Lista de Exercícios Resolvidos - Produto Vetorial e Aplicações

Lista 9 Produto Vetorial e suas Aplicações Exercício 1 Calcule o produto vetorial u v para a u 5 4 3 e v 1 0 1 b u 3 1 2 e v 2 2 5 c u 1 1 1 e v 2 3 4 d u 1 2 2 e v 2 0 1 e u 2 1 1 e v 1 1 3 Exercício 2 Se u 3 1 2 v 2 4 1 e w 1 0 1 determine a u v b 2v 3v c u w w u d u v v u e u v w f u v w g u v w h u v w i u v u w j u v v k u v w l u v w Exercício 3 Determine o vetor w R3 tal que w seja ortogonal ao eixo y e u w v onde u 1 1 1 e v 2 1 1 Exercício 4 Determine um vetor que seja ortogonal a ambos u 1 1 4 e v 3 2 2 Exercício 5 Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores u 1 1 1 e v 2 3 4 Calcule também a altura relativa a base definida pelo vetor u Exercício 6 Determine a distância do ponto P5 1 2 a reta r que passa pelos pontos A3 1 3 e B4 1 1 Exercício 7 Determine o valor de a para que a área do paralelogramo determinado por u 2 1 1 e v 1 1 a seja 62 Exercício 8 Dados os pontos A2 1 1 B3 1 0 e C4 2 2 determine a área do triangulo ABC e a altura relativa ao vértice C Exercício 9 Encontre um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P Q e R a P3 0 0 Q0 3 0 e R0 0 2 b P2 3 0 Q0 2 1 e R2 0 2 1 Exercício 10 Determine z sabendo que A2 0 0 B0 2 0 e C0 0 z são vértices de um triângulo de área 6 Definição 1 Três vetores u v e w são coplanares ou seja pertencem ao mesmo plano se e somente se vale a equação u v w 0 Exercício 11 Verifique que os vetores u 2 1 1 v 1 0 1 e w 2 1 4 são coplanares Exercício 12 Qual deve ser o valor de m para que os vetores u 2 m 0 v 1 1 2 e w 1 3 1 sejam coplanares Exercício 13 Verifique que os pontos A1 2 4 B1 0 2 C0 2 2 e D2 1 3 estão no mesmo plano Exercício 14 Qual o volume do cubo determinado pelos vetores 1 0 0 0 1 0 e 0 0 1 Exercício 15 Determine o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u 3 1 4 v 2 0 1 e w 2 1 5 Exercício 16 Calcule o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores v1 0 1 2 v2 4 2 1 e v3 3 m 2 seja 33 2 RESPOSTAS Ex 1 a 4 2 4 b 1 19 8 c 1 2 1 d 2 3 4 e 2 7 3 Ex 2 a 0 b 0 0 0 c 0 0 0 d 0 0 0 e 5 0 5 f 1 23 1 g 6 20 1 h 8 2 13 i 8 2 13 j 0 k 5 l 5 Ex 3 w 1 0 1 Ex 4 10 10 5 ou qualquer múltiplo desse vetor Ex 5 A 6 ua h 2 uc Ex 6 Distância 29 3 uc Ex 7 a 3 ou a 17 5 Ex 8 A 5 2 3 ua e h 5 2 2 uc Ex 9 a 2 2 3 b 1 4 6 Ex 10 4 ou 4 Ex 12 m 10 Ex 14 V 1 Ex 15 V 17 Ex 16 m 4 ou m 17 4 3 Resolução Exercícios de Geometria Analítica EX1 a u 5 4 3 e v 1 0 1 u x v i j k 5 4 3 1 0 1 4 2 4 b u 312 e v 2 2 5 u x v i j k 3 1 2 2 2 5 1 19 8 c u 1 1 1 e v 2 3 4 u x v i j k 1 1 1 2 3 4 1 2 1 d u 1 2 2 e v 2 0 1 u x v i j k 1 2 2 2 0 1 2 3 4 e u 2 1 1 e v 1 1 3 u x v i j k 2 1 1 1 1 3 2 7 3 EX2 u 3 1 2 v 2 4 1 e w 1 0 1 a u x v u x v i j k 3 1 2 2 4 1 9 1 14 Logo u x v 9 1 14 92 12 142 278 b 2u x 3v 22 4 1 x 32 4 1 4 8 2 x 6 12 3 2u x 3v i j k 4 8 2 6 12 3 0 0 0 por definição o produto vetorial de v x v ou u x u qualquer vetor x ele mesmo é 000 c u x w w x u u x w i j k 3 1 2 1 0 1 1 1 1 E w x u i j k 1 0 1 3 1 2 1 1 1 Logo u x w w x u 0 0 0 por definição quando se inverte a ordem dos vetores no prod vetorial o resultado também se inverte o sinal d u x v x v x u u x v i j k 3 1 2 2 4 1 9 1 14 Logo v x u 9 1 14 Então u x v x v x u i j k 9 1 14 9 1 14 000 e u v x w u v 3 1 2 2 4 1 1 5 1 Logo u v x w i j k 1 5 1 1 0 1 5 0 5 f u x v x w u x v 9 1 14 item D Logo u x v x w i j k 9 1 14 1 0 1 1 23 1 g u x v x w v x w i j k 2 0 1 1 4 1 4 1 4 4k 0 2j 4i 1j 0 Logo u x v x w i j k 3 1 2 3 1 4 1 4 1 4k 2i 4i 8j 3k 12j 6 20 1 h u x v w v w 2 4 1 1 0 1 1 4 0 u x v w i j k 3 1 2 1 4 1 4 0 1k 8i 0 0 2j 12k 8 2 13 i u x v u x w u x v 9 1 14 item D u x w 1 1 1 item C Logo u x v u x w 9 1 14 1 1 1 8 2 13 j u x v v u x v v 9 1 14 2 4 1 92 14 141 0 k u x v w u x v w 9 1 14 1 0 1 91 10 141 5 l u v x w u v x w 3 1 2 4 1 4 34 11 24 5 EX3 w a b c u 1 1 1 v 2 1 1 b 0 ortogonal ao eixo y w a 0 c u w x v 1 1 1 c 2c a a c 1 a 1 w x v i j k a 0 c 2 1 1 c 2c a a 0 ci aj 0 2cj ak Logo w 1 0 1 EX4 Seja w o vetor ortogonal a u 1 1 4 e v 3 2 2 w u x v i j k 1 1 4 3 2 2 6 14 5 oi qualquer múltiplo deste vetor 3k 8i 2i 2i 12j 2k NÃO BATEO COM A RESPOSTA POIS NO LIVRO DO WINTERLE U 1 1 4 e não u 1 1 4 EX5 u 1 1 1 v 2 3 4 A u x v u x v i j k 1 1 1 2 3 4 1 2 1 A 12 22 12 6 ua 2k 3i 4j 2j 3k E h A u 6 12 12 12 6 3 2 uc EX6 dpr P 5 1 2 AB 1 2 2 AP 2 0 1 A 3 1 3 B 4 1 1 A distância de P à reta r é dada por d AB x AP AB AB x AP i j k 1 2 2 2 0 1 2 3 4 0 1j 2i 4j 0 Logo d 22 32 42 12 22 22 29 9 29 3 vc EX7 a u 2 1 1 v 1 1 a A u x v 62 Logo u x v i j k 2 1 1 1 1 a a 1 2a 1 3 1k 1i 2aj ai 1j 2k a 12 2a 12 32 62 Então a2 2a 1 4a2 4a 1 9 62 5a2 2a 51 0 22 4551 1024 Logo a 2 1024 10 a1 2 1024 10 3 a2 2 1024 10 175 EX8 A 2 1 1 B 3 1 0 C 4 2 2 AB B A 1 2 1 AC C A 2 1 3 A AB AC 2 7² 1² 5² 2 53 2 ua E AB AC i j k 1 2 1 2 1 3 7 1 5 4k 1i 3j 6i 2j 1k E h A b 532 1² 2² 1² 52 4 uc AB EX9 a P 3 0 0 Q 0 3 0 R 0 0 2 PQ Q P 3 3 0 PR R P 3 0 2 Seja w o vetor ortogonal w PQ PR i j k 3 3 0 3 0 2 6 6 9 ok 0 6j 6i 0 0 múltiplo da resposta OK b P 2 3 0 Q 0 2 1 R 2 0 2 PQ Q P 2 1 1 PR R P 0 3 2 Seja w o vetor ortogonal w PQ PR i j k 2 1 1 0 3 2 1 4 6 0 3i 4j 2i 0 6k EX10 A 2 0 0 B 0 2 0 C 0 0 z AB 2 2 0 AC 2 0 z A 6 A AB AC 2 6 2z² 2z² 4² 2 12² 2z² 2z² 4² 144 4z² 4z² 16 8z² 128 z² 16 z 4 ou z 4 E AB AC i j k 2 2 0 2 0 z 2z 2z 4 4k 0 2zj 2zi 0 0 EX11 u 2 1 1 v 1 0 1 w 2 1 4 Fazendo v w i j k 1 0 1 2 1 4 1 6 1 0 1i 4j 0 2j 1k Verificando se u v w 0 u v w 2 1 1 1 6 1 21 16 11 3 0 não são coplanares EX12 u 2 m 0 v 1 1 2 w 1 3 1 Fazendo v w i j k 1 1 2 1 3 1 5 1 2 1k 6i 1j 4i 2j 3k Então 2 m 0 5 1 2 0 25 m1 02 0 m 10 0 m 10 EX13 A 1 2 4 B 1 0 2 C 0 2 2 D 2 1 3 u AB 2 2 2 v AC 1 0 2 w AD 3 1 1 v w i j k 1 0 2 3 1 1 2 5 1 0 2i 1j 0 6j 1k u v w 2 2 2 2 5 1 8 as pontas não são coplanares EX14 1 0 0 0 1 0 0 0 1 V u v w i j k 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 uv EX15 V u v w u 3 1 4 v 2 0 1 w 2 1 5 V 3 1 4 2 0 1 2 1 5 17 uv EX16 v1 0 1 2 v2 4 2 1 v3 3 m 2 V 33 V 0 1 2 0 1 4 2 1 4 2 3 m 2 3 m 12 0 8 0 0 8m 33 logo 8m 1 33 Desta forma 8m 1 33 8m 34 m 348 174 ou 8m 1 33 8m 32 m 328 4