Medidas de Variação: Variância e Desvio Padrão Amostral

Prof Paulo Henrique Barbosa Galdino Disciplina Probabilidade e Estatística Medidas de Variação para Dados Tabelados variância e desvio padrão Variância e Desvio Padrão Amostral Sabemos que a média amostral em uma distribuição em 𝑘 classes de frequências é dada por 𝑋 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 𝑛 onde 𝑥𝑖 e 𝑓𝑖 representam respectivamente o ponto médio e a frequência simples da classe 𝑖 com 𝑖 1 2 𝑘 Note ainda que 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑋 2 𝑘 𝑖1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 2𝑥𝑖𝑋 𝑋 2 𝑘 𝑖1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 2𝑋 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 𝑋 2 𝑓𝑖 𝑘 𝑖1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 2𝑋 𝑛𝑋 𝑛 𝑋 2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 𝑋 2 Logo temos que 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑋 2 𝑘 𝑖1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 𝑛 2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑋 2 𝑘 𝑖1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 Agora dividindo ambos os lados da igualdade acima por 𝑛 1 temos que 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑋 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 𝑛 1 Dessa forma diante do exposto acima temos as seguintes definições DEFINIÇÃO A variância amostral e o desvio padrão amostral de um conjunto de dados amostral tabelados com 𝑛 elementos representados em uma distribuição em 𝑘 classes de frequências são definidos respectivamente por a Variância Amostral 𝑆2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 𝑛 1 Aqui observe que 𝑥𝑖 e 𝑓𝑖 representam respectivamente o ponto médio e a frequência simples da classe 𝑖 com 𝑖 1 2 𝑘 b Desvio Padrão Amostral 𝑆 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 𝑛 1 Analogamente ao caso anterior observe que 𝑥𝑖 e 𝑓𝑖 representam respectivamente o ponto médio e a frequência simples da classe 𝑖 com 𝑖 1 2 𝑘 Exemplo 𝟒𝟓 Calcule a variância e o desvio padrão amostrais dos dados do Exemplo 27 SOLUÇÃO O Exemplo 27 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒌 Intervalo de Classe 𝑓 Ponto médio Frequênci a relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 65 111 8 88 027 27 8 2 111 157 10 134 033 33 18 3 157 203 7 180 023 23 25 4 203 249 2 226 007 7 27 5 249 295 1 272 003 3 28 6 295 341 2 318 007 7 30 𝑓 30 𝑓 𝑛 1 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐 𝒇𝒊 𝒙𝒊 61952 704 179560 1340 226800 1260 102152 452 73984 272 202248 636 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 846696 𝑓𝑖𝑥𝑖 4664 Logo com base na tabela de distribuição em classes de frequências dada anteriormente podemos calcular os valores dados na tabela ao lado os quais nos fornecem o seguinte 𝑆2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 𝑛 1 𝑆2 846696 29 4664 2 30 29 𝑆2 2919641 2500333 𝑆2 419308 Ou seja temos que a variância amostral do conjunto dado é 𝑆2 41931 E portanto o desvio padrão amostral do conjunto dado é 𝑺 𝟔𝟒 𝟖 Portanto temos que os valores dos aparelhos de 𝐺𝑃𝑆 tem um desvio padrão médio com relação ao preço médio 𝑈𝑆 1555 de aproximadamente 𝑈𝑆 648 Observemos que para dados brutos o desvio padrão amostral é igual a 𝑈𝑆 698 Exemplo 𝟒𝟔 Calcule a variância e o desvio padrão amostrais dos dados do Exemplo 28 SOLUÇÃO O Exemplo 28 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒌 Intervalo de Classe 𝑓 Ponto médio Frequência relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 60 70 12 65 030 30 12 2 70 80 14 75 035 35 26 3 80 90 11 85 0275 275 37 4 90 100 1 95 0025 25 38 5 100 110 1 105 0025 25 39 6 110 120 0 115 000 0 39 7 120 130 1 125 0025 25 40 𝑓 40 𝑓 𝑛 1 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐 𝒇𝒊 𝒙𝒊 50700 780 78750 1050 79475 935 9025 95 11025 105 0 0 15625 125 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 244600 𝑓𝑖𝑥𝑖 3090 Logo com base na tabela de distribuição em classes de frequências dada anteriormente podemos calcular os valores dados na tabela ao lado os quais nos fornecem o seguinte 𝑆2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 𝑛 1 𝑆2 244600 39 3090 2 40 39 𝑆2 627179 612058 𝑆2 15121 Ou seja temos que a variância amostral do conjunto dado é 𝑆2 1512 E portanto o desvio padrão amostral do conjunto dado é 𝑺 𝟏𝟐 𝟑 Portanto temos que a pulsação das mulheres tem um desvio padrão médio com relação à pulsação média 77 𝑏𝑝𝑚 de aproximadamente 12 𝑏𝑝𝑚 Observemos que tanto para dados brutos quanto para dados tabelados os dois desvios padrão amostral são aproximadamente iguais a 12 𝑏𝑝𝑚 quando consideramos as taxas de pulsação em 𝑏𝑝𝑚 como números inteiros Exemplo 𝟒𝟕 Calcule a variância e o desvio padrão amostrais dos dados do Exemplo 29 SOLUÇÃO O Exemplo 29 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒌 Intervalo de Classe 𝑓𝒊 Ponto médio Frequênci a relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 9968 9972 3 9970 006 6 3 2 9972 9976 3 9974 006 6 6 3 9976 9980 10 9978 020 20 16 4 9980 9984 17 9982 034 34 33 5 9984 9988 8 9986 016 16 41 6 9988 9992 7 9990 014 14 48 7 9992 9996 2 9994 004 4 50 𝑓 50 𝑓 𝑛 1 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐 𝒇𝒊 𝒙𝒊 2982027 2991 2984420 29922 9956048 9978 16938855 169694 7977616 79888 6986007 6993 1997600 19988 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 4982257 𝑓𝑖𝑥𝑖 499112 Logo com base na tabela de distribuição em classes de frequências dada anteriormente podemos calcular os valores dados na tabela ao lado os quais nos fornecem o seguinte 𝑆2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 𝑛 1 𝑆2 4982257 49 499112 2 50 49 𝑆2 101678714 101678689 𝑆2 0000025 Ou seja temos que a variância amostral do conjunto dado é 𝑆2 0000025 E portanto o desvio padrão amostral do conjunto dado é 𝑺 𝟎 𝟎𝟎𝟓 Portanto o volume transferido pela pipeta tem um desvio padrão médio com relação ao volume médio transferido 998224 𝑚𝑙 de aproximadamente 0005 m𝑙 Observemos que tanto para dados brutos quanto para dados tabelados os dois desvios padrão amostral são aproximadamente iguais a 0005 𝑚𝑙 quando consideramos o volume transportado pela pipeta com apenas três casas decimais após a vírgula Exemplo 𝟒𝟖 Calcule a variância e o desvio padrão amostrais dos dados do Exemplo 37 SOLUÇÃO O Exemplo 37 fornece a distribuição de frequência dada abaixo por Classe 𝒌 Intervalo de Classe 𝑓𝒊 Ponto médio Frequênci a relativa Frequência relativa Frequência acumulada 1 1 3 2 2 008 8 2 2 3 5 2 4 008 8 4 3 5 7 5 6 021 21 9 4 7 9 10 8 042 42 19 5 9 11 5 10 021 21 24 𝑓 24 𝑓 𝑛 1 𝒇𝒊 𝒙𝒊 𝟐 𝒇𝒊 𝒙𝒊 8 4 32 8 180 30 640 80 500 50 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 1360 𝑓𝑖𝑥𝑖 172 Logo com base na tabela de distribuição em classes de frequências dada anteriormente podemos calcular os valores dados na tabela ao lado os quais nos fornecem o seguinte 𝑆2 𝑓𝑖 𝑥𝑖 2 𝑘 𝑖1 𝑛 1 𝑓𝑖 𝑥𝑖 𝑘 𝑖1 2 𝑛 𝑛 1 𝑆2 1360 23 172 2 24 23 𝑆2 5913 5359 𝑆2 554 Ou seja temos que a variância amostral do conjunto dado é 𝑆2 554 E portanto o desvio padrão amostral do conjunto dado é 𝑺 𝟐 𝟑𝟓 Portanto a nota do paladar de um novo refrigerante tem um desvio padrão médio com relação à nota média de 7 de aproximadamente 2 Observemos que tanto para dados brutos quanto para dados tabelados os dois desvios padrão amostral são aproximadamente iguais a 2 quando consideramos o desvio padrão amostral como sendo um número inteiro Interpretando o Desvio Padrão Ao interpretar o desvio padrão de um conjunto de dados lembrese de que ele é uma medida que indica o quanto em média os valores se desviam da média desse conjunto Quanto mais espalhados estiverem os elementos do conjunto de dados maior será o desvio padrão conforme mostram as figuras acima Observe que os histogramas acima mostram conjuntos com a mesma média amostral 𝑋 5 porém com desvio padrão distintos em cada conjunto sendo o de maior valor indicando dados mais dispersos com relação à média 𝑎 𝑏 𝑐