Slide - Medidas de Posição - 2023-2

Estatística Descritiva Anderson R. Duarte Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 1 / 12 Medidas de Posição Exemplo Base de Dados Id Turma Sexo Idade Horas_estudo ENEM_MAT Notas_EST 1 B M 21 Até 1h 346,82 2,79 2 B F 22 Até 1h 634,38 4,30 3 B M 21 Mais de 1h e até 3h 561,03 4,46 4 B F 22 Mais de 3h e até 5h 602,91 7,64 5 A F 21 Mais de 3h e até 5h 751,11 7,70 6 B F 22 Até 1h 441,68 2,09 7 A M 24 Até 1h 571,72 4,94 8 A M 23 Mais de 1h e até 3h 606,97 5,78 9 A M 21 Mais de 5h 731,62 8,33 10 B F 18 Mais de 3h e até 5h 709,59 7,45 11 B M 21 Até 1h 502,09 5,28 12 B F 20 Mais de 5h 779,17 10,00 13 B M 23 Mais de 5h 640,57 7,80 14 A F 17 Mais de 1h e até 3h 564,35 5,56 15 B F 20 Até 1h 504,76 4,15 Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 2 / 12 Medidas de Posição Medidas de Posição (Tendência Central) A tabela de frequência e os gráficos vistos na aula anterior permitem transformar em informação os dados extraídos da base original. No entanto, há situações em que precisamos resumir ainda mais os dados, utilizando um ou mais valores que representem a informação contida em toda a série de dados. Se for necessário utilizar apenas um valor para resumir toda a série de dados, é usual empregarmos uma das seguintes medidas de tendência central: Média; Mediana; Moda. Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 3 / 12 Medidas de Posição Notação Matemática Antes de definirmos as medidas, é preciso que o estudante compreenda a seguinte notação matemática: X: variável aleatória (Maiúsculo); xi: o valor da variável X observada no indivíduo i; i varia de 1 até n, sendo n o tamanho da amostra; Média amostral: x. Média populacional: µ. Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 4 / 12 Média amostral e@ A média amostral é calculada da seguinte forma: Xp bee + Xy 12 X= 2% @ Exemplo: Calcule a média amostral do desempenho na disciplina Estatistica e Probabilidade utilizando os dados mostrados no slide 2 (Notas_EST). 1 x= Ts * (2,79 + 4,3 + 4,46 + 7,64 + 7,7 + 2,09 + 4,94+ 5,78 + 8,33 + 7,45 + 5,284 104 7,8 + 5,56 + 4,15) 88,27 = —— = 5,88 15 Estatistica Descritiva 5/12 Média amostral A média amostral também pode ser calculada para dados organizados em tabelas de frequéncia. 1 k k x= h «Do nixi = DX i=1 i=1 Idade Proporcdo (f;) | Percentual (100 x f)) 17 0,0667 6.67% 18 0,0667 6,67% 20 0,1333 13,33% 21 0,3333 33,33% 2 20% 23 0,1333 13,33% 24 0,0667 6.67% Total 100% —_ 1 X= 75 x (17x 14+18x1420x2+...424x1) = 21,0667 Estatistica Descritiva 6/12 Medidas de Posição Média amostral (aproximação) O cálculo da média amostral para uma variável contínua, fornecida por meio de uma tabela de frequência, exige que sejam feitas aproximações, uma vez que não dispomos das observações da amostra. Nota ENEM Frequência (ni) Proporção (fi) Ponto Médio 300 ⊢ 400 1 0,0667 350 400 ⊢ 500 1 0,0667 450 500 ⊢ 600 5 0,3333 550 600 ⊢ 700 4 0,2667 650 700 ⊢ 800 4 0,2667 750 Total 15 1 - x ≈ 1 15 × (350 × 1 + 450 × 1 + 550 × 5 + 650 × 4 + 750 × 4) ≈ 610 Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 7 / 12 Medidas de Posição Mediana A mediana (md) é o valor que ocupa a posição central dos dados ordenados. Pelo menos 50% dos valores são menores ou iguais à mediana; Pelo menos 50% dos valores são maiores ou iguais à mediana. Para calcular a mediana é necessário ordenar os dados em ordem crescente. Seja: x(1) ≤ x(2) ≤ ... ≤ x(n) em que x(1) representa o menor valor observado, x(2) o segundo menor valor e assim sucessivamente. A mediana da variável X pode então ser definida como: md(X) =    x( n+1 2 ), se n é ímpar; x( n 2 )+x( n 2 +1) 2 , se n é par. Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 8 / 12 Medidas de Posição Mediana Exemplo: Calcule a mediana do desempenho na disciplina Estatística e Probabilidade utilizando os dados mostrados no slide 2 (Notas_EST). Dados: {2,79, 4,3, 4,46, 7,64, 7,7, 2,09, 4,94, 5,78, 8,33, 7,45, 5,28, 10, 7,8, 5,56, 4,15} Passo 1: ordenar os dados {2,09, 2,79, 4,15, 4,3, 4,46, 4,94, 5,28, 5,56, 5,78, 7,45, 7,64, 7,7, 7,8, 8,33, 10} Passo 2: Com n = 15, temos a situação em que n é impar. Logo md(X) = X( 15+1 2 ) = X(8) = 5,56. Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 9 / 12 Medidas de Posição Mediana Vamos refazer o exemplo anterior considerando que temos apenas 14 observações e não 15. Dados: {2,79, 4,3, 4,46, 7,64, 7,7, 2,09, 4,94, 5,78, 8,33, 7,45, 5,28, 10, 7,8, 5,56} Passo 1: ordenar os dados {2,09, 2,79, 4,3, 4,46, 4,94, 5,28, 5,56, 5,78, 7,45, 7,64, 7,7, 7,8, 8,33, 10} Passo 2: Com n = 14, temos a situação em que n é par. md(X) = X( 14 2 )+X( 14 2 +1) 2 = X(7)+X(8) 2 = 5,56+5,78 2 = 5,67. Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 10 / 12 Medidas de Posição Moda A moda (mo) é a realização mais frequente do conjunto de dados observados. Exemplo: Para a variável Idade, a moda é igual a 21 anos. Idade Frequência (ni) Proporção (fi) Percentual (100 × fi) 17 1 0,0667 6,67% 18 1 0,0667 6,67% 20 2 0,1333 13,33% 21 5 0,3333 33,33% 22 3 0,2 20% 23 2 0,1333 13,33% 24 1 0,0667 6,67% Total 15 1 100% Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 11 / 12 Medidas de Posição Limitações para aplicação A moda pode ser calculada para variáveis qualitativas e quantitativas. A mediana pode ser calculada para variáveis qualitativas ordinais e para variáveis quantitativas. A média pode ser calculada apenas para variáveis quantitativas. Anderson R. Duarte Estatística Descritiva 12 / 12