adutoras, vertedores de barragens, fontes ornamentais, etc.\n\nO regime transistório é instável, ou seja, é um regime intermediário ao laminar e o turbulento.\n\nExperimento de Reynolds\n\nREGIME LAMINAR REGIME TURBULENTO\n\ncorante corante\n\nFigura 3. Experimento de Reynolds para demonstração dos regimes laminar e turbulento.\n\n73 Depois dessa experiência, os regimes de escoamento foram identificados por Reynolds, que estabeleceu um parâmetro adimensional denominado número de Reynolds (NR). O NR é definido pela relação entre as forças que promovem o escoamento e as forças resistivas ao escoamento (viscosas).\n\nNR = v.D\n v\n\nEm que:\nNR: Número de Reynolds, adimensional;\nD: diâmetro da tubulação, m;\nv: viscosidade cinemática da água, m2.s-1.\n\nA classificação do regime de escoamento segue os seguintes intervalos:\n\nRegime Laminar Regime de Transição Regime Turbulento\nNR ≤ 2.000 2.000 < NR < 4.000 NR ≥ 4.000\n\nRessalta-se que esses intervalos são utilizados como uma análise preliminar, quanto à turbulência do escoamento, uma vez que é possível identificar escoamentos do tipo laminar ou turbulento para outros intervalos de Número de Reynolds diferentes dos apresentados.\n\n3.3. EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE\n\nSejam A1 e A2 as áreas das seções retas em duas partes distintas de uma tubulação (Figura 4). As velocidades de escoamento em A1 e A2 valem, respectivamente, v1 e v2.\n\nPara um fluido incompressível, as quantidades do mesmo que passam pelas diversas seções transversais do tubo de fluxo, na unidade de tempo, devem ser iguais, ou seja, o volume que entra no tubo no tempo\n (dt) é aquele existente no cilindro de base (A1) e altura (x1), que pode ser determinada por x1 = v1.dt. Esse volume é igual àquele que, no mesmo tempo, sai da parte cuja seção transversal tem área A2.\n\nFigura 4. Seções transversais do tubo de fluxo – equação da continuidade.\n\nO volume escoado na seção 1 é igual ao volume escoado na seção 2, portanto tem-se:\n\ndV1 = dV2\nA1.dx1 = A2.dx2\n\nDividindo-se os dois lados da igualdade pelo tempo de escoamento (dt), teremos novamente a eq. (1), que resulta na vazão (Q).\n\nQ = Q1 = Q2 = Q3\n\nFigura 5. Tubulação de multidímetros (telescópica).\n Analisando-se novamente a eq. (4) em função da área, do infinito-sinal de tempo e altura do cilindro, chega-se à equação da continuidade, eq.(5)\n\nQ = A1.dx1\ndt = A2.dx2\ndt = A3.dx3\ndt\n\nQ = A1.v1 = A2.v2 = A3.v3\n\nNota-se que a velocidade de escoamento da água é inversamente proporcional à área da seção transversal para uma mesma vazão Q.\nNo escoamento permanente, a massa de fluido que passa por to-das as seções de uma corrente de fluido por unidade de tempo é a mesma.\n\nρ1.A1.v1 = A2.v2.ρ2\n\nEm que:\nρ: massa específica do fluido, kg m-3.\n\n3.4. EQUAÇÃO DE BERNOULLI PARA UM FLUIDO PERFEITO\n\nDaniel Bernoulli, mediante considerações de energia aplicada ao escoamento de fluidos, estabeleceu a equação fundamental da Hidrodinâmica. Tal equação é uma relação entre a pressão, a velocidade e a altura em pontos de uma linha de corrente.\nLinhas de corrente são curvas imaginárias tomadas através do fluido para indicar a direção da velocidade em diversas seções do escoamento no sistema fluido. Uma tangente a curva em qualquer ponto representa a direção instantânea da velocidade das partículas fluidas naquele ponto. No escoamento permanente de um fluido perfeito a energia total permanece constante. Portanto, a energia de um fluido no referido ponto, em qualquer momento, consta de três componentes, (Figura 6) e equação(7). 1. Cinética: é a energia proveniente da velocidade de deslocamento do fluido.\n2. Gravitacional: é a energia proveniente da cota altimétrica do fluido.\n3. Energia de pressão: é a energia proveniente da pressão atuante no fluido.\n\nEm que: \n: pressão, Pa ;\n: peso específico, N.m-3 ;\n: aceleração da gravidade, m.s-2 ;\n: carga piezométrica ou \"energia de pressão\" por unidade de peso específico, m.c.a.;\n: carga cinética, energia cinética por unidade de peso ou energia de velocidade, m.c.a.;\n: carga gravitacional ou energia potencial por unidade de peso, m.c.a.\n\nFigura 6. Equação de Bernoulli para um fluido perfeito. A seguir, apresentam-se as dimensões e as unidades apresentadas no teorema de Bernoulli para um fluido perfeito.\n\nFormas de \nEnergia Equação Dimensão Unidade\nEnergia Cinética - mv2/2 kg.mm.m/s2 = N.m = J J\nEnergia Cinética - mv2/2 = m.g J/N = N.m/N = mca\npor unidade de peso\nEnergia Potencial - mg.z kg.(m/s2) = N.m = J J\ngravitacional\nEnergia Potencial - mg.z = z J/N = N.m/N = m mca\ngravitacional por unidade de peso\nEnergia de volume E/V J = N.m/m3 = m3 Pa\n(\"Energia de Pressão\")\n\"Energia de Pressão\" Ep = P/y N/m2 = N/m3 = m mca\npor unidade de peso específico\nmetro de coluna d'água (mca), Joule (J), Newton (N), segundo (s), quilograma (kg) e Pascal (Pa). sob forma de calor. Como a energia calorífica não tem utilidade no escoamento do fluido, diz-se que essa parcela é a perda de carga ou perda de energia, simbolizada comumente por hf e dimensionalizada em metros de coluna d'água (mca).\n\nPortanto, tem-se a equação de Daniel Bernoulli para o fluido real como:\n\n- p1 + v1-2/(2g) + z1 = p2 + v2-2/(2g) + z2 + hf-1-2\n\nCada um dos termos da equação de Bernoulli pode ser dimensionalizado como unidade derivativa do SI em mca, constituindo o que se denomina de carga.\n\nExistem hipóteses simplificadoras para validação da Equação de Bernoulli:\n· Escoamento permanente;\n· Propriedades uniformes nas seções;\n· Fluido incompressível.\n\nAs hipóteses simplificadoras admitidas distanciam parcialmente os resultados teóricos dos efetivos, mas não descaracterizam ou minorem a importância dessa equação que permite associada à eq. (7), Proveniente do estudo de conservação de massa, resolver parte significativa dos problemas envolvidos com movimentos de fluidos. 3.6 LINHA DE CARGA E LINHA PIEZOMÉTRICA\n\nEnergia Total\n\nL. de Carga\n\nh_f\n\nQ\n\n2L\n\nPiezométrica\n\nz_1\n\nz_2\n\nV_1\n\n2g\n\nQ\n\nP.R.\n\nFigura 7 - Linha de carga e linha piezométrica em um trecho retilíneo de canalização.\n\nA linha de carga ou de energia corresponde ao lugar geométrico dos pontos representativos das três cargas: velocidade, de pressão e de posição. A linha piezométrica corresponde às alturas a que o líquido subiria em piezômetros instalados ao longo da canalização, ou seja, é a linha das pressões. Considerando-se a canalização com diâmetro constante, as cargas cinéticas serão iguais e as duas linhas serão paralelas.\n\n3.7 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS\n\n1) Calcular o diâmetro de uma canalização para conduzir uma vazão de 100 L.s-1, com velocidade média do líquido em seu interior de 2 m.s-1.\n\nQ = v.A\n0,1 = 2.A\nA = \u03c0D2/4\nA = 0,05 m2\n\nD = \u221a(4.A/ \u03c0)\nD = 4.0.05/\u03c0\nD = 0.252 m\nD = 252 mm\n80 2) Um fluido escoa por um tubo à velocidade média de 3 m.s-1. A pressão no eixo do tubo é de 350 gf.cm-2 e sua altura sobre a referência adotada é de 4,5 m. Calcular a altura da carga total, em metros da coluna do fluido, quando esse for:\n\na) Água (d = 1)\n\nh_f = p/\u03b3 + v^2/2g + z\n\nh_f = 3500 kgf.m-2 / 1000 kgf.m-3 + (3 m.s-1)^2 / 2.(9,81 m.s-2) + 4,5 m\n\nh_f = 8,46 m c.a\n\nb) Óleo (d = 0,80)\n\nh_f = p/\u03b3 + v^2/2g + z\n\nh_f = 3500 kgf.m-2 / 800 kgf.m-3 + (3 m.s-1)^2 / 2.(9,81 m.s-2) + 4,5 m\n\nh_f = 9,33 m c.a\n 3) Um conduto é constituído por 2 trechos, com diâmetros de 0,25 e 0,20 m (Figura abaixo). Sabendo-se que a pressão no ponto A é de 1,5 kgf.cm-2 e que a velocidade no trecho de maior diâmetro é de 0,6 m.s-1, calcule a vazão no conduto e a pressão no ponto B. (Supor movimento sem atrito).\n\nQ = \u03c0D^2/4.V_A\n\nQ = \u03c0.(0,25 m)^2.0,6 m.s-1 = 0,0294 m3.s-1\n\nv_B = 4.(0,0294 m3.s-1) / \u03c0.(0,20 m)^2 = 0,936 m.s-1\n\nP_A + p/v_A^2 + z_A = P_B + p/v_B^2 + z_B\n\n15000 kgf.m-2 / 1000 kgf.m-3 + (0,6 m.s-1)^2 / 2.(9,81 m.s-2) + 10 m = P_B + (0,936 m.s-1)^2 / 2.(9,81 m.s-2) + 0\n\nP_B / \u03b3 = 24,9 m c.a\n Qtr = Q1 + Q2 = 1,625m3.s-1\n- v = 4Q / (π.D2) = 4.(1,625 m2.s-1) / (π.(l m)2) = 2,07m.s-1\n\n5) O bocal da figura abaixo descarrega 40L.s-1 de um fluido de v = 10-4 m2.s-1 e peso específico igual a 8000N.m-3 no canal de seção retangular. A seção (1) é mínima para provocar um escoamento laminar. Determinar a perda de carga de (1) a (2) supondo P1 = 0,3MPa.\nNR = v1.D1\nv = v1.D1 / 2000 = 10-4 m2.s-1\n- v1.D1 = 0,2\nPela equação da continuidade, tem-se Q = v1.π.D1² / 4\n0,04 m3.s-1 = v1.π.D1² / 4\n0,04 m3.s-1 = 0,2.π.D1² / 4\nD1 = 0,255m\n Substituindo o valor de D1 em v1.D1 = 0,2, tem-se:\nv1 = 0,78m.s-1\nv2 = 4.Q / (π.D2²) = 4.(0,04 m3.s-1) / (π.(0,05 m)²) = 20,4m.s-1\n8000 N.m-3 / 9,81 N\nP1 / γ + v1² / 2g + z1 = P2 / γ + v2² / 2g + z2 + hf\n30000 kgf.m-2 = (0,78 m.s-1)² / 2.9,81 m.s-2 + z1 + (20,4 m.s-1)² / 2.9,81 m.s-2 + z2 + hf\nSendo z1 = z2 e P2 = 0 tem-se hf = 8,82mca\n Desprezando-se as perdas e a velocidade no ponto 1, calcule a vazão no esquema a seguir.\nP1 = γazeite.h = 750 kgf.m-3.0,3m = 225kgf.m-2\nP1 / γ + v1² / 2g + z1 = P2 + v2² / 2g + hf\n225 kgf.m-2 + 0 + 1 / 1000 (2.9,81 m.s-2) = 0 + 0 + 0\nv2 = 5,4m.s-1\nQ = v2.π.D² / 4\nQ = 5,4.π.(0,1m)² / 4 = 0,0425m³.s-1 = 42,5L.s-1 8) Um tanque que é abastecido com uma vazão de 2 L.s^{-1}, possui uma demanda de 0,7 L.s^{-1}. O excedente é evacuado através de um bocal ladrão de 25 mm de diâmetro. Calcule a altura H, na qual o nível da água se estabilizará. (Despreze as perdas).\nv_excedente = 4 Q_excedente / (π D^2) = 4.(0,0013 m^{3}.s^{-1}) / (π.(0,025 m)^2) = 2,65 m.s^{-1}\n\np_1 + v_1^2 / 2g + z_1 = p_2 / γ + v_2^2 / 2g + z_2 + hf\n0 / γ + 0 / 2g + H = 0 / γ + (2,65 m.s^{-1})^2 / (2.(9,81 m.s^{-1})) + 0 + 0\nH = 0,357 m = 35,7 cm 9) A água flui do reservatório (A) ao ponto (B) do esquema a seguir. No ponto (B) encontra-se um aspersor funcionando com uma pressão de 3 kgf.cm^{-2} e vazão de 5 m^{3}.h^{-1}. Sendo a tubulação de uma polegada de diâmetro (2,54 cm), qual a perda de carga que está ocorrendo de (A) a (B)?\nv_B = 4 Q / (π.D^2) = 4.(0,00138 m^{3}.s^{-1}) / (π.(0,0254 m)^2) = 2,72 m.s^{-1}\np_1 + v_1^2 / 2g + z_1 = p_2 / γ + v_2^2 / 2g + z_2 + hf\n0 / γ + 0 / 2g + 55 m = 3000 kgf.m^{-2} / 1000 kgf.m^{-3} + 2,72 m.s^{-1} * 2.(9,81 m.s^{-1}) + 0 + hf\nhf = 24,62 mca 10) Ao longo de uma tubulação de 150 mm de diâmetro encontra-se um venturímetro ligado a um manômetro diferencial e a dois piezômetros. Sabendo-se que a velocidade da água na tubulação 1 de 2 m.s^{-1}, a pressão no ponto (1), é de 2,5 kgf.cm^{-2} e o líquido manométrico é o mercúrio com densidade relativa igual a 13,6. Calcule a pressão no ponto \"2\", altura \"H\" e altura \"x\". Desprezar as perdas.\nQ = v.π.D^2 / 4 = 2 m.s^{-1}.π.(0,15 m)^2 / 4 = 0,0353 m^{3}.s^{-1}\nCalculando-se a velocidade em 2\nv_2^2 = 4Q / (π D^2) = 4.(0,0353 m^{3}.s^{-1}) / (π.(0,10 m)^2) = 4,5 m.s^{-1}\nCalculando-se a diferença de pressão entre \"1\" e \"2\"\np_1 - p_2 = γ_oleo h - γ_agua h\np_1 = 13600 h - γ_agua h\np_1 - p_2 = 13600 h - 1000 h\np_1 - p_2 = 12600 h\nCalculando-se a altura \"h\"\np_1 + v_1^2 / 2g + z_1 = p_2 / γ + v_2^2 / 2g + z_2 12600h\n1000 kgf.m-3\n h = 0,0657 mca\nCalculando-se a pressão no ponto \"2\"\n P1 - P2 = 12600h\n 25000 - P2 = 12600.0,0657 mca\n P2 = 24172,18 kgf.m-2\nCalculando-se a altura \"x\"\n P2 = Y agua .Y\n 24172,18 kgf.m-2 = 1000.Y\n Y = 24,172 m\n P1 = Y agua .(Y + X)\n 25000 kgf.m-2 = 1000 kgf.m-3.(24,172 + X)\n X = 0,828 m\n3.8. EXERCÍCIOS PROPOSTOS\n1) Uma tubulação de aço, com 10\" de diâmetro e 1600 m de comprimento, transporta 1.892.500 L.dia-1 de óleo combustível a uma temperatura de 35 °C. Sabendo que a viscosidade cinemática ao referido fluido nessa temperatura é da ordem de 0,00130 m2.s-1, identifique o regime de escoamento a que está submetido o fluido em questão. Resposta: Número de Reynolds igual a 84,5 - Regime Laminar.\n2) Um venturímetro de 150 mm no estrangulamento intercale-se numa canalização d'água de 450 mm. Na escala diferencial parcialmente cheia de mercúrio (estando o resto cheio d'água), e ligada à boca e à cintura do medidor, a coluna mercurial estabiliza-se com um desnível de 375 mm. Calcule a vazão: a) desprezando o atrito\nb) considerando uma perda de carga entre a boca e a cintura de 300 mm de água.\n Resposta: Q = 0,172 m3.s-1; Q = 0,166 m3.s-1.\n3) Determine a velocidade do jato de líquido na saída do reservatório de grandes dimensões. Resposta: 9,9 m.s-1.\n4) Um tubo despeja água em um reservatório com uma vazão de 20 L.s-1 e um outro tubo despeja um líquido de massa específica igual a 800 kg m-3 com uma vazão de 10 L.s-1. A mistura formada é descarregada por um tubo de área igual a 30 cm2. Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga. Resposta: 933,3 kg m-3. 5) Na figura abaixo, determinar a velocidade v1 para R = 30 cm.\n Resposta: v1 = 1,085 m.s-1.\n6) No esquema a seguir calcule hf. Resposta: 0,76 mca.\nQ = 10 L/s\n P1 = 7 mca\n Y\n P2 = 5 mca\n7) Um reservatório abastece um aspersor com um desnível entre o aspersor e o reservatório de 35 m. Sabendo-se que D = 25 mm, pressão no aspersor = 2,5 kgf.cm-2 = hf,... = 9,5 mca, determine a vazão do aspersor. Resposta: 5,53 m3.h-1. 8) Calcule a altura H, para que o sifão de 1 polegada forneça uma vazão de 1 L.s -1. (Despreze as perdas). Resposta: 21 cm.\n\n9) Calcule a vazão na tubulação e a pressão no ponto \"A\" da figura, supondo não haver perdas e que o nível d'água no reservatório se mantenha constante. Resposta: 0,602 L.s -1 e 812,2 kgf.m -2.\n\n10) A água escoa em regime permanente através do tubo de venturi a seguir. Considere no trecho mostrado que as perdas são desprezíveis. A área da seção (1) é 20 cm² e a da seção (2) é 10 cm². Um manômetro de mercúrio é instalado entre as seções (1) e (2) e indica o desen\nvel mostrado. Determine a vazão de água que escoa pelo tubo. Resposta: 5,8 L.s -1. 11) No circuito hidráulico a seguir flui uma vazão de 15 L.s -1 nas tubulações de entrada e saída. No ponto 2, onde a tubulação possui diâmetro de 100 mm, existe um escoamento uniforme da água com velocidade de 1,27 m.s -1. Sendo assim, determine: A vazão nos pontos 1 e 2, (L.s -1) e a velocidade de escoamento no ponto 1 (m.s -1). Resposta: Vazão no ponto 2 = 9,9 L.s -1; vazão no ponto 1 = 5 L.s -1 e velocidade no ponto 1 = 1,15 m.s -1. 3.9. REFERÊNCIAS\n\n1. AZEVEDO NETO, J.M.; FERNANDES, M.F.; ARAUJO, R.; ITO, A.E. Manual de hidráulica. 8ª ed. São Paulo: Edgard Blücher, 1998. 669p.\n2. CARVALHO, J. A.; OLIVEIRA, L.F.C. Instalações de bombeamento para irrigação - Hidráulica e consumo de energia. 1. ed. Lavras: Editora da UFLA, 2008. v. 1. 353p.