Slide - Funções - 2024-1

O TEXTO 6 - FUNÇÃO QUADRÁTICA f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) Exemplos de funções quadráticas: 1º) f(x) = x^2 - 3x + 2 em que a = 1, b = -3, c = 2 2º) f(x) = 2x^2 + 4x - 3 em que a = 2, b = 4, c = -3 3º) f(x) = -3x^2 + 5x - 1 em que a = -3, b = 5, c = -1 4º) f(x) = x^2 - 4 em que a = 1, b = 0, c = -4 5º) f(x) = -2x^2 + 5x em que a = -2, b = 5, c = 0 6º) f(x) = -3x^2 em que a = -3, b = 0, c = 0 II. Gráfico O gráfico da função quadrática é uma parábola. y = x^2 - 1 x y = x^2 - 1 -3 8 -2 3 -1 0 0 -1 1 0 2 3 3 8 III. Concavidade y = ax^2 + bx + c Se a > 0, a concavidade da parábola está voltada para cima. Se a < 0, a concavidade da parábola está voltada para baixo. V. Zeros f(x) = ax^2 + bx + c ax^2 + bx + c = 0 x = (-b ± √Δ) / 2a Δ = b^2 - 4ac Número de raízes 1º) Δ > 0, a equação apresentará duas raízes distintas, que são: x₁ = (-b + √Δ) / 2a e x₂ = (-b - √Δ) / 2a 2º) Δ = 0, a equação apresentará duas raízes iguais, que são: x₁ = x₂ = -b / 2a 3º) Δ < 0, sabendo que nesse caso √Δ ∉ ℝ, diremos que a equação não apresenta raízes reais. 229. Determine os zeros reais das funções: a) f(x) = x^2 - 3x + 2 II. Função identidade 81. Uma aplicação f de ℝ em ℝ recebe o nome de função identidade quando a cada elemento x ∈ ℝ associa o próprio x, isto é: f(x) = x III. Função linear 82. Uma aplicação de ℝ em ℝ recebe o nome de função linear quando a cada elemento x ∈ ℝ associa o elemento ax ∈ ℝ em que a ≠ 0 é um número real dado, isto é: f(x) = ax (a ≠ 0)(*) IV. Função afim 83. Uma aplicação de ℝ em ℝ recebe o nome de função afim quando a cada x ∈ ℝ associa sempre o mesmo elemento (ax + b) ∈ ℝ, em que a ≠ 0 e b são números reais dados. f(x) = ax + b (a ≠ 0) 87. O coeficiente a da função y = ax + b é denominado coeficiente angular ou declividade da reta representada no plano cartesiano. O coeficiente b da função y = ax + b é denominado coeficiente linear. 173. Resolva analítica e graficamente o sistema de equações: \left\{\begin{array}{l} x - y = -3 \\ 2x + 3y = 4 \end{array}\right. 1º processo: Substituição Resolvendo, por exemplo, a primeira equação na incógnita x, temos: x - y = -3 \Leftrightarrow x = y - 3 e substituímos x por esse valor na segunda equação: 2(y - 3) + 3y = 4 \Leftrightarrow 2y - 6 + 3y = 4 \Leftrightarrow y = 2 que levamos à primeira equação, encontrando: x - 2 = -3 \Leftrightarrow x = -1 A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2). 2º processo: Adição Assim, no sistema \left\{\begin{array}{l} x - y = -3 \\ 2x + 3y = 4 \end{array}\right. multiplicamos a primeira equação por 3 \left\{\begin{array}{l} 3x - 3y = -9 \\ 2x + 3y = 4 \end{array}\right. Substituindo a primeira equação pela soma das duas equações, temos: \left\{\begin{array}{l} 5x = -5 \\ 2x + 3y = 4 \end{array}\right. que é equivalente a: \left\{\begin{array}{l} x = -1 \\ 2x + 3y = 4 \end{array}\right. Substituindo x = -1 em 2x + 3y = 4, encontramos: 2 \cdot (-1) + 3y = 4 \Rightarrow y = 2 A solução do sistema é o par ordenado (-1, 2). 185. Dados os gráficos das funções de ℝ em ℝ, obtenha a lei de correspondência dessas funções. EXERCÍCIOS 169. Construa o gráfico das funções de ℝ em ℝ: a) y = 2 c) y = -3 172. Construa o gráfico cartesiano das funções de ℝ em ℝ: d) y = \frac{2x - 3}{2} h) y = \frac{4 - 3x}{2} 174. Resolva analítica e graficamente os sistemas de equações. a) \begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases} b) \begin{cases} 3x - 2y = -14 \\ 2x + 3y = 8 \end{cases} 175. Resolva os sistemas de equações: a) \begin{cases} \frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y} = \frac{3}{4} \\ \frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y} = -\frac{1}{4} \end{cases} Sugestão: Faça \frac{1}{x - y} = a e \frac{1}{x + y} = b. 177. Obtenha a equação da reta que passa pelos pontos: a) (2, 3) e (3, 5) 181. Obtenha a equação da reta que passa pelo ponto (-2, 4) e tem coeficiente angular igual a -3. 186. O custo C de produção de x litros de uma certa substância é dado por uma função linear de x, com x >= 0, cujo gráfico está representado abaixo. Nessas condições, o custo de R$ 700,00 corresponde à produção de quantos litros? 187. Considere esta tabela para o cálculo do imposto de renda a ser pago pelos contribuintes em um certo mês de 2012. | x | i | d | | Renda bruta (R$)| Alíquota % | Parcela a deduzir do imposto (R$) | | Até 1637,11 | isento | – | | De 1637,12 até 2453,50 | 7,5 | 122,78 | | De 2453,51 até 3271,38 | 15,0 | 306,80 | | De 3271,39 até 4087,65 | 22,5 | 552,15 | | Acima de 4087,65 | 27,5 | n | Considerando x como a renda bruta de um contribuinte, o imposto a pagar é função f de x. O contribuinte deve multiplicar a sua renda bruta pelo valor da alíquota e subtrair do resultado a parcela a deduzir. Além disso, tal função deve ser contínua, para não prejudicar nem beneficiar contribuintes cuja renda se situe em faixas distintas da tabela. Note, por exemplo, que, ao passar da primeira faixa (isento) para a segunda (alíquota de 7,5%), a parcela a deduzir (122,78) não permite saltos no gráfico. a) Utilize os valores i e d da tabela e dê a expressão da função 'imposto a pagar' relativa a uma renda x, em cada faixa da tabela. b) Determine o valor de n da tabela para tornar a função obtida no item a contínua. VIII. Zero da função afim Exemplo: O zero da função f(x) = 2x - 1 2x - 1 = 0 x = 1/2 x é zero de y = f(x) <=> f(x) = 0 Funções crescentes e decrescentes Função crescente f: A → B Em símbolos: f é crescente quando (∀ x₁, x₂) (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)) OU (∀ x₁, x₂) (x₁ ≠ x₂ ⇒ \frac{f(x₁) - f(x₂)}{x₁ - x₂} > 0) Função decrescente f: A → B Em símbolos: f é decrescente quando (∀ x₁, x₂) (x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)) (∀ x₁, x₂) (x₁ ≠ x₂ ⇒ \frac{f(x₁) - f(x₂)}{x₁ - x₂} < 0) f(x) = ax + b (a ≠ 0) α = \frac{f(x₁) - f(x₂)}{x₁ - x₂} EXERCÍCIOS 194. Com base nos gráficos abaixo, de funções de ℝ em ℝ, especifique os intervalos em que a função é crescente ou decrescente. a) b) 196. Especifique, para cada uma das funções abaixo, se é crescente ou decrescente em ℝ: a) y = 1 + 5x c) y = x + 2 e) y = -2x Sinal de uma função Conclusão: f(x) = 0 ⇔ x = -1 ou x = 2 ou x = 4 ou x = 7 f(x) > 0 ⇔ -1 < x < 2 ou 2 < x < 4 ou x > 7 f(x) < 0 ⇔ x < -1 ou 4 < x < 7. EXERCÍCIOS 199. Estude o sinal das funções cujos gráficos estão representados abaixo. Sinal da função afim x = -b/a, zero da função afim f(x) = ax + b. 1º caso: a > 0 f(x) = ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x > -b/a f(x) = ax + b < 0 ⇔ ax < -b ⇔ x < -b/a 2º caso: a < 0 f(x) = ax + b > 0 ⇔ ax > -b ⇔ x < -b/a f(x) = ax + b < 0 ⇔ ax < -b ⇔ x > -b/a Estudar os sinais da função f(x) = -2x + 4. Temos: f(x) = 0 => -2x + 4 = 0 => x = 2 a = -2 => a < 0 e -a > 0. Para x > 2 => f(x) < 0 (sinal de a) Para x < 2 => f(x) > 0 (sinal de -a) Fazendo o esquema gráfico, temos: 205. Dados os gráficos das funções f, g e h definidas em ℝ, determine os valores de x ∈ ℝ, tais que: a) f(x) > g(x) b) g(x) ≼ h(x) c) f(x) ≽ h(x) d) g(x) > 4 e) f(x) ≼ 0 Inequações Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente D_1 ⊂ ℝ e D_2 ⊂ ℝ. Chamamos inequação na incógnita x a qualquer uma das sentenças abertas abaixo: f(x) > g(x) f(x) ≽ g(x) f(x) < g(x) f(x) ≼ g(x) Exemplos: 1º) 2x - 4 > x é uma inequação em que f(x) = 2x - 4 e g(x) = x. 2º) 3x - 5 < 2 é uma inequação em que f(x) = 3x - 5 e g(x) = 2. 3º) x² - 3 ≽ 1/x é uma inequação em que f(x) = x² - 3 e g(x) = 1/x. 4º) √(x - 2) ≼ 1/(x - 3) é uma inequação em que f(x) = √(x - 2) e g(x) = 1/(x - 3). Exemplos: Seja a inequação 3x - 1 > 2x + 3 (1) adicionemos h(x) = -2x + 1 aos dois membros: (3x - 1) + (-2x + 1) > (2x + 3) + (-2x + 1) (2) Assim, no exemplo anterior, teríamos: 3x - 1 > 2x + 3 => 3x - 1 - 2x > 3 => x > 3 + 1 => x > 4 portanto, como (1) é equivalente a (2) temos: S = {x ∈ ℝ | x > 4}. P-2) 1°) x/2 - 3/4 > 1/3 e 6x - 9 > 4 são equivalentes em ℝ. 2°) -2x^2 + 3x > 1 e 2x^2 - 3x < -1 são equivalentes em ℝ. 3°) (4x - 3) / (x^2 + 1) > 0 e 4x - 3 > 0 são equivalentes em ℝ. EXERCÍCIOS 206. Resolva as inequações, em ℝ: b) 5(x + 3) - 2(x + 1) ≤ 2x + 3 208. b) (2x - 3)/2 - (5 - 3x)/3 < 3x - 1/6 211. a) 3x - 2/(1 - x) ≤ -3 Inequações simultâneas f(x) < g(x) < h(x) ⇔ {f(x) < g(x) (1) e g(x) < h(x) (2)} Temos que resolver duas inequações: (1) 3x + 2 < -x + 3 => 4x < 1 => x < 1/4 (2) -x + 3 ≤ x + 4 => -2x ≤ 1 => x ≥ -1/2 A interseção desses dois conjuntos é: S = {x ∈ ℝ | -1/2 ≤ x < 1/4}. Exemplo: Resolver 3x + 2 < -x + 3 ≤ x + 4. 213. Resolva, em ℝ, os sistemas de inequações: a) { 3 - 2x ≼ 1 3x - 1 ≼ 5 b) { 3x - 2 > 4x + 1 5x + 1 ≼ 2x - 5 214. Com base nos gráficos das funções f, g e h definidas em ℝ, determine os valores de x ∈ ℝ, tais que: a) f(x) < g(x) ≼ h(x) c) h(x) ≼ f(x) < g(x) Inequações-produto Sendo f(x) e g(x) duas funções na variável x, as inequações f(x) · g(x) > 0, f(x) · g(x) < 0, f(x) · g(x) ≼ 0 e f(x) · g(x) ≽ 0 1º) f(x) > 0 e g(x) > 0 2º) f(x) < 0 e g(x) < 0 Vejamos um outro processo, mais prático, para resolvermos a inequação (x + 2)(2x - 1) > 0 em ℝ. f(x) g(x) f(x) ⋅ g(x) x -2 \(\frac{1}{2}\) - + + - - + + + - + S = \{ x \in \mathbb{R} | x < -2 \; \text{ou} \; x > \frac{1}{2} \} Inequações-quociente Exemplo: Resolver, em ℝ, a inequação \(\frac{3x+4}{1-x}\) ≤ 2. Temos: \(\frac{3x+4}{1-x}\) ≤ 2 ⇒ \(\frac{3x+4}{1-x} - 2\) ≤ 0 ⇒ \(\frac{3x+4-2(1-x)}{1-x}\) ≤ 0 ⇒ \(\frac{5x+2}{1-x}\) ≤ 0 Fazendo o quadro-quociente, temos: f(x) = 5x + 2 g(x) = 1 - x f(x) / g(x) x -\(\frac{2}{5}\) 1 - + + + - + + - - S = \(\{ x \in \mathbb{R} | x ≤ -\frac{2}{5} \; \text{ou} \; x > 1 \}\) 220. Resolva as inequações, em ℝ: e) \(\frac{3x-5}{2x-4}\) ≤ 1 O TEXTO 6 - FUNÇÃO QUADRÁTICA VI. Máximo e mínimo Se a < 0 Se a > 0 valor máximo ponto de máximo x_M y_M x y Vm(t) valor mínimo ponto de mínimo x_m y_m y_M = -\frac{\Delta}{4a} \text{ para } x_M = -\frac{b}{2a} VII. Vértice da parábola V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right) 256. Determine os vértices das parábolas: c) y = 2x^2 - 5x + 2 X. Informações que auxiliam a construção do gráfico 120. Para fazermos o esboço do gráfico da função quadrática f(x) = ax^2 + bx + c, buscaremos, daqui para frente, informações preliminares, que são: 1ª) O gráfico é uma parábola, cujo eixo de simetria é a reta x = -\frac{b}{2a} perpendicular ao eixo dos x. 2ª) Se a > 0, a parábola tem a concavidade voltada para cima. Se a < 0, a parábola tem a concavidade voltada para baixo. 3ª) Zeros da função: Se \Delta > 0, a parábola intercepta o eixo dos x em dois pontos distintos: P_1\left(-\frac{b - \sqrt{\Delta}}{2a}, 0\right) \text{ e } P_2\left(-\frac{b + \sqrt{\Delta}}{2a}, 0\right). Se \Delta = 0, a parábola tangencia o eixo dos x no ponto P\left(-\frac{b}{2a}, 0\right). Se \Delta < 0, a parábola não tem pontos no eixo dos x. 4ª) Vértice da parábola é o ponto V\left(-\frac{b}{2a}, -\frac{\Delta}{4a}\right), que é máximo se a < 0 ou é mínimo se a > 0. Polinômio de grau 2 Polinômio de grau 3 Polinômio de grau 4 função exponencial decresce função exponencial constante função exponencial cresce Observe que ângulos diferentes podem ter o mesmo lado final. Por exemplo, os ângulos Têm os mesmos lados inicial e final, pois