Lista 3 - Estatística e Probabilidade 2021-2

UNIVERSIDADE FEDERAL DE OURO PRETO - ICEA - DECEA Estat´ıstica e Probabilidade - CEA020 - PER´IODO LETIVO DE 2021-1 3ª Lista de CEA307 Professor: Hugo Fonseca Ara´ujo Data: 06/06/2022 Respostas sem os respectivos c´alculos ou justificativas n˜ao ser˜ao consideradas. Instru¸c˜oes: Resolva a prova a m˜ao, escaneie ou fotografe as p´aginas com as respostas das quest˜oes e submeta no local indicado pela plataforma Moodle at´e segunda-feira, dia 13 de junho de 2022 `as 23:59h. Em caso de problemas, envie para o e-mail hugo.araujo@ufop.edu.br, com o assunto “Lista 3 Estat´ıstica e Probabilidade”. Por favor, n˜ao mande no formato RAR. Use PDF, JPG, JPEG, ZIP ou PNG. Seja M o n´umero formado pelos dois ´ultimos d´ıgitos de seu n´umero de matr´ıcula e N o ´ultimo d´ıgito de sua matr´ıcula. Por exemplo, para a matr´ıcula 12.3.4507, temos M =07 e N=7. Substitua o valor de M ou N antes de fazer as contas, antes de come¸car a resolver cada quest˜ao. Lista B - Se o seu nome come¸ca com a letra L ou maior Quest˜ao 1. (15 pontos) Suponha que uma construtora necessita comprar placas de alum´ınio para realizar uma grande obra. Para que seu projeto seja bem sucedido, ´e muito importante que a o peso m´edio dessas placas seja inferior a certo valor µ0. Para decidir comprar ou n˜ao as placas de alum´ınio de determinado fabricante, a construtora realizar´a um teste de hip´otese. Neste teste ela ir´a calcular o peso m´edio x de 50 placas de alum´ınio fornecidas como amostra pelo fabricante e, a partir deste valor, decidir´a se as placas de alum´ınio `a venda s˜ao adequadas ou n˜ao para os seus prop´ositos. a) Considerando que µ representa o peso m´edio das placas de alum´ınio produzidas pela empresa, qual das hip´oteses abaixo deve ser utilizada para que se decida pela compra das placas de alum´ınio em caso de rejei¸c˜ao de H0? H0 : µ ≤ µ0 H0 : µ = µ0 H0 : µ ≥ µ0 b) Neste contexto, qual seria o tipo de erro cometido caso a construtora compre as placas de alum´ınio, quando na verdade elas s˜ao inadequadas para o uso? c) Considere a hip´otese que vocˆe escolheu na letra a). Suponha que ela ser´a testada a um n´ıvel de significˆancia α, utilizando o valor x calculado a partir da amostra pela construtora. Considere o valor xc que divide a reta real na regi˜ao que indica rejei¸c˜ao da hip´otese ou aceita¸c˜ao da hip´otese. Se diminu´ımos o valor de α, o valor de xc aumenta ou diminui? Quest˜ao 2. (20 pontos) Seguem abaixo os dados de uma amostra retirada de uma popula¸c˜ao normalmente distribu´ıda: 60 44 + N 80 − 2N 50 + 4N 66 38 (N + 5)2 4 35 62. a) Calcule a m´edia e a variˆancia da amostra. b) Determine se a hip´otese da m´edia populacional ser menor que 50 deve ou n˜ao ser rejeitada a um n´ıvel de 10% de significˆancia. c) Determine se a hip´otese da m´edia populacional ser aproximadamente igual a 55 deve ou n˜ao ser rejeitada a um n´ıvel de 5% de significˆancia. 1 Quest˜ao 3. (20 pontos) Nesta quest˜ao, x representa um n´umero inteiro. Um fabricante de televisores anunciou que o modelo T tem probabilidade menor do que 7% de apresentar defeitos no primeiro ano de uso. Um consumidor muito desconfiado resolveu comprar 200x exemplares deste modelo T. Dentre estes televisores, exatamente 18x apresentaram defeitos dentro de um ano de uso. a) Suponha que x = M. A um n´ıvel de 5% de significˆancia, a afirma¸c˜ao do fabricante deve ser rejeitada? b) Para quais valores de x a afirma¸c˜ao acima deveria ser rejeitada? Para quais valores deveria ser aceita? Quest˜ao 4. (35 pontos) a) Considere o seguinte conjunto de pares de dados (x, y): (−2.2, 5.2) (−1.0, 3.6) (1.5, 0.8) (N − 0.4, 5 − 2N) (N, 2 − 2N) (5.0, −4.5) (7.5, −6.1) (4.3, −3). 1. Calcule o coeficiente de correla¸c˜ao linear de Pearson desse conjunto de dados e esboce estes pontos em um diagrama de dispers˜ao. 2. Utilizando o m´etodo dos m´ınimos quadrados, encontre a reta que melhor aproxima este conjunto de dados. b) Considere o seguinte conjunto de pares de dados (x, y): (−0.8, −3.7) (1.1, 0.4) ( √ N + 1, 3.5) (2.4, 4.1) (0.1 · N − 6, −5.0) (−1.6, −4.1) (−3.0, −6) 1. Calcule o coeficiente de correla¸c˜ao linear de Pearson desse conjunto de dados e esboce estes pontos em um diagrama de dispers˜ao. 2. Utilizando o m´etodo dos m´ınimos quadrados, encontre a reta que melhor aproxima este conjunto de dados. 3. Considerando o valor do coeficiente de correla¸c˜ao linear e o diagrama de dispers˜ao desenhado, discuta a razoabilidade da aproxima¸c˜ao linear encontrada no item 2. Que outro tipo de correla¸c˜ao parece mais adequada no entendimento deste conjunto de dados? Quest˜ao 5. (10 pontos) Fa¸ca uma pequena reda¸c˜ao observando como os estudos de probabilidade que realizamos na primeira parte do curso s˜ao importantes nos estudos de inferˆencia estat´ıstica que realizamos na parte final deste curso. Dˆe exemplos que ilustrem o seu coment´ario. 2 Estatística e Probabilidade Matrícula: 21.3.8076 M: 76 N: 6 Lista B 1. a) H0: \mu \leq \mu_0 \rightarrow teste unidirecional à direita b) Erro tipo II c) O valor de xc aumentará visto que ao diminuir o \alpha diminui a Região crítica, aumentando xc. 2. 60 60 68 74 66 38 30,25 35 62 𝑋 ̅ = \frac{60 + 60 + 68 + 74 + 66 + 38 + 30,25 + 35 + 62}{9} = 54,8056 S^2 = \frac{\sum_{i=1}^{9} (X_i - X̅)^2}{9-1} = \frac{2051,22}{8} = 256,4028 b) H0: \mu \leq 50 H1: \mu > 50 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = \frac{54,8056-50}{\sqrt{\frac{256,4028}{9}}} = 0,9003 𝑧𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 > 𝑧𝑡𝑎𝑏𝑒𝑙𝑎𝑑𝑜 \rightarrow 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑠𝑒 𝐻_0 𝐻_0: \mu = 55 𝐻_1: \mu \neq 55 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 = \frac{54,8056-55}{\sqrt{\frac{256,4028}{9}}} = -0,0364 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑛𝑎 𝑟𝑒𝑔𝑖ã𝑜 𝑑𝑒 𝑛ã𝑜 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖çã𝑜 𝐻_0. 3. 𝑎) 𝑛 = 20076\quad \hat{𝑝} =\frac{1876}{20076} = 0,0934 𝐻_0: 𝑝 ≤ 0,07 𝐻_1: 𝑝 > 0,07 𝑧_𝑐𝑎𝑙𝑐 = \frac{0,0934 - 0,07}{\sqrt{\frac{0,0933(1-0,0933)}{20076}}} = 1,4133 𝑧𝑐𝑎𝑙𝑐 > 𝑧𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑜 \rightarrow 𝑅𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑠𝑒 𝐻_0 𝑅: 𝐴 𝑎𝑓𝑖𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑏𝑟𝑖𝑐𝑎𝑛𝑡𝑒 é 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖𝑡𝑎𝑑𝑎. 𝑎) ρ = \frac{𝑛\sum 𝑥𝑖𝑦𝑖 − \sum 𝑥𝑖 \cdot \sum 𝑦𝑖}{\sqrt{𝑛\sum 𝑥𝑖^2 − (\sum 𝑥𝑖)^2} \cdot \sqrt{𝑛\sum 𝑦𝑖^2 − (\sum 𝑦𝑖)^2}} = −0,9435 𝛽 = \left( X'X \right)^{-1}\left( X'Y \right) = \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} 1 & -2,2 \\ 1 & -3 \\ 1 & 1,5 \\ 1 & 5,6 \\ 1 & 6 \\ 1 & 5 \\ 1 & 7,5 \\ 1 & 6,3 \end{bmatrix} X' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -2,2 & -3 & 1,5 & 5,6 & 6 & 5 & 7,5 & 6,3 \end{bmatrix} X'X = \begin{bmatrix} n & \Sigma x_i \\ \Sigma x_i & \Sigma x_i^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 26,7 \\ 26,7 & 175,19 \end{bmatrix} (X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0,25 & -0,04 \\ -0,04 & 0,03 \end{bmatrix} y = \begin{bmatrix} 5,2 \\ 3,8 \\ 0,9 \\ -7 \\ -10 \\ -4,5 \\ -6,1 \\ -3 \end{bmatrix} X'y = \begin{bmatrix} \Sigma y_i \\ \Sigma x_i y_i \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 \\ -196,19 \end{bmatrix} \beta = (X'X)^{-1} X'y = \begin{bmatrix} 2,19 \\ -1,44 \end{bmatrix} \hat{y} = 2,19 - 1,44x + u_i b) \rho = \frac{n\Sigma x_iy_i - \Sigma x_i\Sigma y_i}{\sqrt{n\Sigma x_i^2 - (\Sigma x_i)^2} \sqrt{n\Sigma y_i^2 - (\Sigma y_i)^2}} = 0,907 \beta = (X'X)^{-1} X'y = \begin{bmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{bmatrix} X = \begin{bmatrix} 1 & -0,8 \\ 1 & 1,1 \\ 1 & 2,6 \\ 1 & 2,4 \\ 1 & -5,4 \\ 1 & 1,6 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} X' = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ -0,8 & 1,1 & 2,6 & 2,4 & -5,4 & 1,6 & -3 \end{bmatrix} X'X = \begin{bmatrix} 7 & -4,65 \\ -4,65 & 55,33 \end{bmatrix} (X'X)^{-1} = \begin{bmatrix} 0,1513 & 0,0127 \\ 0,0127 & 0,0191 \end{bmatrix} y = \begin{bmatrix} -3,7 \\ 0,4 \\ 3,5 \\ 4,1 \\ -5 \\ -4,1 \\ -6 \end{bmatrix} X'y = \begin{bmatrix} -10,8 \\ 76,06 \end{bmatrix} \beta = \begin{bmatrix} -0,69 \\ 1,28 \end{bmatrix} \hat{y} = -0,69 + 1,28x + u_i considerando que a correlação entre X e Y é positiva já era de se espera que o parametro \beta_{1} fosse positivo isso significa que se aumen- tar o X o Y também aumentará, o que pode ser visto no diagrama de dispersão. 5. O estudo de probabilidade é necessário para que identifique e quantifique certos padrões comuns na população, tais padrões, como média, mediana, e etc, passa a representar a população, ou seja, passa a ser parâmetros da população. Porém nem sempre é viável examinar a população total para extrair as informações necessárias, para isso é extraído uma amostra, e através de técnicas de inferência extrapolar as informações encontradas na amostra para a população. Exemplo, um pesquisador deseja analisar se a água de um rio é poluída, para isso é extraído uma amostra aleatória com várias observações, ao analisar a amostra o pesquisador irá saber se a água do rio é poluída.