Circuitos Trifásicos - Análise, Cálculo e Potência em Sistemas Elétricos

4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 41 INTRODUÇÃO Este capítulo iniciase com algumas definições importantes que serão utilizadas ao longo do texto Em seguida são apresentados métodos de cálculo para a análise de circuitos trifásicos alimentando cargas trifásicas equilibradas ligadas através das duas formas possíveis em estrela e em triângulo Em continuação apresentase o tópico de potência em sistemas trifásicos quando são definidos os conceitos de potência ativa reativa e aparente Definese como sistema de tensões trifásico e simétrico a 3 fases um sistema de tensões do tipo e E t e E e e E t e E e e e E t E t e E e e M M j t M M j j t M M M j j t 1 2 2 3 3 2 3 2 3 4 3 2 3 ℜ ℜ ℜ cos cos cos cos ω ω π ω π ω π ω π ω π ω E pelos fasores temse E E j E 1 0 0 cos E E j sen E j E 2 2 3 2 3 1 2 3 2 120 π π 41 cos E E j sen E j E 3 2 3 2 3 1 2 3 2 120 π π em que E E M 2 representa o valor eficaz da tensão Para entendimento de como um sistema trifásico é gerado partese de um gerador monofásico Nos terminais de uma bobina que gira com velocidade angular constante no interior de um campo magnético uniforme surge uma tensão senoidal cuja expressão é e E t M cos ω θ 54 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS em que θ representa o ângulo inicial da bobina Ou melhor adotandose a origem dos tempos coincidente com a direção do vetor indução θ representa o ângulo formado pela direção da bobina com a origem dos tempos no instante t0 Assim é óbvio que se sobre o mesmo eixo forem dispostas três bobinas deslocadas entre si de 2 π 3 rad e girar o conjunto com velocidade angular constante no sentido horário no interior de um campo magnético uniforme nos terminais das bobinas aparecerá um sistema de tensões de mesmo valor máximo e defasadas entre si de 2 π 3 rad conforme Figura 41 N N N S S S C A B a Bobinas do gerador 200 150 100 50 0 50 100 150 200 0 100 200 300 400 b Valores instantâneos das tensões Figura 41 Obtenção de um sistema trifásico de tensões Definese para um sistema polifásico simétrico seqüência de fase como sendo a ordem pela qual as tensões das fases passam pelo seu valor máximo Por exemplo no sistema trifásico da Figura 41 a seqüência de fase é ABC uma vez que as tensões passam consecutivamente pelo valor máximo na ordem ABC Evidentemente uma alteração cíclica não altera a seqüência de fase isto é a seqüência ABC é a mesma que BCA e que CAB À seqüência ABC é dado o nome seqüência direta ou seqüência ELETROTÉCNICA GERAL 55 positiva e à seqüência ACB que coincide com CBA e BAC dáse o nome de seqüência inversa ou seqüência negativa Exemplo 41 Um sistema trifásico simétrico tem seqüência de fase negativa BAC e V V C 220 40 Determinar as tensões VA e VB Solução Sendo a seqüência de fase BAC a primeira tensão a passar pelo valor máximo será vB a qual será seguida na ordem por v A e vC Portanto deverá ser v V t v V t v V t B M A M C M cos cos cos ω θ ω θ π ω θ π 2 3 4 3 em que θ representa o ângulo inicial ou a rotação de fase em relação à origem No instante t0 temse v V v V v V B M A M C M cos cos cos θ θ π θ π 2 3 4 3 Sendo V VM 2 fasorialmente temse V V V V V V B A C θ θ π θ π 2 3 4 3 Por outro lado sendo dado V V C 220 40 resulta V V 220 120 40 80 θ ou θ e portanto V V V V V V B A C 220 80 220 200 220 40 Ao definir os sistemas trifásicos observase que entre as grandezas que os caracterizam há uma rotação de fase de 120 portanto é bastante evidente pensar num operador que aplicado a um fasor perfaça tal rotação de fase Assim definese o operador α que é um número complexo de módulo unitário e argumento 120 de modo que quando aplicado a um fasor qualquer transformao em outro de mesmo módulo e adiantado de 120 Em outras palavras α 1 120 1 2 3 2 j 42 56 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS No tocante à potenciação o operador α possui as seguintes propriedades α α α α α α α α α α α 1 2 3 2 4 3 1 120 1 120 1 120 1 120 1 120 1 120 1 0 1 0 1 120 1 120 Além dessas o operador α possui ainda a propriedade 1 1 0 1 120 1 120 0 2 α α 43 que é muito importante e será amplamente utilizada neste texto 42 SISTEMAS TRIFÁSICOS SIMÉTRICOS E EQUILIBRADOS COM CARGA EQUILIBRADA LIGAÇÕES 421 LIGAÇÕES EM ESTRELA Supondo que sejam alimentadas a partir dos terminais das três bobinas do item precedente três impedâncias quaisquer Z Z R j X ϕ porém iguais entre si carga equilibrada É evidente que os três circuitos assim constituídos Figura 42 formam três circuitos monofásicos nos quais circularão as correntes I E Z E j Z E Z I E Z E Z E Z I E Z E Z E Z A A N B B N C C N A B C 0 120 120 120 120 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ Isto é nos três circuitos circularão correntes de mesmo valor eficaz e defasadas entre si de 2 π 3 rad ou 120 Observase que os três circuitos são eletricamente independentes e portanto podese interligar os pontos NA NB e NC designados por N sem que isso venha a causar qualquer alteração nos mesmos Por outro lado observase que os pontos N N N A B C e ELETROTÉCNICA GERAL 57 estão ao mesmo potencial que o ponto N logo podem ser interligados designandoos por N A corrente que circula pelo condutor NN é dada por I I I I NN A B C 0 pois as três correntes aferentes ao nó N têm o mesmo valor eficaz e estão defasadas entre si de 2π3 rad Devese salientar a mesma conclusão poderia ser obtida observando que os pontos N e N estão no mesmo potencial A A B B C C NA NB NC NA NB NC IA IB IC a Três circuitos monofásicos A A B B C C N N IA IB IC b Circuito trifásico Figura 42 Sistema trifásico com gerador e carga ligados em estrela O condutor que interliga os pontos N e N recebe o nome de fio neutro ou quarto fio Evidentemente sendo nula a corrente que o percorre poderia ser retirado do circuito Observase aqui uma das grandes vantagens dos sistemas trifásicos Para a transmissão da mesma potência são utilizados 3 ou 4 fios enquanto seriam necessários 6 fios se fossem utilizados 3 circuitos monofásicos conforme observase da Figura 42 58 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Ao esquema de ligação assim obtido é dado o nome de circuito trifásico simétrico com gerador ligado em estrela Y e carga equilibrada em estrela Y dandose o nome de centroestrela ao ponto N ou N Definemse 1Tensão de fase tensão medida entre o centroestrela e qualquer um dos terminais do gerador ou da carga 2Tensão de linha tensão medida entre dois terminais nenhum deles sendo o centro estrela do gerador ou da carga Evidentemente definese a tensão de linha como sendo a tensão medida entre os condutores que ligam o gerador à carga 3Corrente de fase corrente que percorre cada uma das bobinas do gerador ou o que é o mesmo corrente que percorre cada uma das impedâncias da carga 4Corrente de linha corrente que percorre os condutores que interligam o gerador à carga excluise o neutro Salientase que as tensões e correntes de linha e de fase num sistema trifásico simétrico e equilibrado têm em todas as fases valores eficazes iguais estando defasadas entre si de 2π3 rad Em vista deste fato é evidente que a determinação desses valores num circuito trifásico com gerador em Y e carga em Y resumese à sua determinação para o caso de um circuito monofásico constituído por uma das bobinas ligada a uma das impedâncias por um condutor de linha lembrando ainda que a intensidade de corrente no fio neutro é nula Em tudo o que se segue valores de fase são indicados com um índice F e os de linha com índice L ou sem índice algum De acordo com as definições apresentadas temse a Tabela 41 que apresenta todos os valores de linha e de fase para o circuito da Figura 41 ELETROTÉCNICA GERAL 59 Tabela 41 Grandezas de fase e linha em módulo num trifásico simétrico e equilibrado ligado em estrela Valores de fase Valores de linha Gerador Carga Gerador Carga Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão Corrente Tensão IAN VAN IAN VAN IA VAB IA VAB IBN VBN IBN VBN IB VBC IB VBC ICN VCN ICN VCN IC VCA IC VCA Passase a determinar as relações existentes entre os valores de fase e de linha iniciando por observar que para a ligação estrela as correntes de linha e de fase são iguais isto é I I I I I I AN A BN B CN C Para a determinação da relação entre as tensões adotase um trifásico com seqüência de fase direta ou seja V V V V AN BN CN AN 1 α 2 α As tensões de linha são dadas por V V V V V V V V V AB AN BN BC BN CN CA CN AN Utilizando matrizes temse V V V V V V AB BC CA AN AN AN 1 1 1 1 2 2 2 2 α α α α α α α α Salientase porém que 60 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS 1 1 1 2 3 2 3 3 2 1 2 3 30 1 3 30 1 1 3 30 2 2 2 2 2 2 2 α α α α α α α α α α j j Portanto V V V V V V V AB BC CA AN AN BN CN 3 30 1 330 330 330 α 2 α 44 Da Equação 44 observase que para um sistema trifásico simétrico e equilibrado na ligação estrela com seqüência de fase direta passase de uma das tensões de fase à de linha correspondente multiplicandose o fasor que a representa pelo número complexo 3 30 Exemplo 42 Uma carga equilibrada ligada em estrela é alimentada por um sistema trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta Sabendose que V V BN 220 58 pedese determinar a as tensões de fase na carga bas tensões de linha na carga Solução a Tensões de fase na carga Sendo o trifásico simétrico sabese que os módulos de todas as tensões de fase são iguais entre si Logo V V V V AN BN CN 220 Por outro lado sendo a seqüência de fase direta sabese que partindo da fase B deverão passar pelo máximo ordenadamente as fases C e A Logo o fasor VBN está adiantado de 120 sobre o fasor VCN e este está adiantado de 120o sobre VAN Portanto com relação às fases temse ELETROTÉCNICA GERAL 61 fase de VCN fase de VBN 120 58 120 62 fase de VAN fase de VCN 120 62 120 182 178 Finalmente resulta V V V V V V BN CN AN 220 58 220 62 220 178 Usando matrizes temse V V V V V BN CN AN BN 1 220 58 1 220 58 220 62 220 178 2 2 α α α α b Tensões de linha na carga De 44 resulta V V V V V V V AB BC CA 220 220 220 178 58 62 3 30 3 30 3 30 380 380 380 208 88 32 380 152 Figura 43 Diagrama de fasores para o Ex 42 62 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Exemplo 43 Resolver o exemplo 42 admitindose seqüência de fase inversa Solução a Cálculo das tensões de fase na carga Como no exemplo precedente os módulos das tensões de fase são todos iguais e valem 220 V Para a determinação da fase de VCN e VAN salientase que em sendo a seqüência de fase inversa BAC o fasor VAN está atrasado de 120 em relação ao fasor VBN e o fasor VCN está atrasado 120 em relação ao VAN Logo V V V V V V BN AN CN 220 58 220 58 120 220 62 220 62 120 220 182 220 178 b Cálculo das tensões de linha na carga De 22 resulta V V V V V V AB BC CA 220 220 220 62 58 178 3 30 3 30 3 30 380 380 380 92 28 148 Para a resolução de circuitos trifásicos podese proceder do mesmo modo que para os monofásicos isto é podese utilizar análise de malha ou nodal ou ainda qualquer dos métodos aplicáveis à resolução dos circuitos monofásicos Porém como será visto a seguir o cálculo do circuito fica bastante simplificado levandose em conta as simetrias existentes nos trifásicos simétricos com carga equilibrada Exemplificando suponha que se queira resolver o circuito da Figura 44 no qual conhecemse as tensões de fase do gerador seqüência direta e as impedâncias da linha e da carga Z e Z respectivamente Pretendese determinar as correntes nas três fases São conhecidos ELETROTÉCNICA GERAL 63 V V V E Z Z Z Z AN BN CN 2 θ α α ϕ ϕ 1 2 1 e Figura 44 Circuito trifásico em estrela Podese resolver o circuito observando que num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada os pontos N e N estão ao mesmo potencial ou seja V V AN AN Logo podese interligálos por um condutor sem alterar o circuito dado que nesse condutor não circulará corrente Nessas condições o circuito da Figura 10 transformase no da Figura 45 no qual têmse três malhas independentes NAANN NBBNN e NCCNN Salientase que as impedâncias das três malhas são iguais e valem Z Z e as fem das malhas valem E E E α α 2 Portanto as três correntes valerão I E Z Z I E Z Z I I E Z Z I AA BB AA CC AA α α α α 2 2 64 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Figura 45 Circuito trifásico em estrela com neutro Devese notar que tudo se passa como se fosse resolvido o circuito monofásico da Figura 46 no qual interligamse os pontos N e N por um fio de impedância nula Figura 46 Circuito monofásico equivalente Exemplo 44 Um alternador trifásico alimenta por meio de uma linha equilibrada uma carga trifásica equilibrada São conhecidos 1a tensão de linha do alternador 380 V e a freqüência 60 Hz 2o tipo de ligação do alternador Y 3o número de fios da linha 3 4a resistência 02 Ω e a reatância indutiva 05 Ω de cada fio da linha 5a impedância da carga 3 j 4 Ω Pedemse a as tensões de fase e de linha no gerador bas correntes de fase e de linha fornecidas pelo gerador c as tensões de fase e de linha na carga ELETROTÉCNICA GERAL 65 da queda de tensão na linha valores de fase e de linha Solução a Tensões de fase e de linha no gerador Admitindose seqüência de fase ABC e adotando VAN com fase inicial nula resulta V V V V V V AN BN CN 220 0 220 120 220 120 e portanto V V V V V V V V V AB AN BC BN CA CN 3 30 3 30 220 0 380 30 3 30 3 30 220 120 380 90 3 30 3 30 220 120 380 150 b Determinação da intensidade de corrente O circuito a ser utilizado para a determinação da corrente é o da Figura 47b no qual tem se V I R R j X X AN A C C isto é I V R R j X X j j A A AN C C 220 0 3 2 4 5 220 0 54 6 39 84 54 6 552 Logo I A I A I A A B C 39 84 54 6 39 84 174 6 39 84 65 4 a Circuito trifásico 66 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS b Circuito monofásico equivalente Figura 47 Determinação do circuito monofásico equivalente c Tensão na carga i valores de fase V Z I V V V V V A N C A B N C N 5 531 39 84 54 6 199 2 15 199 2 1215 199 2 118 5 ii valores de linha V V V V V V V V V A B A N B C B N C A C N 3 30 3 199 2 28 5 345 28 5 3 30 3 199 2 915 345 915 3 30 3 199 2 148 5 345 148 5 d Queda de tensão na linha i valores de fase V V V Z I V V V V V V V V V AN A N AA A BN B N BB CN C N CC 0 54 68 2 39 84 54 6 215 13 6 215 106 4 215 133 6 iivalores de linha V V Z I I Z I Z I V V V V V V V AB A B A B A A BC B C CA C A 1 3 30 215 13 6 3 30 37 2 43 6 37 2 76 4 37 2 163 6 α 2 ELETROTÉCNICA GERAL 67 422 LIGAÇÕES EM TRIÂNGULO Suponha as três bobinas do item anterior porém ligadas a três impedâncias Z iguais entre si conforme indicado na Figura 48 Notar que as malhas AANANAA BBNBNBB e CCNCNCC são eletricamente independentes logo podese interligar os pontos C e NB sem alterar em nada o circuito Por outro lado os pontos C e NB estão ao mesmo potencial logo podem ser interligados e podese substituir os condutores CC e NBNB por um único condutor Os pontos comuns CNB e CNB serão designados por C e C respectivamente Após realizar a interligação desses pontos observase que a malha AANANAA é eletricamente independente do restante do circuito portanto por raciocínio análogo podese interligar os pontos ANC e ANC designados por A e A respectivamente Finalmente observase que os pontos B e NA estão ao mesmo potencial pois V V V V BN BN CN AN A B C A 0 45 e que os pontos B e NA também estão ao mesmo potencial pois V V V V I Z I Z I Z B N B N C N A N B N C N A N A B C A B C A isto é V Z I I I Z B N B N C N A N A B C A 0 0 Portanto podese interligar os pontos BNA e BNA obtendo os pontos B e B respectivamente Assim temse o circuito da Figura 48b no qual o gerador e a carga estão ligados em triângulo A B B C C NA NB NC NA NB NC A a Três circuitos monofásicos 68 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS A B B C C A b Circuito trifásico com gerador e carga em triângulo Figura 48 Representação da ligação triângulo Salientase que a Equação 45 é condição necessária para que seja possível ligar um gerador em triângulo sem que haja corrente de circulação De acordo com as definições anteriores as tensões de fase são no gerador V V V V V V AN AB BN BC CN CA A B C na carga V V V V V V A N A B B N B C C N C A A B C As tensões de linha no gerador e na carga são V V V V V V AB BC CA A B B C C A e As correntes de fase são no gerador I I I I I I AN BA BN CB CN AC A B C na carga I I I I I I A N A B B N B C C N C A A B C As correntes de linha são I I I AA BB CC e Na ligação triângulo quanto às tensões é evidente que há igualdade entre as de fase e as de linha Para a determinação da relação entre as correntes de linha e de fase adotase ELETROTÉCNICA GERAL 69 inicialmente um sistema trifásico simétrico e equilibrado com seqüência de fase direta ou seja I I I I I I A B F B C F C A F θ θ θ 120 120 ou com matrizes I I I I A B B C C A A B 1 2 α α Aplicando aos nós A B e C da Figura 48b a 1a lei de Kirchhoff obtemse I I I I I I I I I AA A B C A BB B C A B CC C A B C Matricialmente temse I I I I I I I I I I I AA BB CC A B B C C A C A A B B C A B A B 1 1 2 2 α α α α ou seja I I I I AA BB CC A B 1 1 2 2 α α α α Porém como visto anteriormente 1 3 30 1 3 30 3 30 2 2 2 α α α α α α logo será 70 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS I I I I AA BB CC A B 3 30 1 α 2 α 46 Ou seja num circuito trifásico simétrico e equilibrado seqüência direta com carga equilibrada ligada em triângulo obtémse as correntes de linha multiplicando as correspondentes de fase pelo número complexo 3 30 Podese demonstrar que analogamente a quanto foi feito sendo a seqüência de fase inversa as correntes de linha estarão adiantadas de 30 sobre as correspondentes de fase isto é para a seqüência de fase inversa temse I I I I I I AA A B BB B C CC C A 3 3 3 30 30 30 47 No caso da determinação das correntes de fase conhecendose as de linha surge uma indeterminação De fato supondose uma seqüência de fase direta os valores I I I I A B B C C A AA 3 30 1 α2 α representam uma terna de fasores de correntes de fase que satisfazem aos dados de linha Conforme já foi dito os sistemas trifásicos podem ser resolvidos utilizandose qualquer dos métodos de resolução de circuitos porém devido às simetrias existentes nos trifásicos empregamse soluções particulares que muito simplificam a resolução Suponha ter que resolver um circuito trifásico simétrico e equilibrado em que temse um gerador fictício ligado em triângulo que alimenta por meio de uma linha de impedância Z uma carga com impedância de fase Z ligada em triângulo Figura 49 ELETROTÉCNICA GERAL 71 Figura 49 Circuito trifásico em triângulo Resolvendose o sistema por correntes fictícias de malhas resultam as equações V Z Z Z Z V Z Z Z Z Z Z Z CA AB 2 2 0 3 α β γ α β γ α β γ das quais poderemos determinar os valores de α β γ e Como a resolução do sistema acima é por demais trabalhosa procurase um novo caminho a partir da aplicação da lei de Ohm à malha AABBA e das simetrias do sistema para determinar o valor da corrente I A B Adotandose seqüência de fase direta resulta I I I I I I V I Z I Z I Z I I Z I Z A B F B C F C A F AB A A B B A B A B 0 120 120 sendo I I I I I I I A B F F F F F 3 30 3 30 3 30 1 3 30 3 30 3 2 2 α α ou I I I A B F 3 logo V Z Z I AB F 3 48 Adotandose V AB V ϕ resulta V I R R V I X X F F cos sen ϕ ϕ 3 3 72 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS e portanto I V R R X X V Z Z arc tg X X R R F 3 3 3 3 3 2 2 ϕ Assim temse I V Z Z I V Z Z I V Z Z A B B C C A 3 0 3 120 3 120 A Equação 48 mostra que o problema proposto transformase no da determinação da corrente que circula numa malha cuja fem vale VAB e cuja impedância é 3 Z Z Chegase ao mesmo resultado muito mais facilmente substituindo a carga ligada em triângulo por outra que lhe seja equivalente ligada em estrela Figura 410 De fato lembrando a transformação triânguloestrela deveremos substituir a carga em triângulo cuja impedância de fase vale Z por carga em estrela cuja impedância de fase vale Z 3 Substituindose o gerador em triângulo por outro em estrela de modo que a tensão de linha seja a mesma recaise no caso já estudado de ligação em estrela resultando V V I Z Z AN AN AA 3 logo I V Z Z AA AN 3 3 Finalmente a corrente de fase na carga em triângulo é dada por I I V Z Z V Z Z V Z Z A B AA AN AN AB 3 30 3 3 3 30 3 30 3 3 ELETROTÉCNICA GERAL 73 a Circuito trifásico em estrela b Circuito monofásico equivalente Figura 410 Substituição do circuito em triângulo por equivalente ligado em estrela Exemplo 45 Um gerador trifásico alimenta por meio de uma linha uma carga trifásica equilibrada São conhecidos 1 o tipo de ligação do gerador e da carga 2a tensão de linha do gerador 220 V a freqüência 60 Hz e a seqüência de fase direta 3a impedância de cada um dos ramos da carga 3 j4 Ω 4a resistência 0 2 Ω e a reatância indutiva 015 Ω de cada fio da linha Pedemse a as tensões de fase e de linha no gerador bas correntes de linha c as correntes de fase na carga das tensões de fase e de linha na carga Solução a Tensões de fase e de linha no gerador As tensões de fase coincidem com as de linha e valem para a seqüência ABC V V V V AB BC CA 220 0 1 α 2 α b Determinação das correntes de linha 74 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Substituindo a carga em triângulo por outra equivalente em estrela temse o circuito da Figura 411 obtendo I V Z Z j AA AN 3 220 0 3 30 12 148 Logo I A AA 127 30 19 51 66 6 81 e então I A BB 66 6 201 I A CC 66 6 39 Figura 411 Circuito equivalente para o Ex 45 c Determinação das correntes de fase na carga Na carga em triângulo temse I I A I A I A A B AA B C C A 3 30 66 6 81 3 30 38 5 51 38 5 171 38 5 69 d Determinação das tensões na carga Da Figura 411 obtémse ELETROTÉCNICA GERAL 75 V I Z V V V V V A N AA B N C N 3 66 6 81 5 531 111 27 9 111 147 9 111 92 1 3 As tensões de fase e de linha na carga são iguais e valem V V V A B A N 3 30 111 3 30 192 2 1 279o V V V V B C C A 192 117 9 192 122 1 43 POTÊNCIA EM SISTEMAS TRIFÁSICOS Seja uma carga trifásica na qual os valores instantâneos das tensões e correntes de fase são v V t v V t v V t A A A B B B C C C M M M cos cos cos ω θ ω θ ω θ i I t i I t i I t A A A B B B C C C M M M cos cos cos ω δ ω δ ω δ A potência instantânea em cada fase é dada por p v i V I V I t p v i V I V I t p v i V I V I t A A A F F A A F F A A B B B F F B B F F B B C C C F F C C F F C C A A A A B B B B C C C C cos cos cos cos cos cos θ δ ω θ δ θ δ ω θ δ θ δ ω θ δ 2 2 2 49 em que V V V F F F A B C e são os valores eficazes das tensões de fase e I I I F F F A B C e são os valores eficazes das correntes de fase Fazendose θ δ ϕ θ δ ϕ θ δ ϕ A A A B B B C C C resulta 76 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS p V I V I t p V I V I t p V I V I t A F F A F F A A B F F B F F B B C F F C F F C C A A A A B B B B C C C C cos cos cos cos cos cos ϕ ω θ ϕ ϕ ω θ ϕ ϕ ω θ ϕ 2 2 2 A potência total é dada por p p p p A B C Portanto o valor médio da potência será P P P P V I V I V I A B C F F A F F B F F C A A B B C C cos cos cos ϕ ϕ ϕ A potência complexa será S S S S V I V I V I A B C F F F F F F A A B B C C Tratandose de trifásico simétrico com seqüência direta temse V V V V F F F F B A C A A B C θ θ π θ θ π 2 3 2 3 e sendo a carga equilibrada ϕ ϕ ϕ ϕ A B C F F F F I I I I A B C Substituindo esses valores na Equação 49 resulta p V I V I t p V I V I t p V I V I t A F F F F A B F F F F A C F F F F A cos cos cos cos cos cos ϕ ω θ ϕ ϕ ω θ π ϕ ϕ ω θ π ϕ 2 2 4 3 2 4 3 e portanto a potência instantânea total é dada por p p p p V I P A B C F F 3 cos ϕ 410 isto é nos trifásicos simétricos e equilibrados a potência instantânea coincide com a potência média ELETROTÉCNICA GERAL 77 A potência complexa será dada por S V I V I V I F F F F F F A A A A A A α α α α 2 2 mas sendo α α α α 2 2 e resulta S V I V I V I V I F F F F F F F F A A A A A A A A 3 Desenvolvendo obtémse S V I V I V I F A F A F F A A F F 3 3 3 θ δ θ δ ϕ então S V I j V I F F F F 3 3 cos sen ϕ ϕ 411 Da Equação 411 notase que S V I P V I Q V I F F F F F F 3 3 3 cos sen ϕ ϕ 412 Uma vez que usualmente nos sistemas trifásicos não se dispõe dos valores de tensão e corrente de fase é oportuno transformar as Equação 412 de modo a ter a potência complexa em função dos valores de tensão de linha VL e da corrente de linha I L Para tanto suponha inicialmente a carga ligada em estrela temse V V I I F L F L 3 Logo S V I j V I V I j V I L L L L L L L L 3 3 3 3 3 3 cos sen cos sen ϕ ϕ ϕ ϕ ou seja 78 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS S V I P V I Q V I L L L L L L 3 3 3 cos sen ϕ ϕ 413 Admitindose a carga ligada em triângulo temse V V I I F L F L 3 Logo S V I j V I V I j V I L L L L L L L L 3 3 3 3 3 3 cos sen cos sen ϕ ϕ ϕ ϕ ou seja S V I P V I Q V I L L L L L L 3 3 3 cos sen ϕ ϕ 414 As Equações 413 e 414 mostram que a expressão geral da potência complexa para trifásicos simétricos com carga equilibrada é função exclusivamente dos valores da tensão de linha da corrente de linha e da defasagem para uma mesma fase entre a tensão de fase e a corrente de fase Definese fator de potência de uma carga trifásica equilibrada como sendo o cosseno do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente numa mesma fase Em se tratando de carga desequilibrada o fator de potência é definido pela relação P S ou P P Q 2 2 Em conclusão podese afirmar que Num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada a potência aparente fornecida à carga é dada pelo produto da tensão de linha pela corrente de linha e por 3 Num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada a potência ativa fornecida à carga é dada pelo produto da tensão de linha pela corrente de linha pelo fator de potência e por 3 Num sistema trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada a potência reativa fornecida à carga é dada pelo produto da tensão de linha pela corrente de linha pelo seno do ângulo de defasagem entre a tensão e a corrente na fase e por 3 ELETROTÉCNICA GERAL 79 Isto é num trifásico simétrico e equilibrado com carga equilibrada qualquer que seja o tipo de ligação são válidas as equações S V I P V I Q V I S P j Q V I L L L L L L F F A A 3 3 3 3 cos sen ϕ ϕ 415 Exemplo 46 Uma carga trifásica equilibrada tem fator de potência 08 indutivo Quando alimentada por um sistema trifásico simétrico com seqüência de fase direta e com V V AB 220 25 absorve 15200 W Pedese determinar o fasor da corrente de linha Solução a Determinação do módulo da corrente I Temse I P V A 3 15200 3 220 0 8 50 cos ϕ b Determinação do ângulo de fase da corrente de linha Admitindo inicialmente a carga ligada em triângulo as tensões de linha coincidem com as de fase V V V V AB BC CA 220 1 220 25 1 2 2 θ α α α α As correntes de fase estão defasadas das tensões correspondentes de ϕ arc fator de potencia cos 80 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Salientase que para cargas indutivas a corrente está atrasada e para capacitivas adiantada Logo neste caso ϕ θ δ arc cos 0 8 37o e portanto I I I A I A I A AB F L BC CA A δ θ ϕ 3 50 3 25 37 50 3 12 50 3 132 50 3 108 Sendo a seqüência de fase direta as correntes de linha serão obtidas pela aplicação de 46 resultando I I I I I I A A B C AB BC CA 3 30 50 42 1 2 α α Admitindose a carga ligada em estrela as tensões de linha e de fase serão dadas por V V V V V AB BC CA θ α α α α 1 220 25 1 2 2 V V V V V AN BN CN θ α α α α 3 30 1 127 5 1 2 2 A corrente I I AN A deverá estar atrasada 37 em relação a VAN Logo I I I I I I A AN BN CN A B C 50 5 37 1 50 42 1 2 2 α α α α ELETROTÉCNICA GERAL 81 Observase que quer a carga esteja em triângulo quer esteja em estrela a defasagem entre a tensão de linha e a corrente na mesma linha sendo a seqüência de fase direta é ϕ 30o Figura 412 Ou seja sendo ϕ 37 defasagem entre V I AB A AB A e θ δ ϕ 25 42 67 30 defasagem entre V I BC B BC B e θ δ ϕ 95 162 67 30 defasagem entre V I CA C CA C e θ δ ϕ 145 78 67 30 Figura 412 Defasagem entre tensão e corrente Exemplo 47 Um sistema trifásico simétrico alimenta carga equilibrada formada por três impedâncias iguais que absorve 50 20 MW MVAr e quando alimentada por tensão de 200 kV Sendo a seqüência de fase inversa e a tensão VAB 220 12 kV pedese determinar a corrente de linha Solução a Determinação da potência absorvida quando a tensão é 220 kV Admitindo a carga ligada em estrela temse P V I I V Z 3 3 cos ϕ e logo 82 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS P V Z 2 cos ϕ Sendo a impedância da carga constante qualquer que seja o valor da tensão resulta imediatamente que P P V V 2 2 isto é P V V P MW 2 220 2 200 50 60 5 Analogamente Q V V Q MVAr 2 220 2 200 20 24 2 b Determinação do módulo da corrente Temse Q P V I V I tg 3 3 sen cos ϕ ϕ ϕ Logo tg ϕ 24 2 60 5 0 4 e portanto ϕ ϕ 218 0 928 cos Então I A 60 5 10 3 220 0 928 1718 3 c Determinação do ângulo de fase da corrente Sendo a seqüência de fase inversa temse ELETROTÉCNICA GERAL 83 V V V V kV AB BC CA θ α α α α 1 220 12 1 2 2 Considerando a carga ligada em estrela temse V V V V kV AN BN CN θ α α α α 3 30 1 127 42 1 2 2 Como a potência reativa fornecida à carga é positiva concluise que o fator de potência é 0 928 indutivo isto é a corrente de fase está atrasada de 218 em relação à tensão correspondente ϕ θ δ 218 Logo I I I A A B C 1718 20 2 1 2 α α Neste caso observase que quer a carga esteja em triângulo quer esteja em estrela a rotação de fase entre a tensão de linha e a corrente na mesma linha sendo a seqüência de fase inversa é ϕ 30 Exemplo 48 Um gerador de 220 V tensão de linha 60 Hz trifásico simétrico alimenta as seguintes cargas equilibradas 1Iluminação 25 kW fator de potência unitário 2Compressor motor de indução de 100 cv com rendimento de 92 e fator de potência 085 indutivo 3Máquinas diversas motores de indução totalizando 467 kW com fator de potência 075 indutivo Pedese a A potência total fornecida pelo gerador bO fator de potência global c O banco de capacitores a ser instalado para que o fator de potência global da instalação seja 095 indutivo dA corrente antes e após a inserção do banco de capacitores 84 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS Solução a Potência fornecida pelo gerador Tensões Assumese seqüência de fase direta e a tensão de fase VAN com fase inicial nula isto é V V V V V V V V V V V V AN BN CN AB BC CA 220 3 0 220 3 120 220 3 120 220 30 220 90 220 150 Potência total Temse S j kVA S j j kVA ilum comp 25 0 0 100 0 0 736 0 92 1 0 85 80 49 58 1 tan cos S j j kVA S j kVA maq tot tan cos 46 7 46 7 0 75 46 7 4118 1517 90 76 176 777 30 89 1 Observase que a potência aparente não é a soma das potências aparentes das cargas A potência ativa total por sua vez é igual à soma das potências ativas das cargas o mesmo ocorrendo com a potência reativa ou seja as potências ativa e reativa se conservam b Fator de potência Podese definir o fator de potência além dos modos já apresentados pela relação entre as potências ativa e aparente absorvidas pela carga isto é cos cos ϕ 1517 176 777 30 89 0 8581 c Banco de capacitores para corrigir o fator de potência Ao ligar em paralelo com a carga um banco de capacitores a potência ativa absorvida pela carga como é evidente permanece inalterada variando somente as potências reativa e aparente Assim sendo S j Q banco banco 0 a potência complexa absorvida pelo banco temse S S P j Q Q S tot banco tot tot banco ψ ELETROTÉCNICA GERAL 85 Desejando que o fator de potência seja 095 resulta imediatamente tan tan cos ψ Q Q P arc tot banco tot 0 95 0 3287 ou seja Q P Q kVAr banco tot tot 0 3287 1517 0 3287 90 76 40 896 e a potência complexa do paralelo entre conjunto de cargas e o banco de capacitores passará a ser S S S j j kVA tot banco 1517 90 76 40 896 1517 49 864 159 685 1819 d Corrente sem e com banco de capacitores A corrente antes da inserção do banco de capacitores é dada por I S V A tot 3 176777 3 220 463 92 e lembrando a hipótese básica de geração e carga ligada em estrela resulta cos I I I V V arc P S A A AN AN AN 463 92 220 3 0 220 3 30 89 463 92 30 89 e I I A I I A B BN C CN 463 92 150 89 463 92 89 11 Por se tratar de trifásico simétrico e equilibrado procedese como método alternativo ao cálculo da corrente após a inserção do banco de capacitores a partir da potência de fase isto é I I S V A A AN AN 3 159685 1819 3 127 0 419 06 1819 e I I A I I A B BN C CN 419 06 13819 419 06 10181 e 86 4 CIRCUITOS TRIFÁSICOS