Espaço de Estados

Prova Exemplo Representação no Espaço de Estados Questão 1 Para o sistema abaixo a Obter o diagrama de simulação b Achar a função de transferência c Obter a representação na forma canônica observável d Obter a representação na forma canônica de Jordan Questão 2 Para o sistema da Questão 1 considerando as condições iniciais e a Obter a solução da equação homogênea dos estados b Obter os estados considerando a entrada como um impulso e as condições iniciais nulas Questão 3 Para o sistema abaixo Verificar se o sistema é de estado observável x1 x2 0 1 2 3 x1 x2 0 1 u y 1 0 x1 x2 Fs Ys Us x10 1 x20 1 x1 x2 x3 0 1 0 0 0 1 6 11 6 x1 x2 x3 0 0 1 u y 1 1 0 x1 x2 x3 EXEMPLO DE PROVA Questão 1 O sistema é dado pelas seguintes equações de espaço de estados 𝑥1 𝑥2 𝑥2 2𝑥1 3𝑥2 𝑢 𝑦 𝑥1 a Diagrama de Simulação b Função de Transferência Fs Ys Us Para encontrar a função de transferência podemos usar a Transformada de Laplace 𝑠𝑋1𝑠 𝑋2𝑠 𝑠𝑋2𝑠 2𝑋1𝑠 3𝑋2𝑠 𝑈𝑠 𝑌𝑠 𝑋1𝑠 Substituindo 𝑋2𝑠 𝑠𝑋1𝑠 na segunda equação 𝑠2𝑋1𝑠 2𝑋1𝑠 3𝑠𝑋1𝑠 𝑈𝑠 𝑠2 3𝑠 2𝑋1𝑠 𝑈𝑠 Ou 𝑌𝑠 𝑈𝑠 𝑠2 3𝑠 2 Portanto a função de transferência é 𝐹𝑠 𝑌𝑠 𝑈𝑠 1 𝑠2 3𝑠 2 c Representação na Forma Canônica Observável A forma canônica observável é dada por 𝑥 𝐴𝑥 𝐵𝑢 𝑦 𝐶𝑥 Para um sistema com função de transferência 𝐹𝑠 𝑏0 𝑠2𝑎1𝑠𝑎0 as matrizes são 𝐴 𝑎1 1 𝑎0 0 𝐵 0 𝑏0 𝐶 1 0 No caso 𝐹𝑠 1 𝑠23𝑠2 logo 𝑎1 3 𝑎0 2 e 𝑏0 1 Portanto 𝐴 3 1 2 0 𝐵 0 1 𝐶 1 0 Assim a representação na forma canônica observável é 𝑥 3 1 2 0 𝑥 0 1 𝑢 𝑦 1 0𝑥 d Representação na Forma Canônica de Jordan Os autovalores são as raízes do polinômio característico que é o denominador da função de transferência 𝑠2 3𝑠 2 0 Fatorando temos 𝑠 1𝑠 2 0 Portanto os autovalores são 𝑠1 1 𝑠2 2 Matriz A na Forma de Jordan Como temos autovalores distintos a matriz A na forma de Jordan é uma matriz diagonal com os autovalores na diagonal 𝐴𝑗 1 0 0 2 Matriz de Transformação T A matriz de transformação T é composta pelos autovetores da matriz A original Para o autovalor 1 0 1 2 3 𝑣 1𝑣 𝑣1 𝑣2 𝑣1 𝑣1 𝑣2 2 O autovetor é 05 1 Para o autovalor 2 0 1 2 3 𝑣 2𝑣 𝑣2 2𝑣1 O autovetor é 05 1 Assim temos como matriz de transformação 𝑇 05 1 05 1 Com isso transformamse as matrizes B e C 𝐵𝑗 𝑇1𝐵 𝐶𝑗 𝐶𝑇 Assim 𝑇1 05 1 05 1 𝐵𝑗 05 05 𝐶 05 05 Portanto a forma canônica de Jordan é 𝑥 1 0 0 2 𝑥 05 05 𝑢 𝑦 05 05𝑥 Questão 2 a Solução da Equação Homogênea dos Estados A equação homogênea é 𝑥 𝐴𝑥 onde 𝐴 0 1 2 3 A solução geral é da forma 𝑥𝑡 𝑐1𝑣1𝑒𝜆1𝑡 𝑐2𝑣2𝑒𝜆2𝑡 onde λ1 e λ2 são os autovalores v1 e v2 são os autovetores correspondentes e c1 e c2 são constantes Já foram calculados λ1 1 λ2 2 𝑣1 05 1 e 𝑣2 05 1 Assim 𝑥𝑡 𝑐105 1𝑒𝑡 𝑐205 1𝑣2𝑒2𝑡 Usando as condições iniciais x10 1 e x20 1 para encontrar c1 e c2 temos 𝑥10 05𝑐1 05𝑐2 1 𝑥12 𝑐1 𝑐2 11 Resolvendo o sistema de equações encontramos c1 3 e c2 2 Assim a solução é 𝑥𝑡 305 1𝑒𝑡 205 1𝑣2𝑒2𝑡 Em outra forma 𝑥1𝑡 15𝑒𝑡 𝑒2𝑡 𝑥2𝑡 3𝑒𝑡 2𝑒2𝑡 b Estados com Entrada como Impulso e Condições Iniciais Nulas Para uma entrada de impulso ut δt a transformada de Laplace é Us 1 A solução no domínio de Laplace é 𝑋𝑠 𝑠𝐼 𝐴1𝐵𝑈𝑠 No caso temos 𝑠𝐼 𝐴 𝑠 0 0 𝑠 0 1 2 3 𝑠 1 2 𝑠 3 Obtendo a inversa pela razão entre a matriz adjunta e o determinante e lembrando que a matriz adjunta é transposta da matriz cofatora temos 𝑠𝐼 𝐴1 1 𝑠2 3𝑠 2 𝑎𝑑𝑗 𝑠 1 2 𝑠 3 1 𝑠2 3𝑠 2 𝑠 3 1 2 𝑠 𝐵 0 1 𝑈𝑠 1 Logo 𝑋𝑠 1 𝑠2 3𝑠 2 1 𝑠 Assim 𝑋1𝑠 1 𝑠2 3𝑠 2 1 𝑠 1𝑠 2 1 𝑠 1 1 𝑠 2 𝑋1𝑠 𝑠 𝑠2 3𝑠 2 𝑠 𝑠 1𝑠 2 1 𝑠 1 2 𝑠 2 Aplicando a transformada inversa de Laplace 𝑥1𝑡 𝑒𝑡 𝑒2𝑡 𝑥2𝑡 𝑒𝑡 2𝑒2𝑡 Questão 3 O sistema é dado por 𝑥1 𝑥2 𝑥2 𝑥3 𝑥3 6𝑥1 11𝑥2 6𝑥3 𝑢 𝑦 𝑥1 𝑥2 Para verificar se o sistema é observável precisamos verificar sua matriz de observabilidade A matriz de observabilidade é definida como 𝑂 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴² Onde 𝐶 1 1 0 𝐴 0 1 0 0 0 1 6 11 6 Calculando CA e CA2 𝐶𝐴 1 1 0 0 1 0 0 0 1 6 11 6 0 1 1 𝐶𝐴2 1 1 0 0 1 0 0 0 1 6 11 6 0 1 0 0 0 1 6 11 6 0 1 1 0 1 0 0 0 1 6 11 6 6 11 5 Agora formamos a matriz de observabilidade 𝑂 𝐶 𝐶𝐴 𝐶𝐴² 1 1 0 0 1 1 6 11 5 Calculando o determinante da Matriz de Observabilidade det𝑂 5 6 11 11 11 0 Como o determinante da matriz de observabilidade é 0 a matriz tem posto menor que 3 Portanto o sistema não é observável