Estatística

Testes de Hipótese Questões 1 Se ao lançarmos três vezes uma moeda aparecerem 3 coroas decidimos rejeitar a hipótese de que a moeda é honesta Quais as probabilidades de erro de tipo I e erro de tipo II se p 23 2 A variável X custo de manutenção de um tear pode ser considerada como tendo distribuição normal de média μ e desvio padrão 20 unidades Os valores possíveis de μ podem ser 200 ou 210 Para verificar qual dos dois valores é o mais provável usarseá uma amostra de 25 teares Defina a Uma hipótese a ser testada b Uma regra de decisão e encontre as probabilidades dos erros de tipo I e II 3 Sabese que o consumo mensal per capita de um determinado produto tem distribuição normal com desvio padrão 2 kg A diretoria de uma firma que fabrica esse produto resolveu que retiraria o produto da linha de produção se a média de consumo per capita fosse menor que 8 kg Caso contrário continuaria a fabricálo Foi realizada uma pesquisa de mercado tomandose uma amostra de 25 indivíduos e verificouse que Xi 180 kg onde Xi representa o consumo mensal do iésimo indivíduo da amostra a Construa um teste de hipótese adequado utilizando α 005 e com base na amostra colhida determine a decisão a ser tomada pela diretoria b Qual a probabilidade de se tomar uma decisão errada se na realidade a média populacional for μ 78 kg c Se a diretoria tivesse fixado α 001 a decisão seria a mesma Justifique sua resposta d Se o desvio da populacao fosse 4 kg qual seria a decisao com α 0 05 Justifique sua resposta 4 A associacao dos proprietarios de industrias metalurgicas esta muito preocupada com o tempo perdido com acidentes de trabalho cuja media nos ultimos tempos tem sido da ordem de 60 horashomem por ano e desvio padrao de 20 horashomem Tentouse um programa de prevencao de acidentes apos o qual foi tomada uma amostra de nove industrias e medido o numero de horashomens perdidas por acidente que foi de 50 horas Vocˆe diria no nıvel de 5 que ha evidˆencia de melhoria 5 O salario medio dos empregados das industrias siderurgicas de um paıs e de 2 5 salarios mınimos com um desvio padrao de 0 5 salarios mınimos Uma industria e escolhida ao acaso e desta e escolhida uma amostra de 49 empregados resultando um salario medio de 2 3 salarios mınimos Podemos afirmar que esta industria paga salarios inferiores a media nacional com o nıvel de 5 6 Uma companhia de cigarros anuncia que o ındice medio de nicotina dos cigarros que fabrica apresentase abaixo de 23 mg por cigarro Um laboratorio realiza 6 analises desseındice obtendo 27 24 21 25 26 22 Sabese que oındice de nicotina se distribui normalmente com variˆancia igual a 4 86 mg2 Podese aceitar no nıvel de 10 a afirmacao do fab ricante 7 Para decidirmos se os habitantes de uma ilha sao descendentes da civ ilizacao A ou B iremos proceder do seguinte modo a Selecionamos uma amostra de 100 moradores adultos da ilha e determinamos a altura media deles b Se essa altura media for superior a 176 diremos que sao descen dentes de B caso contrario sao descendentes de A 8 Nas situacoes abaixo escolha como hipotese nula H0 aquela que para vocˆe leva a um erro de tipo I mais importante Descreva quais os dois erros em cada caso a O trabalho de um operador de radar e detectar aeronaves inimigas Quando surge alguma coisa estranha na tela ele deve decidir entre as hipoteses i Esta comecando um ataque 2 ii Tudo bem apenas uma leve interferˆencia b Num juri um indivıduo esta sendo julgado por um crime As hipoteses sujeitas ao juri sao i O acusado e inocente ii O acusado e culpado c Um pesquisador acredita que descobriu uma vacina contra resfri ado Ele ira conduzir uma pesquisa de laboratorio para verificar a veracidade da afirmacao De acordo com o resultado ele lancara ou nao a vacina no mercado As hipoteses que pode testar sao i A vacina e eficaz ii A vacina nao e eficaz 9 Fazendo o teste H0 µ 1150 σ 150 H1 µ 1200 σ 200 e n 100 estabeleceuse a seguinte regiao crıtica RC 1170 a Qual a probabilidade α de rejeitar H0 quando verdadeira b Qual a probabilidade β de aceitar H0 quando H1 e verdadeira c Qual deve ser a regiao crıtica para que α β 3 1 H0 moeda honesta p 12 H1 a moeda não é honesta Erro do tipo 1 Px3 p12 X B3 12 Px3 33 123 1120 18 0125 probabilidade de rejeitar incorretamente H0 quando a moeda é honesta Erro do tipo 2 Px 3 p 23 1 Px3 p 23 X B3 23 Px3 33 233 1230 827 1827 1927 07087 probabilidade de não rejeitar H0 quando a moeda p 23 2 a H0 μ 200 custo médio de manutenção H1 μ 210 b α 005 n25 X Nμ σ²n σx σ n 20 25 4 Valor crítico 1645 X crítico 200 1645 4 20658 Erro tipo 1 PX 20658 μ200 Z 20658 200 4 658 4 1645 PZ 1645 005 Erro tipo II PX 20658 μ 210 Z 20658 210 4 342 4 0855 Prob acumulada P 01955 A chance de não rejeitar H0 quando H1 é verdadeira é 1955 1 β 1 01955 08045 O teste corretamente rejeita H0 cerca de 8045 das vezes quando H1 é verdadeira 3 a H0 μ 8 H1 μ 8 n25 σ2 α005 X 18025 72 X crítico μ0 Zα σ n α005 Zα 1645 X crítico 8 1645 225 7342 X 72 7342 Rejeita H0 b μ78 Zβ 7342 78 04 1145 P acumulada 01261 c α001 Zα233 Xcrítico 8 233 04 7068 x 72 7068 Não rejeita H0 para α001 d σ4 Xcrítico 8 1645 4 25 6684 x 72 6684 não rejeita H0 4 H0 μ 60 H1 μ 60 Teste unilateral à esquerda z x μ0 σn 50 60 20 9 50 60 203 10 667 15 α005 Zcrítico 1645 z 15 1645 Não rejeita H0 5 H0 μ 25 H1 μ 25 Teste unilateral à esquerda z x μ0 σn 23 25 05 49 23 25 05 7 02 00714 28 α005 Zcrítico 1649 28 1645 Rejeita H0 H0 μ 23 H1 μ 23 Teste unilateral à esquerda x 27 24 21 25 26 22 6 1456 2417 z x μ0 σn 2417 23 22045 6 130 Zcrítico 128 130 128 Não rejeita H0 Erro do tipo II O operador acredita que é apenas uma interferência quando na realidade um ataque está ocorrendo Esse erro pode ter consequências graves como a falha na defesa e um possível desastre militar Erro mais grave b H0 O acusado é inocente H1 O acusado é culpado Erro do tipo 1 Condenar um inocente Ou seja o júri decide que o acusado é culpado quando na realidade ele não cometeu o crime Mais grave Erro do tipo 2 Absolver um culpado Ou seja o júri decide que o acusado é inocente quando na realidade ele cometeu o crime c Erro do tipo 1 Concluir que a vacina é eficaz quando na realidade ela não é mais grave Erro do tipo 2 Concluir que a vacina não é eficaz quando na realidade ela é 9 a H0 μ0 1150 α Px 1170 H0 z x μ0 σn 1170 1150 150 100 00133 Z 00133 PZ 00133 1 PZ 00133 1 05053 04947 α 04947 4947 de chance de rejeitarmos H0 quando ela é verdadeira b Ho μ 1150 H1 μ 1200 Rc 1170 β Px 1170 H1 Z xc μ1 σ n 1170 1200 200 100 00015 Pz 00015 04994 β 4994 não rejeitar Ho quando H1 é verdadeira c Px xc Ho Px xc H1 Ho μ0 1150 H1 μ1 1200 Z0 xc μ0 σ0 n Z1 xc μ1 σ1 n α β 1 PZ0 PZ1 1 Pxc 1150 150 100 Pxc 1200 200 100 xc 117143 Rc 117143 Só rejeita Ho se a média amostral for x 117143