Experimento - Circuitos Rlc Alimentados com Onda Quadrada - Física 3 2022 2

7 Circuitos RLC alimentados com onda quadrada 7.1 Material • capacitor de 10 nF; • resistor de 100 Ω; • indutor de 23,2 mH; • potenciˆometro. 7.2 Introdu¸c˜ao Nos experimentos anteriores estudamos o comportamento da voltagem em circuitos RC e RL quando alimentados por uma voltagem constante que muda subitamente de valor. Vimos que o capacitor e o indutor possuem comportamentos opostos quando um transi- ente positivo de tens˜ao ´e aplicado. A voltagem no capacitor (inicialmente descarregado) ´e zero e vai aumentando `a medida que o tempo passa, enquanto que a voltagem no indu- tor comec¸a com o valor m´aximo e vai caindo `a medida que o tempo passa. A taxa com que a voltagem (ou a corrente) varia em cada circuito depende de sua constante de tempo caracter´ıstica. O que vamos estudar agora ´e o que se passa quando colocamos um resistor, um capaci- tor e um indutor em s´erie em um circuito, como o mostrado na figura 7.1 a seguir. No instante que viramos a chave para a posic¸˜ao “A”, uma voltagem VB ´e aplicada ao circuito e quando a chave vai para a posic¸˜ao “B”, a fonte ´e desconectada. Neste caso, as cargas se movem usando a energia que foi armazenada no indutor e no capacitor, quando a fonte estava ligada. 7.2 Introduc¸ ˜ao 77 Figura 7.1: Circuito RLC em s´erie. Quando a chave ´e colocada na posic¸˜ao “A”, pela lei das malhas temos que: VB = Ldi dt + Ri + q C . (7.1) Substituindo i = dq/dt na equac¸˜ao 7.1, encontramos: Ld2q dt2 + Rdq dt + q C = VB . (7.2) Como se trata de uma equac¸˜ao diferencial n˜ao-homogˆenea, sua soluc¸˜ao geral ser´a a soma da soluc¸˜ao geral qh(t) da equac¸˜ao homogˆenea associada, com uma soluc¸˜ao particular qp(t) da equac¸˜ao completa: q(t) = q h(t) + q p(t) . (7.3) A soluc¸˜ao particular da equac¸˜ao 7.2 ´e q p = aVB, que ao ser substitu´ıda na equac¸˜ao 7.2 leva a a = C, ou seja: q p(t) = CVB . (7.4) A equac¸˜ao homogˆenea associada `a equac¸˜ao diferencial 7.2 ´e: Ld2q dt2 + Rdq dt + q C = 0 . (7.5) Para encontrarmos a soluc¸˜ao desta equac¸˜ao diferencial, observemos que ela envolve func¸ ˜oes cujas derivadas primeira e segunda s˜ao proporcionais a elas mesmas. As func¸ ˜oes que satisfazem a essas condic¸ ˜oes s˜ao a func¸˜ao exponencial e as func¸ ˜oes seno e cosseno. Como podemos representar as func¸ ˜oes seno e cosseno por exponenciais complexas, vamos supor uma soluc¸˜ao geral do tipo: q h(t) = b ert, (7.6) 7.2 Introdugao 78 onde b e r sao constantes, de forma que: dqn — =rgqnit 7.7 dt q(t) (7.7) e P dh 2 —~— =r gilt). 7.8 di qn(t) (7.8) Assim, para que a equacao diferencial descrita na equacao 7.5 seja satisfeita devemos ter r? + 2ar +ws = 0, (7.9) onde definimos os parametros R a= 7.10 SL (7.10) e : (7.11) wo = —. . VLC O paradmetro a é chamado de constante de amortecimento (seu significado se tornara Obvio nas paginas seguintes), enquanto wy é chamado de frequéncia natural (ou frequéncia de ressonancia) do circuito RLC (sua relevancia sera compreendida quando estudarmos circuitos RLC alimentados com tens6es senoidais). Resolvendo a equacao 7.9, encontramos para r os seguintes valores: m= -a-¥\4/ a2 —_— we (7.12) e rg = —a+/a? — we. (7.13) Temos, portanto, trés regimes diferentes de operacgdo, dependendo dos valores de a e Wo: * regime super-critico: neste caso a > wo e a solugdo corresponde a soma de duas exponenciais que decaem com 0 tempo; ¢ regime critico: neste caso a = wo, Tr; = T2 e a Solugdo corresponde 4 soma de uma exponencial que decai com 0 tempo com uma funcao linear em t; ¢ regime sub-critico: neste caso a < wp, as raizes Tr; € rz sAo complexas, e a solucado corresponde a oscilacdes amortecidas. Para 0 caso sub-critico podemos escrever a solucao geral da equacdo 7.2 como: q(t) = CVg te (ce! + ey oF"), (7.14) 7.2 Introdugao 79 comj=V/-—le w! = \/we — a?. (7.15) Apenas no regime sub-critico oscilagdes sao observadas no sistema. Na equagao 7.14 o termo CV, corresponde ao valor da carga para um tempo muito grande e, portanto, podemos associa-lo a carga maxima que o capacitor pode acumular. As constantes c; e C2 sao determinadas a partir das condic6es iniciais do problema, por exemplo, ¢(0) = 0e i(0) = 0. Para t + 00, podemos escrever g¢ = CVg. Tomando a parte real da equacao 7.14 e substituindo as condic6es iniciais, a solucdo pode ser escrita como: q(t) = CVg[1 — e*’cos(wt)]. (7.16) Como a voltagem Vc no capacitor é proporcional a carga (equa¢ao 7.1), podemos escre- ver também: Vc(t) = Vall — e°’cos(w’t)]. (7.17) A equacao 7.16 nos mostra que a carga no capacitor é composta de duas partes. Uma parte é oscilante, chamada de transiente, cuja frequéncia f’ = w’/27 tem um valor préximo do valor da frequéncia de ressonancia, modulada por uma funcdao exponencial decrescente, que tende a zero. A outra parte é fixa, que € a carga que o capacitor tera apds cessado o efeito do transiente. Como no caso dos circuitos RC e RL, para observarmos as oscilacdes no regime sub- critico devemos usar um gerador de sinais, que ao invés de gerar uma voltagem no circuito variando de V = 0a V = Vg, como assumimos em toda a discussao do problema, gera uma onda quadrada com amplitude variando de — Vo a + Vo. O efeito dessa mudanga altera a condicéo inicial do problema. A nova condicAo inicial para a carga do capacitor quando Oo circuito é chaveado para a posicdo “B” passa a ser q(0) = —CVo e nao “zero”, como assumimos na discussao anterior. Isto faz com que a solucdo descrita pelas equagées 7.14 e 7.15 seja modificada para: q(t) = CVo[1 — 2e~**cos(w’t)| (7.18) e Vc(t) = Vo[l — 2e~*cos(w’t)). (7.19) Na figura 7.2 mostramos uma imagem aproximada do que deve ser visto na tela do osciloscépio quando utilizamos uma onda quadrada alimentando um circuito RLC. Per- cebemos por essa figura que a voltagem oscilante corresponde aos maximos e minimos das oscilagdes em torno da voltagem do gerador de sinais. Esta figura mostra um aspecto muito interessante, proprio de circuitos RLC operando em regime sub-critico. 4 medida que o capacitor se descarrega, parte de sua energia é transferida para o indutor e parte é dissipada pelo resistor. Depois que 0 capacitor é completamente descarregado, 0 indutor descarrega a energia armazenada no ciclo anterior, carregando novamente o capacitor e dissipando parte dessa energia através do resistor. Dessa forma, temos uma transferéncia 7.2 Introduc¸ ˜ao 80 Figura 7.2: Figura aproximada que deve ser obtida na tela do oscilosc´opio para um circuito RLC operando em regime sub-cr´ıtico com os valores de R, L, C indicados na mesma. peri´odica de energia entre o capacitor e o indutor, que ´e amortecida pelo resistor. Durante um certo tempo a carga do capacitor mostra um comportamento oscilante que decai ex- ponencialmente. Ap´os esse tempo, o circuito sai do regime transit´orio e entra no regime permanente, com o capacitor carregado com o valor m´aximo de carga. A determinac¸˜ao experimental de α pode ser feita usando-se os mesmos m´etodos em- pregados para a determinac¸˜ao dos tempos de decaimento de circuitos RC e RL: quando t = 1/α, a voltagem (em m´odulo) ter´a ca´ıdo a 0,37 de seu valor inicial ∆V . Por isso α ´e chamado de constante de amortecimento. A parcela da carga total que oscila no tempo, nos pontos de m´aximo ou m´ınimo da func¸˜ao “cosseno”, ´e dada em m´odulo por: q oscilante(t) = q0 e−αt, (7.20) onde q0 = 2CV0 e os instantes de tempo tn s˜ao aqueles que fazem cos(ω′tn) = ±1, ou seja: tn = nT ′ 2 (n = 0, 1, 2, 3, . . .), (7.21) com T ′ = 2π ω′ . (7.22) Note que T ′ ´e o per´ıodo das oscilac¸ ˜oes da voltagem no capacitor. Assim, para os instan- tes de tempo tn, podemos escrever: |VC(tn)| = ∆V e−αtn, (7.23) com ∆V = 2V0. A figura 7.3 mostra a representac¸˜ao dos instantes de tempo tn. 7.2 Introdugao 81 Vo | \ mA [\ 4 ZN ea ae i, t,7” ¢ Figura 7.3: Representacao esquematica de tp. Um outro parametro também é€ utilizado para caracterizar o comportamento do circuito RLC. Conhecido como fator Q, ou fator de mérito, este fator é definido como sendo: Energia armazenada Q = 2x —Pnergia armazenada _ (7.24) Energia dissipada por ciclo Quanto maior o fator Q, menor a perda fraciondria de energia por ciclo. Para o circuito RLC em série pode ser mostrado que: L Q =u (7.25) ou, escrevendo de outra forma, ' Qa = Wo5— (7.26) 2a e portanto w’ também pode ser definido em fungao deste fator: w’ = 4/we — a? = wo — (7.27) A()? Se o fator de mérito @ > 1/2 (regime sub-critico) 0 circuito oscila com a frequéncia natural de oscilacdo w’. Note que w’ é sempre menor que a frequéncia wo. As oscilacdes sao amortecidas exponencialmente com a constante de tempo T = 1/a. Se o fator de mérito Q < 1/2 (regime super-critico) entao w’ é imaginario, e nao ha oscilacGées. Se Q = 1/2 temos 0 caso do amortecimento critico e w’ é nulo. A figura 7.4 mostra as voltagens sobre 0 resistor, capacitor e indutor nos trés regimes 7.3 Procedimentos experimentais 82 (sub-cr´ıtico, super-cr´ıtico e cr´ıtico). ´E interessante notar que no caso de amortecimento sub-cr´ıtico, o n´umero de oscilac¸ ˜oes dentro de uma constante de tempo τ ´e Q/π. Podemos ent˜ao escrever que QN = N × π, (7.28) onde N ´e o n´umero de oscilac¸ ˜oes contadas dentro do intervalo de tempo τ. Este fato ´e muitas vezes utilizado para estimar rapidamente o Q do circuito. No caso de amortecimento sub-cr´ıtico a voltagem no capacitor oscila, excedendo a vol- tagem da fonte. Para amortecimento cr´ıtico o capacitor se carrega em tempo m´ınimo sem exceder a voltagem de entrada em nenhum instante. A voltagem no indutor ´e sempre descont´ınua em t = 0. Esta ´e uma caracter´ıstica de todo circuito excitado por uma func¸˜ao degrau. Como a soma das voltagens sobre todos os elementos do circuito em s´erie deve ser igual `a voltagem da fonte, pelo menos uma das voltagens da soma deve ser descont´ınua. Figura 7.4: Transientes no circuito RLC em s´erie para os casos de amortecimento sub-cr´ıtico (es- querda), amortecimento cr´ıtico (direita, Q = 0, 5) e super-cr´ıtico (direita Q = 0, 3). ϵpp ´e a voltagem pico a pico da onda quadrada. 7.3 Procedimentos experimentais 7.3.1 Procedimento I: constante de tempo e frequˆencia de oscila¸c˜ao do circuito RLC 1. Monte o circuito da figura 7.5 com um resistor de R = 100 Ω, um capacitor de C = 10 nF e um indutor de L = 23,2 mH. Ajuste no gerador de func¸ ˜oes uma onda quadrada com amplitude de V0 = 4 V e frequˆencia aproximada f = 500 Hz. Vocˆe deve ser capaz 7.3 Procedimentos experimentais 83 de visualizar na tela do oscilosc´opio o circuito operando no modo sub-cr´ıtico, com ao menos 5 ciclos de oscilac¸ ˜oes da voltagem no capacitor (semelhante `a figura 7.2). Figura 7.5: Circuito RLC a ser montado para o Procedimento I. 2. Ajuste as escalas de tempo e tens˜ao do oscilosc´opio de modo a maximizar a imagem de meio per´ıodo da onda quadrada na tela. Coloque o patamar superior da onda quadrada do canal 1 no meio da tela e aumente a sua durac¸˜ao de modo a obter apenas o primeiro semi-ciclo da onda quadrada. 3. Mec¸a o per´ıodo T’ das oscilac¸ ˜oes da voltagem no capacitor. Compare com o valor nominal. 4. Preencha a tabela 1 com os valores de |VC(tn)| e tn. Indique as escalas utilizadas. Mec¸a os valores de R e C usando um mult´ımetro e anote o valor nominal de L para a bobina utilizada. Tabela 1 tn ± σtn |VC(tn)| ± σ|VC(tn)| (V) ln(|VC(tn)| /1V ) σln(|VC(tn)|) 5. Determine a partir das medidas tabeladas os valores dos parˆametros: • α e ∆V da equac¸˜ao 7.23; • n´umero de oscilac¸ ˜oes N dentro de um intervalor τ = 1/α e o fator de m´erito Q (equac¸ ˜oes 7.24, 7.25 e 7.26). 7.3 Procedimentos experimentais 84 Figura 7.6: Circuito RLC com um potenciˆometro a ser montado no Procedimento II. 7.3.2 Procedimento II: transi¸c˜ao do regime sub-cr´ıtico para o regime super- cr´ıtico. 1. No circuito montado para o Procedimento I, substitua o resistor por um potenciˆomet- ro (R pot = 5 kΩ), como mostrado na figura 7.6. O potenciˆometro ´e um elemento de cir- cuito com resistˆencia vari´avel. Ele ´e muito utilizado em situac¸ ˜oes que se deseja variar a corrente e, por conseguinte, a potˆencia fornecida a determinado circuito el´etrico. 2. Varie a resistˆencia do potenciˆometro de modo a identificar o valor cr´ıtico de re- sistˆencia para o qual o circuito passa do regime sub-cr´ıtico ao regime super-cr´ıtico. Mec¸a R cr´ıtica usando um mult´ımetro. 3. Ajuste o potenciˆometro de modo que ele tenha resistˆencia nula. Descreva o que acon- tece com a voltagem no capacitor. O amortecimento persiste? Neste caso n˜ao deveria haver amortecimento e o circuito deveria ser um oscilador hamˆonico simples. Expli- que porque isto n˜ao ocorre.