Slide - Integrais Triplas - Cálculo Diferencial e Integral 3 - 2023-2

Integrais Triplas Integrais Triplas Prof.ª Karin L. B. Simonato Significado Significado Uma integral simples de uma função f(x) é definida em um intervalo fechado finito do eixo x. Uma integral dupla de uma função f(x, y) é definida numa região fechada finita R do plano xy. Uma integral tripla da função f(x, y, z) é definida numa região sólida fechada G de um sistema de coordenadas xyz. Para assegurar que G não se estenda indefinidamente em alguma direção, vamos supor que ela possa ser em alguma direção, vamos supor que ela possa ser abarcada por uma caixa grande, apropriada, cujos lados são paralelos aos planos coordenados. G é um sólido finito. Volume = ΔVk Para definir a integral tripla em G, primeiro dividimos a caixa em n subcaixas por meio de planos paralelos aos planos coordenados. Depois, descartamos as subcaixas que contenham quaisquer pontos fora de G e escolhemos um ponto arbitrário em cada uma das subcaixas restantes. Denotamos o volume da k-ésima subcaixa restante por ∆Vk e o ponto selecionado na k-ésima subcaixa por (xk*, yk*, zk*). Assim, temos o produto f (xk*, yk*, zk*) ∆Vk para cada subcaixa. Somando todos os produtos: Repetimos esse processo com cada vez mais subdivisões de tal maneira que o comprimento e a largura e a altura de cada subcaixa tendam para zero e n tenda para +∞. O limite É denominado integral tripla de f(x, y, z) na região G. Propriedades \int\int\int_{G} cf(x,y,z) dV = c \int\int\int_{G} f(x,y,z) dV \quad (c\ uma\ constante) \int\int\int_{G} [f(x,y,z) + g(x,y,z)] dV = \int\int\int_{G} f(x,y,z) dV + \int\int\int_{G} g(x,y,z) dV \int\int\int_{G} [f(x,y,z) - g(x,y,z)] dV = \int\int\int_{G} f(x,y,z) dV - \int\int\int_{G} g(x,y,z) dV Cálculo de Integrais triplas em Cálculo de Integrais triplas em caixas retangulares caixas retangulares Existem 6 ordens de integração possíveis: Exemplo \underline{\text{Exemplo 1}}\quad Calcule\ a\ integral\ tripla \int\int\int_{G} 12xy^2z^3 dV na\ caixa\ retangular\ G\ definida\ pelas\ desigualdades\ -1 \leq x \leq 2,\ 0 \leq y \leq 3,\ 0 \leq z \leq 2. Solução Dentre as seis possíveis integrais iteradas que podemos usar, escolhemos a que aparece em (2). Assim, primeiro integramos em relação a z, mantendo x e y fixados, depois em relação a y, mantendo x fixado e, finalmente, em relação a x. ∭ 12xy^2z^2 dV = ∫_{-1}^{2} ∫_{0}^{1} ∫_{0}^{z^3} 12xy^2z^2 dz dy dx = ∫_{-1}^{2} ∫_{0}^{1} [3xy^2z^4]_{z=0}^{z^3} dy dx = ∫_{-1}^{2} ∫_{0}^{1} 48xy^8 dy dx = ∫_{-1}^{2} [24x/9 y^9]_{y=0}^{y=1} dx = ∫_{-1}^{2} 24x/9 dx = [16x^2/9]_{x=-1}^{x=2} = 2[6x^2]_{x=-1}^{x=2} = 648 Exercícios 1-8 Calcule a integral iterada. 1. ∫_{-1}^{1} ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{1} (x^2 + y^2 + z^2) dx dy dz 2. ∫_{1/3}^{1/2} ∫_{0}^{π} ∫_{0}^{1} z x sen xy dz dy dx 3. ∫_{0}^{2} ∫_{-1}^{2} ∫_{-1}^{2} yz dx dz dy 4. ∫_{π/4}^{π} ∫_{0}^{1/3} ∫_{0}^{1/2} x cos y dz dx dy 5. ∫_{0}^{3} ∫_{0}^{√(9−x)} ∫_{0}^{x} xy dy dx dz 6. ∫_{1}^{3} ∫_{x}^{x^3} ∫_{0}^{ln z} xe^y dy dz dx 7. ∫_{0}^{2} ∫_{0}^{√(4−x)} ∫_{−5+x^2+y^2}^{3−x^2−y^2} x dz dy dx 8. ∫_{1}^{2} ∫_{z}^{2} ∫_{0}^{√(3y)} y/(x^2 + y^2) dx dy dz