Análise da Mediana em Dados Tabelados: Estudo de Distribuição de Frequências

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Probabilidade e Estatística Medidas de Tendência Central para Dados Tabelados mediana Mediana de uma Distribuição em Classes de Frequência Consideremos a distribuição em classes de frequências dada pelo Exemplo 27 a qual é dada abaixo Classe 𝒊 Intervalo de Classe 𝑓 Ponto médio Frequênci a relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 65 111 8 88 027 27 8 2 111 157 10 134 033 33 18 3 157 203 7 180 023 23 25 4 203 249 2 226 007 7 27 5 249 295 1 272 003 3 28 6 295 341 2 318 007 7 30 𝑓 30 𝑓 𝑛 1 Da distribuição de frequências anterior temos o seguinte histograma Classes Frequência simples 27 33 23 7 3 7 65 111 157 203 249 295 341 Por definição a mediana é o valor que divide a amostra ordenada em dois conjuntos com o mesmo número de elementos contendo ambos os conjuntos 50 dos dados abaixo e acima desta mediana Porém quando os dados estão representados por distribuição de frequências um método para obter uma aproximação da mediana é num primeiro momento analisar a frequência relativa para identificar em que classe ela se encontra No Exemplo 27 visto anteriormente a mediana é um valor pertencente à segunda classe ou seja ao intervalo de classe 111 157 pois na primeira classe temos 27 dos preços de 𝐺𝑃𝑆 já de forma acumulada na primeira e na segunda classe temos entre 28 e 60 dos preços de 𝐺𝑃𝑆 Isto é nesta segunda classe está contido exatamente o valor mediano que divide o conjunto de dados em dois grupos contendo 50 dos dados à esquerda e à direita deste Sendo assim o valor que separa 50 dos dados ordenados à sua esquerda e 50 dos dados ordenados à sua direita deve estar entre 111 e 157 conforme podemos ver no histograma dado a seguir Classes Frequência simples 27 33 23 7 3 7 65 111 157 203 249 295 341 𝑴𝒆 No histograma anterior podemos destacar o retângulo referente à classe que contém a mediana isto é o retângulo referente à segunda classe conforme podemos ver na figura abaixo 111 157 𝑴𝒆 o que falta para 50 23 Note que na figura ao lado podemos destacar dois retângulos um retângulo maior referente à segunda classe com base igual a ℎ 46 e altura igual a 𝑓2 10 retângulo verdeamarelo outro retângulo menor com base igual a 𝑀𝑒 111 e altura igual a 𝑓2 10 retângulo verde É fácil perceber que há uma proporcionalidade entre as áreas dos retângulos maior e menor isto é há uma proporcionalidade entre as medidas das bases destes retângulos que é definida pela posição da mediana 𝑀𝑒 visto que a altura é a mesma para ambos e as áreas destes retângulos Assim entre o retângulo maior definido pela segunda classe e o retângulo menor definido pela posição de 𝑀𝑒 temos a seguinte proporção 157 111 𝑀𝑒 111 33 23 46 𝑀𝑒 111 143478 medida da base do retângulo maior medida da base do retângulo menor fração em da área do retângulo maior fração em da área do retângulo menor 𝑀𝑒 111 46 143478 𝑀𝑒 3206 111 𝑀𝑒 14306 Portanto para dados tabelados o preço mediano dos aparelhos de 𝐺𝑃𝑆 é de aproximadamente 𝑈𝑆 143 Lembremonos que para os dados brutos temos que 𝑀𝑒 145 De modo geral para obter o valor aproximado da mediana 𝑀𝑒 de dados distribuídos em classes de frequências usamos a seguinte proporção 𝐿𝑠 𝐿𝑖 𝑀𝑒 𝐿𝑖 𝑓𝑟𝑚𝑒 50 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑡 onde temse que 𝐿𝑖 é o limite inferior da classe mediana 𝐿𝑠 é o limite superior da classe mediana 𝑓𝑟𝑚𝑒 é a frequência relativa da classe mediana 𝐹𝑟𝑎𝑛𝑡 é a frequência relativa acumulada até a classe anterior à classe mediana A expressão acima pode ser reescrita isolando a mediana 𝑀𝑒 e também não mais olhando o lado direito da igualdade em termos relativos mas sim em termos das frequências simples e acumulada relativas à classe mediana conforme segue Mediana de uma Distribuição em Classes de Frequência Para dados apresentados em uma distribuição em classes de frequência ou tabelados podemos aproximar a mediana conforme a próxima definição seguindo os seguintes passos 1 calculase o valor 𝑛 2 que indica a posição do elemento que divide o conjunto de dados em dois grupos ordenados de mesmo tamanho 2 pelas frequências acumuladas ou pelas frequências relativas identificase a classe que contém a mediana para tanto basta identificar em que classe está o elemento de posição 𝑛 2 3 utilizase a fórmula dada a seguir para determinar a mediana do conjunto de dados representados em uma distribuição em classes de frequências como segue DEFINIÇÃO A mediana de uma distribuição de frequência para uma amostra é dada aproximadamente por 𝑀𝑒 𝑙𝑚𝑒 𝑛 2 𝐹𝑎𝑛𝑡 𝑓𝑚𝑒 ℎ𝑚𝑒 onde temse que 𝑙𝑚𝑒 é o limite inferior da classe mediana 𝑛 é o tamanho da amostra 𝐹𝑎𝑛𝑡 é a frequência acumulada da classe anterior à classe mediana ℎ𝑚𝑒 é a amplitude da classe mediana 𝑓𝑚𝑒 é a frequência da classe mediana Fique atento ao fato de que na expressão acima utilizouse frequências simples e acumulada Exemplo 𝟑𝟖 Calcule a mediana da distribuição em frequência dada pelo Exemplo 27 SOLUÇÃO O Exemplo 27 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒊 Intervalo de Classe 𝑓 Ponto médio Frequênci a relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 65 111 8 88 027 27 8 2 111 157 10 134 033 33 18 3 157 203 7 180 023 23 25 4 203 249 2 226 007 7 27 5 249 295 1 272 003 3 28 6 295 341 2 318 007 7 30 𝑓 30 𝑓 𝑛 1 Como 𝑛 30 segue que 𝑛 2 15 ou seja temos que a mediana encontrase na 15ª posição Observando a distribuição em classes de frequência dada anteriormente na coluna das frequências acumuladas podemos concluir que o elemento que se encontra na 15ª posição está localizado na segunda classe Ou seja temos que a classe mediana é a segunda classe Logo temos que 𝑙𝑚𝑒 111 𝐹𝑎𝑛𝑡 8 ℎ𝑚𝑒 46 𝑓𝑚𝑒 10 Assim segue que a mediana é dada por 𝑀𝑒 𝑙𝑚𝑒 𝑛 2 𝐹𝑎𝑛𝑡 𝑓𝑚𝑒 ℎ𝑚𝑒 𝑀𝑒 111 15 8 10 46 𝑀𝑒 1432 Portanto o preço mediano dos aparelhos de 𝐺𝑃𝑆 é de aproximadamente 𝑈𝑆 143 Exemplo 𝟑𝟗 Calcule a mediana da distribuição em frequência dada pelo Exemplo 28 SOLUÇÃO O Exemplo 28 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒊 Intervalo de Classe 𝑓 Ponto médio Frequência relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 60 70 12 65 030 30 12 2 70 80 14 75 035 35 26 3 80 90 11 85 0275 275 37 4 90 100 1 95 0025 25 38 5 100 110 1 105 0025 25 39 6 110 120 0 115 000 0 39 7 120 130 1 125 0025 25 40 𝑓 40 𝑓 𝑛 1 Como 𝑛 40 segue que 𝑛 2 20 ou seja temos que a mediana encontrase na 20ª posição Observando a distribuição em classes de frequência dada anteriormente na coluna das frequências acumuladas podemos concluir que o elemento que se encontra na 20ª posição está localizado na segunda classe Ou seja temos que a classe mediana é a segunda classe Logo temos que 𝑙𝑚𝑒 70 𝐹𝑎𝑛𝑡 12 ℎ𝑚𝑒 10 𝑓𝑚𝑒 14 Assim segue que a mediana é dada por 𝑀𝑒 𝑙𝑚𝑒 𝑛 2 𝐹𝑎𝑛𝑡 𝑓𝑚𝑒 ℎ𝑚𝑒 𝑀𝑒 70 20 12 14 10 𝑀𝑒 757 Portanto a taxa mediana de pulsação das mulheres é de aproximadamente 75 𝑏𝑝𝑚 Exemplo 𝟒𝟎 Calcule a mediana da distribuição em frequência dada pelo Exemplo 29 SOLUÇÃO O Exemplo 29 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒊 Intervalo de Classe 𝑓𝒊 Ponto médio Frequênci a relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 9968 9972 3 9970 006 6 3 2 9972 9976 3 9974 006 6 6 3 9976 9980 10 9978 020 20 16 4 9980 9984 17 9982 034 34 33 5 9984 9988 8 9986 016 16 41 6 9988 9992 7 9990 014 14 48 7 9992 9996 2 9994 004 4 50 𝑓 50 𝑓 𝑛 1 Como 𝑛 50 segue que 𝑛 2 25 ou seja temos que a mediana encontrase na 25ª posição Observando a distribuição em classes de frequência dada anteriormente na coluna das frequências acumuladas podemos concluir que o elemento que se encontra na 25ª posição está localizado na quarta classe Ou seja temos que a classe mediana é a quarta classe Logo temos que 𝑙𝑚𝑒 9980 𝐹𝑎𝑛𝑡 16 ℎ𝑚𝑒 0004 𝑓𝑚𝑒 17 Assim segue que a mediana é dada por 𝑀𝑒 𝑙𝑚𝑒 𝑛 2 𝐹𝑎𝑛𝑡 𝑓𝑚𝑒 ℎ𝑚𝑒 𝑀𝑒 9980 25 16 17 0004 𝑀𝑒 99821 Portanto o volume mediano transferido pela pipeta no processo de calibração desta é de 9982 𝑚𝑙 Exemplo 𝟒𝟏 Calcule a mediana da distribuição em frequência dada pelo Exemplo 37 SOLUÇÃO O Exemplo 37 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒊 Intervalo de Classe 𝑓𝒊 Ponto médio Frequênci a relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 1 3 2 2 008 8 2 2 3 5 2 4 008 8 4 3 5 7 5 6 021 21 9 4 7 9 10 8 042 42 19 5 9 11 5 10 021 21 24 𝑓 24 𝑓 𝑛 1 Como 𝑛 24 segue que 𝑛 2 12 ou seja temos que a mediana encontrase na 12ª posição Observando a distribuição em classes de frequência dada anteriormente na coluna das frequências acumuladas podemos concluir que o elemento que se encontra na 12ª posição está localizado na quarta classe Ou seja temos que a classe mediana é a segunda classe Logo temos que 𝑙𝑚𝑒 7 𝐹𝑎𝑛𝑡 9 ℎ𝑚𝑒 2 𝑓𝑚𝑒 10 Assim segue que a mediana é dada por 𝑀𝑒 𝑙𝑚𝑒 𝑛 2 𝐹𝑎𝑛𝑡 𝑓𝑚𝑒 ℎ𝑚𝑒 𝑀𝑒 7 12 9 10 2 𝑀𝑒 76 Portanto a nota mediana do paladar de um novo refrigerante é de aproximadamente 8 Lembremonos que as pontuações variam de 1 mais baixa a 10 mais alta