2a-Prova-Vibracoes-Mecanicas-I-Analise-Resolucao-de-Problemas

Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME504 Vibrações Mecânicas I Prof José Juliano de Lima Junior Nome No Nota 2ª Prova de EME504 Término 18 h 30 min Data 03112024 Observações Esta prova contém 4 páginas e 4 questões totalizando 10 pontos Prova com consulta Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as respostas através de cálculos Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta A interpretação faz parte da prova 1 2 pontos Uma pequena prensa de massa 30 kg está montada sobre uma fundação não amortecida de rigidez equivalente igual a 1500 Nm Durante a operação a prensa está sujeita a uma força conforme mostrado na figura Considerando que a prensa esteja inicialmente em repouso podese afirmar que a resposta xt no intervalo 05 t 20 s é Balakumar 2011 68 p 280 F N 2000 t s 0 05 20 A 2300 80 sen 5 2 t 400 2 t B 2300 320 sen5 2 t123 80 sen 5 2 t 400 2 t3 800 23 C 2300 80 sen5 2 t23 80 sen 5 2 t 12 80 sen 5 2 t D Nenhuma das opções Solução i Dados m 30 kg k 1 500 Nm J 0 xt para 05 t 20 s ii Modelo Matemático xt 1mωd eζωn t 0 até t Fτ eζωn τ sen ωd tτ dτ para 0 J 1 Como J0 xt 1mωn 0 até t Fτ sen ωn tτ dτ iii Modelo da força Para 0 t 05 s Tempo Força 05 2 000 05 t 2 000F120000 05t050 2 000F12000 05t05 t F1 100005t F1 1000 2 000t 05F1 2 000t F1t 4 000t N 0 0 Para t 05 s Tempo Força 05 2 000 05 t 2 000F220000 05t0520 2 000F22000 05t15 t F2 10002000t 3 000 15F2 15F2 2 000t 4 000 F2 4 0003 t 8 0003 N Logo Ft 4 000t N 0 t 05 s 4 0003 t 8 0003 N t 05 s iv Frequência natural ωn km 150030 50 ωn 5 2 real s v Determinação dos deslocamentos Para 0 t 05 s xt 1mωn 0 até t Fτ sen ωn tτ dτ 130 5 2 0 até t 4000 τ sen 5 2 tτ dτ 2300 80 sen 5 2 tτ 400 τ2 x cos 5 2 tτ 0 até t xt 2300 80 sen 5 2 t 400 τ2 t sen 5 2 tτ dτ Para 05 t 20 s xt 13052 0 até 05 4000 τ sen 52 tτ dτ 13052 05 até t 4000 τ3 80003 sen 5 2tτ dτ xt 2300 80 sen 5 2 tτ 400 τ2 x cos 5 2 tτ 0 até 05 2300 803 sen 5 2 tτ 800 23 cos 5 2 tτ 400 23 x cos 5 2 tτ 0 até t 05 xt 2300 3203 sen 5 2 t05 80 sen 5 2 t 400 2 t3 800 23 2 2 pontos Um redutor tem um sistema de transmissão composto por duas engrenagens a saber pinhão com 16 dentes e a coroa com 49 dentes No pinhão durante a sua operação verificouse que um dos dentes está quebrado alterando a curva de torque como mostrado na figura Desejase obter a resposta no tempo do deslocamento angular do eixo motriz Sabese que o pinhão tem momento de inércia de massa igual a 02 kgm2 a rotação do eixo do pinhão é de 1720 rpm o diâmetro do eixo é de 50 mm e o comprimento é de 1 m O torque no eixo Mt0 é 1000 Nm Rao 2018 353 p 136 A equação dinâmica de movimento é J0θt ktθ Mt Conforme mostrado na figura o momento Mt é periódico e deve ser modelado pela série de Fourier Podese afirmar que o coeficiente a0 da série de Fourier é Mt Mt0 0 A 158 Mt0 B 2Mt0nτω sen 15nωτ16 C 2Mt0nτω 1 cos 15nωτ16 D 18 Mt0 E 2Mt0nτω sen nωτ8 F 2Mt0nτω 1 cos nωτ8 G Nenhuma das opções Solução i Série de Fourier Mt a02 n1 até an cos nωt bn sen nωt com a0 2T 0 até T Mt dt an 2T 0 até T Mt cos nωt dt e bn 2T 0 até T Mt sen nωt dt ii Determinação de a0 a0 2T 0 até 1516 T Mt0 dt 1516 T até T 0 dt 2T Mt0 t 0 até 1516 T 2T Mt0 1516 158 Mt0 resp 1 ponto Uma máquina com massa de 120 kg é montada sobre uma suspensão com rigidez equivalente de 800 kNm e um amortecimento equivalente de 500 kgs A amplitude da força de desbalanceamento medida a uma rotação de 3000 rpm é de 374 N Determine a amplitude de movimento devido a força de desbalanceamento A 04675 mm B 00724 mm C 00339 mm D 00738 mm E 0135 mm F Nenhuma das opções Solução i Dados m 120 kg C 500 kg s Fo 374 N keq 800 km m n 3 000 rpm X ii Modelo Matemático Ft mo u2 sen wt Xt X senwt θ X Fek β 1 sqrt1 r22 2ζr2 θ tg1 2ζr 1r2 r ω wn iii Frequência de excitação ω πn 30 π3000 30 wn 3142 rad s iv Frequência natural wn sqrtkeq meq sqrt900 x 103 120 wn 816 rad s v Fator de amortecimento ζ C 2mwn 500 2x120x816 ζ 00255 vi Razão de frequências r ω ωn 3142 816 r 385 vii Fator de amplificação ρ 1 sqrt1r22 2ζr2 1 sqrt138522 2x00255x3852 ρ 00724 viii Amplitude de deslocamento X F0 k β 374 800 x 103 x 010724 X 339 x 105 m ou X 00339 mm resposta 4 5 pontos Constatouse que uma prensa de 300 kg de massa e velocidade de operação de 2780 rpm produz uma força repetitiva de 30000 N quando ligada a uma fundação rígida O centro de massa da prensa está deslocado 1 m do apoio da esquerda e 2 m do apoio da direita Determine os isoladores com amortecimento viscoso adequado que satisfaça os seguintes requisitos Rao 2018 934 p 340 Figura 1 Prensa a prensa deve ser apoiada sobre 4 isoladores a deflexão estática deve ser a menor possível a amplitude de regime permanente deve ser menor que 15 mm a amplitude durante as condições de partida não deve exceder a 21 mm a força transmitida à fundação deve ser menor que 10000 N e a deflexão estática deve ser a mesma nos apoios da esquerda e direita considerando que o centro de massa está deslocado conforme figura Solução i Dados m 300 kg n 2 780 rpm Fo 30 000 N FT 10000 N X 15 mm Xmax 21 mm keq 2k1 k2eq 2k2 ζ o amort possível ζ igual nos apoios ii Modelo Matemática Ft F0 sen wt xt X senwt θ X F0 k β β 1 sqrt1r22 2ζr2 θ tg1 2ζr 1r² r ω wn FTt FT senwt θ FT Fa sqrt1 2ζr2 1r22 2ζr2 iii Frequência de excitação ω πn 30 π x 2780 30 ws 29112 rad s iv razão de frequência Para existir isolação temse r 2 sqrt1ζ2 rpio sqrt12ζ2 βpio 1 2ζ sqrt1ζ2 Fazendo r2 22 ω wn2 4 ω2 m k 4 k ω2 m 4 291122 x 300 4 Portanto k 635 x 106 Nm 1 v Valor de pico Considerando r 1 e Xmax 21 x 103 vem Xmax F0 k 2ζ F0 k 2ζ 21 x 103 ζ F0 21 x 103 x 2 x k Escolhendo k 55 x 106 Nm ζ 30 000 21 x 103 x 2 x 55 x 106 013 ζ 015 vi Verificação Frequência natural wn sqrtkm sqrt55 x 106 300 wn 13540 rad s razão de frequências r ω wn 29112 13540 r 215 2 ok Fator de amplificação ρ 1 sqrt1r22 2ζr2 1 sqrt121522 2x015x2152 β 02718 Amplitude de movimento X F0 k β 30 000 55 x 106 x 02718 X 00015 m ou X 15 mm ok Amplitude na ressonância rpiα 12ζ² 12 x 015² rpiα 093772 βpiα 1 1rpiα²23rpiα² 1 1093772²x093772² βpiα 33715 Xmáx F₀k βpiα 30000 55 x 10⁶ x 33715 Xmáx 00184 m ou Xmáx 184 mm 21 mm ok Força Transmitida TR 123x1² 1r² 23r² 12x015x215² 1215²23x015x215² TR 03234 FTF₀ TR FT F₀ TR 30 000 x 03234 FT 97015 N 10000 N ok Análise Rigidez Da Figura vem ΣFy 0 P₁ P₂ P 1 ΣM₀ 0 α₁ α₂ P₂ α₁ P 1 2 P₂ λx P P₂ P3 2 2 em 1 vem P₁ P3 P P₁ 23 P 3 Como P₁ 2 k₁ δ P₂ 2 k₂ δ P keq f δ Comse de 2 2 k₂ δ keq δ 3 k₂ keq 6 55 x 10⁶ 6 k₂ 91667 Nm 2 resp de 3 2 k₁ δ 23 keq δ k₁ keq3 55 x 10⁶ 3 k₁ 1 83333 Nm 1 resp Coeficiente de Amortecimento Equivalente ζ cef 2 mωn cef 2 ζ m ωn 2 x 0115 x 13540 x 300 cef 12186 x 10³ kgs 2 resp logo c₁ cef3 12186 x 10³ 3 c₁ 4062 Ns²m resp c₂ cef6 12186 x 10³ 6 c₂ 2031 Ns²m resp Referências 1 Balachandran B Magrab E B Vibrações Mecânicas CENGAGE Learning 2011 2 Rao Singiresu S Mechanical Vibrations in SI Units 4 ed Pearson Prentice Hall 2008