·
Engenharia de Controle e Automação ·
Cálculo 1
· 2023/2
Send your question to AI and receive an answer instantly
Recommended for you
Preview text
Universidade Federal de Mato Grosso Semestre 2023.2 LIMITES Profa. Dra. Ana Fanny Benzi O. Bastos Livro Stewart, James Cálculo, volume I p. 88 a 91 1 Definição Suponha que f(x) seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no próprio a.) Então escrevemos lim x->a f(x) = L e dizemos "o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L" se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. Uma notação alternativa para lim x->a f(x) = L é f(x) -> L quando x -> a que geralmente é lida como "f(x) tende a L quando x tende a a". A Figura 2 mostra os gráficos de três funções. Note que, na parte (c), f(a) não está definida e, na parte (b), f(a) ≠ L. Mas, em cada caso, não importando o que acontece em a, é verdade que lim x->a f(x) = L. FIGURA 2 lim x->a f(x)=L nos três casos EXEMPLO 1 Estime o valor de lim x->1 (x-1)/(x^2-1). lim x->1 (x-1)/(x^2-1) = 0,5 x < 1 f(x) 0,5 0,666667 0,9 0,526316 0,99 0,502513 0,999 0,500250 0,9999 0,500025 x > 1 f(x) 1,5 0,400000 1,1 0,476190 1,01 0,497512 1,001 0,499750 1,0001 0,499975 FIGURA 3 EXEMPLO 2 Estime o valor de lim t→0 √t² + 9 − 3 t² . t √t² + 9 − 3 t² ±1,0 0,16228 ±0,5 0,16553 ±0,1 0,16662 ±0,05 0,16666 ±0,01 0,16667 lim t→0 √t² + 9 − 3 t² = 1 6 EXEMPLO 3 Faça uma estimativa de lim x→0 sen x x . x sen x x ±1,0 0,84147098 ±0,5 0,95885108 ±0,4 0,97354586 ±0,3 0,98506736 ±0,2 0,99334665 ±0,1 0,99833417 ±0,05 0,99958339 ±0,01 0,99998333 ±0,005 0,99999583 ±0,001 0,99999983 lim x→0 sen x x = 1 y = sen x x 1 0 −1 −1 0 1 Limites Laterais Limites Laterais EXEMPLO 6 A função de Heaviside, H, é definida por { 0 se t < 0 H(t) = { 1 se t ≥ 0 lim H(t) = 0 e lim H(t) = 1 t→0⁻ t→0⁺ O símbolo “t → 0⁻” indica que estamos considerando somente valores de t menores que 0. Da mesma forma, “t → 0⁺” indica que estamos considerando somente valores de t maiores que 0. FIGURA 8 A função Heaviside Limites Laterais 2 Definição Escrevemos lim f(x) = L x→a⁻ e dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende a a [ou o limite d e f(x) quando x tende a a pela esquerda] é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a. Perceba que a Definição 2 difere da Definição 1 somente por necessitarmos que x seja menor que a. De maneira semelhante, se exigirmos que x seja maior que a, obtemos “o limite à direita de f(x) quando x tende a a é igual a L” e escrevemos lim f(x) = L x→a⁺ Dessa forma, o símbolo “x → a⁺” indica que estamos considerando somente x > a. Essas definições estão ilustradas na Figura 9. FIGURA 9 Comparando a Definição 1 com as definições de limites laterais, vemos ser verdadeiro o que segue. 3 lim f(x) = L se e somente se lim f(x) = L e lim f(x) = L EXEMPLO 7 O gráfico de uma função g é apresentado na Figura 10. Use-o para estabelecer os valores (caso existam) dos seguintes limites: (a) lim g(x) (b) lim g(x) (c) lim g(x) (d) lim g(x) (e) lim g(x) (f) lim g(x) (a) lim g(x) = 3 e (b) lim g(x) = 1 (d) lim g(x) = 2 e (e) lim g(x) = 2 (f) lim g(x) = 2 Apesar desse fato, observe que g(5) ≠ 2. Limites Infinitos Limites Infinitos EXEMPLO 8 Encontre lim {x\to 0} 1/x², se existir. lim {x\to 0} 1/x² = \infty x | 1/x² ±1 | 1 ±0,5 | 4 ±0,2 | 25 ±0,1 | 100 ±0,05 | 400 ±0,01 | 10.000 ±0,001 | 1.000.000 Isso não significa que consideramos \infty como um número. Tampouco significa que o limite existe. Expressa simplesmente uma maneira particular de não existência de limite: 1/x² pode ser tão grande quanto quisermos, tornando x suficientemente perto de 0. 4 Definição Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente no próprio a. Então lim {x\to a} f(x) = \infty significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos) tornando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Outra notação para lim {x\to a} f(x) = \infty é f(x) \to \infty quando x \to a Novamente, o símbolo \infty não é um número; todavia, a expressão lim {x\to a} f(x) = \infty é usualmente lida como “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito” ou “f(x) se torna infinito quando x tende a a” ou “f(x) cresce ilimitadamente quando x tende a a” 5 Definição Seja f definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente no próprio a. Então lim {x\to a} f(x) = -\infty significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, ao tornarmos x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. 6 Definição A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim (x→a-) f(x) = ∞ lim (x→a+) f(x) = ∞ lim (x→a-) f(x) = -∞ lim (x→a+) f(x) = -∞ Exemplo 9 Encontre lim (x→3+) 2x/(x-3) e lim (x→3-) 2x/(x-3). lim (x→3+) 2x/(x-3) = ∞ lim (x→3-) 2x/(x-3) = -∞ Livro Stewart, James Cálculo, volume I p. 88 a 91 3. Explique o significado de cada uma das notações a seguir. (a) lim (x→3) f(x) = ∞ (b) lim (x→4+) f(x) = -∞ 4. Use o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim (x→2-) f(x) (b) lim (x→2+) f(x) (c) lim (x→2) f(x) (d) f(2) (e) lim (x→4) f(x) (f) f(4) 5. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim x→1 f(x) (b) lim x→3- f(x) (c) lim x→3+ f(x) (d) lim x→3 f(x) (e) f(3) 7. Para a função g cujo gráfico é dado, diga o valor da cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim r→0- g(t) (b) lim r→0+ g(t) (c) lim r→0 g(t) (d) lim r→2- g(t) (e) lim r→2+ g(t) (f) lim r→2 g(t) (g) g(2) (h) lim r→4 g(t) 9. Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o seguinte: (a) lim x→-7 f(x) (b) lim x→-3 f(x) (c) lim x→0 f(x) (d) lim x→-6- f(x) (e) lim x→6+ f(x) (f) As equações das assíntotas verticais. 29-37 Determine o limite infinito. 29. lim x →−3+ (x + 2) / (x + 3) 30. lim x →−3− (x + 2) / (x + 3) 31. lim x →1 (2 − x) / (x − 1)^2 32. lim x →5− e^x / (x − 5)^3 33. lim x →3+ ln(x^2 − 9) 34. lim x →π− cot x 35. lim x →2π− x csc x 36. lim x →2− (x^2 − 2x) / (x^2 − 4x + 4) 37. lim x →2+ (x^2 − 2x − 8) / (x^2 − 5x + 6) 19-22 Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). 19. lim x →2 (x^2 − 2x) / (x^2 − x − 2), x = 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999 21. lim x →0 (e^x − 1− x) / x^2, x = ±1, ±0.5, ±0.1, ±0.05, ±0.01 23-26 Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite. Se você tiver alguma ferramenta gráfica, use-a para confirmar seu resultado. 23. lim x →0 √(x + 4) − 2 / x 24. lim x →0 tg 3x / tg 5x 25. lim x →1 (x^6 − 1) / (x^10 − 1) 26. lim x →0 (9^x − 5^x) / x 2.3 Cálculos Usando Propriedades dos Limites 2.3 Cálculos Usando Propriedades dos Limites Propriedades dos Limites Supondo que c seja uma constante e os limites lim_{x→a} f(x) e lim_{x→a} g(x) existam, então 1. lim_{x→a} [f(x) + g(x)] = lim_{x→a} f(x) + lim_{x→a} g(x) 2. lim_{x→a} [f(x) - g(x)] = lim_{x→a} f(x) - lim_{x→a} g(x) 3. lim_{x→a} [cf(x)] = c lim_{x→a} f(x) 4. lim_{x→a} [f(x)g(x)] = lim_{x→a} f(x) · lim_{x→a} g(x) 5. lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_{x→a} f(x)}{lim_{x→a} g(x)} se lim_{x→a} g(x) ≠ 0 Propriedade da Soma Propriedade da Diferença Propriedade da Multiplicação por Constante Propriedade do Produto Propriedade do Quociente 1. lim_{x→a} [f(x) + g(x)] = lim_{x→a} f(x) + lim_{x→a} g(x) 2. lim_{x→a} [f(x) - g(x)] = lim_{x→a} f(x) - lim_{x→a} g(x) 3. lim_{x→a} [cf(x)] = c lim_{x→a} f(x) 4. lim_{x→a} [f(x)g(x)] = lim_{x→a} f(x) · lim_{x→a} g(x) 5. lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_{x→a} f(x)}{lim_{x→a} g(x)} se lim_{x→a} g(x) ≠ 0 1. O limite de uma soma é a soma dos limites. 2. O limite de uma diferença é a diferença dos limites. 3. O limite de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicando o limite desta função. 4. O limite de um produto é o produto dos limites. 5. O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero). EXEMPLO 1 Use as Propriedades dos Limites e os gráficos de f e g na Figura 1 para calcular os seguintes limites, se eles existirem. (a) lim_{x→−2} [f(x) + 5g(x)] (b) lim_{x→1} [f(x)g(x)] (c) lim_{x→2} \frac{f(x)}{g(x)} FIGURA 1 (a) \lim_{x \to -2} [f(x) + 5g(x)] (b) \lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] (c) \lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{g(x)} Propriedade da Potência 6. \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo Para aplicar essas seis propriedades, vamos precisar usar dois limites especiais: 7. \lim_{x \to a} c = c \qquad\qquad 8. \lim_{x \to a} x = a 9. \lim_{x \to a} x^n = a^n \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo 10. \lim_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a} \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo (Se \ n \ for \ par, \ supomos \ que \ a > 0.) 11. \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo [Se \ n \ for \ par, \ supomos \ que \ \lim_{x \to a} f(x) > 0.] Propriedade da Raiz EXEMPLO 2 Calcule os limites a seguir justificando cada passagem. (a) \lim_{x \to 5} (2x^2 - 3x + 4) \qquad\qquad (b) \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 - 1}{5 - 3x} SOLUÇÃO (a) \lim_{x \to 5} (2x^2 - 3x + 4) = \lim_{x \to 5} (2x^2) - \lim_{x \to 5} (3x) + \lim_{x \to 5} 4 \qquad (pelas \ Propriedades \ 2 \ e \ 1) = 2 \lim_{x \to 5} x^2 - 3 \lim_{x \to 5} x + \lim_{x \to 5} 4 \qquad (pela \ Propriedade \ 3) = 2(5^2) - 3(5) + 4 \qquad (pelas \ Propriedades \ 9, \ 8 \ e \ 7) = 39. (b) \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 - 1}{5 - 3x} = \frac{\lim_{x \to -2} (x^3 + 2x^2 - 1)}{\lim_{x \to -2} (5 - 3x)} \quad \text{(pela Propriedade 5)} = \frac{\lim_{x \to -2} x^3 + 2 \lim_{x \to -2} x^2 - \lim_{x \to -2} 1}{\lim_{x \to -2} 5 - 3 \lim_{x \to -2} x}\quad \text{(pelas Propriedades 1, 2 e 3)} = \frac{(-2)^3 + 2(-2)^2 - 1}{5 - 3(-2)}\quad \text{(pelas Propriedades 9, 8 e 7)} = -\frac{1}{11} Propriedade de Substituição Direta Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então \lim_{x \to a} f(x) = f(a) EXEMPLO 3 Encontre \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} . SOLUÇÃO Seja f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1). Não podemos encontrar o limite substituindo x = 1 porque f(1) não está definido. Nem podemos aplicar a Propriedade do Quociente porque o limite do denominador é 0. De fato, precisamos fazer inicialmente algumas operações algébricas. Fatoramos o numerador como uma diferença de quadrados: \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado Teorema do Sanduíche ou do Imprensamento, está ilustrado na Figura 7. Ele diz que se g(x) ficar imprensado entre f(x) e h(x) nas proximidades de a, e se f e h tiverem o mesmo limite L em a, então g será forçada a ter o mesmo limite L em a. Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo:
Send your question to AI and receive an answer instantly
Recommended for you
Preview text
Universidade Federal de Mato Grosso Semestre 2023.2 LIMITES Profa. Dra. Ana Fanny Benzi O. Bastos Livro Stewart, James Cálculo, volume I p. 88 a 91 1 Definição Suponha que f(x) seja definido quando está próximo ao número a. (Isso significa que f é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no próprio a.) Então escrevemos lim x->a f(x) = L e dizemos "o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L" se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos), tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a. Uma notação alternativa para lim x->a f(x) = L é f(x) -> L quando x -> a que geralmente é lida como "f(x) tende a L quando x tende a a". A Figura 2 mostra os gráficos de três funções. Note que, na parte (c), f(a) não está definida e, na parte (b), f(a) ≠ L. Mas, em cada caso, não importando o que acontece em a, é verdade que lim x->a f(x) = L. FIGURA 2 lim x->a f(x)=L nos três casos EXEMPLO 1 Estime o valor de lim x->1 (x-1)/(x^2-1). lim x->1 (x-1)/(x^2-1) = 0,5 x < 1 f(x) 0,5 0,666667 0,9 0,526316 0,99 0,502513 0,999 0,500250 0,9999 0,500025 x > 1 f(x) 1,5 0,400000 1,1 0,476190 1,01 0,497512 1,001 0,499750 1,0001 0,499975 FIGURA 3 EXEMPLO 2 Estime o valor de lim t→0 √t² + 9 − 3 t² . t √t² + 9 − 3 t² ±1,0 0,16228 ±0,5 0,16553 ±0,1 0,16662 ±0,05 0,16666 ±0,01 0,16667 lim t→0 √t² + 9 − 3 t² = 1 6 EXEMPLO 3 Faça uma estimativa de lim x→0 sen x x . x sen x x ±1,0 0,84147098 ±0,5 0,95885108 ±0,4 0,97354586 ±0,3 0,98506736 ±0,2 0,99334665 ±0,1 0,99833417 ±0,05 0,99958339 ±0,01 0,99998333 ±0,005 0,99999583 ±0,001 0,99999983 lim x→0 sen x x = 1 y = sen x x 1 0 −1 −1 0 1 Limites Laterais Limites Laterais EXEMPLO 6 A função de Heaviside, H, é definida por { 0 se t < 0 H(t) = { 1 se t ≥ 0 lim H(t) = 0 e lim H(t) = 1 t→0⁻ t→0⁺ O símbolo “t → 0⁻” indica que estamos considerando somente valores de t menores que 0. Da mesma forma, “t → 0⁺” indica que estamos considerando somente valores de t maiores que 0. FIGURA 8 A função Heaviside Limites Laterais 2 Definição Escrevemos lim f(x) = L x→a⁻ e dizemos que o limite à esquerda de f(x) quando x tende a a [ou o limite d e f(x) quando x tende a a pela esquerda] é igual a L se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x suficientemente próximo de a e x menor que a. Perceba que a Definição 2 difere da Definição 1 somente por necessitarmos que x seja menor que a. De maneira semelhante, se exigirmos que x seja maior que a, obtemos “o limite à direita de f(x) quando x tende a a é igual a L” e escrevemos lim f(x) = L x→a⁺ Dessa forma, o símbolo “x → a⁺” indica que estamos considerando somente x > a. Essas definições estão ilustradas na Figura 9. FIGURA 9 Comparando a Definição 1 com as definições de limites laterais, vemos ser verdadeiro o que segue. 3 lim f(x) = L se e somente se lim f(x) = L e lim f(x) = L EXEMPLO 7 O gráfico de uma função g é apresentado na Figura 10. Use-o para estabelecer os valores (caso existam) dos seguintes limites: (a) lim g(x) (b) lim g(x) (c) lim g(x) (d) lim g(x) (e) lim g(x) (f) lim g(x) (a) lim g(x) = 3 e (b) lim g(x) = 1 (d) lim g(x) = 2 e (e) lim g(x) = 2 (f) lim g(x) = 2 Apesar desse fato, observe que g(5) ≠ 2. Limites Infinitos Limites Infinitos EXEMPLO 8 Encontre lim {x\to 0} 1/x², se existir. lim {x\to 0} 1/x² = \infty x | 1/x² ±1 | 1 ±0,5 | 4 ±0,2 | 25 ±0,1 | 100 ±0,05 | 400 ±0,01 | 10.000 ±0,001 | 1.000.000 Isso não significa que consideramos \infty como um número. Tampouco significa que o limite existe. Expressa simplesmente uma maneira particular de não existência de limite: 1/x² pode ser tão grande quanto quisermos, tornando x suficientemente perto de 0. 4 Definição Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente no próprio a. Então lim {x\to a} f(x) = \infty significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes (tão grandes quanto quisermos) tornando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. Outra notação para lim {x\to a} f(x) = \infty é f(x) \to \infty quando x \to a Novamente, o símbolo \infty não é um número; todavia, a expressão lim {x\to a} f(x) = \infty é usualmente lida como “o limite de f(x), quando x tende a a, é infinito” ou “f(x) se torna infinito quando x tende a a” ou “f(x) cresce ilimitadamente quando x tende a a” 5 Definição Seja f definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente no próprio a. Então lim {x\to a} f(x) = -\infty significa que os valores de f(x) podem ser arbitrariamente grandes, porém negativos, ao tornarmos x suficientemente próximo de a, mas não igual a a. 6 Definição A reta x = a é chamada assíntota vertical da curva y = f(x) se pelo menos uma das seguintes condições estiver satisfeita: lim (x→a-) f(x) = ∞ lim (x→a+) f(x) = ∞ lim (x→a-) f(x) = -∞ lim (x→a+) f(x) = -∞ Exemplo 9 Encontre lim (x→3+) 2x/(x-3) e lim (x→3-) 2x/(x-3). lim (x→3+) 2x/(x-3) = ∞ lim (x→3-) 2x/(x-3) = -∞ Livro Stewart, James Cálculo, volume I p. 88 a 91 3. Explique o significado de cada uma das notações a seguir. (a) lim (x→3) f(x) = ∞ (b) lim (x→4+) f(x) = -∞ 4. Use o gráfico dado de f para dizer o valor de cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim (x→2-) f(x) (b) lim (x→2+) f(x) (c) lim (x→2) f(x) (d) f(2) (e) lim (x→4) f(x) (f) f(4) 5. Para a função f, cujo gráfico é dado, diga o valor de cada quantidade indicada, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim x→1 f(x) (b) lim x→3- f(x) (c) lim x→3+ f(x) (d) lim x→3 f(x) (e) f(3) 7. Para a função g cujo gráfico é dado, diga o valor da cada quantidade, se ela existir. Se não existir, explique por quê. (a) lim r→0- g(t) (b) lim r→0+ g(t) (c) lim r→0 g(t) (d) lim r→2- g(t) (e) lim r→2+ g(t) (f) lim r→2 g(t) (g) g(2) (h) lim r→4 g(t) 9. Para a função f cujo gráfico é mostrado a seguir, determine o seguinte: (a) lim x→-7 f(x) (b) lim x→-3 f(x) (c) lim x→0 f(x) (d) lim x→-6- f(x) (e) lim x→6+ f(x) (f) As equações das assíntotas verticais. 29-37 Determine o limite infinito. 29. lim x →−3+ (x + 2) / (x + 3) 30. lim x →−3− (x + 2) / (x + 3) 31. lim x →1 (2 − x) / (x − 1)^2 32. lim x →5− e^x / (x − 5)^3 33. lim x →3+ ln(x^2 − 9) 34. lim x →π− cot x 35. lim x →2π− x csc x 36. lim x →2− (x^2 − 2x) / (x^2 − 4x + 4) 37. lim x →2+ (x^2 − 2x − 8) / (x^2 − 5x + 6) 19-22 Faça uma conjectura sobre o valor do limite (se ele existir) por meio dos valores da função nos números dados (com precisão de seis casas decimais). 19. lim x →2 (x^2 − 2x) / (x^2 − x − 2), x = 2.5, 2.1, 2.05, 2.01, 2.005, 2.001, 1.9, 1.95, 1.99, 1.995, 1.999 21. lim x →0 (e^x − 1− x) / x^2, x = ±1, ±0.5, ±0.1, ±0.05, ±0.01 23-26 Use uma tabela de valores para estimar o valor do limite. Se você tiver alguma ferramenta gráfica, use-a para confirmar seu resultado. 23. lim x →0 √(x + 4) − 2 / x 24. lim x →0 tg 3x / tg 5x 25. lim x →1 (x^6 − 1) / (x^10 − 1) 26. lim x →0 (9^x − 5^x) / x 2.3 Cálculos Usando Propriedades dos Limites 2.3 Cálculos Usando Propriedades dos Limites Propriedades dos Limites Supondo que c seja uma constante e os limites lim_{x→a} f(x) e lim_{x→a} g(x) existam, então 1. lim_{x→a} [f(x) + g(x)] = lim_{x→a} f(x) + lim_{x→a} g(x) 2. lim_{x→a} [f(x) - g(x)] = lim_{x→a} f(x) - lim_{x→a} g(x) 3. lim_{x→a} [cf(x)] = c lim_{x→a} f(x) 4. lim_{x→a} [f(x)g(x)] = lim_{x→a} f(x) · lim_{x→a} g(x) 5. lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_{x→a} f(x)}{lim_{x→a} g(x)} se lim_{x→a} g(x) ≠ 0 Propriedade da Soma Propriedade da Diferença Propriedade da Multiplicação por Constante Propriedade do Produto Propriedade do Quociente 1. lim_{x→a} [f(x) + g(x)] = lim_{x→a} f(x) + lim_{x→a} g(x) 2. lim_{x→a} [f(x) - g(x)] = lim_{x→a} f(x) - lim_{x→a} g(x) 3. lim_{x→a} [cf(x)] = c lim_{x→a} f(x) 4. lim_{x→a} [f(x)g(x)] = lim_{x→a} f(x) · lim_{x→a} g(x) 5. lim_{x→a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{lim_{x→a} f(x)}{lim_{x→a} g(x)} se lim_{x→a} g(x) ≠ 0 1. O limite de uma soma é a soma dos limites. 2. O limite de uma diferença é a diferença dos limites. 3. O limite de uma constante multiplicando uma função é a constante multiplicando o limite desta função. 4. O limite de um produto é o produto dos limites. 5. O limite de um quociente é o quociente dos limites (desde que o limite do denominador não seja zero). EXEMPLO 1 Use as Propriedades dos Limites e os gráficos de f e g na Figura 1 para calcular os seguintes limites, se eles existirem. (a) lim_{x→−2} [f(x) + 5g(x)] (b) lim_{x→1} [f(x)g(x)] (c) lim_{x→2} \frac{f(x)}{g(x)} FIGURA 1 (a) \lim_{x \to -2} [f(x) + 5g(x)] (b) \lim_{x \to 1} [f(x)g(x)] (c) \lim_{x \to -2} \frac{f(x)}{g(x)} Propriedade da Potência 6. \lim_{x \to a} [f(x)]^n = [\lim_{x \to a} f(x)]^n \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo Para aplicar essas seis propriedades, vamos precisar usar dois limites especiais: 7. \lim_{x \to a} c = c \qquad\qquad 8. \lim_{x \to a} x = a 9. \lim_{x \to a} x^n = a^n \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo 10. \lim_{x \to a} \sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{a} \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo (Se \ n \ for \ par, \ supomos \ que \ a > 0.) 11. \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \quad onde \ n \ e \ um \ inteiro \ positivo [Se \ n \ for \ par, \ supomos \ que \ \lim_{x \to a} f(x) > 0.] Propriedade da Raiz EXEMPLO 2 Calcule os limites a seguir justificando cada passagem. (a) \lim_{x \to 5} (2x^2 - 3x + 4) \qquad\qquad (b) \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 - 1}{5 - 3x} SOLUÇÃO (a) \lim_{x \to 5} (2x^2 - 3x + 4) = \lim_{x \to 5} (2x^2) - \lim_{x \to 5} (3x) + \lim_{x \to 5} 4 \qquad (pelas \ Propriedades \ 2 \ e \ 1) = 2 \lim_{x \to 5} x^2 - 3 \lim_{x \to 5} x + \lim_{x \to 5} 4 \qquad (pela \ Propriedade \ 3) = 2(5^2) - 3(5) + 4 \qquad (pelas \ Propriedades \ 9, \ 8 \ e \ 7) = 39. (b) \lim_{x \to -2} \frac{x^3 + 2x^2 - 1}{5 - 3x} = \frac{\lim_{x \to -2} (x^3 + 2x^2 - 1)}{\lim_{x \to -2} (5 - 3x)} \quad \text{(pela Propriedade 5)} = \frac{\lim_{x \to -2} x^3 + 2 \lim_{x \to -2} x^2 - \lim_{x \to -2} 1}{\lim_{x \to -2} 5 - 3 \lim_{x \to -2} x}\quad \text{(pelas Propriedades 1, 2 e 3)} = \frac{(-2)^3 + 2(-2)^2 - 1}{5 - 3(-2)}\quad \text{(pelas Propriedades 9, 8 e 7)} = -\frac{1}{11} Propriedade de Substituição Direta Se f for uma função polinomial ou racional e a estiver no domínio de f, então \lim_{x \to a} f(x) = f(a) EXEMPLO 3 Encontre \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} . SOLUÇÃO Seja f(x) = (x^2 - 1)/(x - 1). Não podemos encontrar o limite substituindo x = 1 porque f(1) não está definido. Nem podemos aplicar a Propriedade do Quociente porque o limite do denominador é 0. De fato, precisamos fazer inicialmente algumas operações algébricas. Fatoramos o numerador como uma diferença de quadrados: \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 O Teorema do Confronto, algumas vezes chamado Teorema do Sanduíche ou do Imprensamento, está ilustrado na Figura 7. Ele diz que se g(x) ficar imprensado entre f(x) e h(x) nas proximidades de a, e se f e h tiverem o mesmo limite L em a, então g será forçada a ter o mesmo limite L em a. Essa situação é expressa simbolicamente escrevendo: