5ª Lista de Exercícios - Fundamentos de Matemática para Computação

UFG Instituto de Informática Fundamentos de Matemática para Computação CCESSI Professores Erika Coelho Elisângela Dias e Julliano Nascimento1 5ª Lista de Exercícios 20212 Conjuntos 1 Descreva cada um dos conjuntos abaixo usando a notação de construção de conjuntos a 1 3 5 7 9 11 x N x 2k 1 b João Maria Gaspar Moisés x Pessoas x João Maria Gaspar Moisés c 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 x bits 0 x 2 Descreva cada um dos conjuntos abaixo usando a notação de construção de conjuntos a x N x2 25 0 1 2 3 4 números naturais menores que 5 b x N 2 x 11 3 4 5 6 7 8 9 10 números naturais entre 3 e 10 c x R x2 1 d x N x2 5x 6 0 2 3 números naturais maiores que 1 e menores que 4 3 Determine se cada uma das proposições é verdadeira ou falsa para todos os conjuntos A B e C Justifique a 0 Falsa pois zero é diferente de vazio b Falsa pois não tem nenhum elemento e tem um elemento que é o conjunto vazio c A Verdadeira d A Verdadeira se e somente se A e Verdadeira f Se A B e B A então A B Verdadeira g Se A B e B C então A C Verdadeira h Se A B e B C então A C Falsa Contrae xemplo Suponha A 1 2 3 B 4 5 6 C 1 2 3 4 Seja A 1 2 1 2 3 Determine se cada uma das proposições é verdadeira ou falsa Justifique a 1 A Verdadeira b 1 A Falsa pois somente existe o elemento 1 e não o elemento 1 em A c 1 2 A Verdadeira d A Verdadeira pois o conjunto vazio é um elemento de A e 1 2 A Verdadeira pois existe tanto o ele mento 1 2 quanto o subconjunto 1 2 f 3 A Falsa pois somente existe o elemento 3 e não o elemento 3 em A g A Verdadeira pois o é subconjunto de todos conjuntos h A Verdadeira pois existe o elemento em A 5 Qual a cardinalidade de cada um dos conjuntos abaixo a a b 2 b a a a a 3 c a 3 d 3 6 Liste o conjunto das partes conjunto potência dos seguintes conjuntos a a b Partes a b a b b a a a b Partes a a a b a a a a b a a b a a a b c a a a a Partes a a a a a a a a a a a aa a a a d a Partes a a a a 7 Considere A 1 2 3 4 5 e B 0 2 3 7 Encontre 1email erikacoelho elisangelasd jullianonascimentoufgbr a A B 1 0 1 2 1 3 1 7 2 0 2 2 2 3 2 7 3 0 3 2 3 3 3 7 4 0 4 2 4 3 4 7 5 0 5 2 5 3 5 7 b B A 0 1 0 2 0 3 0 4 0 5 2 1 2 2 2 3 2 4 2 5 3 1 3 2 3 3 3 4 3 5 7 1 7 2 7 3 7 4 7 5 c A B 0 1 2 3 4 5 7 d A B 2 3 e A B 1 4 5 f B A 0 7 g AB A B B A 0 1 4 5 7 8 Verifique em cada um dos casos se A B A B e A B a A B A B veja que A mas B A B e A B b A B A B A B e A B c A B A B mas B A A B e A B 9 Use o diagrama de Venn para ilustrar cada uma das relações a A B e B C b A B e B C c A B e A C 10 Sendo A B e C subconjuntos de um conjunto U qualquer demonstre que a A B A B Queremos mostrar que A B A B Suponha que x A B Pela definição de diferença temos que x A e x B Pela definição de complemento temos que x A e x B E pela definição de intersecção temos que x A B Portanto A B A B b A B A A B Queremos mostrar que A B A A B Suponha que x A B A Assim x A ou x B A Pela definição de diferença temos x A ou x B e x A Pela definição de complemento temos x A ou x B e x A Pela propriedade distributiva temos que x A ou x B e x A ou x A Pela definição de união temos que x A B e x A A Logo temos que x A B e x U Como x U é verdadeira chegamos a x A B Portanto A B A A B Queremos mostrar que A B A B A Suponha que x A B Pela definição união temos que x A ou x B Sabemos que x existe logo x U é verdadeira Assim temos que x A ou x B e x U Logo temos que x A ou x B e x A A Pela definição de união temos que x A ou x B e x A ou x A Pela propriedade distributiva temos que x A ou x B e x A Pela definição de complemento temos que x A ou x B e x A Pela definição de diferença temos que x A ou x B A Pela definição de união temos que x A B A Dessa forma A B A B A Portanto A B A A B c A B C A B A C Queremos mostrar que A B C A B A C Suponha que x A B C Assim x A e x B C Logo x A e x B e x C Pela propriedade associativa temos que x A e x B e x C Pela propriedade da identidade temos que x A e x B e x A e x C Pela definição de diferença temos que x A B e x A C Pela definição de intersecção temos que x A B A C Portanto A B C A B A C Queremos mostrar que A B A C A B C Suponha que x A B A C Pela definição de diferença e intersecção temos que x A e x B e x A e x C Pela propriedade associativa temos que x A e x A e x B e x C Pela propriedade de identidade temos que x A e x B e x C Logo x A e x B C Portanto x A B C Portanto A B C A B A C d A B C A B A C Queremos mostrar que A B C A B A C Suponha que x A B C Pela definição de diferença temos que x A e x B C Logo x A e x B ou x C Pela propriedade distributiva temos que x A e x B ou x A e x C Pela definição de diferença temos que x A B ou x A C Pela definição de união temos que x A B A C Portanto A B C A B A C Queremos mostrar que A B A C A B C Suponha que x A B A C Pela definição de união temos que x A B ou x A C Pela definição de diferença temos que x A e x B ou x A e x C Pela propriedade distributiva temos que x A e x B ou x C Logo x A e x B C Pela definição de diferença temos que x A B C Dessa forma A B A C A B C Portanto A B C A B A C e AB A B A B Queremos mostrar que AB A B A B Seja x AB Pela definição de temos que x A B B A Pela definição de união temos que x A B ou x B A Pela definição de diferença temos que x A e x B ou x B e x A Pela distributiva temos que x A ou x B e x A ou x A e x B ou x B e x B ou x A Pela negação x A ou x B e V e V e x B ou x A Pela propriedade de dominação x A ou x B e x B ou x A Pela definição de união temos que x A B e x A B Pela definição de diferença temos que x A B A B Portanto AB A B A B Queremos mostrar que A B A B AB Seja x A B A B Pela definição de diferença temos que x A B e x A B Pela definição de união temos que x A ou x B e x A ou x B Pela propriedade distributiva temos que x A e x A ou x A e x B ou x B e x A ou x B e x B Pela propriedade da negação temos que F ou x A e x B ou x B e x A ou F Pela propriedade da dominação temos que x A e x B ou x B e x A Pela definição de diferença temos que x A B ou x B A Pela definição de união temos que x A B B A Pela definição de temos que x AB Dessa forma A B A B AB Portanto AB A B A B f A B A A B Queremos mostrar que A B A A B Suponha que x A B Pelas propriedade de união temos que F x A B Pela propriedade de negação temos que x A e x A x A B Assim pela propriedade de união temos que x A e x A ou x A B Pedla definição de diferença temos que x A e x A ou x A e x B Pela propriedade distributiva temos que x A e x A ou x B Pela definição de união temos que x A e x A B Pela definição de diferença temos que x A A B Portanto A B A A B Queremos mostrar que A A B A B Suponha que x A A B Pela definição de diferença temos que x A e x A B Pela definição de intersecção temos que x A e x A ou x B Aplicando a propriedade distributiva temos que x A e x A ou x A e x B Assim temos F ou x A e x B Pela propriedade de dominação temos que x A e x B Pela definição de diferença temos que x A B Pela definição de união x A B Dessa forma A A B A B Portanto A B A A B g A B A B Queremos mostrar que A B A B Suponha que x A B Pela definição de complemento temos que x A B Pela definição de união temos que x A e x B Pela definição de complemento temos que x A e x B Pela definição de intersecção x A B Portanto A B A B Queremos mostrar que A B A B Suponha que x A B Pela definição de intersecção temos que x A e x B Pela definição de complemento temos que x A e x B Pela definição de intersecção temos que x A B Pela definição de complemento temos que x A B Logo A B A B Portanto A B A B 11 Coloque verdadeiro ou falso Justifique suas afirmações demonstre ou exiba um contraexemplo a A B C A B C Falso A 1 2 3 4 5 6 B 2 4 6 C 1 3 5 B C A B C 1 2 3 4 5 6 A B 1 3 5 e A B C Portanto A B C A B C b A B C A C B Verdadeiro Queremos mostrar que A B C A C B Suponha que x A B C Pela definição de diferença temos que x A e x B e x C Pela propriedade associativa temos que x A e x C e x B Pela definição de diferença temos que x A C B Portanto A B C A C B Queremos mostrar que A C B A B C Suponha que x A C B Pela definição de diferença temos x A e x C e x B Pela propriedade associativa temos que x A e x B e x C Pela definição de diferença temos que x A B C Dessa forma A C B A B C Portanto A B C A C B c A B C A C B C Falso A 1 2 5 B 2 3 5 C 2 4 6 A B 1 2 3 5 A B C 1 3 5 A C 1 5 B C 3 5 A C B C 5 Portanto A B C A C B C d Se A B C então B A C Falso A 1 3 B 1 2 3 4 C 2 4 5 B C 1 3 A C 1 2 3 4 5 Portanto A B C mas B A C e temos que V F e Se B A C então A B C Falso A 1 3 5 B 1 2 3 5 C 1 2 A C 1 2 3 5 B C 3 5 Portanto B A C mas A B C e temos que V F f A B A B Falso A 1 2 3 B 4 5 6 A B 1 2 3 A B 3 A 3 B 3 A B 0 Portanto A B A B g A B B A Falso A 1 2 3 B 4 5 6 A B 1 2 3 A B B 1 2 3 4 5 6 Portanto A B B A h A B B A Falso A 1 2 B 1 2 3 A B 1 2 3 A B B Portanto A B B A