Vibrações Mecânicas: Solução de Sistema em Vibração Livre por Espaço de Estados - Notas de Aula

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ITAJUBÁ INSTITUTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Vibrações Mecânicas Solução de um Sistema em Vibração Livre por Espaço de Estados NOTAS DE AULA DE VIBRAÇÕES II Autor Prof Dr José Juliano de Lima Junior 092020 Capítulo 1 Solução de um Sistema em Vibração Livre Amortecida por Espaço de Estados Exemplo de um sistema massa mola e amortecedor com 2 gdls com amortecimento viscoso proporcional 11 Solução na Coordenada Física i Dados m1 9 kg m2 1 kg k1 24 Nm k2 3 Nm c1 24 Nsm c2 03 Nsm ii Equação de movimento m1ẍ1 c1ẋ1 c2ẋ1 ẋ2 k1x1 k2x1 x2 m2ẍ2 c2ẋ2 ẋ2 k2x2 x1 ou m1ẍ1 c1 c2ẋ1 k1 k2x1 c2ẋ2 k2x2 0 m2ẍ2 c2ẋ2 k2x2 c2ẋ1 k2x1 0 iii Forma matricial Prof José Juliano de Lima Jr Solução de um Sistema em Vibração Livre Amortecida por Espaço de Estados m1 0 0 m2ẍ1 ẍ2 c1 c2 c2 c2 c2 ẋ1 ẋ2 k1 k2 k2 k2 k2 x1 x2 0 0 iv Espaço de estados 0 M ẍ M 0 ẋ 0 M C ẋ 0 K x 0 ou Aẏ By 0 Sendo M 9 0 0 1 C 27 03 03 03 K 27 3 3 3 então 0 0 9 0 ẍ1 9 0 0 0 ẋ1 0 0 0 1 ẍ2 0 1 0 0 ẋ2 0 9 0 27 03 ẍ3 0 0 27 3 ẋ3 0 1 03 03 ẍ4 0 0 3 3 ẋ4 0 A solução é do tipo yt Φeγt com γ γr jγi v Autoproblema Derivando a solução Prof José Juliano de Lima Jr ẏt γΦeγt e substituindo na equação de espaço de estado temse γAΦeγt BΦeγt 0 com eγt 0 então B γA Φ 0 que é o autoproblema vi Autovalor Os autovalores γ são determinados através de B γA 0 Substituindo os valores de A e B encontrase γ1 0 2 2j γ2 0 2 2j γ3 0 1 2j γ4 0 1 2j vii Autovetor Para se determinar os autovetores temse B γkA Φk 0 Substituindo os valores de A e B encontrase Prof José Juliano de Lima Jr Φ1 02828 08485 00141 01407j 00424 04221j Φ2 02828 08485 00141 01407j 00424 04221j Φ3 02582 07746 00129 01821j 00387 05464j Φ3 02582 07746 00129 01821j 00387 05464j viii Solução A solução xt é do tipo xt Σn k1 eγk t C1k Φrk Φik cos γik t C2k Φrk Φik sen γik t com γr1 0 2 γr2 0 1 γi1 2 γi2 2 Φr1 00141 00424 Φi1 01407 04221 Φr2 00129 00387 Φi2 01821 05464 C11 3 2288 C21 0 3970 C12 3 2288 C22 0 3970 Finalmente temse x1t e02t 05 cos 2t 0050 sen 2t e01t 05 cos 2t 0035 sen 2t x2t e02t 15 cos 2t 0151 sen 2t e01t 15 cos 2t 0106 sen 2t Prof José Juliano de Lima Jr