Lista 1 - Análise Matemática 2022 2

LISTA 1 LISTA 2 Ex 1 Sejam X um conjunto ordenado S X um subconjunto não vazio e α X um elemento qualquer a Mostre que existe sup S e α sup S se e somente se as seguintes condições são satisfeitas i x α para todo x S ii se γ X e x γ para todo x S então α γ b Formule e prove uma versão para o infinito Ex 4 Seja A R um subconjunto não vazio a Mostre que existe sup A e α sup A se e somente se as seguintes condições são satisfeitas i x α para todo x A ii para todo ε 0 existe x A tal que α ε x α b Formule e prove uma versão para o infinito LISTA 3 Ex 8 Sejam A e B subconjuntos não vazios de números reais positivos Define o conjunto A B x x A e y B Mostre o seguinte a Se A e B são limitados superiormente então A B é limitado superiormente e supA B sup Asup B b Se A e B são limitados inferiormente então A B é limitado inferiormente e infA B inf Ainf B Ex 12 Seja I a b com a b e seja δ 0 Se b a δ e c I então I c δ c δ b se para todo x A temos x α e para todo y B temos y b para todo z z y e α b então z α b Portanto A B é limitado inferiormente A condição i diz que α é cota superior de S enquanto ii afirma que qualquer outra cota superior de S deve ser maior do que ou igual a α Isto significa que α é a menor das cota superiores de S ou seja α sup S b β inf S se e somente se as seguintes condições são satisfeitas 1 Para todo x S temse β x 2 Se x X λx β para todo x S então β a maior das cota inferiores de S Ex 16 Suponha que b Pq ℚ com p e q primos entre si Elevando os quadrados encontramos que 6 p²q² 6q² p² Agora note que q² possui um número ímpar de fatores primos iguais a 2 enquanto que p² possui um número par de fatores primos iguais a 2 Portanto a igualdade 6q² p² não pode ocorrer visto implica então que 6 ℚ Agora se 2 3 n1 com n ℚ então elevado ao quadrado ambos os membros da equação e isolando 6 encontramos que 6 n² 52 Mas como n ℚ n² 52 ℚ Assim 6 ℚ isto é absurdo logo 2 3 ℚ Analogamente se a b n1 com n ℚ então elevado ao quadrado ambos os membros da equação e isolando ab encontramos que m n² ab2 Mas como n ℚ n² ab2 ℚ isto é absurdo logo a b ℚ Ex 23 Sabemos que para qualquer conjuntos A B ℝ afirmam que sup A inf B é equivalente a x y x A y B Assim para mostrar que sup inf fx3 inf sup fx3 x X y Y arbitrários porém fixos É suficiente mostrar que inf fx3 sup fx3 Para isto sejam x K e y Y arbitrários É claro que inf fx3 fx3 O ínfimo é sempre menor que qualquer elemento do conjunto Também temos que fx3 sup fx3 o supremo é sempre maior que qualquer elemento do conjunto Portanto x x3 X Y vale que inf fx3 sup fx3 Ex 26 Veja primeiro que x 0 pois se fosse x 0 então 12a1 a1 e como za a1² isto implica que a a2 o que é absurdo Agora como a1 z a z já quais forem a1 z ℝ veja que z a a2 z a L Veja que 1x 1a a zz1a² Da desigualdade z a ha² obtivemos que 2zaa² h Assim para mostrar que 1x 1a h é suficiente mostrar que a z 2z aa² 1x 2a x a Obs No primeiro usamos que z a 0 mas é clara que se z a 0 x a 1x 1a 0 h seja qual for o h 0 De volta a questão suponha que Σ3n Como limxn3n a dado ε 0 existe n0 ℕ tal que n n0 então a ε2 xn3n a ε2 a ε2 3n xn e xn a ε2 3n Somando as nn0 desiguldades membro a membro obtemos a ε2 3n0 3n01 3n xn0 xn01 xn e xn0 xn01 xn a ε2 3n0 3n01 3n o que implica que a ε2 a ε2 Agora por um lado xn xn x1 xn1 xn z1 xn x1 xn α a ε2 Combinando o falos obtidos acima vemos que a ε2 lim x1 xn3n α ε2 Agora como Σ3n e x1 xn1 é constante tornando o limite na desigualdade acima obtemos a ε2 lim x1 xn3n a ε2 Como ε 0 foi escolhido arbitrariamente isto implica que lim x1 xn3n a Ex 20 Seja xn xn1 xn e yn 3n1 3n como 3n é crescente yn 0 para todo n ℕ Se lim xn1xn L então um raciocínio análogo ao de a mostra que xn k cn onde k1 ℝ e c 1 Como c L lim cn L o que segue que xn não é limitada e portanto não é convergente b Se lim xn4 L então sendo c r tal que lim xn4 c L existe n0 ℕ tal que n n0 xn4 c xn cn n n0 Como lim cn pois c L segue que xn não é limitada E portanto não convergente Ex 34 Para resolver este problema precisamos do seguinte fato se lim xn a então lim x1n xnn a Para provar este fato somos incrivelmente que a 0 Como xn é convergente existe n0 tal que xn a n ℕ Assim seja ε 0 arbitrário Existe um n0 ℕ tal que nn n0 xn ε2 Também como lim 1n 0 existe nn ℕ tal que nn 1ε Como e afirma que x é o maior valor da aderência de xnnN para todo ε0 xE e não é valor de aderência apenas uma quantidade finita de índices n E tal que xn xε Isto mostra que x é o máximo do conjunto apresentado em e É claro que para x 1 temos 1 x1 2 Suponha então que para todo k N temos 1 xk 1 assim em particular 1 xn 2 12 xn12 1 Então xn xn² é 2 Assim suponha que a fórmula dada vale para todo k 2n1 como x2n3 x2n2 x2n12 x2n1 x2n2 x2n1 x2n1 x2n1 x2n x2n12 2 lim xnk infty pois xnk k forall k Reciprocamente se lim xnk infty então para todo A 0 real existem infinitos índices xnm tais que xnk A assum A não pode ser igual ao limsup xn pois limsup xn infty