Aula 4 - Elementos de Máquinas 1

Analise de posição de mecanismos\nMétodo de newton - Rapson\n\ncomp x :\nxs + x4 . cos θ4 - x3 . cos θ3 - x2 . cos θ2 = 0\n\ncomp y :\n\nx4 . sen θ4 - x3 . sen θ3 - x2 . sen θ2\n\nAs equações são satisfeitas para valores de θ3 e θ4 que fecham a cadeia cinemática\n\nDefina-se as funções\n\nf1(θ) = f1(θ3, θ4) = xs + x4 . cos θ4 - x3 . cos θ3 - x2 . cos θ2\n\nf2(θ) = f2(θ3, θ4) = x4 . sen θ4 - x3 . sen θ3 - x2 . sen θ2\n\nDeterminar as raízes das equações, requer-se determinar os valores de f1 e f4 que sejam f1(θ) = f2(θ) = 0 Etapas\n\n1º passo : chuta-se θ3 e θ4\n\n2º passo : verificar a solução\nf1(θ) = 0 e f2(θ) = 0\n\n3º passo : atualizar o chute\nθ3' = θ3 + Δθ3\nθ4' = θ4 + Δθ4\n\n1º passo : verificar se a nova solução satisfaz\n\nf1(θ + Δθ) = f1(θ3 + Δθ3, θ4 + Δθ4) = 0\n\nf2(θ + Δθ) = f2(θ3 + Δθ3, θ4 + Δθ4) = 0\n\nEscreva a expansão em série de Taylor em torno do ponto θ = (θ3, θ4), retirando os primeiros termos.\n\nTAYLOR: f(θ + Δθ) = f(θ) + ∂f/∂θ . Δθ + ... f2 + ∂f1 . Δθ3 + ∂f2 . Δθ4 = 0\n∂f1 = x3 . sen θ3\n∂f2 = -x1 . sen θ4\n\n∂f2 = x4 . cos θ4\n\nExemplo 2.2: Def. θ3 = θ4 para o mecanismo abaixo, usando newton - rapson\nθ2 = 60°\n\nx2 = 18 cm\nx2 = 8 cm\nx3 = 20 cm\nx4 = 15 cm\n\nf1 = xs + x4 . cos θ4 - x3 . cos θ3 - x2 . cos θ2\nf2 = x4 . sen θ4 - x3 . sen θ3 - x2 . sen θ2\n\nθ3 = 15°\nθ4 = 80°\nf1 = 18 + 15 . cos 80° - 20 . cos 15 - 8 . cos 60° = 2.474\n\nf2 = 15 . cos 80° - 20 . sen 15 - 8 . sen 60° = 2.668 2F1 = -20 · sen 15 = 5,769\n2F2 = -20 · cos 15 = -19,3165\n2F2 = -15 · sen 80 = -14,7721\n2F2 = 15 · cos 80 = 2,6047\n\n-2,174 + (5,769) Δθ3 + (-4,721) Δθ4 = 0\n(2,668 + (-19,3165) Δθ3 + (2,6047) Δθ4 = 0\n\nΔθ3 = 0,1191 radianos! * 180 = 6,86°\nΔθ4 = -0,1420 rad = -8,14°\n\n3º Atualiza:\nΘ3 = 15 + 6,032 = 21,832\nΘ4 = 80 + (-8,14) = 74,86°\n\n1º f1 = 18 + 15 · cos 41,86 - 20 · cos 21,82 - 8 · cos 60 = 0,102\n\nf2 = -0,1076\n\nΔθ3 = -0,27° ⇒ Θ3' = 21,55°\nΔθ2 = 0,28° ⇒ Θ4' = 74,74°\n\nf1 = -0,0015\nf2 = 0,0026\nΘ3'' = 21,558°\nΘ4'' = 72,133° Exercício calcular Θ3 e Θ4 usando Newton - Raphson\n\nL1 = 300 mm\nL2 = 100\nL3 = 250\nL4 = 200\nΘ2 = 60°\n\n→ resolver à mão\n→ matlab Θ3 e Θ4 entrada\ncontador : m de interações\n\n* terça-feira Interim 2.5 - máximo curso manivela\n\nR = raio manivela\nL = comprimento da alavanca\nx = R + L (cos Θ) + R (cos Θ)\n\nRelação entre Θ e \n\n* R · sen Θ = l · sen p\n\nsen Θ = R · sen Θ\nL\n\ncos Θ = √(1 - sen² Θ)\ncoc Θ = √(1 - (R · sen Θ)²)\n x = R(1 - cos(θ)) + l√(1 - (R² sin²(θ))/(l² - x²))\n\texpansão em série de taylor da função\n\t(1 - x²)^(3/2)\n\nPara simplificar a equação, o termo se x vai ser expandido em série de TAYLOR\n\n(1 + x²)^(3/2) = 1 + 3/2 x² - 3/8 x⁴ + ...\n\nUma vez os os primeiros termos.\n\n√[-(R sin(θ))² = -λ/2 (R sin(θ))²\n\nEntão:\n\nx = R(1 - cos(θ)) + R² sin²(θ)\n\t\t 2l\n\npróximo ao 2.10