Medidas de Dispersão

Medidas de Dispersão Prof Denilson Junio Marques Soares Medidas de Dispersão Amplitude Intervalo Interquartil Desvio Médio Desviopadrão Variância Coeficiente de Variação Prova 2 1302 25 PTS Medidas de Posição x Medidas de Dispersão Se tivermos duas turmas com a mesma média nas notas das provas isso significa que os desempenhos individuais foram parecidos Exemplo 1 Turma A tem notas 7 7 7 7 7 Exemplo 2 Turma B tem notas 2 4 7 10 12 Medidas de Posição x Medidas de Dispersão Exemplo 1 Turma A tem notas 7 7 7 7 7 média 7 Exemplo 2 Turma B tem notas 2 4 7 10 12 média 7 Embora ambas as turmas tenham a mesma média a dispersão das notas é muito diferente Esse exemplo mostra que a média sozinha não é suficiente para descrever a distribuição dos dados Medidas de Posição x Medidas de Dispersão Medidas de Posição x Medidas de Dispersão Medidas de Posição x Medidas de Dispersão Amplitude Vamos considerar os dois conjuntos de dados que discutimos anteriormente Turma A Notas 7 7 7 7 7 Turma B Notas 2 4 7 10 12 Interpretação Turma A A amplitude é 0 o que indica que todos os alunos têm exatamente a mesma nota Não há variação nas notas ou seja as notas são constantes Turma B A amplitude é 10 mostrando uma grande variação nas notas dos alunos com um intervalo significativo entre a menor e a maior nota Amplitude Vantagens e Limitações Vantagens A amplitude é fácil de calcular e entender sendo útil para uma análise inicial da dispersão dos dados Limitações A amplitude considera apenas os valores extremos do conjunto de dados ignorando a distribuição dos outros valores Por isso ela pode ser influenciada por outliers valores muito altos ou muito baixos e não fornece uma visão completa da variação dos dados Amplitude Intervalo Interquartil O Intervalo Interquartil é a diferença entre o terceiro quartil Q3 e o primeiro quartil Q1 de um conjunto de dados Os quartis dividem os dados em quatro partes iguais com 25 dos dados em cada parte Q1 Primeiro Quartil É o valor abaixo do qual 25 dos dados estão localizados Q3 Terceiro Quartil É o valor abaixo do qual 75 dos dados estão localizados Lembrese Como calcular os Quartis Passos para Calcular os Quartis 1 Ordenar os Dados Coloque os dados em ordem crescente 2 Calcular a Posição dos Quartis Para Q1 Q1 n14 Para Q2 Q2 n12 Para Q3 Q3 3n14 Onde n é o número total de observações 3 Determinar os Valores Correspondentes Encontre as posições calculadas nos dados ordenados e se necessário interpolar entre os valores Intervalo Interquartil Exemplo 2 4 7 10 12 15 18 20 22 25 26 30 30 45 47 50 52 55 60 Intervalo Interquartil Suponha que você esteja avaliando os níveis de ruído em decibéis dB em dez setores diferentes da fábrica para garantir que eles estejam dentro dos limites de segurança Níveis de Ruído Medidos em dB ordenados 65 67 70 72 74 76 78 80 82 85 Determine o intervalo interquartil dos dados Intervalo Interquartil Considerando os níveis de iluminação em diferentes áreas de um escritório para garantir que as condições de trabalho estejam adequadas no contexto da segurança do trabalho o IIQ pode ser útil para avaliar a consistência dos níveis de iluminação em diferentes partes de um ambiente de trabalho Conformidade com Normas Um IIQ mais baixo indicaria que a iluminação está relativamente uniforme em todo o escritório o que é ideal para evitar fadiga visual e melhorar a produtividade Identificação de Áreas Problemáticas Um IIQ mais alto como no exemplo 65 lux sugere que há áreas do escritório com diferenças notáveis nos níveis de iluminação Essas variações podem indicar a necessidade de ajustes como redistribuição de luminárias aumento na intensidade de luz em áreas subiluminadas ou controle do brilho em áreas superiluminadas Calcule o IIQ considerando os níveis de Iluminação Medidos em lux ordenados 300 320 340 350 360 370 380 390 400 420 Intervalo Interquartil Vantagens O IIQ é uma medida resistente ou seja não é afetado por valores extremos ou outliers Isso o torna útil em situações onde os dados podem conter valores anômalos Foca na variação dos valores centrais fornecendo uma visão mais equilibrada da dispersão dos dados Limitações O IIQ por ignorar os extremos pode não capturar totalmente a variação dos dados especialmente se houver uma variação significativa nos quartis superiores ou inferiores BoxPlots Obs Limite Inferior Q1 15 x IIQ Limite Superior Q3 15 x IIQ BoxPlot construção Vamos construir o Boxplot considerando os dados de Iluminação Medidos em lux ordenados do último exemplo 300 320 340 350 360 370 380 390 400 420 Os níveis de ruído medidos em 12 setores da planta industrial são os seguintes 82 85 72 78 87 80 92 90 95 98 75 85 Construa o Boxplot associado BoxPlot construção Trabalho Valor 10 pontos Entrega 0602 Coletar dados entre os colegas construa um Boxplot dos dados coletados e interprete os resultados refletindo sobre a variação e distribuição desses dados Sugestões de temas Altura em cm Idade em anos Quantidade de horas semanais de estudo Tempo de deslocamento até a escola em minutos Uso de internet em um dia em minutos Tempo gasto em tarefas domésticas em minutos Números de Matchs em um aplicativo de relacionamento Etc DesvioMédio O Desvio Médio é calculado como a média aritmética dos desvios absolutos dos valores em relação à média do conjunto de dados Exemplo Vamos considerar um conjunto de dados simples que representa as alturas em centímetros de cinco alunos Alturas 150 160 165 170 e 175 DesvioMédio Vantagens e Limitações Vantagens O Desvio Médio é uma medida simples e fácil de interpretar Ele fornece uma visão intuitiva da variabilidade dos dados Limitações Não leva em conta o sinal das diferenças tratando todos os desvios como positivos Pode ser menos informativo em comparação com outras medidas de dispersão como o desvio padrão especialmente em distribuições com outliers DesvioMédio Em uma fábrica os níveis de ruído em decibéis dB foram medidos em cinco pontos diferentes da linha de produção para avaliar a necessidade de controle de ruído Os valores medidos foram 80 dB 85 dB 82 dB 90 dB e 88 dB Questões 1Calcule a média dos níveis de ruído 2Calcule o desvio médio dos níveis de ruído DesvioMédio Em um armazém a temperatura em C foi medida em cinco locais diferentes ao longo de um dia para avaliar a eficácia do sistema de ventilação As temperaturas registradas foram 22C 25C 23C 28C e 27C Calcule o desviomédio Variância A variância é a média dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média do conjunto de dados A variância pode ser calculada de duas formas dependendo se estamos trabalhando com uma população completa ou uma amostra Variância A variância é a média dos quadrados dos desvios de cada valor em relação à média do conjunto de dados A variância pode ser calculada de duas formas dependendo se estamos trabalhando com uma população completa ou uma amostra Variância Exemplo Prático Vamos calcular a variância usando os mesmos dados de níveis de ruído em decibéis dB que vimos anteriormente Níveis de Ruído dB 85 90 88 e 92 Variância 1 Calcular a Média x x 85 90 88 92 87 5 884 dB 2 Calcular os Desvios xi x 85 884 34 90 884 16 88 884 04 92 884 36 87 884 14 Variância 3 Calcular os Quadrados dos Desvios 342 1156 162 256 042 016 362 1296 142 196 4 Calcular a Variância Para a população σ2 σ2 1156 256 016 1296 196 5 292 5 584 dB2 Para a amostra s2 s2 1156 256 016 1296 196 4 292 4 73 dB2 Variância Vantagens e Limitações Vantagens A variância usa todos os dados do conjunto e fornece uma medida abrangente de dispersão É um componente fundamental em muitos cálculos estatísticos incluindo o desviopadrão e a análise de variância ANOVA Limitações A variância é expressa em unidades ao quadrado o que pode ser menos intuitivo para interpretação direta Assim como o desviopadrão a variância pode ser influenciada por outliers Desviopadrão O desviopadrão é a raiz quadrada da variância Ele é uma medida expressa na mesma unidade dos dados originais o que facilita sua interpretação em comparação com a variância que é expressa em unidades ao quadrado Exercício 1 Em uma fábrica foram medidos os níveis de ruído em decibéis dB em seis setores diferentes para verificar a uniformidade do ambiente de trabalho As medições foram 78 dB 80 dB 76 dB 82 dB 79 dB 81 dB Calcule a Variância e o DesvioPadrão Exercício 2 As temperaturas em C foram medidas em cinco diferentes áreas de um armazém para avaliar o controle climático As temperaturas registradas foram 22C 24C 23C 25C 26C Calcule a Variância e o DesvioPadrão Exercício 3 O consumo de energia em kWh de cinco máquinas diferentes em uma linha de produção foi medido para avaliar a eficiência energética Os consumos foram 150 kWh 160 kWh 155 kWh 165 kWh 170 kWh Calcule a Variância e o DesvioPadrão Coeficiente de Variação O coeficiente de variação CV é uma medida de dispersão utilizada para relacionar o desviopadrão e a média aritmética de um conjunto de dados Como essa medida é expressa em porcentagem é possível utilizála para comparar a variabilidade de conjuntos de dados distintos que envolvam grandezas diferentes Quanto maior o CV maior a variabilidade das informações em relação à média o que indica um grupo de dados mais heterogêneo Exercício 1 Um grupo de amigos é formado por 6 pessoas sendo 2 com 14 anos 2 com 15 anos e 2 com 16 anos Qual o coeficiente de variação das idades desse grupo de amigos Exercício 2 Em uma sala de aula calculouse a média aritmética e o desviopadrão da idade e da altura dos estudantes obtendose as seguintes medidas Idades 𝑥𝐼 13 anos e 𝑠𝐼 1 ano Alturas 𝑥𝐴 160 cm e 𝑠𝐴 20 cm O que é mais heterogêneo entre os estudantes dessa sala de aula Medidas de Posição e Dispersão Cálculo na Calculadora Medidas de Posição e Dispersão Cálculo na Calculadora Medidas de Posição e Dispersão Cálculo na Calculadora Ex Temperatura em Fevereiro de 2024 em uma cidade Ex Magnitude dos Terremotos ocorridos na 1ª semana de dezembro ENEM A temperatura máxima de uma cidade foi registrada durante duas semanas Segunda Terça Quarta Quinta Sexta Sábado Domingo Média σ Primeira semana 27 32 31 30 29 30 31 30 151 Segunda semana 25 30 32 27 29 28 32 29 239 Analisando os dados podemos afirmar que a semana em que houve maior variação de temperatura foi A a primeira semana pois a sua média é maior do que a da segunda semana B a primeira semana pois o seu desviopadrão é menor do que o da segunda semana C a segunda semana pois a sua média é menor do que a da primeira semana D a segunda semana pois o seu desviopadrão é maior do que o da primeira semana Enem 2019 PPL Um fiscal de certa empresa de ônibus registra o tempo em minuto que um motorista novato gasta para completar certo percurso No Quadro 1 figuram os tempos gastos pelo motorista ao realizar o mesmo percurso sete vezes O Quadro 2 apresenta uma classificação para a variabilidade do tempo segundo o valor do desviopadrão Quadro 1 Tempos em minuto 48 54 50 46 44 52 49 Quadro 2 Variabilidade Desvio padrão do tempo min Extremamente baixa 0 σ 2 Baixa 2 σ 4 Moderada 4 σ 6 Alta 6 σ 8 Extremamente alta σ 8 Com base nas informações apresentadas nos quadros a variabilidade do tempo é A extremamente baixa B baixa C moderada D alta E extremamente alta Durante uma competição de salto a distância os atletas faziam 3 saltos e a média desses saltos era calculada Para vencer o atleta deveria atingir a maior média Em caso de empate entre as médias o atleta que tivesse saltos mais regulares acaba levando o prêmio Na tabela seguir temos os resultados de cada um dos atletas em metros Atleta 1º salto 2º salto 3º salto Média Desvio padrão Caio 52 m 58 m 64 m 58 m 049 Hélio 50 m 45 m 61 m 52 m 067 Nicolas 57 m 57 m 57 m 57 m 000 Heitor 58 m 60 m 56 m 58 m 016 Marcelo 54 m 53 m 55 m 54 m 008 Analisando os dados podemos afirmar que o vencedor da competição foi A Caio B Hélio C Nicolas D Heitor E Marcelo ENEM Enem 2010 Marco e Paulo foram classificados em um concurso Para classificação no concurso o candidato deveria obter média aritmética na pontuação igual ou superior a 14 Em casode empate na média o desempate seria em favor da pontuação mais regular No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática Português e Conhecimentos Gerais a média a mediana e o desviopadrão dos dois candidatos Dados dos candidatos no concurso Matemática Português Conhecimentos Gerais Média Mediana Desvio Padrão Marco 14 15 16 15 15 032 Paulo 8 19 18 15 18 497 O candidato com pontuação mais regular portanto mais bem classificado no concurso é A Marco pois a média e a mediana são iguais B Marco pois obteve o menor desviopadrão C Paulo pois obteve a maior pontuação da tabela 19 em Português D Paulo pois obteve a maior mediana E Paulo pois obteve o maior desviopadrão ENEM Enem PPL 2010 Em uma corrida de regularidade a equipe campeã é aquela em que o tempo dos participantes mais se aproxima do tempo fornecido pelos organizadores em cada etapa Um campeonato foi organizado em 5 etapas e o tempo médio de prova indicado pelos organizadores foi de 45 minutos por prova No quadro estão representados os dados estatísticos das 5 equipes mais bem classificadas Dados estatísticos das equipes mais bem classificadas em minutos Equipes Média Moda Desviopadrão Equipe I 45 40 5 Equipe II 45 41 4 Equipe III 45 44 1 Equipe IV 45 44 3 Equipe V 45 47 2 Utilizando os dados estatísticos do quadro a campeã foi a equipe a I b II c III d IV e V ENEM a I e III b I e IV c II e III d II e IV e III e IV Thats all Folks INSTITUTO FEDERAL Minas Gerais