Aula 17: Distribuição Normal - Estatística Aplicada

Universidade de Brasília UnB Instituto de Ciências Exatas Departamento de Estatística Estatística Aplicada Prof Gladston 22023 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Aula 17 Distribuição Normal Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Se X tem distribuição Normal com média e variância 2 escreveremos X N 2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Padronizada Qualquer conjunto de valores X normalmente distribuídos pode ser convertido em valores normais padronizados Se X N 2 então a va Z definida por terá uma distribuição N0 1 𝑍 𝑋 𝜇 𝜎2 𝑋 𝜇 𝜎 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Teorema Seja X uma va com média e variância 2 e seja X1 X2 Xn uma amostra aleatória simples aas Então se n e V X X E X n X n i i 2 1 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Teorema Central do Limite Seja X1 X2 Xn uma aas de uma população X tal que EX e VX 2 A distribuição de ത𝑋 converge para a distribuição normal com média e variância 2n quando n isto é n N X 2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Corolário Se X1 X2 Xn é uma amostra aleatória simples da população X com média e variância 2 e ത𝑋 𝑋1𝑋2𝑋𝑛 𝑛 então Z X μ 𝜎2 𝑛 X μ 𝜎 n N 0 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Distribuição Normal Padronizada Genericamente temse que 𝑍 𝑇 𝐸𝑇 𝑉𝑎𝑟𝑇 𝑁0 1 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo Uma empresa fabrica cilindros com 50 mm de diâmetro e 25 mm A cada hora os diâmetros de uma amostra de 4 cilindros são medidos para decidir se o processo de fabricação está operando sob controle estatístico Aplicase a seguinte regra de decisão se o diâmetro médio da amostra for igual ou menor ao Limite Superior de Controle LSC ou igual ou maior ao Limite Inferior de Controle LIC continuase o processo de produção Estabeleça os limites de controle que tenha a probabilidade de 09973 de uma amostra cair entre LIC e LSC Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Exemplo 𝑃 𝐿𝐼𝐶 ത𝑋 𝐿𝑆𝐶 09973 𝑃 𝑧 Τ 𝛼 2 𝑍 𝑧 Τ 𝛼 2 09973 Para a 00027 o valor da abscissa da Normal é 𝑧 Τ 𝛼 2 300 Então 𝑃 300 𝑍 300 𝑃 300 ത𝑋 50 ൘ 25 4 300 𝑃 50 300 25 4 ത𝑋 50 300 25 4 09973 𝑃 4625 ത𝑋 5375 09973 𝐿𝐼𝐶 4625 e 𝐿𝑆𝐶 5375 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Aproximação Binomial pela Normal Pelas propriedades da média e da variância podese estabelecer o TCL em termos de 𝑆𝑛 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 visto que 𝑆𝑛 𝑛 ሜ𝑋 ቐ 𝐸 𝑆𝑛 𝑛𝐸 ሜ𝑋 𝑛𝜇 𝑉 𝑆𝑛 𝑛2𝑉 ሜ𝑋 𝑛𝜎2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Teorema Central do Limite Sejam X1 X2 Xn uma aas de uma população X tal que EX e VX 2 A distribuição de 𝑆𝑛 σ𝑖1 𝑛 𝑋𝑖 converge para a distribuição normal com média n e variância n2 quando n isto é 𝑆𝑛𝑁 𝑛𝜇 𝑛𝜎2 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Aproximação Binomial pela Normal Pelo Teorema Central do Limite e sabendose que se Y Bernp EYp e VYp1 p podese dizer que a uma va X Bin n p se aproxima de uma normal com média np e variância np1p quando n Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Aproximação Binomial pela Normal 0 001 002 003 004 005 006 007 008 009 1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58 61 64 67 70 73 76 79 82 85 88 91 94 97 100 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade A Distribuição Binomial com parâmetros n e p pode ser aproximada por uma Normal com média μ np e variância σ2 np1p se são satisfeitas as seguintes condições np 5 n1 p 5 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade 000 005 010 015 020 025 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Binomial Normal Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 12 x 050 6 σ2 12 x 050 x 050 3 PX 7 038721 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 12 x 050 6 σ2 12 x 050 x 050 3 𝑃𝑋 7 𝑃𝑌 65 𝑃 𝑌 6 3 65 6 3 𝑃𝑍 02887 03864 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 6 σ2 3 0 0193 9 P X Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 6 σ2 3 𝑃𝑋 9 00193 𝑃𝑋 9 𝑃𝑌 95 𝑃 𝑌 6 3 95 6 3 𝑃𝑍 20207 00217 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 6 σ2 3 0 7332 8 4 X P Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 6 σ2 3 𝑃4 𝑋 8 07332 𝑃4 𝑋 8 𝑃35 𝑌 75 𝑃 35 6 3 𝑌 6 3 75 6 3 𝑃14434 𝑍 08660 07323 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 6 σ2 3 0 2256 6 P X Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 6 σ2 3 𝑃𝑋 6 02256 𝑃𝑋 6 𝑃55 𝑌 65 𝑃 55 6 3 𝑌 6 3 65 6 3 𝑃02887 𝑍 02887 02272 Prof Gladston Luiz da Silva Estatística Aplicada 22023 Correção de Continuidade Exemplo X Bin 12 050 6 σ2 3 𝑃𝑋 6 02256 𝑃𝑋 6 𝑃55 𝑌 65 𝑃 55 6 3 𝑌 6 3 65 6 3 usando a tabela da distribuição Normal Padronizada 𝑃 029 𝑍 029 06141 03859 02282