Prova Introdução a Lógica

Nome: Patrynie Garcia Barbosa\nRGA 201824901031\nPatrynie\nASSINATURA\n1. (1,0 ponto) Para cada proposição abaixo, diga sua verdadeira ou falsa e escreva sua negação:\n(a) Existe um número x ∈ R tal que x² = -1;\n(b) Para todo número x ∈ R tem-se x > 1 ou x² < 1;\n(c) Para todo número x ∈ R existe um número n ∈ N tal que n > x;\n(d) Existe um número n ∈ N tal que, para todo número x ∈ R tem-se n > x.\n\n0.1\n(a) ∃x ∈ K, tal que x² = -1\nx² = -1 => x = ±i\n\nVp = { x | x ∈ R ^ x² = -1 } = { i, -i } ⊆ R\n\nConclusão\nA sua negação é dada por: ∃x ∈ R tal que x² ≠ -1\n(b) ∀x ∈ R tem-se x > 1 ou x² < 1\n1 ∈ R e 1 > 1 ou 1² < 1\nFalso\nA sua negação é dada por: ∀x ∈ R tal que x < 1 ou x² > 1. 2. (1,0 ponto) Dê a negação de cada uma das propostas:\n(a) ∀x, ∃y, p(x, y) ∧ ¬q(x, y);\n(b) ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ R, 0 < |x - 2| < δ → 0 < |2x - 4| < ε.\n\n0.2\n(a) ∀x ∃y p(x, y) ∧ n q(x, y)\n¬ (∀x (∃y p(x, y) ∧ q(x, y))\n(∃x) ¬ (∃y p(x,y) ∧ q(x,y))\n(∃x) (∃y) ¬ p(x,y) ∧ ¬q(x,y).\n\n(b) ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ K, 0 < |x - 2| < δ → 0 < |2x - 4| < ε\n¬ (∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ R, 0 < |x - 2| < δ → 0 < |2x - 4| < ε)\n∃ε > 0, ∀δ > 0, ∃x ∈ R, 0 < |x - 2| < δ & 0 ≥ |2x - 4| ≥ ε. 3. (1,0 ponto) Determine o conjunto-verdade em R de cada uma das seguintes sentenças:\n(a) x³ + |x| = 0;\n(b) |x - 3| > x - 1.\n\n0.3\n(a) x³ + |x| = 0\nSe x > 0 temos:\nx³ + x = 0\nx(x² + 1) = 0 ∧ (x = 1) {\n x₁ = i;\n x₂ = -i;\n}\nSe x < 0 temos:\nx³ - x = 0\nx(x² - 1) = 0 ∧ {\n x₁ = 1;\n x₂ = -1;\n}\nSe x = 0\n\n(b) |x - 3| > x - 1\nSe x > 3 temos:\nx - 3 > x - 1\n0 > 2 --> absurdo\nSe x ≤ 3 temos:\n-x + 3 > x + 1\n-2x > -2\nx < 1. 4. (1,0 ponto) Determinar o conjunto-verdade em A = {0,1,2,3,4,5}\n de cada uma das seguintes sentenças abertas compostas:\n (a) x² - 3x = 0 ↔ x² - x = 0;\n (b) x é par ↔ x² < 8.\n a) x³ - 3x = 0 ↔ x² - x = 0\n x (x² - 3) = 0 ↔ x(x - 1) = 0\n x = 0 ou x = ±√3 ↔ x = 0 ou x = 1\n Logo x = 0\n Conjunto verdade = {0}\n b) x é par ↔ x² < 8\n x é par ↔ x = 0 ou x = 1 ou x = 2\n Conjunto verdade = {1, 2} 5. (1,0 ponto) Sendo A, B e C conjuntos, verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Justifique suas respostas.\n (a) A ∩ B = ∅ ⇒ A = ∅ ou B = ∅;\n (b) A ∪ B = ∅ ⇒ A = ∅ e B = ∅;\n (c) A ∪ B = ∅ ⇒ A = ∅ ou B = ∅;\n (d) A ∩ B ≠ ∅ ⇒ A ≠ ∅ e B ≠ ∅;\n (e) A ∪ B ≠ ∅ ⇒ A ≠ ∅ e B ≠ ∅. 05.\n (a) A ∩ B = ∅ ⇒ A = ∅ ou B = ∅\n Falso\n De fato:\n Seja A = {3} e B = {5}\n Assim A ≠ ∅ e B ≠ ∅, mas A ∩ B = ∅\n (b) A ∪ B = ∅ ⇒ A = ∅ e B = ∅\n Verdadeiro\n De fato:\n é sabido que A ⊆ (A ∪ B), ou seja, A ⊆ ∅\n Como o conjunto é vazio é um subconjunto de todo conjunto\n Assim como A ⊆ ∅ e ∅ ⊆ A então A = ∅\n Analogamente B = ∅\n Portanto se A ∪ B = ∅ então A = ∅ e B = ∅\n (c) A ∪ B = ∅ ⇒ A = ∅ ou B = ∅\n Verdadeiro\n Para que essa afirmação seja verdadeira basta provar que que A = ∅ ou B = ∅ ou A ≠ ∅ e B ≠ vazio. 7\n(1,0 ponto) Prove que, para todo inteiro positivo n, tem-se que:\n(a) 1 + 3 + ... + (2n - 1) = n²;\n(b) 12 + 32 + ... + (2n - 1)² = 4n³ - n\n3\n\n7\n1 + 3 + ... + (2n - 1) = n²\n- Vamos provar que vale para n = 1\nI: (2n - 1) = (2·1 - 1) = 1²;\nII: Suponha que vale para n = k, por hipótese de indução, para ∀k ∈ N e k > 1\nIII: 1 + 3 + ... + (2k - 1) = k²\nvamos provar que vale para n = k + 1\n1 + 3 + ... + 2(k + 1) - 1 = k² + 2k + 1\nIII: 1 + 3 + ... + (2k - 1) = (k + 1)²\nPortanto por I, II e III\n1 + 3 + ... + (2n - 1) = n² para n ∈ N e n > 1\n\nb) 12 + 32 + ... + (2n - 1)² = 4n³ - n\n- vamos provar que vale para n = 1\n(2n - 1)² = (2·1 - 1)² = 1² = 1\n4n³ - n = 4·1³ - 1 = 3 = 1\n3\n\nPortanto vale para n = 1\n- Supondo por indução para n = k, para ∀k ∈ N e k > 1\nk² + 32 + ... + (2k + 1)² = 4k³ - k\n3 8\n(1,0 ponto) Prove por indução:\n(a) n! > n², ∀n ∈ N tal que n ≥ 4;\n(b) 2n < n!, ∀n ∈ N tal que n ≥ 4.\n\n8\n(a) n! > n², ∀n ∈ N tal que n ≥ 4\n- Suponha para n = 4\n4! = 4·3·2·1 = 24 {24 > 16}\n4² = 16\n- Suponha por indução que vale n = k + 1,\nK! > k²\nVamos provar que vale para n = k + 1\nAnte isso, vamos provar por indução que k² ≥ 2k + 1 para k > 4\n1) Vamos provar que vale para n = 4\n4² = 16 > 2·4 + 1 = 9\n\nII) Seja K pertence aos naturais e k > 4\nSuponha por indução que vale para K, então k² > 2k + 1\nAssim (k + 1)² > (k + 1)²\nPortanto, (k + 1)! > (k + 1)²\n\n(b) Vamos provar que vale para n = 4\n2⁴ = 16 < 4! = 24\n- Seja K pertence aos naturais e k > 4\nSuponha por indução que vale para n = k, então\n2² < k!\nVamos provar que vale k + 1\n2k + 1 < 2k < 2k!(k + 1) = (k + 1)! (1, 0 ponto)\n(a) Prove que √2 é irracional;\n(b) Prove que √3 é irracional;\n(c) Prove que √6 é irracional;\n(d) Prove que √2 + √3 é irracional.\n\n09.\n(a) Se √2 não fosse irracional teríamos √2 = a/b\ncom a, b inteiros sem fator comum.\na = √2\nb\n(b)² = 2\na² = 2b²\nI. a² = 2b²\nPortanto como a² é o dobro de um número inteiro => a² tem que ser par\nPor outra lado um número ímpar ao quadrado dá sempre um número ímpar\nAssim podemos sempre escrever p = 2s\nem que s é um número inteiro. Substituindo na equação em I.\n(26)² = 2b² <=> 4s² = b² <=> 2s² = b²\nPelo raciocínio que foi feito para a, em cima, veremos que b² tem que ser par e b terá de ser par\nm e n a e b são pares ambos são divisíveis por 2 - o que contradiz a hipótese.