Atividade Álgebra

6111 Seja Y abc R³ Determine a matriz do operador linear T R³ R³ definido por TX Txyz X Y det y z b c det x z a c det x y a b em relação à base canônica Exercícios Teóricos 626 Determine o núcleo e a imagem do operador linear definido no Exercício 6111 na página 364 6111 Temos Tx Tx y z X Y det y z b c det x z a c det x y a b cy bz cx az bx ay Seja B e₁ 1 0 0 e₂ 0 1 0 e₃ 0 0 1 a base canônica de R³ Temos Te₁ T100 0 c b 0100 c010 b0 0 1 Logo as coordenadas de Te₁ em relação a base canônica é dada por Te₁B 0 c b Te₂ T010 c 0 a c100 0010 a001 As coordenadas de Te₂ em relação a base canônica é dada por Te2B c 0 a Te3 T001 ba0 b100a0100001 As coordenadas de Te3 em relacao base canonica e dada por Te3B b a 0 Portanto a matriz de T em relacao a base canonica e dada por T 0 c b c 0 a b a 0 com abc R 626 se Tx 000 entao c y b z c x a z b x a y 000 ou seja c y b z 0 1 c x a z 0 2 b x a y 0 3 Vamos resolver o sistema acima De 1 b z c y z c y b com b 0 De 2 c x a z 0 c x a c y b 0 c x a c y b x a c y b c x a b y b 0 Portanto o nucleo de T e dado por NucT a b y c b y y com abcy R b 0 Agora observe que Tx c y b z c x a z b x a y x 0 c b y c 0 a z b a 0 Logo os vetores 0 c b c 0 a b a 0 geram a imagem de T e portanto ImT 0 c b c 0 a b a 0