Conversão Eletromecânica de Energia - Princípios e Forças em Campos Magnéticos

Conversão Eletromecânica de Energia O Princípio da Conversão Eletromecânica de Energia 1 Introdução Os diversos tipos de dispositivos de conversão operam com princípios similares mas sua estrutura depende de sua função Dispositivos para medição e controle transdutores microfones autofalantes sensores dispositivos produtores de força solenóides relés eletroímãs conversão contínua de energia motores e geradores Será dada ênfase nos dispositivos que realizam estas funções Conversão Eletromecânica de Energia 2 Forças e torques em campos magnéticos Pela Lei da Força de Lorentz 1 B v q E F A força exercida sobre uma partícula na presença de campo elétrico e magnético é dada por Unidades no SI F Força em Newtons N v velocidade da partícula q em metros por segundo ms q carga em Coulomb C E Campo Elétrico em Voltsmetro Vm B Densidade de fluxo magnético em Tesla T Conversão Eletromecânica de Energia Na presença de campo elétrico apenas B 0 2 qE F Na presença de campo magnético apenas E 0 3 B q v F A direção da força é perpendicular à direção de movimento da partícula e do campo magnético indicado matematicamente pelo produto vetorial v x B Sua magnitude é dada pelo produto v x B e pelo seno do ângulo entre eles Sua direção e determinada pela regra da mão direita B F V B F V Conversão Eletromecânica de Energia Considerando o caso em que existam muitas cargas em movimento a equação 1 pode ser reescrita da seguinte forma 4 B v E Fv Onde ρ densidade de carga Cm3 Fv densidade de força Nm3 O produto ρv representa a densidade de corrente em Am2 6 5 B J F v J v Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 31 Um rotor não magnético contendo uma bobina de espira única é colocada em um campo magnético uniforme de módulo Bo conforme ilustrado a seguir Os lados da bobina estão a uma distância do eixo igual ao raio R e o fio conduz uma corrente I conforme indicado Encontrar o conjugado na direção Ө em função da posição do rotor α quando I 10A Bo002T e R005m Admitir o comprimento do rotor l 03m Uniform magnetic field B0ŷ Wire 1 current I into paper Wire 2 current I out of paper i N 200 turns A 12 cm² lr 5 cm lg 005 cm lc 50 cm Conversão Eletromecânica de Energia FθFsenα Conversão Eletromecânica de Energia FθFsenα Conversão Eletromecânica de Energia A força por unidade de comprimento no fio condutor de corrente pode ser obtida multiplicandose a equação 6 pela área da seção reta do condutor Isto significa que o produto da área pela densidade é a própria corrente I portanto 𝐹𝑣 𝐽 𝐵 𝐹 𝐼 𝐵 Assim a força na direção Ө para a corrente no fio 1 entrando será dada por IB lsen F o 1 Para o fio 2 180º deslocado do fio 1 IB lsen F o 2 Conversão Eletromecânica de Energia O conjugado que atua sobre o rotor será dado por B IlRsen T 2 o 0 006 30 210 0 02 0 05 Nm sen sen T Conversão Eletromecânica de Energia Princípio da conservação da energia Variáveis de entrada e i Variáveis de saída fcmp força x posição Conversão Eletromecânica de Energia A interação entre as grandezas de entrada e saída terminais elétricos e mecânicos representa a conversão eletromecânica de energia que ocorre através da energia magnética armazenada 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑡 𝑒𝑖 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑥 𝑑𝑡 7 8 dt d e 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖𝑑𝜆 𝑓𝑐𝑚𝑝𝑑𝑥 9 Como a tensão induzida pode ser dada por Para um sistema sem perdas 𝑃𝑒𝑙𝑒 𝑃𝑚𝑒𝑐 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑡 Conversão Eletromecânica de Energia Interpretação das equações 7 e 9 Da equação 9 concluise que força pode ser calculada em função do fluxo 𝜆 e da posição x considerando possível separar as perdas do sistema físico resultando em um sistema de armazenamento de energia sem perdas As equações 7 e 9 formam a base para o Método da Energia técnica capaz de determinar forças e torques em sistemas de conversão eletromecânica de energia Forças são produzidas pelo fenômeno físico conhecido como Força de Lorentz em condutores transportando corrente elétrica em função da interação entre os campos magnéticos com dipolos em materiais magnéticos Conversão Eletromecânica de Energia 3 Balanço de Energia Princípio da Conservação de Energia energia não é criada nem destruída mas simplesmente transformada Para sistemas isolados com condições de contorno bem definidas o princípio da conservação de energia permite afirmar que o fluxo líquido de energia que entra no sistema é igual à soma da taxa de variação da energia armazenada no sistema primeira lei da termodinâmica Conversão Eletromecânica de Energia Entrada de energia a partir de fontes elétricas Saída de energia mecânica Aumento da energia armazenada no campo magnético Energia convertida em calor 10 11 campo mec elet dW dW dW Onde d Welet ei dt id𝜆 variação da entrada de energia elétrica d Wmec fcampo dx Variação da saída da energia mecânica d Wcampo variação da energia magnética armazenada Portanto para o sistema de armazenamento de energia sem perdas a equação 9 pode ser reescrita na forma da equação 10 e Conversão Eletromecânica de Energia A partir da equação 8 podese escrever que 𝑑𝑊𝑒𝑙𝑒𝑡 𝑒 𝑖 𝑑𝑡 12 𝑒 𝑑𝑊𝑒𝑙𝑒𝑡 𝑒 𝑖 𝑑𝑡 𝑑𝑊𝑚𝑒𝑐 𝑑𝑊𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜13 Conversão Eletromecânica de Energia 4 Energia em Sistemas de Campo Magnético de uma Única Excitação Seja o seguinte relé eletromagnético Conversão Eletromecânica de Energia Desprezandose as não linearidades do material magnético e as perdas no núcleo a relação entre fluxo concatenado 𝜆 e a corrente elétrica i pode ser determinada em função da variação da indutância L 𝜆 𝐿 𝑥 𝑖 14 Para uma força mecânica definida como agindo a partir do relé sobre um sistema mecânico externo a variação da energia mecânica dWmec é definida como energia mecânica de saída do relé 𝑑𝑊𝑚𝑒𝑐 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑥 15 Como dWeleid𝜆 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑑𝜆 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑥 16 𝜆 e x são as Variáveis de Estado Conversão Eletromecânica de Energia 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑑𝜆 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑥 No caminho 2a d𝜆0 e fcmp 0 e dWcmp 0 não existe campo magnético No caminho 2b dx 0 e a equação 16 reduzse a integral de id𝜆 Assim a equação 17 se reduz à integral de idλ no caminho 2b 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆0 𝑥0 න 𝑐𝑎𝑚2𝑎 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 න 𝑐𝑎𝑚2𝑏 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 17 Conversão Eletromecânica de Energia 𝑊𝑐𝑚𝑝𝜆0 𝑥0 න 0 𝜆0 𝑖 𝜆 𝑥0 𝑑𝜆 18 Da equação 14 temse que Lx i Conversão Eletromecânica de Energia 𝑊𝑐𝑚𝑝𝜆 𝑥 න 0 𝜆 𝑖 𝜆 𝑥 𝑑𝜆 න 0 𝜆 𝜆 𝐿 𝑥 𝑑𝜆 1 2 𝜆2 𝐿 𝑥 19 Em termos de densidade de energia magnética integrada sobre o volume do campo magnético a energia armazenada pode ser expressa por 𝑊𝑐𝑚𝑝 න 𝑉 න 0 𝐵 𝐻𝑑𝐵 𝑑𝑉 20 Para um material magnético mole de permeabilidade constante a equação 20 reduzse a Para um sistema linear onde 𝜆 é proporcional à i Conversão Eletromecânica de Energia 𝑊𝑐𝑚𝑝 න 𝑉 𝐵2 2𝜇 𝑑𝑉 21 Exemplo 32 Considere o relé a seguir cujas dimensões são fornecidas e a permeabilidade magnética considerada infinita Calcular a energia magnética armazenada em função da posição do êmbolo 0 x d hg N1000 esp g2mm d015m l01m i10A Conversão Eletromecânica de Energia Solução Foi visto no capítulo 1 que 𝑊 1 2 𝐿 𝑖2 Para o caso em que a indutância varia em função da posição do êmbolo temse que 𝑊𝑐𝑚𝑝 1 2 𝐿𝑥 𝑖2 A indutância é dada por 𝐿𝑥 𝜇𝑜 𝑁2 𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 2 𝑙𝑔 A área do entreferro é função de x 𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑙 𝑑 𝑥 𝑙 𝑑 1 𝑥 𝑑 Conversão Eletromecânica de Energia Assim 𝑊𝑐𝑚𝑝 1 2 𝑁2𝜇𝑜 𝑙 𝑑 1 𝑥 𝑑 2 𝑙𝑔 𝑖2 𝑊𝑐𝑚𝑝 1 2 10002𝜇𝑜01 015 2 0002 102 1 𝑥 𝑑 𝑊𝑐𝑚𝑝 2356 1 𝑥 𝑑 𝐽𝑜𝑢𝑙𝑒𝑠 Conversão Eletromecânica de Energia 5 Determinação da Força e Torque a partir da Energia Para um sistema sem perdas a energia pode ser representada por uma função de estado determinada unicamente pelos valores das variáveis de estado independentes 𝜆 e x 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝑥 𝑖 𝑑𝜆 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑥 22 Para qualquer função de estado de duas variáveis independentes Fx1x2 sua derivada dF em relação às duas variáveis é dada por Conversão Eletromecânica de Energia 23 2 2 1 1 2 1 1 2 dx x F dx x F x x dF x x Para a energia 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝑥 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝑥 𝑑𝜆 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑥 𝜆 𝑑𝑥 24 Como 𝜆 e x são variáveis independentes as equações 22 e 24 deve ser iguais para qualquer valor de d𝜆 e dx Então fazendo x constante 𝑖 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝𝜆 𝑥 𝜆 𝑥 25 Conversão Eletromecânica de Energia E para 𝜆 constante 𝑓𝑐𝑚𝑝 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝑥 𝑥 𝜆 26 Portanto conhecendose a energia no campo Wcmp em função do fluxo concatenado 𝜆 e da posição x a equação 25 pode ser utilizada para se calcular a corrente i𝜆x e 26 para se calcular a força fcmp𝜆x Conversão Eletromecânica de Energia 𝑓𝑐𝑚𝑝 อ 𝑥 1 2 𝜆2 𝐿𝑥 𝜆 𝜆2 2 𝐿𝑥2 𝑑𝐿𝑥 𝑑𝑥 27 Para um sistema magnético linear para o qual 𝜆Lxi a energia será expressa pela equação 19 e a força através da substituição direta na equação 26 Desejandose expressar a força diretamente em termos de corrente podese substituir 𝜆Lxi de forma que 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑖2 2 𝑑𝐿𝑥 𝑑𝑥 28 Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 33 A tabela a seguir contém dados de um experimento no qual a indutância de um solenóide foi medida em função da posição x onde x0 corresponde ao solenóide completamente recolhido Esboçar a força do solenóide em função da posição para uma corrente de 075A para a faixa de 02 x18 cm X cm 0 02 04 06 08 10 12 14 16 18 20 L mH 28 226 178 152 134 126 120 116 113 111 110 Conversão Eletromecânica de Energia Solução Para se calcular a força exercida no campo podese utilizar a equação 28 a seguir 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑖2 2 𝑑𝐿𝑥 𝑑𝑥 É necessário porém encontrar uma expressão para a indutância em função da posição x Utilizandose a função polyfit no MATLAB P POLYFITXYN finds the coefficients of a polynomial PX of degree N that fits the data Y best in a leastsquares sense P is a row vector of length N1 containing the polynomial coefficients in descending powers P1XN P2XN1 PNX PN1 Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 33 Fitzgerald página 124 x0010 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 em metros m L000128 226 178 152 134 126 12 116 113 111 11 em Henry H Cálculo do polinônio de ordem 4 que define a função Lx variação da indutância L em função da posição x LxpolyfitxL4 Cálculo da derivada do polinônio dLxpolyderLx Cálculo da força para x variando de 02 a 18 cm y000200010018 em metros m ksizey kk2 Conversão Eletromecânica de Energia for i1k fi07522dLx1yi3dLx2yi2dLx3yidLx4 end f figure1 plotx100 L1000 xlabel x cm ylabel L mH figure2 plot y100f xlabel x cm ylabel F N Conversão Eletromecânica de Energia L mH x cm F N x cm Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo Problema prático 33 Fitzgerald Um controle externo é conectado ao solenóide do exemplo 33 de forma a manter o fluxo concatenado constante 𝜆15 mWb Plotar a forçar resultante no solenóide para 02x18 cm Solução dx x dL L x dx x dL L x f dx i dL x f L x i Wb Li 2 10 51 2 1 2 1 10 51 2 2 3 2 2 2 3 Portanto basta substituir os valores de L2x e dLxdx na equação Para o uso do MATLAB foi desenvolvido o seguinte código Conversão Eletromecânica de Energia Problema Prático 33 Fitzgerald página 127 x0010 02 04 06 08 1 12 14 16 18 2 em metros m L000128 226 178 152 134 126 12 116 113 111 11 em Henry H Cálculo do polinônio de ordem 4 que define a função Lx variação da indutância L em função da posição x LxpolyfitxL4 Cálculo da derivada do polinônio dLxpolyderLx Cálculo da força para x variando de 02 a 18 cm xx000200010018 em metros m ksizexx kk2 Conversão Eletromecânica de Energia for i1k LxxiLx1xxi4Lx2xxi3Lx3xxi2Lx4xxiLx5 fi15e322Lxxi2dLx1xxi3dLx2xxi2dLx3xxidLx4 end f figure1 plotxx100 Lxx1000 xlabel x cm ylabel L mH figure2 plot xx100f xlabel x cm ylabel F N Conversão Eletromecânica de Energia L mH x cm F N x cm Conversão Eletromecânica de Energia 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝜃 𝑖𝑑𝜆 𝑇𝑐𝑚𝑝𝑑𝜃 29 𝑇𝑐𝑚𝑝 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝜃 𝜃 𝜆 30 Para um sistema eletromecânico com partes rotativas as variáveis mecânicas se tornam a variação angular θ e o torque Tcmp Neste caso a equação 22 se torna De forma análoga ao desenvolvimento da equação 26 o torque pode ser dado pelo negativo da derivada parcial da energia em relação a θ mantendose λ constante Conversão Eletromecânica de Energia Para sistemas magnéticos lineares para os quais λLθi por analogia à equação 19 a energia é dada por 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝜃 1 2 𝜆2 𝐿 𝜃 31 O torque será portanto dado por 𝑇𝑐𝑚𝑝 อ 𝜃 1 2 𝜆2 𝐿𝜃 𝜆 𝑇𝑐𝑚𝑝 1 2 𝜆2 𝐿2 𝜃 𝑑𝐿 𝜃 𝑑𝜃 32 Conversão Eletromecânica de Energia Em termos da corrente elétrica 𝑇𝑐𝑚𝑝 1 2 𝑖2 𝑑𝐿𝜃 𝑑𝜃 33 Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 34 O circuito magnético da figura a seguir consiste de um estator de única espira e um rotor de forma oval Em função do entreferro não uniforme a indutância da bobina varia com a posição angular do rotor medida entre os eixos da bobina do estator e eixo principal do rotor da forma cos2 2 0 L L L Conversão Eletromecânica de Energia Onde L0 106 mH and L2 27 mH Determinar o torque em função de θ para uma corrente na espira de 2A Solução 𝑇𝑐𝑚𝑝𝜃 1 2 𝑖2 𝑑𝐿𝜃 𝑑𝜃 1 2 𝑖22𝐿2𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑇𝑐𝑚𝑝𝜃 1 2 222 27 103𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑇𝑐𝑚𝑝𝜃 108 103𝑠𝑒𝑛2𝜃𝑁 𝑚 Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 34 Fitzgerald página 128 Cálculo da força para x variando de 02 a 18 cm tetapi001pi em radianos ksizeteta kk2 for i1k Ti01017sin2tetai end figure1 plotteta180pi T teta em graus xlabel Teta Graus plottetaT teta em radianos xlabel Teta rad ylabel Torque Nm Conversão Eletromecânica de Energia 200 150 100 50 0 50 100 150 200 02 015 01 005 0 005 01 015 Teta Graus Torque Nm Conversão Eletromecânica de Energia Problema Prático 34 página 129 Fitzgerald A indutância de circuito magnético semelhante ao do exemplo 34 varia de acordo com a posição do rotor de acordo com a função sin4 cos2 4 2 0 L L L L Onde L0254 mH L2 83 mH e L418 mH a Calcular o torque em função de θ para uma corrente de 35 A b Calcular o ângulo da posição do rotor θmax que produz o maior conjugado negativo Solução Conversão Eletromecânica de Energia 𝑇𝑐𝑚𝑝𝜃 1 2 𝑖2 𝑑𝐿𝜃 𝑑𝜃 1 2 𝑖22𝐿2 sin 2𝜃 4𝐿4 cos 4𝜃 𝑇𝑐𝑚𝑝 𝜃 1 2 3 52 2 83 103 sin 2𝜃 4 18 103 cos 4𝜃 𝑇𝑐𝑚𝑝𝜃 01016 sin 2𝜃 00441 cos 4𝜃𝑁 𝑚 a b 𝜃 45𝑜𝑒 𝜃 225𝑜 Conversão Eletromecânica de Energia Problema Prático 34 Fitzgerald página 129 Cálculo da força para x variando de 02 a 18 cm tetapi001pi em radianos ksizeteta kk2 for i1k Ti01017sin2tetai0044cos4tetai end figure1 plotteta180pi T teta em graus plottetaT teta em radianos xlabel Teta rad ylabel Torque Nm Conversão Eletromecânica de Energia 200 150 100 50 0 50 100 150 200 015 01 005 0 005 01 Conversão Eletromecânica de Energia 6 Determinação da Força e Torque a partir da Coenergia Através de uma manipulação da equação 22 podese definir uma nova função de estado denominada de Coenergia a partir da qual a força pode ser determinada diretamente como função da corrente A escolha da energia ou da coenergia como função de estado é questão de opção uma vez que ambas levam ao mesmo resultado final A coenergia é definida como função de i e de x de forma que Conversão Eletromecânica de Energia 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑖 𝜆 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝑥 34 Conversão Eletromecânica de Energia A derivada desejada é obtida pela diferencial de iλ 𝑑 𝑖𝜆 𝑖 𝑑𝜆 𝜆 𝑑𝑖 35 e a derivada da energia dWcmpλx da equação 22 Da equação 34 temse 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑑 𝑖 𝜆 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆 𝑥 36 Substituindo as equações 22 e 35 na equação 36 temse 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝜆 𝑑𝑖 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑑𝑥 37 E 𝑑𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑊𝑐𝑚𝑝ቤ 𝑖 𝑥 𝑑𝑖 𝑊𝑐𝑚𝑝ቤ 𝑥 𝑖 𝑑𝑥 38 Conversão Eletromecânica de Energia As equações 37 e 38 devem ser igual para todos valores de di e dx Então 𝜆 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑖 𝑥 39 ቤ 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑥 𝑖 40 Portanto a equação 40 possibilita a determinação da força a partir da corrente i e da posição x Para isto a coenergia Wcmp em função de i e de x deve ser conhecida As equações 26 e 40 para um determinado sistema levam ao mesmo resultado Conversão Eletromecânica de Energia Por analogia à derivada da equação 18 a coenergia também pode ser determinada pela integral de λdi 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 න 0 𝑖 𝜆 𝑖 𝑥 𝑑𝑖 41 Para sistemas magnéticos lineares onde λLxi a coenergia pode então ser determinada por 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 1 2 𝐿 𝑥 𝑖2 42 E a força 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑖2 2 𝑑𝐿𝑥 𝑑𝑥 43 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 න 0 𝑖 𝐿𝑥 𝑖𝑑𝑖 Conversão Eletromecânica de Energia De forma semelhante para sistemas com partes rotativas a coenergia pode ser determinada em função da corrente e da variação da posição angular 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝜃 න 0 𝑖 𝜆𝑖 𝜃𝑑𝑖 44 E o torque 𝑇𝑐𝑚𝑝 อ 𝑊𝑓𝑙𝑑 𝑖 𝜃 𝜃 𝑖 45 Para um sistema magnético linear 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝜃 1 2 𝐿 𝜃 𝑖2 46 Conversão Eletromecânica de Energia E o torque 𝑇𝑐𝑚𝑝 𝑖2 2 𝑑𝐿𝜃 𝑑𝜃 47 Nos termos da teoria de campos magnéticos para material magnético mole B0 quando H0 𝑊𝑐𝑚𝑝 න 𝑉 න 0 𝐻0 𝐵 𝑑𝐻 𝑑𝑉 48 Para material magnético com permeabilidade constante BµH 𝑊𝑐𝑚𝑝 න 𝑉 𝜇 𝐻2 2 𝑑𝑉 49 Conversão Eletromecânica de Energia Para material magnético duro B0 quando HHc 𝑊𝑐𝑚𝑝 න 𝑉 න 𝐻𝑐 𝐻0 𝐵 𝑑𝐻 𝑑𝑉 50 Exemplo 35 Fitzgerald página 132 Para o relé do exemplo 32 calcular a força exercida no êmbolo em função da posição x quando a bobina é acionada por um controlador que produz uma corrente constante em função da posição x de acordo com a função 𝑖 𝑥 𝐼𝑜 𝑥 𝑑 𝐴 Conversão Eletromecânica de Energia hg N1000 esp g2mm d015m l01m i10A Solução Do exemplo 32 temse que g entreferro o l N A L x 2 2 𝐴𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑙𝑑 𝑥 𝑙 𝑑 1 𝑥 𝑑 Conversão Eletromecânica de Energia 𝐿𝑥 𝜇𝑜𝑁2 2𝑙𝑔 𝑙 𝑑 1 𝑥 𝑑 Assim a força pode ser calculada por 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑖2 2 𝑑𝐿𝑥 𝑑𝑥 𝑖2 2 𝜇𝑜 𝑁2 𝑙 2 𝑙𝑔 Substituindo ix na expressão anterior temse 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝐼𝑜 𝑥 𝑑 2 2 𝜇𝑜 𝑁2 𝑙 2 𝑙𝑔 𝐼𝑜2 𝜇𝑜 𝑁2 𝑙 4 𝑙𝑔 𝑥 𝑑 2 Conversão Eletromecânica de Energia A partir da coenergia temse que 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑖2 2 𝐿𝑥 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑖2 2 𝑁2 𝜇0 𝑙 𝑑1 𝑥 𝑑 2 𝑙𝑔 Então E 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝐼0 2 𝑁2 𝜇0 𝑙 𝑑1 𝑥 𝑑 4 𝑙𝑔 𝑥 𝑑 2 𝑊𝑐𝑚𝑝 1 2 𝑁2𝜇𝑜𝑙𝑑 1 𝑥 𝑑 2𝑙𝑔 𝑖2 Do exemplo 32 Conversão Eletromecânica de Energia Para um sistema magnético linear a energia e a coenergia são numericamente iguais 𝑊 𝑊 1 2 𝜆2 𝐿 1 2 𝐿 𝑖2 A relação é também válida para densidade de fluxo Entretanto para um sistema magnético não linear λ e i ou B e H não são linearmente proporcionais Assim 𝑊 𝑊 1 2 𝐿 𝐼2 λ2 2 𝐿 𝐵2 2 μ 𝑉𝑜𝑙 μ 𝐻2 2 𝑉𝑜𝑙 Conversão Eletromecânica de Energia id di 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝜆𝑖 51 Conversão Eletromecânica de Energia Seja ainda o relé da figura armadura do relé da figura a seguir Conversão Eletromecânica de Energia 𝑓𝑐𝑚𝑝 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝𝜆 𝑥 𝑥 𝜆 lim 𝑥0 Δ𝑊𝑐𝑚𝑝 Δ𝑥 𝑓𝑐𝑚𝑝 อ Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 Δ𝑥 Δ𝑥0 𝑓𝑐𝑚𝑝 ቤ 𝑊𝑐𝑚𝑝 𝑖 𝑥 𝑥 𝑖 lim 𝑥0 Δ𝑊𝑐𝑚𝑝 Δ𝑥 𝑓𝑐𝑚𝑝 อ Á𝑟𝑒𝑎𝑆𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒𝑎𝑑𝑎 Δ𝑥 Δ𝑥0 A diferença é apenas o triângulo abc de lado i e λ No limite a área sombreada resultante de x com λ constante ou com i constante é a mesma 𝑓𝑐𝑚𝑝 ቤ 𝑊𝑓𝑙𝑑𝜆 𝑥 𝑥 𝜆 26 อ 𝑓𝑐𝑚𝑝 𝑊𝑓𝑙𝑑 𝑖 𝑥 𝑥 𝑖 40 Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 36 Fitzgerald página 134 O circuito magnético da figura a seguir é feito de material aço elétrico de alta permeabilidade O rotor é livre para girar no eixo vertical e as dimensões são fornecidas a Obter a expressão do torque que age sobre o rotor em função de suas dimensões e do campo magnético nos dois entreferros Assumir relutância do material magnético desprezível e que não existe dispersão de fluxo nos entreferros b A máxima densidade de fluxo nas partes sobrepostas dos entreferros é limitada a aproximadamente 165 T de forma a evitar saturação excessiva Calcular o torque máximo para r125 cm h18 cm e g3mm Conversão Eletromecânica de Energia lg Conversão Eletromecânica de Energia Solução a No aço μ infinito mas B é limitado HBμ0 Assim a coenergia no aço será zero 𝑊𝑐𝑚𝑝 න 𝑉 𝜇 𝐻2 2 𝑑𝑉 0 Consequentemente a coenergia existente encontrase toda nos entreferros Portanto para os entreferros apenas 𝐻𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 𝑁 𝑖 2 𝑙𝑔 e a integral na equação 49 representa o produto B2 x Volume no entreferro W𝑐𝑚𝑝 1 2 μoN i2 4 lg 2 2 lg hr1 05 lgθ μoN i2hr1 05 lgθ 4 lg Conversão Eletromecânica de Energia T𝑐𝑚𝑝 อ Wfld i θ θ i μoN i2hr1 05 lg 4 lg b Para B165T 𝐻𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 𝐵 𝜇𝑜 165 𝜇𝑜 131 106𝐴𝑚 𝑁𝑖 2 𝑙𝑔 𝐻𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒𝑓𝑒𝑟𝑟𝑜 2 3 103 131 106 7860𝐴 𝑒𝑠𝑝 𝑇𝑐𝑚𝑝 𝜇𝑜7860218 10225 102 053 103 43 103 𝑇𝑐𝑚𝑝 309𝑁𝑚 Conversão Eletromecânica de Energia 7 Campos magnéticos em sistemas multiexcitados 52 2 2 1 1 2 1 T d i d i d dW fld fld Conversão Eletromecânica de Energia Empregandose raciocínio análogo àqueles previamente utilizados temse que 55 54 53 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 fld fld fld fld W T W i W i Integrandose a equação 52 temse Conversão Eletromecânica de Energia 56 0 1 0 2 2 1 0 1 2 0 2 1 0 2 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 d i d i Wfld Caminho de integração para se obter 0 2 1 0 0 Wfld Conversão Eletromecânica de Energia Em um sistema magnético linear as relações entre fluxo concatenado λ e as correntes i podem ser especificadas em termos de indutâncias de forma que 𝜆1 𝐿11 𝑖1 𝐿12 𝑖2 57 𝜆2 𝐿21 𝑖1 𝐿22 𝑖2 58 𝐿12 𝐿21 59 As indutâncias são entretanto função da posição angular θ Invertendose as equações 57 e 58 𝑖1 𝐿22 𝜆1 𝐿12 𝜆2 𝐷 60 𝑖2 𝐿21 𝜆1 𝐿11 𝜆2 𝐷 61 𝐷 𝐿11 𝐿22 𝐿12 𝐿21 62 Conversão Eletromecânica de Energia Para um sistema linear a energia pode ser obtida a partir da equação 56 como sendo 63 2 1 2 1 0 0 0 0 10 0 0 2 0 0 2 1 0 0 12 2 1 0 22 0 2 2 0 11 0 1 0 0 2 0 12 1 0 22 2 0 0 2 0 11 0 2 1 D L L D L D d D L L d D L Wfld Em termos de coenergia 𝑊𝑓𝑙𝑑 𝑖1 𝑖2 𝜃 𝜆1 𝑖1 𝜆2 𝑖2 𝑊𝑓𝑙𝑑 64 Conversão Eletromecânica de Energia 𝑑𝑊𝑓𝑙𝑑 𝑖1 𝑖2 𝜃 𝜆1 𝑑𝑖1 𝜆2 𝑑𝑖2 𝑇𝑓𝑙𝑑 𝑑𝜃 65 68 67 66 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 1 i i fld fld i fld i fld i i W T i i i W i i i W Conversão Eletromecânica de Energia Analogamente à equação 56 a coenergia pode ser determinada por 69 0 1 0 2 2 1 0 1 2 0 2 1 0 2 0 2 1 0 0 1 0 2 0 0 di i i i di i i i i W i i fld Para um sistema linear 𝑊𝑓𝑙𝑑 𝑖1 𝑖2 𝜃 1 2 𝐿11 𝜃 𝑖1 2 1 2 𝐿22 𝜃 𝑖2 2 𝐿12 𝜃 𝑖1 𝑖2 70 71 2 2 12 2 1 22 2 2 11 2 1 2 1 2 1 d dL ii d dL i d dL i i i W T i i fld fld Conversão Eletromecânica de Energia Para sistemas com deslocamento linear 𝑊𝑓𝑙𝑑 𝑖1 𝑖2 𝑥 1 2 𝐿11 𝑥 𝑖1 2 1 2 𝐿22 𝑥 𝑖2 2 𝐿12 𝑥 𝑖1 𝑖2 73 𝑓𝑓𝑙𝑑 𝑖1 2 2 𝑑𝐿11𝑥 𝑑𝑥 𝑖2 2 2 𝑑𝐿22𝑥 𝑑𝑥 𝑖1 𝑖2 𝑑𝐿12 𝑥 𝑑𝑥 74 Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 37 Fitzgerald página 140 No sistema magnético a seguir as indutâncias são dadas como L113cos2θ103 H L1203cosθ H L223010cos2θ H Encontrar e plotar o torque Tcmpθ para i108 A e i2 001 A Conversão Eletromecânica de Energia Solução 𝑇𝑓𝑙𝑑 𝑖1 2 2 𝑑𝐿11𝜃 𝑑𝜃 𝑖2 2 2 𝑑𝐿22𝜃 𝑑𝜃 𝑖1 𝑖2 𝑑𝐿12𝜃 𝑑𝜃 𝑖1 2 2 2 103𝑠𝑒𝑛2𝜃 𝑖2 2 2 20𝑠𝑒𝑛 2𝜃 𝑖1 𝑖2 03𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑖1 08𝐴 𝑒 𝑖2 001𝐴 𝑇 164 103𝑠𝑒𝑛2𝜃 24 103𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑁 𝑚 Conversão Eletromecânica de Energia Exemplo 37 Fitzgerald página 140 tetapi001pi em radianos ksizeteta kk2 for i1k T1i16e3sin2tetai T2i24e3sintetai TTiT1iT2i end plottetaT1btetaT2gtetaTTr xlabel Teta rad ylabel T Nm axis315 315 4e3 4e3 Conversão Eletromecânica de Energia 3 2 1 0 1 2 3 4 3 2 1 0 1 2 3 4 x 10 3 Teta rad T Nm Torque de relutância Torque resultante Torque de mútua interação