Cálculo de Deformações Elásticas em Vigas Isostáticas

Universidade Salgado de Oliveira Curso de Engenharia Civil Disciplina Análise das Estruturas Prof MScEngº Alexandre Calheiros Niterói RJ 2022 Módulo II Deslocamentos Teorema dos Trabalhos Virtuais Cálculo dos deslocamentos Deslocamentos 2 CÁLCULO DE DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS EM VIGAS ISOSTÁTICAS TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS TVFE TVFI Para um corpo elástico que atingiu sua configuração de equilíbrio o trabalho virtual de todas as forças externas TVFE que sobre ele atuam é igual ao trabalho virtual das forças internas TVFI esforços simples para todos os deslocamentos virtuais arbitrários compatíveis com os vínculos do corpo que lhe imponhamos 3 APLICAÇÃO DO TTV AOS CORPOS ELÁSTICOS Seja um corpo elástico submetido ao carregamento indicado A B HA VA VB P1 Pi Pn M δ Deformações devidas aos esforços internos M dφ N dS Q dh Deslocamentos 4 APLICAÇÃO DO TTV AOS CORPOS ELÁSTICOS Cálculo do deslocamento δ no ponto M na direção A B M δ M N Q E módulo de elasticidade longitudinal G módulo de elasticidade transversal J momento de inércia da seção transversal S área da seção transversal χ coeficiente de redução resultante da distuniforme das tensões de cisalhamento cujo valor varia com o tipo de seção Estado de deformação Deslocamentos 5 É imposto à estrutura da figura abaixo deslocamentos virtuais exatamente iguais aos da estrutura A B M δ Estado de carregamento Deslocamentos 6 Observações 1 A escolha do estado de carregamento EC é função da deformação que se deseja calcular 2 O estado de deformação ED pode ser provocado por a carregamento externo b variação de temperatura c recalque de apoio 3 Para estruturas espaciais temos 4 A parcela pode ser desprezada em presença das demais como erro mínimo 5 A parcela pode ser desprezada exceto para treliças arcos e tirantes Deslocamentos 7 ROTEIRO PARA O CÁLCULO DAS DEFORMAÇÕES 1 Escolha do estado de carregamento EC 2 Traçado dos diagramas dos ED e EC 3 Cálculo das integrais Deslocamentos 8 Aplicação do TTV em estruturas isostáticas Seja a viga biapoiada abaixo calcular a deformação δ devido a carga q indicada A B q ql2 ql2 l x 1 Escolha do estado de carregamento EC A B l2 l2 l x Deslocamentos 9 EC 2Traçado dos diagramas dos EC e ED 12 12 x ED x ql2 ql2 q Deslocamentos 10 3 Cálculo das integrais Deslocamentos 11 EXEMPLO 1 Calcule o deslocamento do ponto D da estrutura abaixo A B C D x x P 5t EJ 104 tm2 5m 4m A B C D 1 Estado de carregamento EC Deslocamentos 12 D P 5t D 2 Diagramas dos EC e ED 4mt 1t 08t 08t x x EC ED 20mt 5t 4t 4t x x Deslocamentos 13 3 Cálculo das integrais Deslocamentos 14 EXEMPLO 2 Calcular a rotação da tangente à elástica do ponto B A B C D x q 15 tm EJ 2 x 106 tm2 6m 3m B 1 Estado de carregamento EC φ δ B φ δ Deslocamentos 15 B x q 15 tm 6m 3m B 2 Diagramas dos EC e ED B EC ED 45 45 1125 1125 16 16 1 x 675 675 x 6x 6 Deslocamentos 16 3 Cálculo das integrais EJ 2 x 106 tm2 Deslocamentos 17 EXEMPLO 3 Calcular o deslocamento do ponto A da grelha abaixo B A C D 2 tm EJ 104 tm2 3m 3m 1 Estado de carregamento EC EJGJt 2 A Deslocamentos 18 x 2 Diagramas dos EC e ED EC A y x y 1t 1t 1t 3mt 3mt 3mt Deslocamentos 19 x ED A y x y 3t 3t 6t 9mt 9mt 9mt 2 tm 2 x 3 6t Deslocamentos 20 3 Cálculo das integrais EJ 104 tm2 EJGJt 2 Deslocamentos 21 Comprimento Elástico l 1 2 3 l2J2 l1J1 l3J3 Jc Momento de inércia de comparação Jb Momento de inércia da barra Deslocamentos Tabela de cálculo da integral para diagramas de momento fletor MB M MA MA MB Mm MB MA MB MA M αl βl αl βl M parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau parábola 2ºgrau 23 EXEMPLO 4 Calcular o deslocamento vertical no ponto C EJ 2 x 104 tm2 4m 4m 1 Estado de carregamento EC A B C 2tm A B C Deslocamentos 24 EJ 2 x 104 tm2 4m 4m 2 Diagramas dos EC e ED A B C 2tm A B C EC ED 16 4 8t 16mt 8t 4mt 1t 2m Deslocamentos 25 3 Cálculo das integrais com uso da tabela EJ 2 x 104 tm2 Tabela Deslocamentos 26 EXEMPLO 5 Calcular o deslocamento vertical no ponto A EJ 104 tm2 2m 4m A B C 2tm 1m 3m 3m 2m D E F G 6t Deslocamentos 27 EJ 104 tm2 2m 4m A B C 1m 3m 3m 2m D E F G 1 Estado de carregamento EC Deslocamentos 28 A B C D E F G 1 Diagramas dos EC e ED 2mt 1t 1t 4m 2mt4m05 t 05 t 0 05 t 025 t 025 t 2m 2mt 3m 3m 075mt EC Deslocamentos 29 A B C D E F G 1 Diagramas dos EC e ED 12mt 6t 6t 4m 12mt4m3 t 3t 0 1t 05t 05t 2m 12mt 3m 3m 15mt ED 6t 2tm 4t 4t ql²8 4mt Deslocamentos 30 3 Cálculo das integrais com uso da tabela EJ 104 tm2 Tabela Deslocamentos 31 EXEMPLO 6 Calcular a rotação relativa das tangentes à elástica no ponto C entre as barras BC e CH F J 001 m4 3m 3m A B C 2tm 1m 2m 2m 2m D E G H E 21 x 106 tm2 J 2J 3J 3J 2J 2J Deslocamentos 32 Cálculo dos comprimentos elásticos l l comprimento da barra Jc momento de inércia de comparação arbitrado Jb momento de inércia da barra Deslocamentos 33 F A B C D E G H 1 Estado de carregamento EC Deslocamentos 34 2 Diagramas dos EC e ED F A B C D E G H F A B C D H C E E G EC 13 13 13 13 15 15 15 15 15 110 110 815 15 15 1 1 35 35 15 Deslocamentos 35 2 Diagramas dos EC e ED F A B C D E G H F A B C D H C E E G ED 3 3 3 3 3 3 3 15 15 6 ql²8 225 3 2tm 2tm Deslocamentos 36 3 Cálculo dos deslocamentos com uso da tabela J 001 m4 E 21 x 106 tm2 Deslocamentos 37 DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS PROVOCADAS POR VARIAÇÃO DE TEMPERATURA Seja uma estrutura isostática em que as fibras externas sofrem uma variação de temperatura te as internas ti e no centro de gravidade da barra tg Vamos admitir que a variação de temperatura ao longo da barra é linear assim para duas seções vizinhas distantes dS temos h CG te ti tg dS S1 S2 te tg ti DILATAÇÃO LINEAR te α dS te tg α dS tg ti α dS ti dθ Deslocamentos 38 h CG te ti tg dS S1 S2 te tg ti DILATAÇÃO LINEAR te α dS te tg α dS tg ti α dS ti dθ Deslocamentos 39 DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS PROVOCADAS POR VARIAÇÃO DE TEMPERATURA Podemos afirmar que duas seções distantes dS sofrem um movimento relativo composto de duas etapas 1 Deslocamento axial relativo do Centro de Gravidade 2 Rotação relativa dθ Deslocamentos 40 APLICAÇÃO DO TEOREMA DOS TRABALHOS VIRTUAIS CONVENÇÃO DE SINAIS Área dos Diagramas Deslocamentos 41 EXEMPLO 7 Calcule o deslocamento vertical do ponto C A B C h 05m seção retangular 5m 5m 1 Estado de carregamento EC α 105 ºC1 5m te 15ºC ti 65ºC A B C Deslocamentos 42 5m 5m 2 Diagramas e 5m A B C 05t 05t 05t 05t A B C A B C 25mt 25mt 05t 05t Deslocamentos 43 3 Cálculo dos deslocamentos h 05m seção retangular α 105 ºC1 te 15ºC ti 65ºC t 65 15ºC 80ºC tg 65 15 2 25ºC 15ºC tg 25ºC 65ºC Deslocamentos 44 DEFORMAÇÕES ELÁSTICAS PROVOCADAS POR RECALQUE DE APOIO Estabelecido o estado de carregamento daremos a este estado deslocamentos virtuais exatamente iguais aos esforços provocados pelo efeito externo RECALQUES DE APOIO Sendo as reações de apoio de EC e ρ os recalques de apoio correspondentes Deslocamentos 45 EXEMPLO 8 Calcular a rotação relativa das tangentes à elástica no ponto B para o recalque indicado A C B 10m 10m 1 Estado de carregamento EC 10m A C B 2cm 1cm C C C Recalque de apoio 2 Reações de apoio do EC A C B 110 0 0 110 Deslocamentos 46 3 Cálculo do deslocamento Deslocamentos Fim do Módulo II