Medidas de Tendência Central: Média, Mediana e Moda em Dados Discretos

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Probabilidade e Estatística Medidas de Tendência Central para Dados Discretos média mediana e moda Medidas de Tendência Central Veremos agora estatísticas numéricas que descrevem o centro de um conjunto de dados discretos que são chamadas de medidas de tendência central ou de localização As medidas de tendência central em um conjunto de dados são designadas para fornecer ao analista alguma medida quantitativa de onde na amostra o centro dos dados está Sua importância reside no fato de que estas resumem e descrevem o comportamento geral dos dados observados em um pesquisa amostral ou em um experimento probabilístico Ou seja uma medida de tendência central é um valor que representa uma observação central de um conjunto de dados As três medidas de tendência central mais comumente usadas são a média a mediana e a moda as quais são definidas a seguir Exemplo 𝟏𝟑 Um engenheiro de uma empresa automobilística está desenvolvendo um composto de borracha para uso em anéis de vedação Um anel de vedação é uma junta mecânica na forma de um toro projetado para ser colocado em uma ranhura e comprimido durante a montagem entre duas ou mais peças criando uma vedação na interface conforme figuras ao lado O engenheiro usa o composto de borracha padrão para produzir oito anéis de vedação em um laboratório e mede a resistência à tração de cada amostra após imersão em uma solução de ácido nítrico a 30𝐶 por 25 minutos As resistências à tração em 𝑝𝑠𝑖 dos oito anéis de vedação produzidos são dadas na tabela abaixo Observação 𝒊 resistência à tração em 𝑝𝑠𝑖 1 1030 2 1035 3 1020 4 1049 5 1028 6 1026 7 1019 8 1010 Note que nem todos os anéis de vedação da amostra observada exibem a mesma medida de tração força A necessidade de pensamento estatístico surge frequentemente na solução de problemas de engenharia dentre tantas outras áreas Por exemplo neste caso temse a necessidade de se obter uma resistência média à tração dos oito anéis de vedação conforme definida a seguir Considere a variável aleatória discreta 𝑋 que representa o conjunto de dados amostrais observados 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Temos que a média amostral deste conjunto de dados é dada por 𝑋 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 𝑛 ou 𝑋 𝑥𝑖 𝑛 𝑖1 𝑛 Às vezes por comodidade usamos a notação compacta dada por 𝑋 𝑋 𝑛 valendo ressaltar que a variável 𝑋 representa qualquer um dos valores observados 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 Média Amostral No caso em que a variável aleatória discreta 𝑋 representa o conjunto de dados de uma população isto é o conjunto de dados 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑁 temos que a média populacional é dada por 𝜇 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑁 𝑁 ou 𝜇 𝑥𝑖 𝑁 𝑖1 𝑁 Vale ressaltar que a letra grega minúscula 𝜇 pronunciase 𝑚𝑖 representa a média populacional e 𝑋 lêse 𝑥 barra representa a média amostral Note que 𝑁 representa o número de observações em uma população e 𝑛 representa o número de observações em uma amostra sendo sempre 𝑛 𝑁 em geral sendo uma desigualdade estrita Média Populacional Exemplo 𝟏𝟒 Considere os dados do Exemplo 13 no qual um engenheiro de uma empresa automobilística desenvolveu um composto de borracha para uso em anéis de vedação Tais dados estão na tabela abaixo Assim temos que a resistência média à tração dos oito anéis de vedação é dada por 𝑋 𝑥1 𝑥2 𝑥8 8 Observação 𝒊 1 2 3 4 5 6 7 8 resistência à tração 𝑥𝑖 em 𝑝𝑠𝑖 1030 1035 1020 1049 1028 1026 1019 1010 Isto é 𝑋 1030 1035 1020 1049 1028 1026 1019 1010 8 𝑋 8217 8 𝑋 10271 𝑝𝑠𝑖 Logo temse que a resistência média à tração dos anéis de vedação produzidos para esta amostra é dada aproximadamente por 10271 𝑝𝑠𝑖 Observe que a média amostral encontrada não pertence ao conjunto de dados observados Uma interpretação física da média amostral como uma medida de localização é dada abaixo Para tanto consideremos os dados do Exemplo 13 ordenados conforme mostrados na figura abaixo Observação Observe que a média amostral das resistências à tração dos anéis de vedação é dada aproximadamente por 𝑋 10271 𝑝𝑠𝑖 que pode ser considerada como um ponto de equilíbrio do conjunto de dados 1010 1000 1030 1060 1019 1020 1026 1028 1035 1049 𝑿 𝟏𝟎𝟐𝟕 𝟏 Ou seja se cada observação da amostra fosse vista como um peso por exemplo 1 𝑘𝑔 de massa colocada nos pontos do eixo horizontal um ponto de apoio localizado em 𝑋 equilibraria exatamente esse sistema de pesos Isto é a média amostral 𝑋 ou populacional 𝜇 tende a ficar no centro dos dados observados ordenados Exemplo 𝟏𝟓 O conjunto de dados a seguir lista os preços em dólares de 30 aparelhos 𝐺𝑃𝑆 global positioning system portáteis Calcule o preço médio de um aparelho de 𝐺𝑃𝑆 SOLUÇÃO Considerando que estes são dados amostrais temos que o preço médio de um aparelho 𝐺𝑃𝑆 é dado por 𝑋 𝑋 𝑛 4783 30 15940 Portanto o preço médio de um aparelho de 𝐺𝑃𝑆 é de aproximadamente 𝑈𝑆 15940 DEFINIÇÃO A mediana 𝑀𝑒 de um conjunto de dados discretos é um valor que está na posição central dos dados quando este conjunto está ordenado Em outras palavras dado que as observações da variável aleatória 𝑣 𝑎 discreta 𝑋 são dadas por 𝑥1 𝑥2 𝑥𝑛 e estando estas ordenadas de forma crescente temos que a mediana é dada por 𝑀𝑒 𝑥 𝑛1 2 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 í𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑥 𝑛 2 𝑥 𝑛 21 2 𝑠𝑒 𝑛 𝑓𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟 onde o subscrito entre parênteses representa a posição do elemento observado 𝑥 após a ordenação do conjunto de dados de forma crescente Exemplo 𝟏𝟔 Consideremos os dados do Exemplo 13 onde temos as resistências à tração em 𝑝𝑠𝑖 dos oito anéis de vedação produzidos sendo estas dadas por 1030 1035 1020 1049 1028 1026 1019 e 1010 Calcule a mediana deste conjunto de dados SOLUÇÃO Observe que o número de observações é par isto é 𝑛 8 Ordenando estes dados temos 1010 1019 1020 1026 1028 1030 1035 e 1049 Assim temos que a mediana deste conjunto de dados é dada por 𝑀𝑒 𝑥 𝑛 2 𝑥 𝑛 21 2 𝑀𝑒 𝑥 4 𝑥 5 2 𝑀𝑒 1026 1028 2 𝑀𝑒 2054 2 1027 Logo a resistência à tração mediana dos anéis é dada por 1027 𝑝𝑠𝑖 Observe que a mediana do conjunto não precisa necessariamente pertencer ao conjunto de dados Note que a mediana deixa 50 dos dados à sua esquerda e 50 dos dados à sua direita Abaixo temos representado graficamente o conjunto de dados com seu valor médio e sua mediana 1027 1010 1019 1020 1026 1028 1030 1035 1049 𝑀𝑒 𝑋 1027125 Observe que os valores da média 𝑋 1027125 e da mediana 𝑀𝑒 1027 que não pertencem ao conjunto de dados observados estão muito próximos sendo que neste caso temos que 𝑋 𝑀𝑒 Exemplo 𝟏𝟕 Calcule a mediana dos dados do Exemplo 15 SOLUÇÃO O Exemplo 15 forneceu um conjunto de dados que lista os preços em dólares de 30 aparelhos 𝐺𝑃𝑆 portáteis os quais de maneira ordenados são dados por Note que temos um número par de dados assim segue que a mediana é dada por 𝑀𝑒 140 150 2 145 Logo o preço mediano de um aparelho de 𝐺𝑃𝑆 é dado por 𝑈𝑆 145 DEFINIÇÃO A moda 𝑀𝑜 de um conjunto de dados discretos é o valor que ocorre com a maior frequência Um conjunto de dados pode ter uma moda mais de uma moda ou não ter moda Quando nenhum valor observado se repete o conjunto de dados não tem moda chamado de amodal que é o caso do Exemplo 14 Quando dois valores observados ocorrem com a mesma maior frequência cada um é uma moda e o conjunto é chamado de bimodal Exemplo 𝟏𝟖 Calcule a moda casos existir dos dados do Exemplo 15 SOLUÇÃO O Exemplo 15 forneceu um conjunto de dados que lista os preços em dólares de 30 aparelhos 𝐺𝑃𝑆 portáteis os quais de maneira ordenados são dados por Assim observando os dados ordenados acima temos que o conjunto é bimodal sendo estas modas dadas pelos elementos 150 e 200 que se repetem 3 vezes cada um Resumidamente temos pelos exemplos 15 17 e 18 respectivamente que as medidas de tendência centrais para o conjunto de dados que representam os preços em dólares de 30 aparelhos 𝐺𝑃𝑆 global positioning system portáteis são dadas por 𝑋 15940 𝑀𝑒 145 𝑀𝑜 150 e 𝑀𝑜 200