Slide - Derivadas - 2024-1

Universidade Federal de Mato Grosso Semestre 2023.2 DERIVADAS Profa. Dra. Ana Fanny Benzi O. Bastos TEMAS • A Reta Tangente e Derivada; • Regras de Derivação; • A Regra da Cadeia; • Derivação Implícita; • Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica; • Derivadas de Ordem Superior. EXEMPLO 1 Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x^2 no ponto P(1, 1). SOLUÇÃO Temos aqui a = 1 e f(x) = x^2, logo a inclinação é m = lim_{x→1} (f(x) - f(1))/(x - 1) = lim_{x→1} (x^2 - 1)/(x - 1) = lim_{x→1} ((x - 1)(x + 1))/(x - 1) = lim_{x→1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 Usando a forma ponto-inclinação da reta, encontramos que uma equação da reta tangente em (1, 1) é y - 1 = 2(x - 1) ou y = 2x - 1 A forma ponto-inclinação da equação da reta por um ponto (x_1, y_1) com uma inclinação m é: y - y_1 = m(x - x_1) Então fazemos Q aproximar- se de P ao longo da curva C ao obrigar x tender a a. Se tender a um número m, então definimos a tangente t como a reta que passa por P e tem inclinação m. Isso implica dizer que a reta tangente é a posição- limite da reta secante PQ quando Q tende a P. EXEMPLO 2 Encontre uma equação da reta tangente à hipérbole y = 3/x no ponto (3, 1). SOLUÇÃO Seja f(x) = 3/x. Então a inclinação da reta tangente em (3, 1) é m = lim(h→0) [f(3 + h) - f(3)] / h = lim(h→0) [3/(3 + h) - 1] / h = lim(h→0) [3 - (3 + h)] / (3 + h)h = lim(h→0) [-h / h(3 + h)] = lim(h→0) [ -1 / (3 + h)] = -1/3 Portanto, uma equação da reta tangente no ponto (3, 1) é y - 1 = -1/3(x - 3) que se simplifica para x + 3y - 6 = 0. A hipérbole e sua tangente estão na Figura 4. Em geral, suponha que um objeto se mova sobre uma reta de acordo com a equação s = f(t), na qual s é o deslocamento do objeto a partir da origem no instante t. A função f que descreve o movimento é chamada função de posição do objeto. No intervalo de tempo entre t = a e t = a+h, a variação na posição será de f(a+h) – f(a). (Veja a Figura 5.) A velocidade média nesse intervalo é que é o mesmo que a inclinação da reta secante PQ na Figura 6. Suponha agora que a velocidade média seja calculada em intervalos cada vez menores [a, a+h]. Em outras palavras, fazemos h tender a 0. Como no exemplo da queda da bola, definimos velocidade instantânea v(a) no instante t=a como o limite dessas velocidades médias: Isso significa que a velocidade no instante é igual à inclinação da reta tangente em P A velocidade com que a bola atinge o chão é, portanto, 4 Definição A derivada de uma função f em um número a, denotada por f'(a), é f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) - f(a)] / h se o limite existir. f'(a) é lido como 'f linha de a.' EXEMPLO 4 Encontre a derivada da função f(x) = x^2 - 8x + 9 em um número a. SOLUÇÃO Da Definição 4, temos f'(a) = lim(h→0) [f(a + h) - f(a)] / h = lim(h→0) [[(a + h)^2 - 8(a + h) + 9] - [a^2 - 8a + 9]] / h = lim(h→0) [a^2 + 2ah + h^2 - 8a - 8h + 9 - a^2 + 8a - 9] / h = lim(h→0) [2ah + h^2 - 8h] / h = lim(h→0) (2a + h - 8) = 2a - 8 EXEMPLO 5 Encontre uma equação da reta tangente à parábola y = x^2 - 8x + 9 no ponto (3, -6). SOLUÇÃO Do Exemplo 4, sabemos que a derivada de f(x) = x^2 - 8x + 9 no número a é f'(a) = 2a - 8. Portanto, a inclinação da reta tangente em (3, -6) é f'(3) = 2(3) - 8 = -2. Dessa forma, uma equação da reta tangente, ilustrada na Figura 7, é y - (-6) = (-2)(x - 3) ou y = -2x FIGURA 7 Taxas de Variação \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} inclinação da reta secante PQ na Figura 8. taxa média de variação de y em relação a x no intervalo [x_1, x_2] lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = lim_{x_2 \to x_1} \frac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} taxa instantânea de variação A derivada f'(a) é a taxa instantânea de variação de y = f(x) em relação a x quando x = a. 2.7 Exercícios 5-8 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. 5. y = 4x - 3x^2, \ (2, -4) 6. y = x^3 - 3x + 1, \ (2, 3) 7. y = \sqrt{x}, \ (1, 1) 8. y = \frac{2x + 1}{x + 2}, \ (1, 1) 13. Se uma bola for atirada ao ar com velocidade de 10 m/s, sua altura (em metros) depois de t segundos é dada por y = 10t - 4,9t^2. Encontre a velocidade quando t = 2. 12. São dados os gráficos das funções das posições de dois corredores, A e B, que correm 100 metros rasos e terminam empatados. (a) Descreva e compare como os corredores correram a prova. (b) Em que instante a distância entre os corredores é maior? (c) Em que instante eles têm a mesma velocidade? ALGUMAS RESPOSTAS 5. y = -8x + 12 7. y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{2} 13. -9,6 m/s Regras de Derivação Usamos a definição de derivada para calcular as derivadas de funções definidas por fórmulas. Mas seria tedioso se sempre usássemos a definição. Nesse momento desenvolveremos regras para encontrar as derivadas sem usar diretamente a definição. 3.1 Derivadas de Funções Polinomiais e Exponenciais função constante f(x) = c f'(x) = lim_{h\to0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = lim_{h\to0} \frac{c - c}{h} = lim_{h\to0} 0 = 0 Derivada de uma Função Constante \frac{d}{dx} (c) = 0 y = c inclinação = 0 Funções Potências f(x) = x^n, onde n é um inteiro positivo. f(x) = x \( \frac{d}{dx} (x) = 1 \) Outros exemplos \( \frac{d}{dx} (x^2) = 2x \) \( \frac{d}{dx} (x^3) = 3x^2 \) A Regra da Potência Se n for um inteiro positivo, então \( \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \) EXEMPLO 1 (a) Se f(x) = x^6, então f'(x) = 6x^5. (c) Se y = t^4, então \( \frac{dy}{dt} = 4t^3 \). A Regra da Potência (Versão Geral) Se n for um número real qualquer, então \( \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} \) EXEMPLO 2 Derive: (a) f(x) = \( \frac{1}{x^2} \) \( \Rightarrow f'(x) = \frac{d}{dx} (x^{-2}) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \) (b) y = \( \sqrt[3]{x^2} \) \( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^{2/3}) = \frac{2}{3}x^{(2/3)-1} = \frac{2}{3}x^{-1/3} \) Funções Exponenciais função exponencial f(x) = a^x \( \frac{d}{dx} (a^x) = a^x \ln a \) EXEMPLOS \( \frac{d}{dx} (2^x) = 2^x \ln 2 \) \( \Rightarrow \frac{d}{dx} (2^x) \approx (0,69)2^x \) Derivada da Função Exponencial Natural \( \frac{d}{dx} (e^x) = e^x \) REGRAS DE DERIVAÇÃO A Regra da Multiplicação por Constante Se c for uma constante e f, uma função derivável, então \frac{d}{dx} [cf(x)] = c \frac{d}{dx} f(x) DEMONSTRAÇÃO Seja g(x) = cf(x). Então g'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{cf(x + h) - cf(x)}{h} = \lim_{h \to 0} c \left[ \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \right] = c \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = cf'(x). EXEMPLO 4 (a) \frac{d}{dx} (3x^4) = 3 \frac{d}{dx} (x^4) = 3(4x^3) = 12x^3 (b) \frac{d}{dx} (-x) = -\frac{d}{dx} [( - 1)x] = ( - 1) \frac{d}{dx} (x) = -1(1) = -1. A Regra da Soma pode ser estendida para a soma de qualquer número de funções. Por exemplo, usando esse teorema duas vezes, obtemos EXEMPLO 5 \frac{d}{dx} (x^8 + 12x^5 - 4x^4 + 10x^3 - 6x + 5) = \frac{d}{dx} (x^8) + 12 \frac{d}{dx} (x^5) - 4 \frac{d}{dx} (x^4) + 10 \frac{d}{dx} (x^3) - 6 \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} (5) = 8x^7 + 12(5x^4) - 4(4x^3) + 10(3x^2) - 6(1) + 0 = 8x^7 + 60x^4 - 16x^3 + 30x^2 - 6 EXEMPLO 6 Encontre os pontos sobre a curva y = x^4 - 6x^2 + 4, onde a reta tangente é horizontal. SOLUÇÃO As tangentes horizontais ocorrem quando a derivada for zero. Temos \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x^4) - 6 \frac{d}{dx} (x^2) + \frac{d}{dx} (4) = 4x^3 - 12x + 0 = 4x(x^2 - 3) Assim, dy/dx = 0 se x = 0 ou x^2 - 3 = 0, ou seja, x = \pm \sqrt{3}. Logo, a curva dada tem tangentes horizontais quando x = 0, \sqrt{3} e -\sqrt{3}. Os pontos correspondentes são (0, 4), (\sqrt{3}, -5) e ( - \sqrt{3}, -5). (Veja a Figura 5.) FIGURA 5 A curva y = x^4 - 6x^2 + 4 e suas tangentes horizontais 3.1 Exercícios 3-32 Derive a função. 3. f(x) = 186,5 4. f(x) = \sqrt{30} 5. f(x) = 5x - 1 6. F(x) = -4x^{10} 7. f(x) = x^3 - 4x + 6 8. f(t) = 1,4t^5 - 2,5t^2 + 6,7 9. g(x) = x^2(1 - 2x) 11. y = x^{-2/5} 13. A(s) = \frac{-12}{s^5} 15. R(a) = (3a + 1)^2 17. S(p) = \sqrt{p} - p 19. y = 3e^x + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} 33-34 Encontre uma equação da reta tangente à curva no ponto dado. 33. y = \sqrt{x}, \;(1, 1) 34. y = x^4 + 2x^2 - x, \;(1, 2) 43-44 Encontre a primeira e a segunda derivadas da função 43. f(x) = 10x^{10} + 5x^5 - x 44. G(r) = \sqrt{r} + \frac{3}{\sqrt{r}} A Regra do Produto Se f e g são ambas deriváveis, então \frac{d}{dx}[f(x)g(x)] = f(x)\frac{d}{dx}[g(x)] + g(x)\frac{d}{dx}[f(x)] Na notação “linha”: (fg)' = fg' + gf' EXEMPLO 1 (a) Se f(x) = xe^x, encontre f'(x). SOLUÇÃO (a) Pela Regra do Produto, temos f'(x) = \frac{d}{dx}(xe^x) = x\frac{d}{dx}(e^x) + e^x\frac{d}{dx}(x) = xe^x + e^x \cdot 1 = (x + 1)e^x EXEMPLO 3 Se f(x) = \sqrt{x}g(x), onde g(4) = 2 e g'(4) = 3, encontre f'(4). SOLUÇÃO Aplicando a Regra do Produto, obtemos f'(x) = \frac{d}{dx}[\sqrt{x}g(x)] = \sqrt{x}\frac{d}{dx}[g(x)] + g(x)\frac{d}{dx}[\sqrt{x}] = \sqrt{x}g'(x) + g(x)\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2} = \sqrt{x}g'(x) + \frac{g(x)}{2\sqrt{x}} Logo f'(4) = \sqrt{4}g'(4) + \frac{g(4)}{2\sqrt{4}} = 2\cdot3 + \frac{2}{2\cdot2} = 6,5 A Regra do Quociente Se f e g são deriváveis, então \frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{g(x)\frac{d}{dx}[f(x)] - f(x)\frac{d}{dx}[g(x)]}{[g(x)]^2} Na notação “linha”: \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{gf' - fg'}{g^2} EXEMPLO 4 Seja y = \frac{x^2 + x - 2}{x^3 + 6}. Então y' = \frac{(x^3 + 6)\frac{d}{dx}(x^2 + x - 2) - (x^2 + x - 2)\frac{d}{dx}(x^3 + 6)}{(x^3 + 6)^2} = \frac{(x^3 + 6)(2x + 1) - (x^2 + x - 2)(3x^2)}{(x^3 + 6)^2} EXEMPLO 5 Encontre uma equação da reta tangente à curva y = e^x/(1 + x^2) no ponto (1, \frac{1}{2}e). SOLUÇÃO Segundo a Regra do Quociente, temos \frac{dy}{dx} = \frac{(1 + x^2) \frac{d}{dx} (e^x) - e^x \frac{d}{dx} (1 + x^2)}{(1 + x^2)^2} = \frac{(1 + x^2)e^x - e^x(2x)}{(1 + x^2)^2} = \frac{e^x(1 - x)^2}{(1 + x^2)^2} Logo, a inclinação da reta tangente em (1, \frac{1}{2}e) é \frac{dy}{dx} \bigg|_{x=1} = 0 TABELA DE DERIVADAS 1. D_x(u^n) = nu^{n-1}D_xu 2. D_x(u + v) = D_xu + D_xv 3. D_x(uv) = uD_xv + vD_xu 4. D_x\left(\frac{u}{v}\right) = \frac{vD_xu - uD_xv}{v^2} 5. D_x(e^u) = e^u D_xu 6. D_x(a^u) = a^u \ln a D_xu 7. D_x(\ln u) = \frac{1}{u} D_xu 8. D_x(\sen u) = \cos u D_xu 9. D_x(\cos u) = -\sen u D_xu 10. D_x(\tg u) = \sec^2 u D_xu 11. D_x(\cotg u) = -\cosec^2 u D_xu 12. D_x(\sec u) = \sec u \tg u D_xu 13. D_x(\cosec u) = - \cosec u \cotg u D_xu 14. D_x(\sen^{-1} u) = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} D_xu 15. D_x(\cos^{-1} u) = \frac{-1}{\sqrt{1 - u^2}} D_xu 16. D_x(\tg^{-1} u) = \frac{1}{1 + u^2} D_xu 17. D_x(\cotg^{-1} u) = \frac{-1}{1 + u^2} D_xu 18. D_x(\sec^{-1} u) = \frac{1}{u \sqrt{u^2 - 1}} D_xu 19. D_x(\cosec^{-1} u) = \frac{-1}{u \sqrt{u^2 - 1}} D_xu 20. D_x(\senh u) = \cosh u D_xu 21. D_x(\cosh u) = \senh u D_xu 22. D_x(\tgh u) = \sech^2 u D_xu 23. D_x(\cotgh u) = -\cosech^2 u D_xu 24. D_x(\sech u) = -\sech u \tgh u D_xu 25. D_x(\cosech u) = -\cosech u \cotg u D_xu 3.2 Exercícios 3–26 Derive. 3. f(x) = (x^3 + 2x)e^x 5. y = \frac{e^x}{x^2} 7. g(x) = \frac{3x - 1}{2x + 1} 9. H(u) = (u - \sqrt{u})(u + \sqrt{u}) 10. J(v) = (v^3 - 2v)(v^{-4} + v^{-2}) 13. y = \frac{x^3}{1 - x^2} 15. y = \frac{t^2 + 2}{t^4 - 3t^2 + 1} 27–30 Encontre f'(x) e f''(x). 27. f(x) = x^4 e^x 29. f(x) = \frac{x^2}{1 + 2x} 44. Suponha que f(2) = -3, g(2) = 4, f'(2) = -2 e g'(2) = 7. Encontre h'(2). (a) h(x) = 5f(x) - 4g(x) (b) h(x) = f(x)g(x) (c) h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} (d) h(x) = \frac{g(x)}{1 + f(x)} 3.3 Exercícios 1–16 Derive. 1. f(x) = 3x² − 2 cos x 2. f(x) = √x sen x 3. f(x) = sen x + 1/2 cotg x 4. y = 2 sec x − cossec x 5. g(t) = t³ cos t 6. g(t) = 4 sec t + tg t 7. h(θ) = cossec θ + e^θ cotg θ 8. y = e^u(cos u + cu) 9. y = x / (2 − tg x) 10. y = sen θ cos θ 11. f(θ) = sec θ / (1 + sec θ) 12. y = cos x / (1 − sen x) 13. y = t sen t / (1 + t) 14. y = (1 − sec x) / tg x 15. f(x) = xe^x cossec x 16. y = x² sen x tg x Regra da Cadeia A Regra da Cadeia Se g for derivável em x e f for derivável em g(x), então a função composta F = f ∘ g definida por F(x) = f(g(x)) é derivável em x e F' é dada pelo produto F'(x) = f'(g(x)) ⋅ g'(x) Na notação de Leibniz, se y = f(u) e u = g(x) forem funções deriváveis, então dy/dx = dy/du ⋅ du/dx EXEMPLO 3 Derive y = (x^3 - 1)^100. SOLUÇÃO Fazendo u = g(x) = x^3 - 1 e n = 100 em determinado ponto, temos dy/dx = d/dx (x^3 - 1)^100 = 100(x^3 - 1)^99 * d/dx (x^3 - 1) = 100(x^3 - 1)^99 * 3x^2 = 300x^2(x^3 - 1)^99 EXEMPLO 4 Encontre f'(x) se f(x) = 1/cbrt(x^2 + x + 1). SOLUÇÃO Primeiro reescreva f: f(x) = (x^2 + x + 1)^(-1/3). Logo, f'(x) = -1/3(x^2 + x + 1)^(-4/3) * d/dx (x^2 + x + 1) = -1/3(x^2 + x + 1)^(-4/3)(2x + 1) EXEMPLO 5 Encontre a derivada da função g(t) = (t - 2/(2t + 1))^9 SOLUÇÃO Combinando a Regra da Potência, a Regra da Cadeia e a Regra do Quociente, obtemos g'(t) = 9(t - 2/(2t + 1))^8 * d/dt(t - 2/(2t + 1)) = 9(t - 2/(2t + 1))^8 ((2t + 1) * 1 - 2(t - 2)/(2t + 1)^2) = 45(t - 2)^8/(2t + 1)^10 3.4 Exercícios Encontre a derivada da função. 1. y = sen 4x 2. y = sqrt(4 + 3x) 3. y = (1 - x^2)^10 4. y = tg(sen x) 5. y = e^sqrt(x) 6. y = sqrt(2 - e^x) 7. F(x) = (x^4 + 3x^2 - 2)^5 9. F(x) = 4sqrt(1 + 2x + x^3) 11. g(t) = 1/(t^4 + 1)^3 20. F(t) = (3t - 1)^4(2t + 1)^-3 63. Uma tabela de valores para f, g, f' e g' é fornecida. x | f(x) | g(x) | f'(x) | g'(x) 1 | 3 | 2 | 4 | 6 2 | 1 | 8 | 5 | 7 3 | 7 | 2 | 7 | 9 (a) Se h(x) = f(g(x)), encontre h'(1). (b) Se H(x) = g(f(x)), encontre H'(1). 76. Para quais valores de r a função y = e^(rx) satisfaz a equação diferencial y'' - 4y' + y = 0? 77. Encontre a 50ª derivada de y = cos 2x. Derivação Implícita O método de derivação implícita consiste na derivação de ambos os lados da equação em relação a x e, então, na resolução da equação isolando y’ (derivada primeira). Nos exemplos e exercícios desta seção, suponha sempre que a equação dada determine y implicitamente como uma função derivável de x de forma que o método da derivação implícita possa ser aplicado. (b) Encontre uma equação da tangente ao círculo x^2 + y^2 = 25 no ponto (3, 4). No ponto (3, 4), temos x = 3 e y = 4, logo \(\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{4}\) Uma equação da reta tangente ao círculo em (3, 4) é, portanto, \(y - 4 = -\frac{3}{4}(x - 3)\) ou \(3x + 4y = 25\) EXEMPLO 2 (a) Encontre y' se x^3 + y^3 = 6xy. SOLUÇÃO (a) Derivando ambos os lados de x^3 + y^3 = 6xy em relação a x, considerando y como uma função de x e usando a Regra da Cadeia no termo y^3 e a Regra do Produto no termo 6xy, obtemos \(3x^2 + 3y^2y' = 6xy' + 6y\) ou \(x^2 + y^2y' = 2xy' + 2y\) Agora isolamos y': \(y^2y' - 2xy' = 2y - x^2\) \((y^2 - 2x)y' = 2y - x^2\) \(y' = \frac{2y - x^2}{y^2 - 2x}\) (b) Encontre a reta tangente ao fólio de Descartes x^3 + y^3 = 6xy no ponto (3, 3). (b) Quando x = y = 3, y' = \frac{2 \cdot 3 - 3^2}{3^2 - 2 \cdot 3} = -1 e uma olhada na Figura 4 confirma que este é um valor razoável para a inclinação em (3, 3). Logo, uma equação da tangente ao fólio em (3, 3) é y - 3 = -1(x - 3) ou x + y = 6 3.5 Exercícios Encontre dy/dx por derivação implícita. 5. x^3 + y^3 = 1 6. 2\sqrt{x} + \sqrt{y} = 3 7. x^2 + xy - y^2 = 4 8. 2x^3 + x^2y - xy^3 = 2 9. x^4(x + y) = y^2(3x - y) 10. xe^y = x - y Encontre y'' por derivação implícita. 35. 9x^2 + y^2 = 9 36. \sqrt{x} + \sqrt{y} = 1 Derivadas das Funções Exponencial e Logarítmica funções logarítmicas y = \log_a{x} \frac{d}{dx}(\log_a{x}) = \frac{1}{x \ln a} função logarítmica natural y = \ln log_e x = \ln x \frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x} EXEMPLO 1 Derive y = \ln(x^3 + 1). SOLUÇĀO Para usarmos a Regra da Cadeia, vamos fazer u = x^3 + 1. Então, y = \ln u, logo \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \frac{du}{dx} = \frac{1}{x^3 + 1} (3x^2) = \frac{3x^2}{x^3 + 1} e = \lim_{x \to 0} (1 + x)^{1/x} e \approx 2,7182818 EXEMPLO 4 Derive f(x) = log_{10}(2 + \sen x). SOLUÇÃO Usando a Fórmula 1 com a = 10, temos f'(x) = \frac{d}{dx} \log_{10}(2 + \sen x) = \frac{1}{(2 + \sen x) \ln 10} \frac{d}{dx} (2 + \sen x) = \frac{\cos x}{(2 + \sen x) \ln 10} EXEMPLO 2 Encontre \frac{d}{dx} \ln (\sen x). SOLUÇÃO Usando (3), temos \frac{d}{dx} \ln (\sen x) = \frac{1}{\sen x} \frac{d}{dx} (\sen x) = \frac{1}{\sen x} \cos x = \mathrm{cotg} \ x 3.6 Exercícios Derive a função. 2. f(x) = x \ln x - x 3. f(x) = \sen(\ln x) 4. f(x) = \ln(\sen^2 x) 5. f(x) = \sqrt[5]{\ln x} 6. f(x) = \ln \sqrt[5]{x} 7. f(x) = \log_{10}(x^3 + 1) 8. f(x) = \log_{5}(xe^x) 10. f(u) = \frac{u}{1 + \ln u}