Modelagem e Simulacao de Processos Industriais e Sistemas Eletromecanicos - Claudio Garcia

Modelagem e Simulação Claudio Garcia Escrito com base na experiência do autor na área de Modelagem e Simulação de Processos Industriais este livro sem ser complexo ou profundo procura dar uma visão geral de como obter modelos matemáticos dinâmicos a partir de conhecimentos teóricos básicos a respeito de processos industriais Abordamse processos de sete áreas dentro da engenharia incluindo os seguintes campos mecânico elétrico eletromecânico fluídico térmico termohidráulico e químico A abordagem aqui empregada procura criar modelos fenomenológicos de processos industriais gerando modelos dinâmicos de sistemas contínuos a parâmetros concentrados lieares e nãolineares representados por sistemas de equações diferenciais ordinárias Apresentando uma divisão natural este livro aborda na primeira parte capítulos 1 e 2 classificação dos modelos e a metodologia para desenvolver o modelamento Na segunda parte capítulos 3 a 6 o modelamento de sistemas mecânicos elétricos e eletromecânicos além de incluir as nãolinearidades passíveis de estar presentes nesse tipo de sistema Na terceira parte capítulos 7 a 10 focaliza o modelamento de processos industriais inlcuindo sistemas fluídicos térmicos termohidráulicos e químicos Nestes capítulos ocorre um aumento gradual na complexidade dos modelos apresentando no início balanços de massa e depois ao longo dos capítulos balanços de quantidade de movimento e de energia estes últimos UCL Biblioteca UCL Biblioteca Reg 2099104 6815012 G016m 1997 Modelagem e Simulação Modelagem e Simulação de Processos Industriais e de Sistemas Eletromecânicos Claudio Garcia Copyright 1997 by Claudio Garcia Dados Internacionais de Catalogação na Publicação CIP Câmara Brasileira do Livro SP Brasil Garcia Claudio Modelagem e Simulação de Processos Industriais e de Sistemas Eletromecânicos Claudio Garcia São Paulo Editora da Universidade de São Paulo 1997 Acadêmica 11 ISBN 8531404029 1 Dispositivos Eletromecânicos 2 Engenharia Modelos 3 Engenharia Simulação Métodos 4 Engenharia de Sistemas 5 Matemática na Engenharia 6 Processos Industriais I Título II Série 972304 CDD6200011 Índices para catálogof sistemático 1 Processos Industriais Sistemas Modelagem e Simulação Engenharia 6200011 2 Sistemas de Engenharia Modelagem e Simulação 6200011 Direitos reservados à Edusp Editora da Universidade de São Paulo Av Prof Luciano Gualberto Travessa J 374 6º andar Ed da Antiga Reitoria Cidade Universitária 05508900 São Paulo SP Brasil Fax 011 2116988 Tel 011 8138837 r 216 Printed in Brazil 1997 Foi feito o depósito legal À minha esposa Marina por ser uma verdadeira companheira SUMÁRIO PREFÁCIO 13 1 INTRODUÇÃO E DEFINIÇÕES GERAIS 15 11 Aplicações da simulação dinâmica 16 12 Classificação de modelos matemáticos 18 13 Métodos para obtenção das equações de um modelo 19 14 Classificação de problemas matemáticos e sua facilidade de solução por métodos analíticos 19 15 Estágios no estudo da dinâmica de sistemas 20 16 Exemplo da multiplicidade de modelos para representar um sistema 21 17 Referências bibliográficas 24 2 OBTENÇÃO ANALÍTICA DE MODELOS MATEMÁTICOS 25 21 Elementos característicos de processos industriais 25 211 Atraso de transferência 26 212 Atraso de transporte 29 213 Sistemas com atraso de transferência de ordem superior a 1 30 22 Método analítico de obtenção de modelos matemáticos de sistemas 35 221 Estágio A modelamento físico do sistema real ao modelo físico 36 222 Exemplos de obtenção de modelos físicos 38 43 Transformadores elétricos ideais 101 431 Introdução a circuitos magnéticos 102 432 Equações descritoras de um transformador elétrico ideal 104 433 Impedâncias referidas ao primário ou secundário do transformador 106 434 Exemplo de modelamento de sistema com transformador elétrico ideal 107 44 Referências bibliográficas 110 5 MODELAMENTO ANALÍTICO DE SISTEMAS ELETROMECÂNICOS 111 51 Princípio de funcionamento dos sistemas eletromecânicos acoplados por campo magnético 111 52 Máquinas elétricas rotativas 113 53 Equações descritoras de um sistema eletromecânico ideal 114 54 Exemplos de modelamento de sistemas eletromecânicos 115 55 Referências bibliográficas 134 6 MODELAMENTO ANALÍTICO DE NÃOLINEARIDADES EM SISTEMAS MECÂNICOS ELÉTRICOS E ELETROMECÂNICOS 135 61 Saturação 136 62 Zona morta ou zona de insensibilidade 138 63 Atrito de Coulomb e atrito seco 138 64 Folga em engrenagens backlash 139 641 Movimento fora da região de folga 139 642 Movimento na região de folga 140 65 Histerese 140 66 Relés 141 67 Exemplos da aplicação de elementos nãolineares 143 68 Referências bibliográficas 154 7 MODELAMENTO ANALÍTICO DE SISTEMAS FLUÍDICOS 155 71 Sistemas fluídicos hidráulicos e pneumáticos 155 711 Pressão e vazão fluxo 155 712 Potência e energia 156 713 Elementos ideais de sistemas fluídicos 156 714 Analogias entre sistemas elétricos e sistemas fluídicos 173 715 Geração das equações de movimento para sistemas fluídicos 173 716 Exemplos de modelamento de sistemas fluídicos 178 72 Transformador fluídico 204 73 Transdutor mecânicofluídico 205 223 Estágio B equações de movimento do modelo físico ao modelo matemático 40 224 Exemplos de obtenção de equações de movimento 42 225 Estágio C comportamento dinâmico simulação do modelo matemático 49 226 Exemplos de simulação de sistemas 50 227 Classificação das variáveis físicas 56 228 Concepção de modelos teóricos 57 23 Relação entre equações de movimento e equações de estado 57 231 Espaço de estados 57 232 Equações de movimento e de estado 59 24 Referências bibliográficas 61 3 MODELAMENTO ANALÍTICO DE SISTEMAS MECÂNICOS 63 31 Sistemas mecânicos transacionais 63 311 Movimento e força 63 312 Potência trabalho e energia 64 313 Elementos ideais de sistemas mecânicos 65 314 Exemplos de modelamento de sistemas mecânicos transacionais 68 32 Sistemas mecânicos rotacionais 73 321 Movimento angular e torque 73 322 Potência trabalho e energia 74 323 Elementos mecânicos rotacionais ideais 74 324 Exemplos de modelamento de sistemas mecânicos rotacionais 76 33 Transformadores mecânicos ideais 82 331 Alavanca ideal massa desprezível 82 332 Jogo ideal de engrenagens discos com massa desprezível 83 333 Exemplos de modelamento de sistemas com transformadores mecânicos ideais 84 34 Referências bibliográficas 88 4 MODELAMENTO ANALÍTICO DE SISTEMAS ELÉTRICOS 89 41 Sistemas elétricos 89 411 Voltagem e corrente 89 412 Potência trabalho e energia 90 413 Elementos elétricos ideais 90 414 Exemplos de modelamento de sistemas elétricos 91 42 Analogias entre sistemas mecânicos e elétricos 95 421 Procedimento para geração de análogo elétrico de sistema mecânico 96 422 Exemplos de analogia entre sistemas mecânicos e elétricos 97 74 Referências bibliográficas 206 8 MODELAMENTO ANALÍTICO DE SISTEMAS TÉRMICOS 207 81 Sistemas térmicos 207 811 Temperatura e fluxo de calor 207 812 Potência térmica e energia 208 813 Elementos ideais de sistemas térmicos 208 814 Geração das equações de movimento para sistemas térmicos 225 815 Exemplos de modelamento de sistemas térmicos 226 82 Transformador térmico ideal 240 83 Transdutor térmico 240 84 Resumo das formas de obtenção das equações de movimento 240 841 Sistemas mecânicos rotacionais e transacionais 240 842 Sistemas elétricos 240 843 Sistemas eletromecânicos 241 844 Sistemas fluídicos 241 845 Sistemas térmicos 242 846 Resumo das analogias entre sistemas 242 85 Referências bibliográficas 243 9 MODELAMENTO DE SISTEMAS TERMOHIDRÁULICOS 245 91 Conservação de energia 245 911 Formas de energia 246 912 Formas de trabalho 246 913 Equação de conservação de energia 246 92 Equações de estado 247 921 Aproximações usadas para entalpia 247 922 Aproximações usadas para massa específica ρ 248 93 Equilíbrio de fases 249 94 Coeficiente global de transferência térmica U 249 95 Exemplos de modelamento de sistemas termohidráulicos 254 96 Referências bibliográficas 275 10 MODELAMENTO DE ANALÍTICO DE SISTEMAS QUÍMICOS 277 101 Relações de continuidade dos componentes de uma reação química balanço de componentes 277 1011 Exemplos de balanço de componentes 279 102 Cinética taxa de reação de reações químicas 282 103 Conservação balanço de energia 283 104 Exemplos de modelamento de sistemas químicos 384 105 Referências bibliográficas 300 11 MODELAMENTO DINÂMICO DE MEDIDORES E ATUADORES 301 111 Comportamento de sensores e transmissores 301 1111 Medição de vazão 304 1112 Medição de pressão e de nível 305 1113 Medição de temperatura 305 1114 Medição de composição 305 1115 Medição de pH 305 112 Comportamento de válvulas e atuadores pneumáticos 305 1121 Cavitação flashing e vazão crítica em válvulas 307 1122 Vazão de líquidos com escoamento subcrítico através de válvulas 310 1123 Efeito de redutores de diâmetro de tubulação 316 1124 Efeito da cavitação ou flashing 317 1125 Fórmulas para cálculo do escoamento de fluidos compressíveis gases e vapores através de válvulas 318 113 Comportamento de linhas de transmissão 320 114 Referências bibliográficas 322 12 LINEARIZAÇÃO DE SISTEMAS E GERAÇÃO DE FUNÇÕES DE TRANSFERÊNCIA 323 121 Métodos de aproximação linear 323 1211 Linearização por expansão em série de Taylor 324 1212 Exemplos de aplicação do método de linearização por série de Taylor 325 1213 Variáveis de perturbação de desvio ou incrementais 325 1214 Exemplos de aplicação das variáveis de perturbação 326 122 Conceitos básicos sobre funções de transferência 332 1221 Exemplos de aplicação de funções de transferência na análise do comportamento de sistemas lineares 333 123 Referências bibliográficas 344 13 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DINÂMICO DE SISTEMAS LINEARES 345 131 Características básicas dos sistemas lineares de 1a e 2a ordem 346 132 Características da resposta temporal de sistemas lineares 347 133 Resposta total natural forçada de sistemas de 1a e 2a ordem 348 1331 Resposta movimento natural de sistemas de 1a ordem 348 1332 Resposta movimento total de sistemas de 1a ordem 350 1333 Exemplos de resposta temporal de sistema de 1a ordem 354 1334 Resposta movimento natural de sistemas de 2a ordem 362 1335 Resposta movimento forçada de sistemas de 2a ordem 367 1336 Resposta total de sistemas de 2a ordem 369 1337 Exemplos de resposta temporal de sistemas de 2a ordem 372 134 Referências bibliográficas 392 14 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INTEGRAÇÃO DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS 393 141 Solução de equações diferenciais ordinárias por métodos numéricos 393 1411 Tipos de métodos numéricos para resolver equações diferenciais ordinárias 394 1412 Métodos numéricos de integração de passo simples para resolver problemas de valor inicial 395 1413 Método de Euler 396 1414 Método de RungeKutta 398 1415 Exemplo de aplicação do método de RungeKutta de 2a ordem 402 1416 Sistemas de equações 402 1417 Exemplo de aplicação do método de RungeKutta para sistema de equações 404 1418 Equações diferenciais de ordem superior a 1 405 1419 Exemplos de aplicação do método de RungeKutta para equações de ordem superior a 1 405 14110 Exemplos de preparação de problemas para integração numérica 408 142 Utilização de pacotes de simulação 413 1421 Linguagens de simulação orientadas a equações 413 1422 Pacotes de simulação orientados a módulos 415 143 Referências bibliográficas 415 15 EXEMPLOS DE SIMULAÇÃO DIGITAL DE SISTEMAS FÍSICOS 417 151 Exemplo de simulação digital de problema da área mecânica 417 152 Exemplo de simulação digital de problema da área elétrica 420 153 Exemplo de simulação digital de problema da área eletromecânica 421 154 Exemplo de simulação digital de problema da área de hidráulica 425 155 Exemplo de simulação digital de problema da área térmica 430 156 Exemplo de simulação digital de problema da área termohidráulica 432 157 Exemplo de simulação digital de problema da área química 438 158 Exemplo de simulação digital de problema da área termohidráulica incluindo a instrumentação e o cálculo detalhado dos coeficientes de transferência de calor 443 159 Referências bibliográficas 458 PREFÁCIO Este livro foi escrito com base na disciplina PEE415 Modelagem de Processos Industriais que ministrei por quatro anos para os alunos do quarto ano da especialidade Automação e Controle do curso de Engenharia Eletrônica da Escola Politécnica da USP A idéia aqui não foi escrever algo muito complexo ou profundo mas apenas dar uma visão geral de como gerar modelos matemáticos dinâmicos a partir de conhecimentos teóricos básicos a respeito dos processos São abrangidos processos de diversas áreas dentro da Engenharia incluindo os seguintes campos mecânico elétrico eletromecânico fluídico térmico termohidráulico e químico Além de abordar a modelagem de processos industriais enfocamse também a modelagem da instrumentação de campo usada para medir e atuar nos processos e os métodos de simular os modelos gerados através de técnicas analíticas e numéricas Cada tema é ilustrado com diversos exemplos resolvidos visando facilitar os estudos O livro foi escrito obedecendo a seguinte sequência de assuntos o Capítulo 1 apresenta uma visão global a respeito da aplicação de modelos matemáticos e os estágios envolvidos no estudo da dinâmica dos sistemas o Capítulo 2 descreve o método empregado neste livro para gerar modelos os Capítulos 3 4 e 5 abordam a modelagem de sistemas mecânicos elétricos e eletromecânicos assumidos como lineares o Capítulo 6 abrange a parte de nãolinearidades nos sistemas dinâmicos estudados nos capítulos 3 4 e 5 os Capítulos 7 8 9 e 10 incluem estudos relativos à modelagem de sistemas fluídicos térmicos termohidráulicos e químicos o Capítulo 11 enfoca o modelamento de instrumentos para medir sensores e transmissores e para atuar atuadores e válvulas em processos industriais o Capítulo 12 aborda a linearização de modelos nãolineares e a utilização de funções de transferência para descrever o comportamento dinâmico de processos o Capítulo 13 se preocupa em apresentar o comportamento dinâmico de sistemas lineares enfatizando os sistemas de 1ª e 2ª ordens o Capítulo 14 abrange os métodos usualmente empregados para integração numérica de equações diferenciais ordinárias e cita alguns exemplos de linguagens de simulação disponíveis no mercado e o Capítulo 15 apresenta simulações de sistemas das diversas áreas da Engenharia estudados neste livro Espero que esta obra seja útil não só no campo acadêmico mas também na área industrial Claudio Garcia 1 INTRODUÇÃO E DEFINIÇÕES GERAIS Os modelos podem ser físicos protótipos e plantaspiloto matemáticos representação abstrata da realidade através de equações O que é um modelo matemático É uma representação dos aspectos essenciais de um sistema que apresenta conhecimento desse sistema em uma forma utilizável EYKHOFF 1974 É um sistema de equações cuja solução dado um conjunto de dados de entrada é representativa da resposta do processo DENN 1986 Um modelo nada mais é do que uma abstração matemática de um processo real SEBORG et al 1989 A equação ou conjunto de equações que compõem o modelo são uma aproximação do processo real Dessa forma o modelo não pode incorporar todas as características tanto macroscópicas quanto microscópicas do processo real O engenheiro deve normalmente buscar um compromisso entre o custo de ter o modelo isto é o tempo e o esforço requeridos para obtêlo e verificálo e o nível de detalhes no mesmo bem como os benefícios esperados de sua aplicação O propósito do modelo determina em última análise sua precisão Um processo pode ser físico químico biológico social econômico etc A ênfase deste livro recai sobre processos físicos e químicos do tipo industrial O que é simulação É a obtenção da resposta temporal das variáveis de interesse variáveis dependentes de um modelo quando se excita suas variáveis de entrada com sinais desejados e se definem os valores das condições iniciais das variáveis dependentes Os estudos sobre simulação dinâmica iniciaramse utilizandose computadores analógicos 19451970 e posteriormente firmaramse e alastraramse com o advento dos computadores digitais 1970 11 APLICAÇÕES DA SIMULAÇÃO DINÂMICA A simulação dinâmica é usada desde o projeto até a operação de plantas incluindo estudos de viabilidade econômica de processos industriais conforme descrito a seguir Seja o modelo matemático simplificado de um processo apresentado na figura 11 P Y f X Y P Y onde X conjunto de variáveis de entrada Y conjunto de variáveis de saída P parâmetros do sistema incluindo condições de contorno Figura 11 Modelo matemático simplificado de um processo As seguintes aplicações são possíveis com base no esquema da figura 11 a Projeto de equipamentos processos e plantas e seus respectivos sistemas de controle usa modelo estático Dados Xe Y avaliarse P Seus objetivos são explorar o dimensionamentoarranjo físico de equipamentos e componentes do processo estudar interações de várias partes do processo e projetar a estratégia de controle para um novo processo possibilitando por exemplo a seleção das variáveis a serem medidas controladas e manipuladas b Préoperação e operação de plantas usa modelo dinâmico Obter Y dados X e P ou obter X dados Y e P Seus objetivos são melhorar o entendimento do processo investigando seu comportamento sem os gastos com a operação do processo real e sem os eventuais riscos envolvidos nessa atividade ferramenta para desenvolvimento teste e qualificação de procedimentos operacionais para partida parada testes e operação em situações normais e anormais da planta auxiliar na criação de manuais de detecção localização e correção de falhas em equipamentoscomponentes da planta estudar os efeitos de projetos de expansão e avaliar os requisitos para implementálos prover recursos para treinamento de operadores nas mais diversas condições operacionais da planta e analisar diferentes modos ou filosofias de operação da planta c Sistemas de controle de processos usa modelo dinâmico Dado P manter X ou Y iguais a certos valores de referência Seus objetivos são selecionar ajustes de controladores um modelo dinâmico do processo pode ser usado para gerar préajustes apropriados dos controladores através da simulação em computador ou pela análise direta do modelo dinâmico Antes da partida de um novo processo é desejável possuir estimativas razoáveis dos ajustes dos controladores Para alguns tipos de processos pode não ser possível realizar experimentos que conduziríam a melhores ajustes e projetar a lei de controle técnicas modernas de controle freqüentemente incorporam um modelo do processo na lei de controle Tais técnicas são chamadas de controle baseado em modelo como por exemplo o controle por préalimentação feedforward ou controle adaptativo d Otimização das condições operacionais de plantas usa modelo estático Melhor utilização dos recursos disponíveis Dadas certas faixas para X e Y P livre porém sujeito a um conjunto de restrições operacionais designadas por gXYP 0 Procurase determinar Xe Y para maximizar ou minimizar uma funçãoobjetivo φ XY As funçõesobjetivo mais comuns são a serem maximizadas rendimentos operacionais conversão de produtos e lucro a serem minimizadas custos 12 CLASSIFICAÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS Os modelos são classificados de acordo com os tipos de equações usados em sua formulação conforme descrito a seguir Close Frederick 1978 Edgar Himmelblau 1988 PARÂMETROS CONCENTRADOS x DISTRIBUÍDOS Com parâmetros concentrados lumped Variações espaciais são desprezadas propriedadesestado do sistema são considerados homogêneos em todo volume de controle Geram sistema de equações diferenciais ordinárias Com parâmetros distribuídos Consideram variações espaciais no comportamento das variáveis Geram sistema de equações diferenciais parciais Todo sistema real é distribuído Se as variações espaciais são pequenas aproximase por modelo a parâmetros concentrados Para incluir características temporais e espaciais devemse usar equações diferenciais parciais ou série de estágios com parâmetros concentrados LINEAR x NÃOLINEAR Equações e portanto modelos são lineares se variáveis dependentes ou suas derivadas aparecem apenas no 1º grau A manipulação de modelos lineares é muito mais simples Um sistema é linear se a regra da superposição é aplicável Jx1 x2 Jx1 Jx2 e Jkx kJx onde J é qualquer operador contido no modelo CONTÍNUO x DISCRETO Contínuo a variável pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo Discreto a variável assume apenas valores distintos no intervalo ESTÁTICO x DINÂMICO Estático ou estacionário ou invariante no tempo processo cujo valor das variáveis permanece constante no tempo se as entradas permanecem as mesmas as saídas permanecem inalteradas O modelo é um sistema de equações algébricas Dinâmico ou transiente ou transitório as variáveis variam no tempo que é a variável independente A solução completa consiste nos regimes permanente e transitório O modelo é um sistema de equações diferenciais Neste livro enfatizase o modelamento contínuo dinâmico a parâmetros concentrados nas formas linear e nãolinear 13 MÉTODOS PARA OBTENÇÃO DAS EQUAÇÕES DE UM MODELO Dependendo de como um modelo é obtido ele pode ser enquadrado como teórico ou analítico desenvolvido usando os princípios da Física e da Química empírico ou heurístico usa observação direta dos dados operacionais do processo relações de causaefeito correlacionando dados de entradasaída do processo e por analogia usa equações que descrevem um sistema análogo com as variáveis identificadas por analogia em base individual Para se poder empregar um modelo teórico há necessidade de se conhecer certos parâmetros do processo os quais usualmente devem ser avaliados a partir de experimentos físicos realizados no processo ou então obtidos de dados operacionais do processo Os modelos teóricos possuem diversas vantagens sobre os empíricos eles freqüentemente podem ser extrapolados sobre uma faixa maior de condições operacionais além de permitirem inferir o valor de variáveis de processo nãomedidas ou incomensuráveis Por outro lado os modelos empíricos são normalmente mais fáceis de se gerar muito embora caso o processo seja nãolinear sejam válidos em uma faixa estreita próxima ao ponto onde foram obtidos 14 CLASSIFICAÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS E SUA FACILIDADE DE SOLUÇÃO POR MÉTODOS ANALÍTICOS Há apenas uma pequena classe de equações passível de solução analítica e que na tabela 11 Franks 1972 se encontra em destaque A maioria dos pro qual permite que erros no modelo matemático original possam ser detectados e corrigidos através da comparação entre os valores simulados e reais Esse processo de comparação e correção é denominado Validação do Modelo Desejase determinar xt como função de Fet Fk Fi Fa m Fe Figura 14 Diagrama das forças atuantes no exemplo da figura 13 EQUAÇÃO DO SISTEMA Balanço de forças pela 2ª lei de Newton Fi Fe Fk Fa 1 RELAÇÕES CONSTITUTIVAS Fi mẍ movimento inercial da massa 2 Fk kx supondo que a origem das coordenadas seja a posição do centro de massa quando a mola está em repouso 3 Fa bẋ atrito viscoso puro 4 Substituindo 2 3 e 4 em 1 resulta a equação de movimento do sistema mẍ bẋ kx Fe equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem Conhecendose os parâmetros m b e k e as condições iniciais x0 e ẋ 0 podese determinar xt como função de Fet Obs a equação 1 é sempre aplicável 2ª Lei de Newton exceto em fenômenos relativísticos e as equações 3 Lei de Hooke e 4 não se aplicam a quaisquer mola e amortecedor respectivamente são relações constitutivas Suponha agora que a mola seja finitamente extensível quando uma extensão crítica é atingida a força incremental para continuar distendendo a mola cresce a uma taxa muito maior que a linear cessos industriais gera equações diferenciais nãolineares solúveis apenas por métodos numéricos em computadores Equações lineares Equações nãolineares uma equação algumas equações muitas equações uma equação algumas equações muitas equações Algébrica trivial fácil praticamente impossível muito difícil muito difícil impossível Diferencial ordinária fácil difícil praticamente impossível muito difícil impossível impossível Diferencial parcial difícil praticamente impossível impossível impossível impossível impossível Tabela 11 Classificação de problemas matemáticos quanto à sua facilidade de solução por métodos analíticos 15 ESTÁGIOS NO ESTUDO DA DINÂMICA DE SISTEMAS Dinâmica é o estudo de como certas entidades variam no tempo e das causas que induzem essas variações O objetivo de se estudar a dinâmica de sistemas é compreender e predizer o comportamento dinâmico de um certo sistema e algumas vezes melhorálo A semelhança no comportamento dinâmico dos sistemas físicos permite que se desenvolva um padrão analítico de estudo desses sistemas Há três estágios básicos que caracterizam esse estudo A Obter um modelo matemático para representar o fenômeno físico cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real Devese enfatizar que há inúmeros modelos para descrever uma realidade física dependendo do grau de precisão desejado e do tempo disponível para o processamento computacional simulação do sistema Na seção 16 apresentase um exemplo dessa multiplicidade de modelos B Estudar o comportamento dinâmico do modelo matemático Neste estágio verificase a resposta temporal das variáveis de saída como função das alterações nas variáveis de entrada C Aplicar o modelo matemático para a solução de um problema como os casos citados na seção 11 Os três estágios da análise dinâmica são retratados na figura 12 Cannon 1967 onde se percebe a característica de realimentação do procedimento a Fk k x 1 ε x Para pequenos deslocamentos ε x 1 esta equação se aproxima da Lei de Hooke Resulta m x b x k x 1 ε x Fe equação diferencial ordinária nãolinear de 2ª ordem O mesmo sistema pode ser descrito por modelos de estruturacomplexidade diversos Um outro exemplo para o sistema massamolaamortecedor é suponha a força Fe de magnitude qualquer mas variando lentamente no tempo Nesse caso os termos envolvendo taxas de variação são desprezíveis Resulta k x 1 ε x Fet ou equivalentemente xt Fet k ε Fet equação algébrica nãolinear Outro exemplo deste sistema caso em que o amortecedor resiste ao movimento e dissipa energia aquecendose o que leva a um decréscimo na viscosidade do fluido e conseqüentemente em b Eventualmente um regime estacionário será alcançado entre taxa de dissipaçãotaxa de perda de calor para o meio ambiente Isso faz com que a temperatura e portanto a viscosidade e conseqüentemente b se aproximem de um valor constante Para prover esse modelamento é necessário obter a equação que descreve a alteração na temperatura do fluido do amortecedor e uma relação entre essa temperatura e o coeficiente de atrito b A equação que descreve mudanças na temperatura requer usar princípios de conservação de energia As equações acopladas de conservação da energia e da quantidade de movimento ou momentum balanço de forças devem ser resolvidas simultaneamente sistema de equações Concluise portanto que há múltiplos modelos para representar uma mesma realidade física 17 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS CANNON R H Dynamics of Physical Systems New York McGraw Hill 1967 CLOSE C M FREDERICK D K Modeling and Analysis of Dynamic Systems Boston Houghton Mifflin Company 1978 DENN M M Process Modeling Harlow Longman 1986 EDGAR T F HIMMELBLAU D M Optimization of Chemical Processes New York McGraw Hill 1988 EYKHOFF P System Identification Parameter and State Estimation London John Wiley 1974 FRANKS R G E Modeling and Simulation in Chemical Engineering New York Wiley Interscience 1972 SEBORG D E EDGAR T F MELLICHAMP D A Process Dynamics and Control New York John Wiley 1989 2 OBTENÇÃO ANALÍTICA DE MODELOS MATEMÁTICOS Conforme se viu na seção 15 há três estágios fundamentais no estudo da dinâmica de sistemas O primeiro estágio obtenção do modelo matemático pode ser executado através da utilização de duas técnicas diferentes teórica e empírica Neste capítulo abordase o método teórico de desenvolvimento de modelos matemáticos No entanto antes de discorrer sobre o modelamento analítico de processos será feita uma breve introdução a elementos básicos que associados representam processos industriais de forma aproximada 21 ELEMENTOS CARACTERÍSTICOS DE PROCESSOS INDUSTRIAIS A grande maioria dos processos industriais pode ser representada de forma aproximada como uma combinação dos quatro elementos básicos apresentados na figura 21 Na prática é pouco comum a presença de elementos integradores puros Dessa forma podese em princípio modelar a maioria dos processos industriais através do ganho estático e dos atrasos de transferência e de transporte Com base nessa assertiva enfatizamse nos próximos itens os dois elementos dinâmicos típicos de processos isto é os atrasos τ resistência capacitância Por isso este tipo de atraso pode também ser chamado de atraso RC atraso capacitivo ou ainda lag A título de ilustração seja a figura 22 onde Q1 Q2 vazões de entrada e saída T1 T2 T3 temperatura em diversos pontos do sistema Tt sinal de saída do transmissor de temperatura τT constante de tempo da temperatura no tanque Figura 22 Sistema termohidráulico em que se manifestam atrasos de transferência e de transporte Supondo que não haja perdas de calor e com Q1 e T1 constantes terseia T2 e T3 iguais a T1 e com a válvula adequadamente aberta Q2 igual a Q1 isto é o sistema estaria em regime estacionário Suponha agora uma variação brusca em T1 degrau admitindo que a massa específica do fluido permaneça constante Em seguida T2 começa a variar até que haja a transferência completa da variação de temperatura através do tanque isto é até que T2 novamente iguale T1 Caso se modele esse sistema efetuandose o balanço de energia e supondo regime estacionário de vazão Q1 Q2 Q resulta um atraso de transferência de 1ª ordem de T2 em relação a T1 Supondo um degrau em T1 a variação temporal resultante em T2 é dada por T2t T20 A 1 exp t τT para t 0 onde τT V Q onde T20 T20 valor inicial de T2 A amplitude do degrau T1 T10 T1t T10 para t 0 e T1t A T10 para t 0 Figura 23 Resposta a degrau em T1 do sistema da figura 22 Fazendo t τT resulta T2τT T20 A 1 e1 T20 0632 A O cálculo da constante de tempo τT do tanque é feito abaixo τT P Q V P R C onde P pressão hidrostática Q vazão V volume R resistência C capacitância O análogo elétrico do caso acima é um circuito RC em série onde se analisa a tensão EC no capacitor como função da tensão de entrada E Figura 24 Análogo elétrico do caso apresentado na figura 22 Supondo que sejam estabelecidas as analogias citadas na tabela 21 cálculo matemático no dispositivo de controle que ocasiona um atraso na resposta Aparece em quase todos os processos e raramente sozinho surge com atrasos capacitivos É inerente ao sistema 213 Sistemas com Atraso de Transferência de Ordem Superior a 1 Existe a possibilidade de se ter mais de um conjunto capacitânciaresistência no processo Nesse caso devese fazer a distinção entre sistemas de ordem superior com capacitâncias interativas e isoladas Nas capacitâncias isoladas cada uma age como se estivesse sozinha conforme indicado na figura 25 Figura 25 Exemplo hidráulico de capacitâncias isoladas A analogia com um sistema elétrico é indicada na figura 26 Figura 26 Análogo elétrico ao exemplo hidráulico da figura 25 de capacitâncias isoladas Neste caso H1 é independente de H2 pois a vazão de saída do primeiro tanque independe do nível do segundo A função de transferência global desse sistema em malha aberta corresponde a Gs G1s G2s tratandose de um sistema de 2ª ordem Já no caso da figura 27 a vazão Q2 depende de H1 e H2 portanto H1 é função de H2 Figura 27 Exemplo hidráulico de capacitâncias interativas Neste caso o análogo elétrico é mostrado na figura 28 Figura 28 Análogo elétrico ao exemplo hidráulico da figura 27 de capacitâncias interativas Esta situação é difícil de ser analisada e a função de transferência global do sistema não corresponde mais ao produto das funções de transferência de 1ª ordem Em geral as seguintes regras podem ser aplicadas para capacitâncias interligadas Shinskey 1988 o grau de interação é proporcional à razão entre as capacitâncias não entre as constantes de tempo Quando C1C2 01 o processo pode ser considerado isolado e a interação sempre aumenta a maior constante de tempo e diminui a menor Seja agora um processo com n sistemas de 1ª ordem em série conforme indicado na figura 29 Sistema fluídico Sistema elétrico pressão P tensão E vazão Q corrente I volume V quantidade de cargas q Tabela 21 Analogias entre sistema fluídico e sistema elétrico Resulta resistência R Ei PQ e capacitância C qE VP Portanto τT R C VQ Devese enfatizar que caso se modele o nível H do tanque mostrado na figura 22 supondo que a vazão Q2 ocorra por efeito gravitacional resulta que H também responde como um atraso de transferência de 1ª ordem com relação a Q1 Sistemas cuja resposta seja afetada por um atraso de transferência de 1ª ordem são denominados sistemas de 1ª ordem e sua função de transferência assumindo ganho estático K nãounitário é dada por Gs K 1 s τ 212 Atraso de Transporte Retornando à figura do tanque no início do item 211 notase uma certa extensão de tubulação entre a saída do fluido do tanque e o sensor que mede a temperatura T3 É intuitivo que deva existir um período de tempo seguindose a uma variação em T1 durante o qual não se verifica qualquer modificação em T3 pois o fluido leva um certo tempo para se deslocar ou se transportar da saída do tanque até o sensor A esse intervalo de tempo relacionado com o transporte de massa ou energia de um ponto a outro do processo e durante o qual a perturbação ainda não chegou ao ponto observado dáse o nome de atraso de transporte tempo morto atraso puro dead time ou pure time delay θ Atrasos puros ocorrem quando há um fenômeno de transporte de material ou energia por exemplo distância entre o ponto de medição e o ponto onde a variável efetivamente se manifesta malhas de reciclo ou atrasos associados com a análise da composição química de certos componentes do processo ou há um R Processo de ordem elevada C Figura 29 Diagrama de blocos de processo de ordem elevada A curva de resposta de um sistema estável de ordem superior é a soma de um certo número de curvas exponenciais e curvas senoidais amortecidas Componentes de decaimento rápido têm significância somente na parte inicial da resposta transitória Devese enfatizar a diferença que ocorre na resposta em um sistema multicapacitivo cujas capacitâncias sejam isoladas ou não Mostrase na figura 210 a resposta ao degrau unitário para n 2 n 10 e n atrasos de transferência em série com as capacitâncias isoladas todos com a mesma constante de tempo τ 1 Figura 210 Resposta ao degrau unitário para n 2 n 10 e n atrasos de transferência em série com as capacitâncias isoladas Na figura 210 quando n 2 a resposta do sistema é rápida quando n 10 ela se torna bem mais lenta e com um formato acentuado em S e por fim quando n a resposta do sistema assume apenas dois valores 0 ou 1 assemelhandose a um sistema do tipo tudo ou nada onoff Observe ainda que conforme o número das capacitâncias isoladas cresce a resposta do sistema se aproxima cada vez mais da resposta do tempo morto A figura 211 mostra a resposta ao degrau unitário de um sistema com n 2 e n 3 capacitâncias interativas Figura 211 Resposta ao degrau unitário para n 2 e n 3 atrasos de transferência em série com as capacitâncias interativas Constatase através da análise da figura 211 que a diferença na resposta para n 2 e n 3 é muito pequena a curva que se inicia por cima da outra corresponde à curva para n 2 Mesmo com n 10 a resposta seria muito parecida com a da figura 211 Shinskey 1988 Os sistemas interativos simulados são circuitos RC conforme mostrado na figura 212 Figura 212 Circuitos RC utilizados para simular as respostas apresentadas na figura 211 As funções de transferência que descrevem cada um desses circuitos são Para n 2 Vc2sVs 1 τ1 τ2 s² τ1 τ2 R1 C2 s 1 Para n 3 Vc3sVs 1 A s³ B s² C s 1 sendo A τ1 τ2 τ3 B τ1 τ2 τ1 τ3 τ2 τ3 R1 C2 τ3 R2 C3 τ1 C τ1 τ2 τ3 R1 C3 R1 C2 R2 C3 onde τ1 R1 C1 τ2 R2 C2 τ3 R3 C3 Os valores utilizados dos resistores e capacitores foram todos unitários Verificase que a diferença na resposta entre os sistemas com capacitâncias isoladas e interativas se acentua quando o número de atrasos de transferência em série cresce Já no caso das capacitâncias interativas normalmente diversos atrasos iguais se convertem em atrasos nãointerativos um grande e os demais pequenos O atraso grande se torna a constante de tempo dominante enquanto os pequenos atrasos restantes se combinam para formar algo que se assemelhe ao tempo morto Como regra geral processos multicapacitivos contém uma interação natural Assim processos multicapacitivos podem geralmente ser reduzidos a um tempo morto e um atraso de transferência de 1ª ordem cuja resposta ao degrau é mostrada na figura 213 Shinskey 1988 Figura 213 Resposta ao degrau de processos multicapacitivos Mesmo no caso de processos multicapacitivos nãointerativos verificase que se pode aproximálos por um tempo morto mais um atraso de transferência de 2ª ordem Nesses casos a ordem do sistema é reduzida de n para 2 correspondendo aos dois pólos dominantes somandose a isso o atraso dos outros pólos Assim Seborg et al 1989 Gs K1 sτ₁1 sτₙ K eθs 1 sτ₁ 1 sτ₂ onde θ Σ dei3 a n τi A dominância relativa dos pólos de malha fechada é determinada pela relação das partes reais dos pólos de malha fechada Se a relação das partes reais excede a 5 e não há zeros na vizinhança então os pólos de malha fechada mais perto do eixo j w dominarão a resposta transitória porque estes pólos correspondem a termos da resposta transitória que decaem lentamente Os pólos de malha fechada que têm efeito dominante sobre o comportamento da resposta transitória são chamados pólos dominantes Frequentemente os pólos de malha fechada dominantes ocorrem na forma de pares complexos conjugados Os pólos de malha fechada dominantes são os mais importantes entre os pólos de malha fechada 22 MÉTODO ANALÍTICO DE OBTENÇÃO DE MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS Há três estágios para gerar analiticamente um modelo matemático e simulálo Cannon 1967 A Especificar o sistema e imaginar um modelo físico cujo comportamento se ajuste suficientemente bem ao comportamento do sistema real Neste estágio as simplificações são assumidas e as variáveis de entrada e saída são escolhidas B Derivar um modelo matemático para representar o modelo físico isto é escrever as equações de movimento do modelo físico Para tanto as leis físicas apropriadas são aplicadas para gerar um conjunto de equações diferenciais ordinárias nas variáveis de entrada e saída Neste curso a palavra movimento será usada em um contexto geral para denotar a variação de qualquer variável física deslocamento velocidade tensão corrente pressão vazão temperatura fluxo de calor etc C Tendose disponível o modelo matemático obtido analiticamente podese estudar seu comportamento dinâmico através da solução das equações diferenciais de movimento que o descrevem Descrevemse a seguir maiores detalhes a respeito dos estágios citados acima 221 Estágio A Modelamento Físico do Sistema Real ao Modelo Físico Um modelo físico significa um sistema físico imaginário que se assemelha ao sistema real em suas características mais marcantes mas que é mais simples uma idealização e portanto é mais propício ao estudo A habilidade para simplificar a ponto de não invalidar o modelo é o ponto crucial em sua elaboração Os seguintes tipos de aproximação são passíveis de utilização na maioria dos problemas Cannon 1967 DESPREZAR PEQUENOS EFEITOS Reduz o número de variáveis e consequentemente o número e a complexidade das equações de movimento Exemplo assumir em um circuito elétrico que seus componentes sejam puramente resistivos indutivos ou capacitivos desprezando por exemplo a pequena indutância existente nos resistores ASSUMIR QUE O AMBIENTE EM TORNO DO SISTEMA NÃO SEJA AFETADO POR ELE AMBIENTE INDEPENDENTE Reduz a complexidade das equações de movimento Por exemplo é comum em problemas elétricos assumir que a corrente ou tensão fornecidas por uma fonte independe do comportamento do restante do circuito fonte ideal SUBSTITUIR CARACTERÍSTICAS DISTRIBUÍDAS POR CONCENTRADAS Resulta em um modelo matemático representado por equações diferenciais ordinárias ao invés de equações diferenciais parciais Exemplo ao se considerar o problema de uma barra engastada em uma parede com uma massa m colocada em sua extremidade livre a opção mais simples é considerar a massa da barra desprezível perante a massa m Por outro lado se essa hipótese conduz a uma aproximação que se afasta da realidade um modelo melhor é obtido se a massa distribuída da barra é representada por um número de massas concentradas separadas por barras sem massa Ao incrementar o número de massas usadas no modelo a aproximação pode se aproximar da realidade tanto quanto se desejar muito embora a complexidade do modelo aumente ASSUMIR RELAÇÕES LINEARES DE CAUSAEEFEITO ENTRE VARIÁVEIS FÍSICAS Uma equação diferencial ordinária linear tem a seguinte forma An dⁿxdtⁿ An₁ dⁿ¹xdtⁿ¹ A₂ d²xdt² A₁ dxdt A₀x Bn dⁿydtⁿ Bn₁ dⁿ¹ydtⁿ¹ B₂ d²ydt² B₁ dydt B₀y ft As variáveis x y etc são função exclusiva da variável independente t Os coeficientes A B etc podem variar com t mas não com x y etc O termo ft pode variar com t de qualquer maneira mas não pode envolver x y etc Nenhum produto de variáveis dependentes ou de suas derivadas pode estar presente tais como x y x² x dxdt x dydt etc Exemplo de uma equação diferencial ordinária linear 3 d²xdt² 14 dxdt sen4 t x 5 t³ Se os coeficientes A B etc são constantes a equação é dita invariante no tempo ou de coeficientes constantes Frequentemente a descrição de um sistema nãolinear pode ser aproximada por equações lineares As vantagens dessa abordagem são a análise de um sistema linear pode normalmente ser efetuada por métodos analíticos sem a necessidade de métodos numéricos e quando uma equação linear é resolvida a solução é geral valendo para todas as magnitudes do movimento Dito em outras palavras significa que as soluções podem ser superpostas Por outro lado a solução para uma equação nãolinear é válida apenas para a magnitude específica do movimento para a qual ela foi calculada Assim a compreensão do comportamento de um sistema linear é muito mais fácil do que de um sistema nãolinear Poucos elementos físicos apresentam características realmente lineares Por exemplo a relação entre força F e deslocamento x em uma mola ou entre corrente i e tensão V em um resistor são normalmente consideradas lineares muito embora na prática apresentem um comportamento nãolinear conforme ilustrado na figura 214 Qe ρe H ρ A onde ρe massa especifica do fluido na entrada ρ massa especifica do fluido no tanque Qe vazão de entrad a H altura nível do fluido no tanque Figura Ex 21 Modelo fisico para uma caixa dágua fechada Qe pe Pa H ρ Qs A Figura Ex 22 Modelo fisico para uma caixa dágua com vaão de saida 3 Seja agora a caixa dágua do exemplo 2 mas com medição da temperatura em diversos pontos do sistema conforme indicado na figura Ex 23 Qe Pa TE Tl T1 pe C T2 H A T2 ρ R T3 Qs Figura Ex 23 Modelo fisico para uma caixa dágua com vaão de saída e medições de temperatura 4 Suponha dois tanques em cascata sem interação conforme mostrado na figura Ex 24 Qe Q1 H1 H2 Q2 Figura Ex 24 Modelo físico para dois tanques em cascata sem interação 5 Suponha que o sistema real consista no amortecedor de um carro Um modelo físico possível é esquematizado na figura Ex 25 yt m b k ro do ut y onde ut perturbações externas na roda do carro yt movimentos sentidos no carro Figura Ex 25 Modelo fisico para o amortecedor de um automóvel 223 Estágio B Equações de Movimento do Modelo Físico ao Modelo Matemático Um ponto importante a ser considerado na geração das equações de um modelo é a relação das variáveis físicas i v x v etc que descrevem o estado instantâneo de um sistema Outro ponto essencial ao derivar as equações de um modelo é escrever as relações de equilíbrio para descrever o balanço de forças de vazões de energia do sistema ou então escrever relações de compatibilidade do sistema para descrever como os movimentos dos elementos do sistema estão interrelacionados devido ao modo como eles estão interconectados As relações de equilíbrio ou de compatibilidade são relações interelementos ou relações do sistema O último ponto relevante é a aplicação das leis físicas que regem o movimento dos elementos do sistema relações mecânicas entre força e movimento relações elétricas entre corrente e tensão relações eletromecânicas entre torque e campo magnético relações termodinâmicas entre temperatura pressão energia interna etc Essas relações são chamadas relações físicas constitutivas pois se referem apenas aos elementos individuais ou constitutivos do sistema Finalmente quando a seleção de variáveis as relações do sistema equilíbrio ou compatibilidade e as leis físicas relações constitutivas foram consideradas individualmente as relações resultantes são combinadas algebricamente em um conjunto compacto de equações de movimento que em última análise correspondem ao modelo desejado Resumindo ao gerar equações de movimento os seguintes passos devem ser seguidos definição das variáveis relações do sistema equilíbrio ou compatibilidade relações constitutivas para cada elemento e combinação das relações obtidas equações de movimento Podese identificar cada variável das equações de movimento com uma entidade associada com o processo Cada entidade deve ser em princípio mensurável pois algo que não pode nunca ser medido não tem normalmente um significado físico Devese esclarecer dois pontos a Definição das Fronteiras Físicas do Sistema Devese especificar claramente as fronteiras físicas de um sistema volume de controle antes de escrever suas relações de equilíbrio Dentro de um volume de controle esperase que qualquer variável física possua simultaneamente o mesmo valor em todos seus pontos Em sistemas mecânicos criase um diagrama para um corpo livre isolado e então estabelecemse as relações de equilíbrio de forças agindo em suas fronteiras Em redes elétricas devese identificar junções isoladas antes de aplicar a Lei da Corrente de Kirchhoff Em fluidodinâmica e termodinâmica devese imaginar uma superfície precisa de controle e medir o fluxo de massa energia e quantidade de movimento em suas fronteiras b Origem das Relações Constitutivas As relações constitutivas dos elementos individuais do sistema são puramente empíricas Assim a relação entre força e deslocamento em uma mola ou a relação entre corrente e tensão em um resistor não são deduzidas de nenhum princípio básico da Física sendo determinadas experimentalmente em estudos sobre relações de causaefeito A validação de modelos é freqüentemente um teste da adequação das equações constitutivas visto que as equações do sistema são universais 224 Exemplos de Obtenção de Equações de Movimento 1 Tomandose o exemplo 1 do item 222 resulta o seguinte modelo matemático EQUAÇÃO DE SISTEMA Balanço de massa dmdt ρA dHdt ρeQe lembrando que m ρAH Assumemse as seguintes simplificações a massa específica ρ da água é constante e ρ ρe e desprezamse dilatações térmicas nas paredes do tanque assumindose a sua área A como constante EQUAÇÃO DE MOVIMENTO dHdt QeA equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem A função de transferência resultante é Gs Hs Qes 1 As 2 Tomandose agora o exemplo 2 do item 222 resulta o seguinte modelo matemático EQUAÇÃO DO SISTEMA Balanço de massa dmdt ρA dHdt ρeQe ρ Qs 1 equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem Caso se assuma ρρe a equação 1 pode ser reescrita como A dHdt Qe Qs 1A A análise da equação 1A revela os seguintes fatos parâmetro do sistema A condições de contorno variáveis externas que devem ser fornecidas em função do tempo para que o sistema tenha solução Qet e Qst incógnita Ht condição inicial H0 e caso se tome dHdt 0 temse o modelo estacionário Caso seja colocada uma válvula na tubulação de saída da caixa dágua conforme mostrado na figura Ex 26 o modelo resultante é exposto a seguir Figura Ex 26 Modelo físico para o caso da caixa dágua com uma válvula na saída A única equação descrevendo o sistema continua sendo a 1 balanço de massa No entanto agora não se fornece mais como condição de contorno a vazão de saída Qs mas a pressão à jusante da válvula Pj Portanto a equação 1 passa a apresentar duas incógnitas H e Qs Surge então uma equação constitutiva que descreve a vazão por uma válvula como função da perda de pressão carga através dela Esta equação pode assumir a forma linear ou quadrática dependendo do escoamento ser respectivamente laminar ou turbulento Mostramse abaixo as duas possibilidades muito embora na prática a grande maioria dos casos se refira a escoamentos turbulentos a Escoamento laminar EQUAÇÃO CONSTITUTIVA Qs Cv ΔP Cv Pm Pj O parâmetro Cv é uma característica da válvula sendo fornecido pelo fabricante da mesma Ao escrever a equação 2 introduziuse uma nova incógnita Pm a qual é solucionada através da introdução de uma segunda equação constitutiva Pm Pa ρ g H Substituindo 3 em 2 resulta Qs Cv Pa ρ g H Pj EQUAÇÃO DE MOVIMENTO Substituindo 4 em 1A e assumindose Pa Pj dHdt Qe Cv ρ g H A equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem Sua função de transferência é dada por GHs Hs Qes 1 A s Cv ρ g KH 1 s τH sistema de 1ª ordem onde KH 1 Cv ρ g τH A Cv ρ g b Escoamento turbulento EQUAÇÃO CONSTITUTIVA Qs Cv Pm Pj A equação 6 não provém de nenhum princípio básico da física mas foi obtida experimentalmente sendo portanto uma equação constitutiva Temse 3 equações 1A 3 e 6 e 3 incógnitas H Qs e Pm EQUAÇÃO DE MOVIMENTO Para gerar a equação de movimento devese substituir as equações constitutivas 3 e 6 na equação do sistema 1A resultando em uma única equação diferencial dHdt Qe Cv Pa ρ g H Pj A equação diferencial ordinária nãolinear de 1ª ordem Resulta parâmetros Cv g e A variáveis externas a serem fornecidas Qet Pat e Pjt incógnita Ht condição inicial a ser fornecida H0 3 O modelo matemático para cálculo da temperatura no tanque do exemplo 3 do item 222 é apresentado abaixo EQUAÇÃO DO SISTEMA Caso se suponha que Qe Qs Q resulta que a massa no interior do tanque não se altera e portanto o balanço de massa não é necessário Balanço de energia dm cp T2 ρe Q cp T1 ρ Q cp T2 onde cp calor específico do fluido suposto constante Supondo que a massa específica do fluido não se altere fluido incompressível e que portanto ρe ρ resulta dT2dt Q V T1 T2 equação diferencial ordinária linear de 1ª ordem GTs T2sT1s QV s QV 1 1 s τT sistema de 1ª ordem onde τT VQ 4 O modelo matemático assumindo sistema linear para cálculo da variação do nível no segundo tanque para variações da vazão de entrada no primeiro tanque do exemplo 4 do item 222 é apresentado abaixo SUPONDO ESCOAMENTO LAMINAR Para o 1º tanque dH1dt Qe Q1 A1 onde Q1 Cv1 Pa ρ g H1 Pj Para o 2º tanque dH2dt Q1 Q2 A2 onde Q2 Cv2 Pa ρ g H2 Pj Neste caso a função de transferência resultante corresponde ao produto da função de transferência de cada tanque conforme mostrado na figura Ex 27 A função de transferência resultante é indicada a seguir GHs GH1 GH2 H1s Qes H2s Q1s KH1 1 s τH1 KH2 1 s τH2 SUPONDO ESCOAMENTO TURBULENTO Para o 1º tanque dH1dt Qe Q1 A1 onde Q1 Cv1 Pa ρ g H1 Pj Para o 2º tanque dH₂dt Q₁ Q₂A₂ onde Q₂ Cᵥ₂ Pₐ ρ g H₂ Pⱼ 5 Tomandose o exemplo 5 do item 222 resulta o seguinte modelo matemático escolheuse yt de forma que y 0 quando u 0 e m está em equilíbrio estático sob a força da gravidade Dessa maneira a ação do peso m g já fica implicitamente considerada assumindo que m g cause uma deflexão δ permanente na mola Assim m g k δ Figura Ex 28 Diagrama de corpo livre para o exemplo do amortecedor do automóvel RELAÇÕES DO SISTEMA Balanço de Forças relação de equilíbrio Estático P Fₖestática Dinâmico Fᵢ P Fₐ Fₖ Mas Fₖestática k δ m g P RELAÇÕES CONSTITUTIVAS Fᵢ m ÿ Fₐ b ů ẏ Fₖ k u y δ onde a taxa de compressão do amortecedor é ůt ẏt e a aceleração de m é ÿt EQUAÇÃO DE MOVIMENTO m ÿ m g b ů ẏ k u y δ Mas lembrando que k δ m g o peso e a compressão estática da mola se compensam de modo que a força da gravidade não afeta o equilíbrio dinâmico resulta m ÿ b ů ẏ k u y 48 Modelagem e Simulação de Processos Industriais e de Sistemas Eletromecânicos Este mesmo resultado pode ser obtido sem usar as equações de Newton mas empregando as equações de Lagrange que ao invés de trabalhar com forças e deslocamentos utiliza expressões envolvendo a energia cinética e potencial e o trabalho A equação de Lagrange é dada por Cannon 1967 ddt Tqᵢ Tqᵢ Uqᵢ Qᵢ i 1n onde T energia cinética do sistema U energia potencial do sistema qᵢ coordenadas independentes do sistema Qᵢ forças generalizadas sendo dado por Qᵢ δWᵢδqᵢ onde δWᵢ trabalho feito no sistema por todas as forças externas durante o deslocamento δqᵢ δqᵢ deslocamento virtual infinitesimal No caso em questão mostrase na figura Ex 29 o sistema e suas fronteiras que devem incluir apenas os elementos armazenadores de energia colocando os elementos dissipativos atrito fora das fronteiras do sistema Cannon 1967 Figura Ex 29 Fronteiras do sistema para aplicação da equação de Lagrange As expressões para a energia são dadas por T 12 m ẏ² U 12 k u y² Reportandose à equação de Lagrange verificase que neste caso i e q₁ y Portanto Tẏ m ẏ ddt Tẏ m ÿ Ty 0 Uy k u y 1 Qᵧ δWᵧδy Fb onde Fb b ů ẏ Resulta m ÿ k u y b ů ẏ m ÿ b ẏ k y b ů k u Tratase de uma equação diferencial ordinária linear de 2ª ordem Sua função de transferência é dada por Gs YsUs b s k m s² b s k sistema de 2ª ordem 225 Estágio C Comportamento Dinâmico Simulação do Modelo Matemático A análise do comportamento dinâmico do sistema implica em verificar como as variáveis de interesse respondem no tempo Para realizar esse estudo há duas alternativas possíveis a encontrar a solução das equações de movimento que descrevem a resposta temporal do sistema utilizando métodos analíticos ou b realizar a integração das equações de movimento do sistema empregando métodos numéricos de integração A execução da opção a acima somente é possível se o sistema de equações resultante for linear devido ao que foi exposto na seção 14 Para executar a opção b podese trilhar dois caminhos ou se usa uma linguagem de simulação ou se desenvolvem algoritmos próprios de integração numérica de sistemas de equações diferenciais ordinárias Para simular um sistema é necessário disporse dos seguintes elementos equação descritiva das variáveis de entrada em função do tempo valor dos parâmetros do modelo e valor das condições iniciais das variáveis de interesse incógnitas As equações diferenciais exigem valores numéricos para as condições de contorno O número de condições de contorno é igual à ordem da equação Em particular os valores de contorno das variáveis dependentes para o valor inicial da variável independente são chamados de condições iniciais 226 Exemplos de Simulação de Sistemas 1 A simulação do exemplo 1 citado nos itens 222 e 224 é realizada a seguir mostrando seu comportamento dinâmico A resposta ao degrau é mostrada na figura Ex 210 Figura Ex 210 Resposta a degrau na vazão de entrada do nível em caixa dágua fechada Resulta um sistema integrador 2 O comportamento dinâmico dos casos apresentados no exemplo 2 dos itens 222 e 224 é mostrado nas curvas mostradas abaixo ESCOAMENTO LAMINAR Resposta a degrau em Qᵉ que muda de Qᵉ049 m³s suficiente para manter o nível inicial H0 em 1 m para Qᵉ20 m³s Assumemse os seguintes valores para os parâmetros do sistema ρ1000 kgm³ g98 ms² Cv00005 m³ sPa A10 m² PₐPⱼ100000 Pa Obs Se o valor de Cv mostrado acima for convertido para a unidade que os fabricantes normalmente o fornecem gpmpsi resulta em Cv 658 que equivale a uma válvula globo de sede simples de aproximadamente 8 polegadas de diâmetro nominal Sabese que Cv 7598010⁷ Cv gpmpsi A resposta temporal neste caso é dada por Ht Kₕ U 1 etτₕ H₀ A simulação desse sistema é mostrada na figura Ex 211 Figura Ex 211 Resposta a degrau na vazão de entrada do nível em caixa dágua com fluxo de saída suposto laminar regulado por uma válvula Resulta um sistema de 1ª ordem ESCOAMENTO TURBULENTO Resposta a degrau em Qᵉ que muda de Qᵉ0 495 m³s suficiente para manter o nível inicial H0 em 1 m para Qᵉ 20 m³s Assumemse os seguintes valores para os parâmetros do sistema ρ 1000 kgm³ g 98 ms² Cv 005 m³ sPa A 10 m² Pₐ Pⱼ 100000 Pa A simulação resultante é mostrada na figura Ex 212 Figura Ex 212 Resposta a degrau na vazão de entrada do nível em caixa dágua com fluxo de saída suposto turbulento regulado por uma válvula Executando outra simulação mostrada na figura Ex 213 assumindose um degrau negativo em Qᵉ que muda de Qᵉ0 00443 m³s suficiente para manter o nível inicial H0 em 5 m para Qᵉ 002 m³s Os novos valores para os parâmetros são ρ 1000 kgm³ g 98 ms² Cv 00002 m³ sPa A 3 m² Pₐ Pⱼ 100000 Pa Gráfico de H t para escoamento turbulento Hm 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000 ts Figura Ex 213 Resposta a degrau negativo na vazão de entrada do nível em caixa dágua com fluxo de saída suposto turbulento regulado por uma válvula Constatase que o nível no tanque sofre uma redução gradual ao longo de 2000 segundos e se estabiliza então em cerca de 1 m 3 A simulação do caso apresentado no exemplo 3 dos itens 222 e 224 é mostrada a seguir A resposta temporal de T₂ T₃ e T₁ a um degrau com amplitude A em T₁ é mostrada na figura Ex 214 supondo que todos apresentem condições iniciais nulas T1 A t T₂ A t T₃ θ A t T₁ θ A t Figura Ex 214 Resposta a degrau na temperatura de entrada das temperaturas T₂ T₃ e T₁ do tanque com vazão de saída e variações de temperatura Caso se suponha b pequeno temse um par de pólos conjugados complexos σ jw cuja resposta corresponde a uma senóide amortecida A resposta temporal implicaria em realizar a antitransformada de Laplace da função de transferência do sistema Realizando a simulação do sistema empregando métodos numéricos de integração para uma entrada em degrau partindo de condições quiescentes resulta a figura Ex 216 Gráfico de y versus t para b pequeno ym 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 10 20 30 40 50 60 ts Figura Ex 216 Resposta a degrau na entrada do sistema que modela um amortecedor de automóvel para b02 Resulta um sistema de 2ª ordem subamortecido Na simulação que gerou a figura Ex 216 os valores utilizados para os parâmetros foram m 1 b 02 e k 1 A amplitude do degrau de entrada A foi 5 A análise da figura Ex 216 revela que a resposta é uma senóide amortecida e como o ganho em regime estacionário deste sistema é unitário resulta que para t a saída iguala a entrada y 5 Mostrase a seguir nas figuras Ex 217 a Ex 219 a resposta ao degrau desse sistema para outros valores do coeficiente de atrito viscoso b b 05 15 e 5 Gráfico y versus t para b médio ym 0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 10 20 30 40 50 60 ts Figura Ex 217 Resposta a degrau na entrada do sistema que modela um amortecedor de automóvel para b05 Gráfico de y versus t para b grande ym 6 5 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 ts Figura Ex 218 Resposta a degrau na entrada do sistema que modela um amortecedor de automóvel para b 15 Gráfico de y versus t para b muito grande ym 5 45 4 35 3 25 2 15 1 05 0 0 10 20 30 40 50 60 ts Figura Ex 219 Resposta a degrau na entrada do sistema que modela um amortecedor de automóvel para b 5 227 Classificação das Variáveis Físicas As variáveis físicas podem ser classificadas em variáveis T through ou A across Shearer et al 1971 Variáveis T medem a transmissão de algo através de um elemento corrente através de um resistor vazão através de um duto força através de uma mola etc Variáveis A medem a diferença no estado entre as extremidades de um elemento como a queda de tensão entre os terminais de um resistor a queda de pressão entre as extremidades de um duto a diferença de velocidade entre as extremidades de um amortecedor etc As variáveis A são também conhecidas como variáveis de dois pontos por serem definidas através da diferença entre quantidades em dois pontos ao passo que as variáveis T são conhecidas como variáveis de um ponto Relações de equilíbrio são entre variáveis T e são também chamadas de relações nodais de vértice de continuidade ou de fluxo Exemplo Lei da Corrente de Kirchhoff em um nó continuidade de vazão de um fluido balanço de massa equilíbrio de forças em um ponto etc Relações de compatibilidade são sempre relações entre variáveis A e são também conhecidas como relações de malha arco caminho ou de conectividade Exemplo Lei da Tensão de Kirchhoff queda de pressão entre as partes de um sistema fluídico etc Relações constitutivas ocorrem entre variáveis A e T de cada elemento físico individual como f k x para uma mola V R i para um resistor Q k AP para uma restrição na tubulação etc 228 Concepção de Modelos Teóricos Para conceber modelos nas diversas áreas da Engenharia os seguintes pontos devem ser considerados a Engenharia Mecânica Leis de Newton equilíbrio de forças e momentos leis particulares relações de atrito equações de mola etc b Engenharia Elétrica Leis de Kirchhoff leis particulares relações tensão corrente em componentes resistor capacitor indutor relações de ganho em amplificadores equações de torque fluxo magnético em motores etc c Engenharia Química Equações de balanço princípios de conservação de massa energia e momentum leis particulares equação dos gases perfeitos cinética de reações leis da termodinâmica etc 23 RELAÇÃO ENTRE EQUAÇÕES DE MOVIMENTO E EQUAÇÕES DE ESTADO Nesta seção delineiase a relação que existe entre equações de movimento e equações de estado 231 Espaço de Estados Definemse a seguir estado variáveis de estados vetor de estados e espaço de estados Ogata 1993 O estado de um sistema dinâmico é o menor conjunto de variáveis chamadas variáveis de estado tal que o conhecimento destas variáveis em t t0 junto com o conhecimento da entrada para t t0 determina completamente o comportamento do sistema para qualquer instante t t0 As variáveis de estado de um sistema dinâmico são as variáveis que constituem o menor conjunto de variáveis que determinam o estado do sistema Notar que as variáveis de estado não necessitam ser grandezas fisicamente mensuráveis ou observáveis Praticamente falando no entanto é conveniente escolher grandezas facilmente mensuráveis O vetor de estado é composto pelas variáveis de estado necessárias para descrever completamente o comportamento de um dado sistema O espaço ndimensional cujos eixos coordenados consistem nos eixos formados pelas variáveis de estado é chamado de espaço de estados ou espaço de fase No caso particular do sistema ser de 2ª ordem o espaço de fase é bidimensional e é conhecido como plano de fase Na análise por espaço de estados se está interessado em três tipos de variáveis que estão envolvidas no modelamento de sistemas dinâmicos variáveis de entrada variáveis de saída e variáveis de estado A representação por espaço de estados de um dado sistema não é única exceto que o número de variáveis de estado é o mesmo para qualquer das diferentes representações Considere o sistema dinâmico mostrado na figura 215 Ogata 1993 ut Sistema yt Figura 215 Sistema dinâmico com entradas e saídas múltiplas Admita que haja r entradas u1t u2t urt m saídas y1t y2t ymt e que haja n variáveis de estado x1t x2t xnt Então o sistema pode ser descrito por x1t f1x1 x2 xn u1 u2 ur t x2t f2x1 x2 xn u1 u2 ur t xnt fnx1 x2 xn u1 u2 ur t As saídas do sistema podem ser dadas por y1t g1 x1 x2 xn u1 u2 ur t y2t g2 x1 x2 xn u1 u2 ur t ymt gm x1 x2 xn u1 u2 ur t