Listas 12-15 - Análise Matemática 2022 2

LISTA 12 LISTA 13 LISTA 14 LISTA 15 Lista 12 4 Sejam X Y subconjuntos de ℝ a Se x x e y então int x int y Prova Seja a int X então existe ε 0 tal que a ε a ε X Como x y segue que a ε a ε Y Portanto int x int y b intx y int x int y Prova Suponha que a intx y então existe ε 0 tal que a ε a ε X Y ou seja a ε a ε X e a ε a ε Y Logo a int x e a int y Portanto a int x int y Assim obtemos intx y int x int y Por outro lado se a int x int y então existe ε 0 tal que a ε a ε x e a ε a ε y ou seja a ε a ε x y logo a intx y e portanto int x int y intx y Portanto intx y int x int y c intXY int X int Y Exemplo 9 Sejam x y subconjuntos de ℝ Portanto x y x y Lista 13 Além disso sabemos que X x então resta mostrar que x X b X Y então X Y Prova Se a X então a é limite de uma sequência de pontos xn X Como X Y segue que a é limite de uma sequência de pontos xn Y Logo a Y e portanto X Y c XY XY Prova se a XY então a é o limite de uma sequência de pontos xn XY Logo xn X ou xn Y isto é a X ou a Y Portanto a XY implicando XY XY Por outro lado se a XY então a X e a Y Se a X então a é o limite de uma sequência de pontos xn X Logo a XY Agora se a Y então a é limite de uma sequência de pontos xn e yk Logo a XY Portanto XY XY Concluímos assim XY XY α x X próximos de xn logo existem termos 6 União Finita de conjuntos compactos é compacta Interseção arbitrária de conjuntos compactos é compacto Prova Seja F Fλ onde Fλ é um conjunto compacto λ λ se x F então x F1 compacto λ λ Como Fλ é limitado então existe κ1 tal que x κ1 x Fλ Suponha sem perda de generalidade que Fλ forma uma sequência nãodecrecente tal que F1 F2 F3 Fλ c e seja κ maxκ1 então x κ x F F1 λ λ Como Fλ é fechado λ λ sabemos que a interseção arbitrária de conjuntos fechados é um conjunto fechado então F é fechado Portanto F Fλ é um conjunto compacto Interseção de um conjunto compacto com um conjunto fechado é um conjunto compacto Prova Seja S um conjunto compacto então S é limitado e fechado Seja T um conjunto fechado então S T é um conjunto fechado Como S T S e S é limitado então S T é limitado Portanto S T é fechado e limitado ou seja S T é um conjunto compacto Lista 14 1 Se lim fx L então lim fx L xa Vale a recíproca Prova Se lim fx L então ε 0 δ 0 tal que 0 x a δ fx L ε Queremos mostrar que lim fx L ou seja ε 0 δ 0 tal que 0 x a δ fx L ε Sabemos que no conjunto dos números reais vale fx L fx L Logo ε 0 δ 0 tal que 0 x a δ fx fa ε fx fa ε Portanto lim fx fa x a 4 Sejam x ℝ f x ℝ e y ℝ tais que fx Y Sejam a X e b Y Se lim fx b lim gy c e fx b se x a e y b para todo x X a então lim gfx c x a Prova Dado ε 0 devemos encontrar um δ 0 tal que se x X e 0 x a δ então gfx c ε 0 x a δ fx b ν I Ainda temos lim gy c ou seja dado ε 0 existe δ 0 tal que y Y 0 y b δ gy c ε II Como fx Y então existe y e tal que fx y para algum x X Além disso fx b para todo x a logo b y substituindo em II esses fatos lim fxb ou seja dado η0 existe xa δ0 tal que xX 0fxaδ gybε III 0xaδ0fxbη 0xaδ0fxbηδ portanto lim gfxc xa Lista 15 1a lim fx xa solução Dizemos que lim fx se para todo A0 existe δ0 tal que xXaaδ fxA b lim fx xa solução Dizemos que lim fx se para todo A0 existe δ0 tal que xXaaδ fxA c lim fx xa solução Dizemos que lim fx se dado A0 existe δ0 tal que xXaδa fxA d lim fx xa solução Dizemos que lim fx se dado A0 existe δ0 tal que xXaδa fxA e lim fx x h lim fx x g lim fx x h lim fx x 14 o Indeterminado 00 Podemos tomar Funções f g x R tais que lim fx 0 e lim gx enquanto x a lim fgx depende de f e g Por exemplo fx 1x gx x Temos lim 1x 0 e lim x x x Mas lim fgx lim 1x 1 x o Indeterminado Basta considerar fx 2x e gx x Temos lim 2x e lim x x x Mas lim 2xx lim 2 2 x o Indeterminado Tomando fx ex temos lim ex x E tomando gx 1x temos lim 1x 0 x Mas lim ex1x e x Indeterminado infty0 7a Prova b Prova c Prova a Temos lim inf fxgx lim inf fxlim inf gx o lim inf fx lim inf gx e xa lim sup fx lim sup gx se f g xa xa Como f g o menor valor de aderência de f no ponto a é também de g ou logo obtemos lim inf fx lim inf gx xa xa Arologamente obtemos a segunda desiguldade