Lista - Massa em uma Rampa Inclinada - 2024-1

Use os seguintes valores nos problemas, a menos que sejam fornecidos outros valores: velocidade do som no ar: 343 m/s massa específica do ar: 1,21 kg/m³ ·9 Se a forma de uma onda sonora que se propaga no ar é s(x, t) = (6,0 nm) cos(kx + (3000 rad/s)t + ϕ), quanto tempo uma molécula de ar no caminho da onda leva para se mover entre os deslocamentos s = +2,0 nm e s = -2,0 nm? ·10 Ilusão causada pela água. Uma das informações usadas pelo cérebro humano para determinar a localização de uma fonte sonora é a diferença Δt entre o instante em que um som é detectado pelo ouvido mais próximo da fonte e o instante em que é detectado pelo outro ouvido. Suponha que a fonte está suficientemente distante para que as frentes de onda sejam praticamente planas, e seja L a distância entre os ouvidos. (a) Se a direção da fonte faz um ângulo θ com a direção da reta que passa pelos dois ouvidos (Fig. 17-31), qual é o valor de Δt em termos de L e da velocidade v do som no ar? (b) Se uma pessoa está debaixo d'água e a fonte está exatamente à direita, qual é o valor de Δt em termos de L e da velocidade va do som na água? (c) Com base na diferença Δt, o cérebro calcula erroneamente que a direção da fonte faz um ângulo θ com a direção da reta que passa pelos dois ouvidos. Determine o valor de θ para água doce a 20ºC. Figura 17-31 Problema 10. 10. A ideia básica é que o intervalo de tempo Δt está relacionado à distância d que as frentes de onda devem percorrer, depois de passarem pelo ouvido direito (R), para chegarem ao ouvido esquerdo (L). (a) De acordo com a Fig. 17-30, Δt = \(\frac{d}{v} = \frac{DsenΘ}{v}\). (b) Chamando de va a velocidade do som na água, para θ = 90°, temos Δt = \(\frac{Dsen90°}{va} = \frac{D}{va}\). (c) Podemos calcular o ângulo aparente substituindo Δt por D/v'ω: Δt = \(\frac{Dsenθ}{v} = \frac{D}{va}\). Fazendo va = 1482 m/s (veja a Tabela 17-1), obtemos θ = sen^{-1}\(\frac{v}{va}\) = sen^{-1}\(\frac{343 m/s}{1482 m/s}\) = sen^{-1}\(0,231\) = 13°. Qual é a aceleração máxima de uma plataforma que oscila com uma amplitude de 2,20 cm e uma frequência de 6,60 Hz? Resposta: 17 Um oscilador é formado por um bloco preso a uma mola (k = 400 N/m). Em um dado instante t, a posição (medida a partir da posição de equilíbrio do sistema), a velocidade e a aceleração do bloco são x = 0,100 m, v = -13,6 m/s e a = -123 m/s². Calcule (a) a frequência das oscilações, (b) a massa do bloco e (c) a amplitude do movimento. 22 A Fig. 15-34 mostra o bloco 1, de massa 0,200 kg, deslizando para a direita, em uma superfície elevada, a uma velocidade de 8,00 m/s. O bloco sofre uma colisão elástica com o bloco 2, inicialmente em repouso, que está preso a uma mola de constante elástica 1208,5 N/m. (Suponha que a mola não afete a colisão.) Após a colisão, o bloco 2 inicia um MHS com um período de 0,140 s e o bloco 1 desliza para fora da extremidade oposta da superfície elevada, indo cair a uma distância horizontal d dessa superfície, depois de descer uma distância h = 4,90 m. Qual é o valor de d? 25 Na Fig. 15-36, um bloco com 14,0 N de peso, que pode deslizar sem atrito em um plano inclinado de ângulo θ = 40,0°, está ligado ao alto do plano inclinado por uma mola, de massa desprezível, de 0,450 m de comprimento quando relaxada, cuja constante elástica é 120 N/m. (a) A que distância do alto do plano inclinado fica o ponto de equilíbrio do bloco? (b) Se o bloco é puxado ligeiramente para baixo ao longo do plano inclinado e depois liberado, qual é o período das oscilações resultantes? 26 Na Fig. 15-37, dois blocos (m = 1,8 kg e M = 10 kg) e uma mola (k = 200 N/m) estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,40. Que amplitude do movimento harmônico simples do sistema blocos-mola faz com que o bloco menor fique na iminência de deslizar? Figura 15-37 Problema 26. 26. O fato de que o bloco menor está na iminência de deslizar significa que a força que o bloco maior exerce sobre o bloco menor, no ponto de máxima aceleração, é f_max = μ_smg. Na discussão que se segue à Eq. 15-7, é comentado que a amplitude da aceleração é a_m = ω²x_m, em que ω é a frequência angular. Como, de acordo com a Eq. 15-7, ω = √(k/(m + M)), a segunda lei de Newton nos dá ma_m = μ_smg ⇒ k/(m + M) x_m = μ_sg e, portanto, x_m = μ_sg(m + M)/k = (0,40)(9,8 m/s²)(1,8 kg + 10 kg)/200 N/m = 0,23 m = 23 cm. 1 Se a função y(x, t) = (6,0 mm) sen(kx + (600 rad/s)t + φ) descreve uma onda que se propaga em uma corda, quanto tempo um ponto da corda leva para se mover entre os deslocamentos y = +2,0 mm e y = -2,0 mm? 1. Seja y_1 = 2,0 mm (correspondente ao instante t_1) e seja y_2 = -2,0 mm (correspondente ao instante t_2). Temos kx + 600t_1 + φ = sen⁻¹(2,0/6,0) e kx + 600t_2 + φ = sen⁻¹(-2,0/6,0). Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos 600(t_1 - t_2) = sen⁻¹(2,0/6,0) - sen⁻¹(-2,0/6,0), o que nos dá t_1 - t_2 = 0,011 s = 1,1 ms. 2 Uma onda humana. A ola é uma onda, criada pela torcida, que se propaga nos estádios em eventos esportivos (Fig. 16-29). Quando a onda chega a um grupo de espectadores, eles ficam em pé com os braços levantados e depois tornam a se sentar. Em qualquer instante, a largura L da onda é a distância entre a borda dianteira (as pessoas que estão começando a se levantar) e a borda traseira (as pessoas que estão começando a se sentar). Suponha que uma ola percorre uma distância de 853 assentos de um estádio em 39 s e que os espectadores levam, em média, 1,8 s para responder à passagem da onda levantando-se e voltando a se sentar. Determine (a) a velocidade v da onda (em assentos por segundo) e (b) a largura L da onda (em número de assentos). Figura 16-29 Problema 2. • 3 Uma onda tem uma frequência angular de 110 rad/s e um comprimento de onda de 1,80 m. Calcule (a) o número de onda e (b) a velocidade da onda. 3. (a) O número de onda é k = \frac{2\pi}{1,80m} = 3,49 m^{-1}. (b) A velocidade da onda é v = \lambda f = \frac{\lambda \omega}{2\pi} = \frac{(1,80m)(110rad/s)}{2\pi} = 31,5m/s. • 11 Uma onda transversal senoidal com um comprimento de onda de 20 cm se propaga em uma corda no sentido positivo de um eixo x. O deslocamento y da partícula da corda situada em x = 0 é mostrado na Fig. 16–34 em função do tempo t. A escala do eixo vertical é definida por y_s = 4,0 cm. A equação da onda é da forma y(x, t) = y_m \sen(kx ± \omega t + \phi). (a) Em t = 0, o gráfico de y em função de x tem a forma de uma função seno positiva ou de uma função seno negativa? Determine (b) y_m, (c) k, (d) \omega, (e) \phi, (f) o sinal que precede \omega e (g) a velocidade da onda. (h) Qual é a velocidade transversal da partícula em x = 0 para t = 5,0 s? • 33 Duas ondas senoidais com a mesma amplitude de 9,00 mm e o mesmo comprimento de onda se propagam em uma corda esticada ao longo de um eixo x. A onda resultante é mostrada duas vezes na Fig. 16–38, antes e depois que o vale A se desloque de uma distância d = 56,0 cm em 8,0 ms. A distância entre as marcas do eixo horizontal é 10 cm; H = 8,0 mm. A equação de uma das ondas é da forma y(x, t) = y_m \sen(kx ± \omega t + \phi_1), em que \phi_1 = 0; cabe ao leitor determinar o sinal que precede \omega. Na equação da outra onda, determine (a) y_m, (b) k, (c) \omega, (d) \phi_2 e (e) o sinal que precede \omega. Figura 16–38 Problema 33. 53 Uma corda oscila de acordo com a equação y' = (0,50 cm) sen [(\frac{\pi}{3} cm^{-1})x] cos[(40 \pi s^{-1})t]. (a) Qual é a amplitude e (b) qual a velocidade das duas ondas (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz essa oscilação? (c) Qual é a distância entre os nós? (d) Qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x = 1,5 cm para t = 9/8 s? 54. Como o ponto A é chamado de antinó, sabemos que se trata de uma onda estacionária e que, portanto, as ondas estão se propagando em sentidos opostos. Assim, esperamos que uma seja da forma y = y_{m} sen(kx + \omega t) e a outra seja da forma y = y_{m} sen(kx - \omega t). (a) De acordo com a Eq. 16-60, y_{m} = (9,0 mm)/2 = 4,5 mm, já que a amplitude da onda estacionária é (1,80 cm)/2 = 0,90 cm = 9,0 mm. (b) Como o comprimento de onda é 40 cm, k = 2\pi/\lambda \approx 16 m^{-1}. (c) Como, de acordo com o enunciado, um intervalo de tempo de 6,0 ms corresponde à metade do período, T = 12 ms e a Eq. 16-8 nos dá \omega = 5,2 \times 10^{2} rad/s. (d) Como na equação da primeira onda o sinal que precede \omega é positivo, e as ondas estão se propagando em sentidos opostos, o sinal que precede \omega na segunda onda é o sinal negativo. Resumindo, as equações das duas ondas são y_{1}(x, t) = (4,5 mm) sen[(16 m^{-1})x + (5,2 \times 10^{2} s^{-1})t] y_{2}(x, t) = (4,5 mm) sen[(16 m^{-1})x - (5,2 \times 10^{2} s^{-1})t]. **15** O som de bater palmas em um anfiteatro produz ondas que são espalhadas por degraus de largura L = 0,75 m (Fig. 17-33). O som retorna ao palco como uma série regular de pulsos, que soa como uma nota musical. (a) Supondo que todos os raios na Fig. 17-33 são horizontais, determine a frequência com a qual os pulsos chegam ao palco (ou seja, a frequência da nota ouvida por alguém que se encontra no palco). (b) Se a largura L dos degraus fosse menor, a frequência seria maior ou menor? Figura 17-33 Problema 15. •16 Duas ondas sonoras, produzidas por duas fontes diferentes de mesma frequência, 540 Hz, se propagam na mesma direção e no mesmo sentido a 330 m/s. As fontes estão em fase. Qual é a diferença de fase das ondas em um ponto que está a 4,40 m de uma fonte e a 4,00 m da outra? 16. Vamos chamar de x_1 e x_2 as distâncias entre o ponto e as duas fontes. A diferença de fase é Δϕ = ϕ_1 - ϕ_2 = 2π (x_1/λ + ft) - 2π (x_2/λ + ft) = 2π(x_1 - x_2) / λ = 2π(4,40 m - 4,00 m) / (330 m/s) / 540 Hz = 4,12 rad. **20** A Fig. 17-36 mostra quatro fontes sonoras pontuais isotrópicas uniformemente espaçadas ao longo de um eixo x. As fontes emitem sons de mesmo comprimento de onda λ e mesma amplitude S_m e estão em fase. Um ponto P é mostrado no eixo x. Suponha que, quando as ondas se propagam até P, a amplitude se mantém praticamente constante. Que múltiplo de S_m corresponde à amplitude da onda resultante em P se a distância d mostrada na figura for (a) λ/4, (b) λ/2 e (c) λ? Figura 17-36 Problema 20.