Atividades Estatistica

Atividade de Probabilidade e Estatística Engenharia e Automação Cálculo de Probabilidades e Intervalos de Confiança 1 Distribuição Normal O tempo de resposta de um sistema automatizado segue uma distribuição normal com média de 2 segundos e desvio padrão de 05 segundos Qual a probabilidade de que o sistema responda em menos de 15 segundos 2 Distribuição Normal O diâmetro de um cilindro utilizado em uma máquina de produção segue uma distribuição normal com média de 10 cm e desvio padrão de 02 cm Qual a probabilidade de que um cilindro escolhido aleatoriamente tenha um diâmetro entre 98 cm e 102 cm 3 Distribuição Binomial Um sistema de controle de qualidade detecta defeitos em 5 das peças produzidas Em um lote de 20 peças qual a probabilidade de que exatamente 3 peças estejam defeituosas 4 Distribuição Binomial Em uma linha de montagem automatizada 80 dos robôs conseguem montar corretamente um componente na primeira tentativa Se 10 robôs tentam realizar a montagem qual a probabilidade de que pelo menos 8 consigam montar corretamente 5 Intervalo de Confiança Variância Conhecida A resistência de um material utilizado na fabricação de circuitos segue uma distribuição normal com desvio padrão de 3 MPa Uma amostra de 25 peças tem uma resistência média de 50 MPa Construa um intervalo de confiança de 95 para a resistência média do material 6 Intervalo de Confiança Variância Desconhecida O consumo energético de um motor elétrico foi avaliado em uma amostra de 16 medições resultando em uma média de 200 W e um desvio padrão amostral de 15 W Construa um intervalo de confiança de 90 para o consumo médio do motor Prova 2 Variáveis aleatórias e Valor esperado EST 302 Variáveis aleatórias discretas Função de distribuição de probabilidade distribuição acumulada e va lor esperado Questão 1 As probabilidades de vários números de falhas em um teste mecânico são as se guintes Pr0 falhas 021 Pr1 falha 043 Pr2 falhas 028 Pr3 falhas 008 Prmais de 3 falhas 0 a Mostre esta função de probabilidade como um gráfico a Esboce um gráfico da função de distribuição cumulativa correspondente b Qual é o número esperado de falhas isto é o número médio de falhas Questão 2 Uma variável aleatória discreta X tem três resultados possíveis com as seguintes probabilidades PrX 1 16 PrX 2 13 PrX 3 12 Nenhum outro resultado pode ocorrer a Esboce um gráfico da função de probabilidade b Qual é o valor médio ou esperado dessa variável aleatória c Quais são a variância e o desvio padrão dessa variável aleatória Questão 3 Uma fábrica produz 3 grupos geradores a diesel por semana No final de cada semana os conjuntos são testados Se os conjuntos forem aceitáveis eles serão envia dos aos compradores A probabilidade de um conjunto ser aceitável é 070 A segunda possibilidade é que pequenos ajustes possam ser feitos para que um conjunto se torne aceitável para envio isso tem uma probabilidade de 020 O terceiro resultado possível é que o conjunto tenha que ir para a oficina de diagnóstico para ajustes principais e ser enviado em uma data posterior isso tem uma probabilidade de 010 Os resultados para conjuntos diferentes são independentes uns dos outros a Encontre a probabilidade de cada número possível de conjuntos para a produção de uma semana que são aceitáveis sem qualquer ajuste b Qual é o número esperado de conjuntos que são testados e considerados aceitáveis sem ajuste c Qual é a distribuição de probabilidade cumulativa para o número de conjuntos testados e considerados aceitáveis sem ajuste Esboce o gráfico correspondente DEEST UFOP Última modificação 18 de março de 2025 1 1µ25 σ05s x15 zxµ1521 Px15 Pz1015871587 σ 05 2µ10 cm σ02cm x₁98cm x₂102cm z₁9810 1 z₂10210 1 02 02 P98 x 102 P1z1 Pz1 08413 Pz1 01587 P1z1 Pz1 Pz1 08413 01587 06826 6826 3n20 peçãs p5005 x3 Pxk n k nk pk 1pnk 20 3 203 0053 1 005203 Px3 00596 596 4n10 p8008 x₁8 x₂9 x₃10 Px 8 Px8Px9Px10 Px8 10 8 108 088 02108 0302 Px9 10 9 109 089 02109 0268 Px10 10 10 1010 0810 020 0107 Px 8 0302026801070677677 5 x 50 MPa σ3 MPa n25 peças α100955 005 Zα2 Z0025 196 EP σ n 3 25 06 MPa IC 50 Zα2EP 50 19606 EP₁48824 MPa EP₂51176 MPa IC 95 4882 MPa 5118 MPa 6 x200 W s15 W n16 medições α1009010010 Prova 2 Variáveis Aleatórias e Valor Esperado EST 302 Questão 3 Um sistema consiste em dois ramos em paralelo cada ramo com dois componentes As probabilidades de operação bemsucedida dos componentes A B C e D são 09 08 07 e 06 conforme mostrado acima Se um componente falhar a saída de sua ramificação será zero Se apenas uma ramificação operar a saída será de 50 Obviamente se ambos os ramos operarem a saída será de 100 a Encontre a probabilidade de saída zero b Encontre a saída percentual esperada Variáveis aleatórias contínuas Função de distribuição de probabilidade distribuição acumulada e valor esperado Questão 1 Uma função de densidade de probabilidade para x em radianos é dada por fx 0 se x π2 12 cos x se π2 x π2 0 se x π2 a Encontre a probabilidade de X estar entre 0 e π4 b Encontre uma expressão para a função de distribuição cumulativa correspondente Fx para π2 x π2 c Qual é a probabilidade de que X seja exatamente π4 Explique por que isso é ou não um resultado razoável Questão 3 Uma estação de rastreamento de telemetria de radar requer uma grande quantidade de fita magnética de alta qualidade Foi estabelecido que a distância X em metros entre falhas na superfície da fita tem as seguintes funções de densidade de probabilidade fx 0005e⁰⁰⁰⁵ˣ se x 0 0 se cc a Faça um gráfico de fx versus x para 0 x 800 b Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada Fxᵢ ⁱˣ¹ fx dx x₁ 0 c Suponha que uma falha na superfície da fita tenha sido identificada Calcular i a probabilidade de que uma falha adicional seja encontrada nos próximos 100 m de fita ii a probabilidade de que uma falha adicional não seja encontrada por pelo menos 200 m iii a probabilidade de que uma falha adicional seja encontrada entre 100 e 200 m da falha já identificada Questão 4 Dado fx bx² se 1 x 3 0 se x 1 e x 3 a Determine o valor de b que fará de fx uma função densidade de probabilidade b Encontre a função de distribuição de probabilidade acumulada e usea para determinar a probabilidade de que X seja maior que 2 mas menor que 3 c Encontre a probabilidade de que X seja exatamente igual a 2 d Encontre a média desta distribuição de probabilidade e Encontre o desvio padrão desta distribuição de probabilidade q n116115 t α2gl t00515 1753 EP 5 15 375W m16 IC x tα2gl EP 200 1753 375 EP1 193426W EP2 206574W IC 90 193431W 20657W 1 a b E x x Px x 021 1 043 2 028 3 008 123 2 a b Ex 1 16 2 13 3 12 Ex 233 Variance calculations VARx x² Ex² 1² 16 2² 13 3² 12 233² VARx 05711 σx Varx 05711 0756 3 a n 3 k 0 1 2 ou 3 p 07 Px 0 3 030 07⁰ 107³⁰ 0027 Px 1 3 1 3 1 07¹ 1 07³¹ 0189 Px 2 3 2 3 2 07² 1 07³² 0441 Px 3 3 3 3 3 07³ 1 07³³ 0343 b Ex 3 07 21 c 3 a Ramo 1 Falhou PĀ 1 09 01 P B 1 08 02 PĀ B 01 02 0102 028 Ramo 2 Falhou PČ 1 07 03 PĎ 1 06 04 PČ Ď 03 04 0304 058 PAmbos 028058 01624 1624 b Ambos operam saída 100 PAPB 0908 072 PCPD 0706 042 PAmbos 072042 03024 Apenas ramo 1 072058 04176 saída 50 Apenas ramo 2 042028 01176 saída 50 Nenhum ramo 01624 saída 0 E 03024 100 04176 50 01176 50 01624 0 57 1 a P 0 x π4 0 π4 12 cos x dx 12 Sen x 0 to π4 12 Sen π4 Sen 0 03536 3536 b Fx π2 x 12 cos t dt 12 sen t π2 to x 12 sen x senπ2 Fx 12 1 sen x c Px π4 π4 π4 fx dx 0 3 a graph curve b Fx 0 x 0005 e0005t dt 0005 e0005t0005 0 to x e0005x e⁰ 1 e0005x Fx 0 se x 0 1 e0005x se x 0 c i Px 100 F100 1 e0005 100 03935 3935 ii Px 200 1 F200 e0005 200 03679 3679 iii P100 x 200 F200 F100 06065 03679 02386 2386 4 a 1 3 bx² dx 1 bx 1 to 3 b b3 2b3 1 b 32 b Fx 1 x 32 dt t² 32 1t 1 to x 32 32x P2 x 3 F3 F2 14 25 Fx 0 se x 1 32 32x se 1 x 3 1 se x 3 Px2 ₀² fx dx 0 d μ ₁³ x 32 dx 3 ₁³ 12 dx 32 ln x³ 16479 e Ex² ₁³ x² 32 dx 3 ₁³ 12 dx 3 σ 3 32 ln3² 05332