Atividade - Engenharia Civil

Utilizando o método dos deslocamentos e simplificações de simetria determine os diagramas dos esforços solicitantes momento e cortante das vigas contínuas representadas apresentadas abaixo em que as barras têm seção retangular de 30x60 cm² e E 21 GPa 1 Seção retangular 30cmx60cm E 21 GPa Simplificando Pelo método dos deslocamentos Caso 0 Temos que k₁₀ 20kNm k₂₀0 k₃₀60kN Por simetria k₄₀ 20 kNm Caso 1 k₁₁ ₃E₁₄ ₄E₁₃ ₂₅E₁ Analisando a seção transversal I 3060³12 540000 cm⁴ I 00054 m⁴ Portanto E1 21x10⁹00054 E1 1134 x 10⁶ Nm² Sendo assim k₁₁ 251134 x 10⁶12 k₁₁23625x10⁶ k₂₁ 2E₁₃ 21134 x 10⁶ 3 k₂₁756 x 10⁶ k₃₁ 6E₁32 61134 x 10⁶ 9 k₃₁ 756 x 10⁶ k₄₁0 Caso 2 k₁₂ 0 2E₁3 21134 x 10⁶ 3 k₁₂ 756 x 10⁶ k₂₂ 4E₁3 4E₁3 81134 x 10⁶ 3 k₂₂ 3024 x 10⁶ k₃₂ 6E₁32 6E₁32 k₃₂0 Por simetria k₄₂ k₁₂ k₄₂ 756 x 10⁶ Caso 3 k₁₃ k₂₃ k₄₃ k₁₃ 2E₁3 21134 x 10⁶ 3 k₁₃ 756 x 10⁶ k₂₃ 6E₁32 6E₁32 k₂₃0 k₃₃ 12E₁33 12E₁33 50000 k₃₃ 241134 x 10⁶ 50 x 10⁶ 27 k₃₃ 1508 x 10⁶ Por simetria k₄₃ k₁₃ k₄₃ 756 x 10⁶ Caso 4 Por simetria k₁₄ k₄₁ k₁₄0 k₂₄ k₂₁ k₂₄ 756 x 10⁶ k₃₄ k₃₁ k₃₄ 756 x 10⁶ k₄₄ k₁₁ k₄₄ 23625 x 10⁶ Com isso temos que k₁₀ k₁₁ Δ₁ k₂₁ Δ₂ k₃₁ Δ₃ k₄₁ Δ₄ 0 k₂₀ k₁₂ Δ₁ k₂₂ Δ₂ k₃₂ Δ₃ k₄₂ Δ₄ 0 k₃₀ k₁₃ Δ₁ k₂₃ Δ₂ k₃₃ Δ₃ k₄₃ Δ₄ 0 k₄₀ k₁₄ Δ₁ k₂₄ Δ₂ k₃₄ Δ₃ k₄₄ Δ₄ 0 20 l₀³ 23625 x 10⁶ Δ₁ 756 x 10⁶ Δ₂ 756 x 10⁶ Δ₃ 0 756 x 10⁶ Δ₁ 3024 x 10⁶ Δ₂ 756 x 10⁶ Δ₄ 0 60 l₀³ 756 x 10⁶ Δ₁ 1508 x 10⁶ Δ₃ 756 x 10⁶ Δ₄ 0 20 l₀³ 756 x 10⁶ Δ₂ 756 x 10⁶ Δ₃ 23625 x 10⁶ Δ₄ 0 Devido a simetria Δ20 Com isso 756x106 Δ1 3024x106 Δ2 756x106 Δ4 0 756x106 Δ1 756 x 106 Δ4 Δ1 Δ4 1 60x103 756x106 Δ1 1508x106 Δ3 756x106 Δ4 0 Substituindo 1 60x103 756x106 Δ4 1508x106 Δ3 756x106 Δ4 0 1508x106 Δ3 60x103 1512x106 Δ4 Δ3 60x103 1512x106 Δ4 1508x106 2 20x103 756x106 Δ2 756x106 Δ3 23625x106 Δ4 0 Substituindo 2 20x103 756x106 60x103 1512x106 Δ4 1508x106 23625x106 Δ4 0 20x103 30079576x103 758005214x106 Δ4 23625x106 Δ4 0 106 160449495 Δ4 79079576x103 Δ4 0 Δ4 628209 x106 Substituindo em 1 Δ1 628209 x106 Substituindo em 2 Δ3 60x103 1512x106 628209 x 106 1508x106 Δ3 4608655 x 106 Os valores das reações do apoio são VA 20 3204 8 310 24 103 31134 x 106 42 628208 x 106 VA 5375 x 103 134 VA 5241 KN VB 5204 8 310 24 203 2 31134 x 106 42 61134 x 106 32 628209 x 106 121134 x 106 33 460865 x 106 VB 7625 x 103 344 x 103 2323 x 103 VB 9607 KN VC 203 2 203 2 103 61134 x 106 32 628209 x 106 2 323134 x 106 33 4608655 x 106 61134 x 106 32 628209 x 106 VC 60 x 103 475 x 103 4646 x 103 475 x 103 VC 2304 KN Por simetria VE VA VE 5241 KN VD VB VD 9607 KN Valores do momento fletor MF0 kN m MA10 kN m MB 2042 8 10 2 103 1134 x 106 4 628209 x 106 MB 35 x 103 934 x 103 4034 kN m MC 2032 12 103 21134 x 106 3 628209 x 106 61134 x 106 32 4608655 x 106 MC 15 x 103 475 x 103 3484 x 103 MC 1509 kN m Por simetria MD MB MD 4034 kN m ME MA ME 10 kN m Valor do esforço cortante ao longo da viga VF0 kN VA exq 201 20 kN VAdi 20 5241 3241 kN VB exq 3241 204 4759 kN VB di 4759 9607 4848 kN VC exq 4848 203 1152 kN VC di 1152 2304 1152 kN VD exq 1152 203 4848 kN VD di 4848 9607 4759 kN VE exq 4759 204 3241 kN VE di 3241 5241 20 kN VG 20 201 0 kN A partir do diagrama de esforço cortante da próxima página temos que 3241 kN x 4 x 4759 4 m 80x 12964 x 16205 m 4759x 12964 3241 x O momento nesse ponto é M1 20 162052 2 5241 16205 M1 686702 84930405 M1 1626 kN m 4848 kN B C 1152 kN 3 m x 3 x 4848 x 3 2162 1152 x 4848 x 14544 60x 14544 x 2424 m O momento nesse ponto é M2 20 2424 52 2 5241 4 2424 9607 2424 M2 5511578 3366818 232837 M2 1840 kN m Diagrama esforço cortante KN 3241 20 4848 1152 4759 20 20 4759 1152 4848 3241 Diagrama momento fletor KNm 4034 10 1626 1840 1509 10 1626 1840 4034 2 aço retangular 30cm x 60cm E 216 Pa 30kN 20kNm F A B C D E G 1m 5m 2m 2m 5m 1m Analisando a seção transversal I 3060312 540000 cm4 I 00054 m4 Potente EI 2110900054 EI 113400 kNm2 Simplificando a viga 20kN 30kN 20kN 10kNm 20kNm 30kN 20kN 10kNm A B C D E 5m 2m 2m 5m Pelo método dos deslocamentos Δ1 Δ2 A B D E caso 0 20kN 30kN 20kN 10kNm 20kNm B C D 10kNm K10 K20 Temo que K10 20528 102 204212 2048 K10 4753 Por simetria K20 K10 K20 4753 Caso 1 K11 K01 K11 3E15 4E14 16E1 K11 16113400 K11 181440 K21 2E14 E12 1134002 K2156700 Caso 2 K12 K22 Por simetria K12 K21 K1256700 K22 K11 K22181440 Sendo assim K10 K11Δ1 K21Δ2 0 K20 K21Δ1 K22Δ2 0 4753 181440Δ1 56700Δ2 0 4753 56700Δ1 181440Δ2 0 Devido à simetria Δ1 Δ2 1 4753 56700Δ2 181440 Δ2 0 124740Δ2 4753 Δ2 1269307 x 106 Substituindo em 1 Δ1 1269307 x 106 Os valores das reações de apoio são VA 20 32058 31025 311340052 1269307 x 106 VA 605 173 VA6223 kN VB 62058 31025 2042 302 311340052 6113400421269307 x 106 6113400421269307 x 106 VB 1145 367 540 VB11277 kN Devido a simetria VD VB VD11277 kN VE VA VE6223 kN Valores dos momentos fletores MA 10 kNm MB 20528 102 31134005 1269307 x 106 MB 575 864 MB 4886 kNm Por simetria MD MB MD 4886 kNm ME MA ME 10 kNm Calculando o valor de MC MC 10 207 62237 2072 112772 MC 2115 kNm Valor do esforço cortante constante ao longo do viga VF 0 kN VAeq 201 20 kN VAdi 20 6223 4223 kN VDseq 4223 205 5777 kN VDdi 5777 11277 55 kN Vceq 55 202 15 kN Vcdi 15 30 15 kN VDseq 15 202 95 kN VDdi 95 11277 5777 kN Venceq 5777 205 4223 kN Vcdi 4223 6223 20 kN VG 20 201 0 kN Diagrama esforço cortante kN 4223 55 5777 20 F A B C D E G 20 15 15 5777 55 4223 Onde x4223 5x5777 5777x 21115 4223x 100x 21115 x 21115 m O momento é máximo nesse ponto e é Mmáx 10 2021115 202111522 622321115 Mmáx 3458 kNm Diagrama momento fletor kNm 10 4886 4886 10 F A B C D E G 3458 2415 3458