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Arquitetura e Urbanismo ·

Estruturas de Madeira

· 2022/2

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ESTRUTURAS DE MADEIRA (arquitetura) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE TRAÇÃO E CISALHAMENTO Prof. Luís Eustáquio Moreira A barra da figura abaixo foi imaginada para produzir treliças espaciais do tipo grelha em dupla camada, com uma malha quadrada de barras num plano horizontal inferior, outro plano de malhas quadradas acima, com os nós dessa malha coincidentes em projeção vertical com o centro do quadrado da malha inferior; sendo as duas malhas unidas por 4 barras diagonais que saem de um nó de uma malha até os vértices do quadrado da outra malha. O fato é que numa treliça, por equilíbrio, algumas barras ficam comprimidas e outras tracionadas. Os nós podem ser feitos de aço que recebem os elementos de ligação das barras, conforme figura. Nas extremidades da barra roliça foram realizados dois furos com profundidade lc onde se introduziu uma barra rosqueada de aço, colada internamente ao furo com resina epoxílica. Constatou-se nos experimentos que a ruptura da colagem se dá na madeira, o que caracteriza uma boa colagem. Madeira C40, carregamento normal, lote de primeira categoria, umidade ambiente > 75% Pede-se portanto: a) Considerando-se o comprimento de colagem lc = 12 cm, verificar se a conexão suporta uma força nominal de tração de 15 kN. Na verdade a pergunta poderia ser: em relação à madeira, a barra suportaria a força nominal de 15 kN ? Força nominal ou característica é a força real Pk. Observações: Por que a pergunta poderia se referir a toda a barra? Resposta: porque o sistema de ligação normalmente faz perder seção transversal, conduzindo a uma área útil Au, ou área enfraquecida Ae. Além disso, o sistema de ligação também gera tensões locais na madeira que devem ser verificados, no caso, é a colagem do parafuso internamente ao furo, que pode romper por cisalhamento. A barra se romperá no modo de ruptura menos resistente. O parafuso deveria também ser verificado em tração de acordo com a NBR 8800, que não é o caso aqui, onde estamos preocupando apenas com as tensões na madeira. b) Qual a força nominal máxima suportaria essa barra ? c) Qual deveria ser o comprimento de colagem para que a colagem desse a mesma resistência da barra em tração, no trecho enfraquecido? Vejam abaixo os diagramas de corpo livre para auxiliar a visualizar as tensões nas superfícies de ruptura. Os diagramas de corpo livre não são fornecidos em enunciados. Fica por conta de cada um, se precisar visualizar melhor as tensões. A ideia do diagrama é: se o todo está em equilíbrio, qualquer parte que eu isolar desse todo deve estar em equilíbrio, bastando que eu indique nas superfícies cortadas, as tensões que equilibram os esforços naquele elemento retirado pelo corte imaginário ou corte matemático e não físico.  Solução da letra a): Verificação da colagem: 1,4 Pk (πd)lc ≤ kmod f v 0,k 1,8 (1) 1,4×15 π ×2×12 ≤ (0,7×0,8×1)×0,6 1,8 0,28≫0,187 kN cm 2 →ñ0k ! Verificação da barra tracionada no trecho enfraquecido: 1,4× Pk Au ≤ kmod f t 0,k 1,8 (2) Au= π D 2 4 − π d 2 4 = π 4 (10 2−2 2)=75,4 cm 2 1,4×15 75,4 ≤ 0,56×4 ,0 0,77×1,8 0,28 kN cm 2 ≤1,62 kN cm 2 →ok ! Resposta : a barra não suporta a força de 15 kN pois a ligação irá romper por cisalhamento com essa força. Explicação: a barra em si suportaria a força de 15 kN na área útil, mas a ligação não está nos limites de segurança ao cisalhamento.  Solução da letra b) Para resolver a letra b), já que a força de 15 kN rompe o cisalhamento na linha adesiva, por dentro da madeira, basta voltar à mesma equação (1): 1,4 Pk (πd)lc ≤ kmod f v 0,k 1,8 A equação, verbalmente, está dizendo que a tensão atuante de cálculo deve ser menor ou igual a tensão resistente de cálculo para que haja segurança. Vejam quantas variáveis estão nessa equação e todas poderia ser deixadas como incógnita para resolver diferentes problemas. Agora, basta deixar Pk como incógnita, supondo-se conhecidas todas as demais variáveis. Se deixamos Pk como incógnita, iremos encontrar: Pk ≤10,05kN é precisotreinar pararesolver essasequações‼ Aproveitando o momento, poderia ter perguntado: qual seria então o comprimento de colagem para absorver os 15 kN? A equação seria agora a mesma, mas faríamos lc como incógnita e encontraríamos lc≥17,9→18cm(teve que aumentar 50%nocomprimento de colagem)  Solução da letra c) Agora pergunta-se qual deveria ser o comprimento de colagem para que a ligação absorvesse por cisalhamento, a mesma carga que a barra suporta por tração. Comentário: Normalmente uma barra em tração, ainda que tenha a área reduzida pelos elementos de ligação, suportam bem mais cargas que o sistema de ligação. Essa é uma forma de definir a eficiência das ligações (%), a razão da resistência da ligação pela resistência da barra x 100. Nesse caso da letra c), provavelmente obteremos um valor muito elevado para lc, que não se justificaria na prática. É apenas uma pergunta didática, para desenvolvimento do raciocínio. Senão vejamos: Voltemos à equação 2) para calcular a força que seria absorvida pela barra na sua área útil: 1,4× Pk Au ≤ kmod f t 0,k 1,8 (2) Novamente essa equação diz que as tensões normais máximas na ária útil devem ser menores que as tensões resistentes. Deixando Pk como incógnita vamos encontrar: Pk ≤87 kN confiram‼! Vejam que a área útil 75,4 cm2 é maior que 60 cm2 (valor mínimo para peças tracionadas principais, que está ok!) A madeira é muito resistente em tração!!!! Agora, retornando à equação 1), que verifica o cisalhamento: 1,4 Pk (πd)lc ≤ kmod f v 0,k 1,8 Vamos substituir Pk por 87 kN e deixar lc como incógnita, obtendo: lc≥104 cm‼‼!(confiram) Na prática não se justificaria fazer isso. Na realidade, uma força nominal de 15 kN para esse tipo de estruturas em madeira já é um bom resultado. OUTROS COMENTÁRIOS: a pior situação de qualquer barra ou material é quando ele é comprimido. A barra comprimida pode ficar sujeita à flambagem o que leva a capacidade de carga para baixo em relação à mesma barra tracionada. E em estruturas leves as barras e ligações devem trabalhar muitas vezes nos dois sentidos, tracionadas ou comprimidas pois as rajadas de vento podem inverter as forças nas barras de estruturas leves. Outro exemplo: Suponha uma solução como acima, onde uma peça de madeira de 6 cm de espessura ou largura, por altura de 10 cm e 14 cm, foi utilizada para segurar um cabo de um lado e outro do dente para deixar suspensa uma carga Pk. Supondo-se para a madeira uma resistência média ao cisalhamento igual a 6 MPa, qual o maior valor de Pk admissível. Dado kmod = 0,6. Solução: esse problema é análogo ao problema anterior, pois o dente de 2 cm, onde se pendura a corda de um dos lados, tenderia a romper por cisalhamento paralelo, destacando um toquinho da extremidade. Para visualizar a distribuição de tensões nessa superfície de corte, podemos esboçar o diagrama de corpo livre conforme abaixo. O diagrama de corpo livre fica sempre por conta de quem resolve o problema, para visualizar melhor a distribuição local de tensões. Vejam que a força Pk corta 2 superfícies simultaneamente, sendo que metade da força corta 1 superfície. O que estiver acontecendo em uma superfície está acontecendo por simetria na outra. A corda faz Pk/2 para baixo e o equilíbrio indicado representa as tensões em sentido contrário, feitas sobre a superfície de corte pela parte da peça de madeira à direita dessa seção de corte, garantindo o equilíbrio. Então, análoga à equação (1) tem-se: 1,4 Pk 2×6 f ≤ kmod f v 0,k 1,8 Ou: 1,4× Pk 2×6×15 ≤ 0,56×(0,54×0,6) 1,8 Pk≤2×6,48kN Resposta: força nominal máxima Pk = 12,96 kN = 1296 kgf Comentário: vejam que foi dada a resistência média ao cisalhamento, então o valor característico f v 0,k=0,54 f v 0. Vejam também que temos que trabalhar com as mesmas unidades dos dois lados da expressão para não dar erro!!!! Assim, 6 MPa = 0,6 kN cm 2