Gabarito Prova Vibracoes Mecanicas I - Analise Deslocamento Valvula

Universidade Federal de Itajubá Instituto de Engenharia Mecânica EME504 Vibrações Mecânicas I Prof José Juliano de Lima Junior Nome Gabarito No Nota 1ª Prova de EME504 Término 18 h 30 min Data 15102024 Observações Esta prova contém 6 páginas e 6 questões totalizando 10 pontos Escrever as equações literalmente e depois substituir os valores com letra legível Comprovar as resposta através de cálculos exceto para as questões de múltipla escolha Destacar os resultados finais e as respectivas unidades com caneta As questões de múltipla escolha tem uma opção correta e A interpretação faz parte da prova 1 1 ponto O atuador de mola mostrado na figura funciona usando a pressão do ar de um controlador pneumático p como entrada e provocando como saída o deslocamento x em uma válvula proporcional à pressão do ar de entrada O diafragma feito de um tecido à base de borracha tem uma área A e sofre deflexão sob a pressão do ar de entrada contra uma mola de rigidez k Determine o valor do deslocamento da válvula após 2 s sob uma pressão do ar de entrada que varia harmonicamente pt p0 sin ωt para os seguintes dados p0 10 psi ω 10 rads A 100 in2 k 400 lbfin Pmola 15 lbf e Pválvula e haste 21 lbf Usar g 3861 ins2 Entrada ar sob pressão p Diafragma area A Haste da válvula Mola rigidez k Válvula Ar de saída pressão controlada por movimento da válvula x 01 in 0 1 x 0 2 in 0 2 x 0 4 in 0 4 x 0 8 in x 0 8 in Solução iDados t 2 s ω 10 rads Pmola 15 lbf pt p0 sen ωt A 100 in2 Pválvula e haste 21 lbf p0 10 psi k 400 lbfin g 3861 ins2 ii Modelo Matemático meq k Tvx t X sen ω t X Fok β β 11r2 r ωωn Ft Fo sen ω t iii Massa equivalente Peq Pválvula e haste Pmola3 21 153 Peq 26 lbf logo meq Peqg iv Frequência natural ωn kmeq kσPeq 400x386126 ωn 7007 rads iv Razão de frequências r ωωn 107007 r 0130 v Fator de amplificação β 11r2 1101302 β 1017 vi Força aplicada Fo Apo 100 x 10 Fo 1000 lbf vii Amplitude máxima de deslocamento X Fok β 1000400 x 1017 X 254 in viii Deslocamento em t 2 s xt X sen ωt x2 254 x sen 10 x 2 x2 232 in resp 2 1 ponto Considerando um sistema massa mola e amortecedor sujeito a uma força harmônica de amplitude F0 e frequência ω e condições inicias x0 x0 e ẋ0 ẋ0 é correto afirmar que a 1 resposta homogênea é xht Aeζωnt senωdt φ A ẋ0 ζωnx0² ωdx0²ωd² φ tg¹ωdx0ẋ0 ζωnx0 2 resposta particular é xpt X senωtθ X F0k β β 11r²² 2ζr² θ tg¹2ζr1r² r ωωn VV FV VF FF Solução iii Massa equivalente Peq Pválvula e haste Pmola3 21 153 Peq 26 lbf logo meq Peq g iii Frequência natural ωn k meq kσ Peq 400 x 3861 26 ωn 7007 rads iv Razão de frequências r ω ωn 10 7007 r 0130 v Fator de amplificação β 1 1r² 1 1 01302 β 1017 vi Força aplicada Fo Apo 100 x 10 Fo 1000 lbf vii Amplitude máxima de deslocamento X Fo k β 1000 400 x 1017 X 254 in viii Deslocamento em t 2 s xt X sen ωt x2 254 x sen 10 x 2 x2 232 in resp Solução i Resposta Completa xt Xht Xpt xt A e3ωnt senωdt φ X senωt θ 1 ii Determinação de A e φ Derivando xt tem ẍt 3ωn A e3ωnt senωdt φ ωd A e3ωnt cosωdt φ ωX cosωt θ 2 Para o instante t 0 vem de 1 e 2 x0 x0 A sen φ X senθ A sen φ X sen θ 3 ẋ0 ẋ0 3ωn A sen φ ωd A cos φ ωX cos θ 4 De 3 sen φ x0 X sen θ A 5 5 em 4 vem ẋ0 3ωn x0 X sen θ A ωd A cos φ ωX cos θ cos φ ẋ0 3ωn x0 X 3ωn sen θ ωω cos θ ωd A 6 De 5 e 6 vem tg φ sen φ cos φ x0 X sen θ A wd ẋ0 3ωn x0 X3ωn sen θ ωω cos θ logo φ tg¹ wdx0 X sen θ ẋ0 3ωn x0 X3ωn sen θ ωω cos θ resp Da trigonometria temse tgφ sendcosφ senφ1sen²φ 8 5 em 8 vem tgφ x₀ XsenΘA² x₀ XsenΘ² x₀ XsenΘA² x₀ XsenΘ² tg²φ x₀ XsenΘ²A² x₀ XsenΘ² A² x₀ Xsenθ² x₀ X senθ² tg²φ 9 7 em 9 vem A² x₀ Xsenθ² x₀ Xsenθ X 3ωn senΘ ω cosΘ²ωd x₀ Xsenθ² x₀ X senθ² A x₀ Xsenθ X 3ωn senΘ ω cosΘ² x₀ Xsenθ² ωd²ωd² resp 3 1 ponto Considere o sistema da figura é correto afirmar que a mola equivalente é O 9k O 10k O ³⁹¹¹k ³⁹¹⁵k O ¹⁸²⁶k O ⁹²⁶k O Nenhuma das opções Solução i Molas em paralelo keq₁ 2k k keq₁ 3k ii Molas em série 1keq₂ 1k 1keq₁ 13k 1k 12k 13k 1k 23k 3k 2k3k² 5k3k² 1keq₂ 53k keq₂ 35 k iii Molas em paralelo keq₃ keq₂ 2k 35 k 2k 55 resp keq₃ 135 k ou keq₃ 3915 k 4 1 ponto Considerando um sistema dinâmico amortecido sujeito a uma força harmônica é correto afirmar que 1 a ressonância sempre ocorre quanto a razão de frequências r é igual a 1 2 a fase na ressonância ocorre sempre a 90 independentemente do fator de amortecimento O VV O FV O VF FF Solução i Modelo Matemático k c m xt xht xpt Ft Fos en wt xt A e³ωnt senωdtφ X senωt Θ Considerando as condições iniciais nulas vem xt X senωt Θ X F₀k β β 11r²² 2ζr² Θ tg¹23r1r² r ωωn A ressonância ocorre quando βmax Xmax β βmax J₁0 J₁0 J π2¹ Não existe máximo θ θ 0 90 180 r r pico pico 10 10 dβdr 0 βmax 12ζ1ζ² pico 12ζ² ress1 Ressonância Para r rpico θ tg ¹ 23rpico1r² pico tg 112ζ² tg ¹ 12ζ²ζ resp 2 θ tg¹ 12ζ²ζ 5 3 pontos O sistema da figura é composto por duas polias que giram sem atrito em torno do ponto fixo 0 A polia de raio r tem momento de inércia de massa desprezível enquanto que a polia de raio 2r tem momento de inércia de massa J₀ As polias movem uma carga de massa m utilizando dois cabos de massas desprezíveis A massa está conectada a um amortecedor de constante de amortecimento c através de um cabo e a polia de raio 2r está conectada a uma mola de rigidez k através do outro cabo Determine a equação de movimento do sistema da figura utilizando a 2a Lei de Newton Solução i Diagrama de corpo livre ii 2ª Lei de Newton Ft mẍt mẍt cẋt F₁t F₁t mẍt cẋt 1 M₀t J₀θt J₀θt 2r kyt r F₁t 2 r 5 Substituindo 1 em 2 vem J₀θt 2r kyt r mẍt rcẋt rmẍt J₀θt rcẋt 2r kyt 0 3 iii Relações r θ e y Da Figura sen θ2 x 2r Para 0 θ 10 sen θ2 θ2 logo θ2 x 2r x r θ 4 sen θ2 y 2 x 2r y 4r Para 0 θ 10 sen θ2 θ2 logo θ2 y 4r y 2r θ 5 iv Equação de movimento Substituindo 4 e 5 em 3 vem r m r θt J0 θt r c r θt 2r k 2 r θt 0 r2 m θt J0 θt r2 c θt 4r2 k θt 0 J0 m r2 θt r2 c θt 4r2 k θ t 0 6 3 pontos Uma barra delgada rígida de massa m é articulada no ponto 0 sem atrito e conectada as rigidezes k1 e k2 Considerando um pequenos deslocamento angular θ determine a equação de movimento utilizando o Método da Energia para o valor a L 4 Solução i Deslocamentos ii Energia Cinética T 12 J0 θt2 ii Energia Potencial Elástica Ue 12 k1 L4 sen θt 2 12 k2 L sen θt2 iii Energia potencial gravitacional Ug mg L2 1 cos θt iv Equação de movimento Como existe conservação de energia temse T U const ddt T U 0 12 J0 θt dθtdt 12 k1 14 L sen θt 14 L cos θt dθtdt 12 k2 L sen θt cos θt dθtdt mg L2 sen θt dθtdt 0 θt J0 θt L216 k1 sen θt cos θt L2 k2 sen θt cos θt mg L2 sen θt 0 Como θt 0 t 0 vem J0 θt L216 k1 L2 k2 mg L2 sen θt cos θt 0 Para pequenos θ vem 0 θ 10 cos θ 1 e sen θ θ Então J0 θt L216 k1 L2 k2 mg L2 θt 0 Obs J0 13 m L2