2 Questões de Álgebra Linear 1

6310 Um operador T Rn Rn é chamado nilpotente se Tn 0 a transformação linear nula para algum n N Seja T um operador nilpotente Mostre que existe um vetor V 0 tal que TV 0 629 Seja f R3 R uma transformação linear a Mostre que existem escalares a b c tais que fx y z ax by cz b Descreva geometricamente todas as possibilidades para o núcleo de f 629 a Seja B e1 1 0 0 e2 0 1 0 e3 0 0 1 a base canônica de R3 Defina fe1 a fe2 b fe3 c com a b c R Dado um vetor arbitrário v x y z R3 temos que v xe1 ye2 ze3 Aplicando f temos fx y z xfe1 yfe2 zfe3 fx y z xa yb zc Portanto existem a b c R tais que fx y z ax by cz b Sabemos que Núcleof x y z ℝ³ fx y z 0 Se fx y z 0 então ax by cz 0 Geometricamente a equação ax by cz 0 representa um plano em ℝ³ com algum dos coeficientes a b c diferente de zero Temos as seguintes possibilidades geométricas para o núcleo Plano passando pela origem se pelo menos dois dos coeficientes a b c são diferentes de zero o núcleo será um plano em ℝ³ Reta na origem se dois coeficientes a b c forem zero o núcleo será uma reta Ponto na origem se a b c 0 f é a transformação nula e o núcleo de f é apenas o ponto 0 0 0 6310 Suponha que T é um operador nilpotente ou seja Tⁿ 0 para algum n ℕ Suponha por contradição que não exista um vetor v 0 tal que Tv 0 Logo T é injetora já que Tv 0 apenas para v 0 Como T é um operador linear injetor então também é sobrejetor e portanto T é inversível No entanto se T for inversível não existe n ℕ tal que Tⁿ 0 Pois nenhuma transformação inversível pode ser nilpotente pois sua composição consigo mesmo nunca resultaria na transformação nula Isso contradiz o fato de T ser nilpotente Portanto existe v 0 tal que Tv 0