Trabalho 2 - Mod

TRANSFERÊNCIA DE CALOR TRANSIENTE EM UMA BARRA METÁLICA EXPERIMENTO MULTIDISCIPLINAR EM ENGENHARIA QUÍMICA G P F GASPAR A S VIANNA JR J A W GUT Universidade de São Paulo Escola Politécnica Depde Engenharia Química Email para contato jorgewgutuspbr RESUMO Este trabalho apresenta uma proposta de experimento didático multidisciplinar para engenharia química envolvendo as disciplinas de Transferência de Calor e de Análise de Processos O fenômeno observado é de dissipação de calor por uma barra metálica aleta em estado transiente As atividades envolvidas são de modelagem do processo com solução analítica para o estado estacionário e numérica para o transiente ajuste do modelo estacionário por estimação de parâmetros simulação dinâmica por diferenças finitas e comparação e discussão de resultados Um microcontrolador de hardware e software livres de baixo custo teve bom desempenho na aquisição e transmissão de dados Experimentos foram realizados em cinco temperaturas diferentes para fonte quente e os resultados de predição do modelo ajustado foram satisfatórios e coerentes A união dos conhecimentos experimental teórico e numérico tem por objetivo fornecer uma visão sistêmica da análise dos Fenômenos de Transporte indicando os passos necessários para se realizar a correta modelagem de um fenômeno natural ao estudante 1 INTRODUÇÃO Na Indústria de Processos Químicos é comum encontrar superfícies quentes que trocam calor com o ar A utilização de superfícies estendidas aletas aumenta a área de contato para a troca convectiva com a função de elevar a taxa de transferência de calor ou reduzir a temperatura superficial Para estudar este fenômeno neste experimento considerase uma longa barra de seção transversal circular dissipando calor para o ar ambiente a partir de uma fonte quente O experimento proposto neste trabalho visa elucidar a importância desse fenômeno no projeto de equipamentos de troca térmica além de quantificar as perdas de calor nesses equipamentos as quais são inerentes ao seu design Um dos objetivos almejados com este trabalho é ilustrar a interdisciplinaridade entre o conhecimento dos Fenômenos de Transporte e dos métodos numéricos Esse laboratório didático forneceu um ponto de conexão entre as disciplinas PQI2302 Fenômenos de Transporte II e PQI2403 Análise de Processo Uma contribuição para a integralização do currículo didático da Engenharia Química na Escola Politécnica da USP 2 MODELAGEM MATEMÁTICA Considere uma barra metálica de seção transversal circular comprimento L e raio R usada como difusor de calor aleta de uma fonte quente A energia térmica entra na base da aleta cuja temperatura é Tb difunde pela barra e transferese para o ar por convecção com coeficiente h e temperatura T Aplicase ao volume de controle da barra a equação diferencial de conservação de energia térmica 0 2 Cp q T T v t T V 1 em que T é a temperatura t é o tempo v é a velocidade kCp é a difusividade térmica k é a condutividade térmica é a densidade Cp é o calor específico à pressão constante e qV é a taxa volumétrica de geração de calor Considerando transporte unidirecional ao longo da barra temse o seguinte modelo adimensional 0 2 2 x m L θ θ Fo θ 2 em que T T T T b é a temperatura adimensional L2 t Fo é o número de Fourier tempo adimensional x x L é a posição axial adimensional O único parâmetro deste modelo é o grupo adimensional mL sendo que h k R m 2 2 O modelo pode ser resolvido analiticamente para as condições do estado estacionário A condição de contorno para a posição x 0 é 1 enquanto que a condição de contorno na extremidade da barra depende da hipótese adotada Segundo Incropera et al 2008 se mL 265 a temperatura na ponta da aleta x 1 pode ser considerada como sendo T Neste caso podese assumir a condição de 0 resultado no seguinte perfil de temperatura L m x L m senh 1 senh 3 Para a resolução do modelo transiente na Eq 1 foram usadas as mesmas condições de contorno do modelo estacionário a condição inicial de 0 e foi adotado o método de diferenças finitas para frente para discretização do primeiro tempo da equação e o método de diferenças centrada de segunda ordem para o segundo termo da equação Como resultado temse uma forma explícita para calcular a temperatura no próximo instante de tempo em função do perfil de temperatura no instante atual Fo m L x Fo n j n j n j n j n j jn 2 2 2 1 1 1 4 Na equação 4 o sobrescrito n indica o instante de tempo discreto e o subscrito j indica a posição discreta Para a solução numérica é importante verificar o critério de estabilidade de 50 2 x Fo Constantinides e Mostoufi 1999 3 MATERIAL E MÉTODOS O experimento foi montado utilizandose um banho térmico RTE211 o qual possui um controlador PID interno para manter a temperatura constante e cuja função é ser a fonte quente na base da barra aleta Utilizouse uma barra de aço com diâmetro de 110 cm e 100 cm de comprimento dos quais 12 cm estavam imersos no banho e os outros 88 cm expostos ao ar ambiente Foi utilizada uma folha de isopor para isolar a superfície do banho do ar ambiente e evitar que o vapor gerado interferisse com o experimento A barra encontravase inicialmente à temperatura ambiente A captação dos dados foi feita através de um microcontrolador Arduino o qual possui um slot para SDCard no qual os dados dos sensores foram salvos Foram utilizados cinco sensores de temperatura do tipo termistores digitais modelo LM35 com precisão de 02 C dispostos nas posições x 0023 0136 0244 0489 e 0972 O Arduino cria uma string com as leituras do tempo decorrido e das temperaturas dos cinco sensores essa string era salva no SDCard Paralelamente esses dados foram enviados para um computador via porta USB para leitura em tempo real Essas leituras foram acessadas através de um aparelho celular também utilizandose um aplicativo de compartilhamento de tela o qual permite que o monitoramento seja feito online O monitoramento foi feito dentro e fora das dependências da USP Foram realizados cinco ensaios com temperaturas diferentes de banho Foram utilizadas as temperaturas de 60 65 70 75 e 80 C Os ensaios tiveram 60 minutos de duração tempo que foi estipulado como suficiente para se atingir o regime estacionário 4 TRATAMENTO DE DADOS A atividade didática começa com uma visita dos alunos ao laboratório para verificação do equipamento e elucidação do procedimento experimental Na sequência em sala de aula é feita a atividade de desenvolvimento do modelo matemático sua adimensionalização e discretização do mesmo Esta atividade tem como objetivo deduzir as Equações 2 3 e 4 e faz parte do relatório da experiência Como atividade após a aula os grupos fizeram o ajuste do modelo matemático a simulação do modelo dinâmico e a comparação de resultados conforme descrito na sequência 41 Ajuste do Modelo Estacionário O único parâmetro do modelo do processo é mL conforme Equações 2 e 3 Optou se por determinar este parâmetro a partir do estado estacionário Para o intervalo de tempo em que se constatou o estado estacionário foram calculadas temperaturas médias e desvios A temperatura na base da aleta Tb foi tratada também como um parâmetro do modelo já que verificouse uma diferença em relação à temperatura do banho térmico A minimização do erro quadrático de predição do modelo na Equação 2 para a temperatura nas cinco posições foi conduzida pelo método GRG Generalized Reduced Gradient não linear por meio da ferramenta Solver do software Excel Microsoft Instruções para uso desta ferramenta foram passadas aos alunos A partir do valor ajustado de mL foi calculado o coeficiente de convecção ao ar ao redor da barra vertical 42 Simulação Dinâmica Definindo passos adequados para x e Fo a simulação dinâmica do fenômeno foi feita em uma planilha Excel Microsoft na qual o modelo adimensional discretizado na Equação 4 foi aplicada respeitandose as condições de contorno adimensionalizadas impostas para a resolução do modelo Resultados foram comparados com os dados experimentais das posições dos cinco sensores de temperatura 5 RESULTADOS E DISCUSSÃO 51 Ajuste do Modelo Estacionário A Tabela 1 sumariza os resultados do ajuste do modelo estacionário com os valores estimados de mL e de Tb A Figura 1 apresenta como exemplo de ajuste o experimento a 70 C em que podese notar uma ótima correlação Propriedades termofísicas do aço na temperatura médias dos experimentos foram obtidas de Incropera et al 2008 O valor do parâmetro mL não teve variação significativa entre experimentos sendo obtido um valor médio mL 73 03 O coeficiente convectivo determinado para o ar foi h 89 06 WKm2 Uma queda significativa de temperatura na base da aleta em relação à temperatura do banho foi observada Tb na Tabela 1 O experimento pode ser melhorado com a monitoração desta temperatura Tabela 1 Parâmetros ajustados nas condições estacionárias Banho mL Tb C Tb C h WKm2 60 C 763 509 91 96 65 C 693 533 117 79 70 C 737 578 122 90 75 C 737 601 149 90 80 C 743 644 156 91 Figura 1 Exemplo de ajuste do modelo estacionário linha aos dados experimentais pontos do banho a 70 C 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 x Banho 70 C 52 Simulação Dinâmica A planilha de cálculo foi organizada distribuindo o perfil de temperatura ao longo da barra nas colunas começando pela condição inicial na primeira linha Nas linhas abaixo incrementase o valor de Fourier com o cálculo a partir da Equação 4 Nas colunas dos extremos são fornecidas as condições de contorno Figura 2 Comparação entre resultados de simulação dinâmica do modelo ajustado e dados experimentais para a condição de banho a 70 C 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 0E00 5E03 1E02 2E02 2E02 3E02 3E02 x Banho 70 C T1 T2 T3 T4 Como exemplo a Figura 2 apresenta os resultados de simulação dinâmica do modelo ajustado comparados com os dados experimentais para a condição de 70 C Os resultados são satisfatórios e notase apenas um problema de inércia em que o modelo tem uma resposta dinâmica mais rápida do que os dados experimentais provavelmente devido ao tempo de resposta dos sensores de temperatura O mesmo comportamento foi observado para as outras temperaturas Outra fonte de erro pode ser o perfil radial de temperatura na barra que foi desprezado na modelagem sendo que os sensores medem a temperatura superficial 6 CONCLUSÕES O experimento proposto foi aplicado aos alunos do 3º ano da Engenharia Química da EPUSP em 2015 e possibilitou o desenvolvimento de habilidades de modelagem de processos ajuste de modelos e simulação dinâmica usando o software Excel O Arduino captou os dados de forma precisa e satisfatória comprovando seu papel como uma ferramenta barata flexível e de fácil acesso para o registro de dados em experimentos didáticos É possível realizarse a expansão para a transferência de momento e de massa mediante a aquisição de sensores propícios para tais tarefas O ajuste do modelo no estado estacionário foi consistente e a estimativa dos parâmetros foi realizada com sucesso A concordância entre os dados experimentais e o modelo teórico foi adequada A simulação numérica no estado transiente apresentou convergência numérica e representou os dados experimentais adequadamente comprovando a eficácia da estratégia numérica adotada para a modelagem do fenômeno estudado 7 REFERÊNCIAS ASSAF JM GIORDANO RC DUARTE FILHO OB GIORDANO RLC Tópicos de Laboratório Didático em Fenômenos de Transporte São Carlos SP 1983 CONSTANTINIDES A MOSTOUFI N Numerical Methods for Chemical Engineers with MATLAB Applications Upper Saddle River NJ 1999 INCROPERA FO DEWITT DP BERGMAN TL LAVINE AS Fundamentos de Transferência de Calor e de Massa LTC Rio de Janeiro 2008 Para implementar os códigos em Scilab com base no artigo sobre transferência de calor transiente em uma barra metálica o foco será a resolução numérica da equação de conservação de energia utilizando métodos de diferenças finitas O processo envolve Balanço de energia A equação diferencial do calor governará a dissipação de energia ao longo da barra Condições de contorno As condições de contorno variam entre a base da barra temperatura fixa e a extremidade temperatura ambiente ou isolamento Geração de matriz de termos A equação será discretizada para criar uma matriz de coeficientes com termos advindos das derivadas parciais Matriz de resultados Cada solução temporal será armazenada mostrando a evolução da temperatura em cada ponto 1 Código Scilab para balanço de energia e solução numérica estado transiente Parametros do problema L 10 Comprimento da barra m R 0011 Raio da barra m k 50 Condutividade térmica WmK rho 7800 Densidade kgm3 Cp 460 Calor específico JkgK h 89 Coeficiente convectivo Wm2K Tamb 25 Temperatura ambiente C Tb 100 Temperatura da base C Nx 50 Numero de divisões espaciais Nt 1000 Numero de passos no tempo tmax 600 Tempo total de simulação s dx LNx1 Passo espacial dt tmaxNt Passo temporal alpha krhoCp Difusividade térmica Fo alpha dt dx2 Numero de Fourier condição de estabilidade Vetor de posições e temperatura inicial x linspace0 L Nx T TambonesNx 1 Temperatura inicial toda a barra em Tamb Condição inicial base da barra em temperatura Tb T1 Tb Matriz para armazenar resultados ao longo do tempo Tall zerosNx Nt Laço temporal for n 1Nt Tnew T Atualização da temperatura Laço espacial 1D for i 2Nx1 Tnewi Ti Fo Ti1 2Ti Ti1 Equação de diferenças finitas end Condição de contorno na extremidade perda de calor por convecção TnewNx 2 Fo TNx1 1 2 Fo 2dxhkTNx 1 2dxhk Atualiza a temperatura da base Tnew1 Tb Atualiza T para o próximo passo T Tnew Armazena o resultado Tall n T end Plotar o resultado final plotx Tall Nt xtitleDistribuicao de Temperatura na BarraPosicao x m Temperatura C Gera gráficos da evolução temporal clf for n 1100Nt plotx Tall n xtitleDistribuicao de Temperatura ao longo do tempoPosicao x m Temperatura C xpause01 end 2 Código Scilab para a condição estacionária solução analítica Parametros do problema mesmos valores do código transiente mL sqrt2 h R k Parâmetro adimensional mL Função para solução analítica theta x coshmL1x coshmL Solução para a temperatura adimensional Plotando a solução analítica xanalitica linspace0 1 Nx Tanalitica Tamb Tb Tamb thetaxanalitica plotxanalitica Tanalitica xtitleSolucao Analitica para o Estado EstacionarioPosicao x m Temperatura C COMMUNICATION MODULE Este código em Scilab modela a transferência de calor em uma barra cilíndrica com uma extremidade mantida a uma temperatura constante e perda de calor por convecção na outra extremidade Ele resolve o problema em duas partes uma simulação numérica para o estado transiente e uma solução analítica para o estado estacionário 1 Balanço de energia e solução numérica estado transiente Este trecho usa o método das diferenças finitas para calcular a evolução da temperatura ao longo do tempo e da barra A solução numérica é governada pela equação de condução de calor em estado transiente considerando perda de calor por convecção na extremidade livre da barra Componentes principais A barra é discretizada em 50 elementos espaciais Nx e o tempo é discretizado em 1000 passos Nt A evolução da temperatura é calculada para cada ponto da barra ao longo do tempo e a condição de contorno na extremidade direita inclui a perda de calor por convecção A matriz Tall armazena os resultados de temperatura em cada nó e em cada instante de tempo 2 Solução analítica estado estacionário Aqui a solução analítica para o estado estacionário é calculada com base na equação de condução de calor em regime permanente Utilizase uma função hiperbólica para descrever a distribuição de temperatura ao longo da barra levando em consideração a convecção na extremidade Componentes principais O parâmetro adimensional mL é usado na solução analítica A temperatura adimensional é calculada e convertida para a temperatura absoluta sendo então plotada para comparação com a solução numérica Esses dois métodos o numérico e o analítico permitem estudar tanto o comportamento dinâmico quanto o regime estacionário do problema O método aplicado no código Scilab é diretamente relacionado ao problema de transferência de calor transiente descrito no artigo que você forneceu 1726608405800TRANSFERÊ A escolha de um método numérico como diferenças finitas se justifica pela natureza dinâmica do problema que envolve a evolução da temperatura ao longo do tempo em uma barra metálica com dissipação de calor para o ambiente Motivações e Justificativas para o Método Transferência de Calor Transiente O problema aborda a dissipação de calor em um sistema que não atinge equilíbrio instantaneamente O estado transiente ou seja o comportamento dinâmico até que o sistema atinja o estado estacionário precisa ser analisado numericamente já que não há uma solução analítica simples Diferenças Finitas A equação de condução de calor em estado transiente foi resolvida usando o método de diferenças finitas como descrito no artigo permitindo discretizar tanto o tempo quanto o espaço Esse método é simples direto e eficaz para resolver equações diferenciais parciais envolvendo transporte de calor Estabilidade Numérica No código Scilab a condição de estabilidade foi garantida pelo número de Fourier Fo que assegura que o método numérico converge para uma solução realista sem gerar instabilidades numéricas Condições de Contorno A convecção na extremidade da barra é modelada corretamente para refletir as condições do experimento descrito onde o calor é perdido para o ambiente Esse detalhe reflete o modelo adotado no artigo para a simulação do comportamento da barra metálica Conclusões Relacionadas ao Artigo O artigo discute que a simulação numérica como a utilizada no Scilab representa adequadamente o comportamento dinâmico do sistema e oferece bons resultados comparados aos dados experimentais como também discutido na implementação com Arduino1726608405800TRANSFERÊ A comparação entre a solução analítica para o estado estacionário e a solução numérica do estado transiente permite verificar que em regime permanente ambos os métodos produzem resultados coerentes No entanto o modelo numérico oferece mais flexibilidade ao analisar o comportamento da barra ao longo do tempo o que é importante em aplicações práticas A abordagem interdisciplinar de combinar métodos teóricos e numéricos oferece uma visão holística para estudantes e pesquisadores reforçando a importância de métodos numéricos para resolver problemas reais de engenharia Portanto a simulação numérica em Scilab aplicada ao problema transiente de transferência de calor em uma barra metálica proporciona uma boa concordância com o comportamento físico esperado conforme discutido no artigo COMPANY I COMPANY PROFILE 17 I JULY 2015 The company offers high quality professional services in a wide range of sectors We embrace and encourage you to join us Our company employs highly professional engineers specialists technicians and managerial personnel as well as wellequipped laboratories and workshop facilities We focus on meeting customer 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